1、绵阳市高中 2019 级第一次诊断性考试 理科数学参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 CDBCCAABDDAD 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13714215 3 2 161， 2 2 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 17解：（1） f (x)3(1cos2x)sin2x3 3cos2xsin2x 2sin(2x) 4 分 3 相邻对称轴间距离为 2 ， 函数的最小正周期T， 即 2 2 (0)，解得 1， f (x)2sin(2x) 6 分 3 由2k2x 2k，得 232 5 kxk( k Z )
2、， 1212 函数 f (x) 在 0， 2 上的单调递增区间为0， 12 8 分 （2）将函数 f (x)2sin(2x) 的图象向左平移(0) 个单位后得 32 g(x)2sin2(x)+=2sin(2x2+)， 33 g(x)为偶函数， g(0)2，即 sin(2)1， 10 分 3 k 2k，即(kZ) 32212 又 0 ， 2 12 分 12 理科数学答案第 1 页（共 6 页） 18解：（1） S 1 3S2 ， nn 2 3S2 S，即 1 a3a2 a 121 a，a26 2 分 12 当 n2时，3 1 2 S n S n 由得 an 1 3an， 即 aa n1 3( 2
3、) 又3 n 2 ， aa n1 数列a是以首项为 2，公比为 3 的等比数列 5 分 n a3 6 分 2 n1 n （2）由 nan ，7 分 23n 1 n 得T（2 130231n3n 1) n 3T（2 1323n3n) 12 n 由，得22 3031323n3n) T（-n， -1 n 13 n 2T22n3(1 2n)31 nn n 13 11 T(n)3 12 分 n n 22 19解：选择条件： 由btanC=(2ab)tanB，得sin(2)sin bCabB ， cosCcosB 由正弦定理可得，sinBsinCcosB=(2sin AsinB)sinBcosC. sin
4、CcosB2sin AcosCsinBcosC， 2sin AcosCsinCcosBsin BcosCsinCBsin A， C(0，)，sinC0， cos 1 A，又A(0， )， 22 A 3 选择条件：由正弦定理可得，2sinC cosB2sin Asin B， 又sin Asin(CB)， 2sinCcosB2sin(CB)sin B2(sinCcosBcosCsin B)sin B， 化简整理得2cosCsinBsinB， 由sinB0， 1 cosC， 2 又0 C， 2 C 3 理科数学答案第 2 页（共 6 页） 选择条件：由已知得，b2a2c2accos Aa2cos C
5、， 由余弦定理，得b2a2c22abcosC， b2c2a2accosCc2cos A， 2abcosCaccos Aa2cosC， a0，2bcosCccos AacosC， 由正弦定理，有2sin BcosCsinCcos Asin AcosCsin(AC)sin B， sin B0， 1 cosC. 2 又C(0，)， 2 C 4 分 3 ac （1）证明：由正弦定理得 =23 ， sin Asin C a=23 sin A， a=23 sin A=23sin(B)3 sin B3cos B，得证 6 分 3 （2）由 AP=2PB 及 AB=3，可得 PB=1， 在PBC 中，由余弦定
6、理可得， CPaaB(3 sin B3cosB)212(3 sin B3cosB)cosB 2212cos 9 分 423 sin 2B ABC 为锐角三角形，()，即2(， ) 623 B，B 当2=，即 = 时， BB 24 CP2取最大值为4+2 3 线段 CP 的长度的最大值为1+312 分 20解：（1）由题意得 fxx2axa2-(x-3a)(x+a)1 分 ()23= 当 a1 时， f(x)(x1)(x3) ， x-4，2 由 f(x)0 ，解得3x1； 由 f(x)0 ，解得4x3 或 1x2 3 分 函数 f(x)在区间(-3，1)上单调递增，在区间-4，-3)，(1，2单
7、调递减 又 25327 f (4)，f (3)， ， f (1) 0，f (2)， 333 函数 f (x) 在区间-4，2上的最大值为 0，最小 值为 32 6 分 3 理科数学答案第 3 页（共 6 页） （2）存在实数 m，使不等式 f (x)0的解集恰好为(m，+)， 等价于函数 f(x)只有一个零点 f(x)x22ax3a2=(x3a)(xa) ， i)当 a0 时，由 f(x)0 ，解得 3axa ， 函数 f(x)在区间(3a，-a)上单调递增； 由 f(x)0 ，解得 x3a 或 xa， 函数 f(x)在区间(，3a)，(-a，)上单调递减 又 5 f (0) 0 ， 3 只需
8、要 f (-a)0，解得-1a0 实数 a 的取值范围为 -1a0 时，由 f(x)0 ，解得ax3a ， 即 f(x)在区间(-a， 3a)上单调递增； 由 f(x)0 ，解得 xa 或 x3a ， 即函数 f(x)在区间(，-a)，(3a，)上单调递减； 又 5 f (0)0 ，只需要 f(3a)1 时， 3 f (x)xex1等价于 x22xlnx1 0，即 x2 2 1 x2ln x 0 x 令 1 F(x)x2ln x ， x 则 21(x1) 2 F(x)1 0 xxx 22 函数 F(x)在区间 (1，) 上单调递增， F(x)F(1)0 ， 当 x1 时， 3 f (x)xex
9、 1 6 分 x2 2 理科数学答案第 4 页（共 6 页） 1 （2）由题得2 g(x)xe2xlnxx(4a)x1 x 2 若 g(x)=f(x)+(4-a)x-1 无极值，则g(x)0恒成立或g(x)0恒成立 i)当g(x)0恒成立时，g(x)(x1)ex2(1ln x)x4a0 ， 即 a2(x 1)ex2ln x x min 令 h(x)(x1)ex2ln xx 2(x2)1 h(x)(x2)ex1(x2)ex(x 2)(ex) (x0) xxx 1 令(x)ex ，则 x 1 (x)ex 0， x 2 即(x) 在 (0，)上单调递增 8 分 1 又( )e2420，(1)e10
10、， 2 存在 x ( 0 1 2 ，1)，使得 1 (x )e =0 x 0 0 x 0 当 x(0，x ) 时，(x)0，即 h(x)0 ， 0 函数 h(x)在区 间 (0，x )单调递 减 0 当 x(x ，) 时，(x)0 ，即 h(x)0 ， 0 函数 h(x)在区 间 (x ，)单调递 增 0 函数 h(x)的最小值为 h(x0)= (x1)e2ln x x 10 分 x 0 000 又 e x 0 1 ， 即 x 0 x x ， 0ln 0 代入，得 h(x0)= 11 (x1)e2ln xx =12xx1x x 0 000000 xx 00 又 x ( 0 1 2 ，1)，则
11、h(x0)= = 1 1x (3， 0 x 0 7 2 ) 正整数 a 的最大值是 5 ii)当g(x)0恒成立时，g(x)(x1)ex2(1ln x)x4a 0， 即a2(x1)ex2ln x x， max 又由（i）知， 函数 h(x)在区 间 (x ，)上单调递 增， 0 函数 h(x)不存在最大值 综上：正整数 a 的最大值是 512 分 理科数学答案第 5 页（共 6 页） 22解：（1）曲线C的极坐标方程为 =2(0) 2 分 1 设 P(，)为 曲线 C上的任意一点， 2 =2cos() 2 曲线C极坐标方程为 =2sin(0) 5 分 2 （2）直线(0， R)与曲线 C， 1
12、 C分别交于点 A，B(异于极 点)， 2 设 B(，)，则 A(，) BA 由题意得2sin，2 ， BA AB22sin 7 分 AB 点 M 到直线 AB 的距离 dOMsin2sin， 11 SABd =(22sin)2sin AOM 22 (sin1sin)1 2 2(1sin)sin2 42 1 (当且仅当 sin时，等号成立) 2 ABM 的面积的最大值为 1 2 10 分 23解：（1）由题意得 f (x)xmx2m (xm)(x2m)3m 3 分 函数 f (x) 的最大值为 6， 3m6 ，即m2 m0，m=2.5 分 （2）由（1）知， xyz2，x0，y0，z0， xx 2xyz(y)(z) 22 xyxz 22(当且仅 x 2 yz 时，等号成立) 8 当 22 分 2xy2xz2 ， xyxz 2 (当且仅 当 1 x1，yz=时，等号成立)10 分 2 理科数学答案第 6 页（共 6 页）
