1、关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 2022 届高三 10 月月考数学试卷（理数） 一、单选题（本大题共 12 小题，共 60 分） 1.已知全集，集合，集合，则阴影部分所示 集合为 A.B.C.D. 2.已知命题 p：，命题 q：若，则，下列命题为真命题的是 A.B.C.D. 3.设，则 A.B.C.D. 4.函数其中 e 为自然对数的底数 图象的大致形状是 A.B.C.D. 5.函数在单调递增，求 a 的取值范围 A.B.C.D. 6.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计 确诊病例数的单位：天 的
2、Logistic 模型：，其中 K 为最大确诊病例数当 时，标志着已初步遏制疫情，则约为 A. 60B.63C.66D.69 7.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于 A.B.C.D. 8.已知函数满足，且当时，成立，若， ，则 a，b，c 的大小关系是 A.B.C.D. 9.对任意实数 a，b 定义运算“：，设，若函数的图象 与 x 轴恰有三个交点，则 k 的取值范围是 A.B.C.D. 10. 已知函数，函数与的图象关于点对称，若，则 的最小值为 A. 2B.C.ln2D. 11. 已知定义域为 R 的函数， 若关于 x 的方程有无数个不同的实 数解，但只有三个不同的实数解，则 A
3、.B.C.3D.2 12. 对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数 a 的 取值范围是 A.B.C.D. 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 二、单空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知函数的图象在点处的切线斜率为 a，则_ 14. 已知定义在 R 上的函数的图象关于点对称，且满足，又， 则_ 15. 已知函数，正实数 m，n 满足，且，若在区间上的最大值为 2，则 _ 16. 已知偶函数满足，且当时，关于 x 的不等式 在上有且只有 300 个整数解，则实数 a 的取值范围是_ 三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0 分） 1
4、7.已知函数若的解集为，求实数 k 的值； 若，都，使成立，求实数 m 的取值范 18.如图，在四棱锥中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，平面平面 ABCD，点 F 为棱 PD 的中点 在棱 AB 上是否存在一点 E，使得平面 PCE，并说明理由； 当二面角的余弦值为时，求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的余弦 值 19.设，函数为常数，若，求证：函数为奇函数； (2)若用定义法证明函数的单调性；若存在，使得成立，求 实数 a 的取值范围 20.如图，A 为椭圆的左顶点，过 A 的直线交抛物线于 B、C 两点，C 是 AB 的中点 求证：点 C 的横坐标是定值，并求出该定值；若直线
5、m 过 C 点，且倾斜角和直线的倾斜角互补，交椭圆 于 M、N 两点，求 p 的值，使的面积最大 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 21.数学中，我们把仅有变量不同，而结构，形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的 不等式称为同构不等式 若关于 a 的方程和关于 b 的方程可化为同构方程 (1)求 ab 的值；函数若斜率为 k 的直线与曲线相交于， 两点，求证： 选做题 22.直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度已知直线 l 的参数方 程为为参数，曲线 C 的极坐标方程为 求曲线 C 的直角坐标方程；设
6、直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，当 变化时，求的最小值 23.已知函数 ，M 为不等式的解集 求集合 M；若 a，求证： 10 月月考（理数）答案 一、单选题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 24. 已知全集，集合，集合，则阴影部分所 示集合为A.B.C.D. 解：集合，集合， 图形阴影部分为，故选：B 25. 已知命题 p：，命题 q：若，则，下列命题为真命题的是 A.B.C.D. 解：命题 p：，使成立故命题 p 为真命题； 当，时，成立，但不成立，故命题 q 为假命题， 故命题，均为假命题；命题为真命题，故选 B 26. 设，则 A.B.C.D. 解：，故选：A 2
7、7.函数其中 e 为自然对数的底数 图象的大致形状是 A.B.C.D. 解：， 为奇函数，排除 A，C；当时，排除 D，故选：B 28.函数在单调递增，求 a 的取值范围 A.B.C.D. 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 解：令，由复合函数的单调性可知，解可得，故选：C 29.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计 确诊病例数的单位：天 的 Logistic 模型：，其中 K 为最大确诊病例数当 时，标志着已初步遏制疫情，则约为 A.60B.63C.66D.69 解：由已知，当时，标志着已初步遏制疫情
8、，可得，解得 ，两边取对数有，解得，故选：C 30.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于 A.B.C.D. 解：，令，则， 即，故选：D 31.已知函数满足，且当时，成立，若， ，则 a，b，c 的大小关系是 A.B.C.D. 解：令，即为奇函数， 当时，在上单调递增， 又因为为奇函数， 函数在 R 上为增函数， ， 即故选：A 32.对任意实数 a，b 定义运算“：，设，若函数的图象 与 x 轴恰有三个交点，则 k 的取值范围是 A.B.C.D. 解：当时，解得， 当时，解得或，或， 函数的图象如图所示： 由图象得：，函数与的图象有 3 个交点， 即函数的图象与 x 轴恰有三个公共点
9、；故答案选：A 33.已知函数，函数与的图象关于点对称，若，则 的最小值为 A.2B.C.ln2D. 解：设函数上任意一点，点关于对称的点为， 则，即， 依题意，则，设，则， 知函数在单减，在单增，即最小值为故选：D 34.已知定义域为 R 的函数， 若关于 x 的方程有无数个不同的实 数解，但只有三个不同的实数解，则 A.B.C.3D.2 解：当时，函数单调递增，则关于 x 的方程在内至多只有两个解， 所以必为其中一解，即， 故当时，此时由函数得， 若关于 x 的方程有无数个不同的实数解， 则当时，也一定满足方程，此时有， 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 由可得，
10、 当时，由即，得 ，解得或，解得，或， 故选：A 35.对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数 a 的 取值范围是 A.B.C.D. 解：可化为：，设，则， 即函数在，为减函数，在为增函数， 又，设， 即函数在为增函数，所以， 对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立， 即对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立， 即对于任意的实数恒成立，即，即，故选：B 二、单空题（本大题共 4 小题，共 20 分） 36.已知函数的图象在点处的切线斜率为 a，则_ 解：函数的导数为，可得图象在点处的切线斜率为， 可得，解得故答案为： 37.已知定义在 R 上的函数的图象关于点对
11、称，且满足，又， 则_ 解：，周期，又， ， 函数的图象关于点对称，又， ， ，故答案为 2 38.若函数，正实数 m，n 满足，且，若在上最大值为 2，则 _ 解：，且， 若在区间上的最大值为 2，故答案为： 39.已知偶函数满足，且当时，关于 x 的不等式 在上有且只有 300 个整数解，则实数 a 的取值范围是_ 解：是偶函数， ，的周期为 当时， 当时，当时， 在上单调递增，在上单调递减 又，且是以 8 为周期的偶函数， 当 x 为整数时， 在上有 300 个整数解， 在上有 3 个整数解，显然这三个整数解为 1，2，3， 即在上有三个整数解 1，2，3 关注公众号品数学 高中数学资料
12、共享群（734924357） ，即，解得：故答案为： 三、解答题（本大题共 7 小题，共 70 分） 40.已知函数若的解集为，求实数 k 的值； 若，都，使成立，求实数 m 的取值范 解：由得，整理得， 因为不等式的解集为，所以方程的两个根是，；得，即 ； 由已知，只需， 因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，由于， 所以函数在上的最小值为， 因为开口向上，且对称轴为， 故当，即时，解得； 当，即时， 解得或，所以； 当，即时，解得，所以 综上所述，m 的取值范围是 41.如图，在四棱锥中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，平面平面 ABCD，点 F 为棱 PD 的中点 在棱 AB 上
13、是否存在一点 E，使得平面 PCE，并说明理由； 当二面 角的余弦值为时，求直线 PB 与平面 ABCD 所成的角余弦值 解： 在棱 AB 上存在点 E，使得平面 PCE，点 E 为棱 AB 的中点 理由如下： 取 PC 的中点 Q， 连接 EQ、 FQ， 由题意，且，且， 故 AE且所以，四边形 AEQF 为平行四边形所以， ， 又平面 PEC，平面 PEC，所以，平面 PEC； 由题意知为正三角形，所以，亦即，又，所以 ， 且平面平面 ABCD，平面平面，平面 ADP，所以平 面 ABCD， 故以 D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系， 设，则由题意知0，0，2，1， 2，设平面 FBC
14、的法向量为 y， 则由令， 则， 则， 易知平面 DFC 的法向量0， ， 二面角的余弦值为，解得 由于平面 ABCD，所以 PB 在平面 ABCD 内的射影为 BD，所以为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角， 题意知中，从而，所以直线 PB 与平面 ABCD 所成的角余弦值为 42.设，函数为常数，若，求证：函数为奇函数； 若定义法证明函数的单调性；若存在，使得成立，求 实数 a 的取值范围 解：当时，函数，因为，则，所以定义域为， 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 对任意，所以是奇函数 当时，为 R 上的单调增函数，证明如下： 证明：时，恒成立，故函数定义域为
15、 R任取，且，则， 因为，所以为 R 上的单调增函数 设命题存在，使得成立 下面研究命题 p 的否定：恒成立 若为真命题，由，为 R 上的单调增函数，故恒成立 设，解得 p 为真，则假，a 的取值范围为 43.如图，A 为椭圆的左顶点，过 A 的直线交抛物线于 B、C 两点，C 是 AB 的中点 求证：点 C 的横坐标是定值，并求出该定值； 若直线 m 过 C 点，且倾斜角和直线的倾斜角互补，交椭圆于 M、N 两点，求 p 的值，使的面积最大 解：由题意可知，设， 过 A 的直线 l 交抛物线于两点， 直线 l 的斜率存在且不为 0，设 l：， 联立方程，消去 x 得， 点 C 是 AB 的中
16、点， ， 点 C 的横坐标为定值 1； 直线 m 的倾斜角和直线 l 的倾斜角互补，所以直线 m 的斜率和直线 l 的斜率互为相反数， 又点，所以设直线 m 的方程为：，即，设， 联立方程，消去 x 得， ，解得， ， 点 C 是 AB 的中点，设点到直线 MN 的距离为 d，则， ，令， ，当且仅当，即，时，等号成立， ， 44.数学中，我们把仅有变量不同，而结构，形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的 不等式称为同构不等式若关于 a 的方程和关于 b 的方程可化为同构方程求 ab 的值；已知函数若斜率为 k 的直线与曲线相交于， 两点， 求证： 解：对两边取自然对数，
17、得 对两边取自然对数，得，即 因为方程，为两个同构方程，所以，解得 设，则，所以在单调递增，故方程的解只有一个 所以，故 由知， 所以，要证，即证明，等价于 令，则只要证即可由，知，故等价于证 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 设，则， 在单增，故，即 设，则，即在单调递增，故， 即由可知成立，则 45.直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度已知直线 l 的参数方 程为为参数，曲线 C 的极坐标方程为 求曲线 C 的直角坐标方程；设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，当 变化时，求的最小值 解：由，得，所以曲线 C 的直角坐标方程为 将直线 l 的参数方程代入，得则， ，当时，取最小值 2 46.若函数，M 为解集求集合 M；若 a，证： 解： 当时，由解得，； 当时，恒成立，； 当时，由解得， 综上，的解集； 证明： 由 a，得，
