1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷） 数学（文）数学（文） 一选择题 1.已知全集1,2,3,4,5U ，集合1,2M ，3,4N ，则)( U CMN （) A.5 B.1,2 C.3,4 D.1,2,3,4 2.设43izi，则z （） A.34i B.34i C.34i D.34i 3.已知命题:,sin1pxRx ；命题 | | :,1 x qxR e，则下列命题中为真命题的是（） A.pq B.pq C.pq D.()pq 答案： A 解析： 根据正弦函数的值域sin 1,1x ，sin1x ，故xR ，p为真命题，而函数 | | x ye为 偶函数， 且0 x 时，
2、1 x ye， 故xR ， | | 1 x ye恒成立.则q也为真命题， 所以pq 为真，选 A. 4.函数( )sincos 33 xx f x 的最小正周期和最大值分别是（） A.3和2 B.3和2 C.6和2 D.6和2 答案： C 解析： ( )2sin() 34 x f x max ( )2f x， 2 6 1 3 T . 故选 C. 5.若, x y满足约束条件2, 3, 4, y xy xy 则3zxy的最小值为（） A.18 B.10 C.6 D.4 答案： C 解析： 根据约束条件可得图像如下，3zxy的最小值，即3yxz ，y轴截距最小值.根据 图像可知3yxz 过点(1,
3、3)B时满足题意，即 min 336z. 6. 225 coscos 1212 （） A. 1 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2 答案： D 解析： 222222 3 ()sincos 2 5 coscoscoscoscos 12121212121262 选 D. 7.在区间 1 (0, ) 2 随机取1个数，则取到的数小于 1 3 的概率为（） A. 3 4 B. 2 3 C. 1 3 D. 1 6 答案： B 解析： 在区间 1 (0, ) 2 随机取1个数，可知总长度 1 2 d ，取到的数小于 1 3 ，可知取到的长度范围 1 3 d，根据几何概型公式 1 2 3 1 3
4、2 d p d ，选 B. 8.下列函数中最小值为4的是（） A. 2 24yxx B. 4 |sin| |sin| yx x C. 2 22 xx y D. 4 n ln l yx x 答案： C 解析： 对于 A， 222 24213(1)33yxxxxx .不符合， 对于 B， 4 |sin| |sin| yx x ，令|sin| 0,1tx， 4 yt t ， 根据对勾函数 min 145y 不符合， 对于 C， 2 4 222 2 xxx x y ，令20 x t ， 44 2224ytt tt ， 当且仅当2t 时取等，符合， 对于 D， 4 n ln l yx x ，令lntxR
5、， 4 yt t . 根据对勾函数(, 44,)y ，不符合. 9.设函数 1 ( 1 ) x f x x ，则下列函数中为奇函数的是（） A.1()1f x B.1()1f x C.1()1f x D.1()1f x 答案： B 解析： 12 ( )1 11 x f x xx ， ( )f x向右平移一个单位，向上平移一个单位得到 2 ( )g x x 为奇函数. 所以选 B. 10.在正方体 1111 ABCDABC D中，P为 11 B D的中点，则直线PB与 1 AD所成的角为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 答案： D 解析： 做出图形， 11 / /ADBC，所以 1 PB
6、C为异面直线所成角，设棱长为1. 1 2BC ， 1 2 2 B P ， 1 2 2 PC ， 6 2 BP . 222 11 1 1 31 2 3 22 cos 226 22 2 BCBPC P PBC BP BC ，即 1 6 PBC ，故选 D. 11.设B是椭圆C: 2 2 1 5 x y的上顶点，点P在C上，则PB的最大值为 A. 5 2 B.6 C.5 D.2 答案： A 解析： 方法一：由 2 2 :1 5 x Cy，(0,1)B 则C的参数方程： 5cos sin x y . 22 |(sin1)( 5cos )PB 2 4sin2sin6 2 1255 4(sin) 442
7、. max 5 | 2 PB，故选 A. 方法二：设 00 (,)P xy，则 2 2 0 00 1( 1,1) 5 x yy ，(0,1)B. 因此 222 00 |(1)PBxy 将式代入式化简得： 22 0 12525 |4() 444 PBy ，当且仅当 0 1 4 y 时|PB的最大值为 5 2 ，故选 A. 12.设0a ，若xa为函数 2 ( )() ()f xa xaxb的极大值点，则 A.ab B.ab C. 2 aba D. 2 aba 答案： D 解析： 2 ( )2 ()()()()(32)fxa xa xba xaa xaxba 当0a 时，原函数先增再减后增. 原函
8、数在( )0fx的较小零点时取得极大值. 即 2 3 ab a ，即ab， 2 aab. 当0a 时，原函数先减再增后减. 原函数在( )0fx的较大零点时取得极大值. 即 2 3 ab a ，ab， 2 aab，故选 D. 二、填空题 13.已知向量(2,5)a ，( ,4)b ，若/ /ab ，则. 答案： 8 5 解析： 由已知 / /ab 可得 8 2 45 5 . 14.双曲线 22 1 45 xy 的右焦点到直线280 xy的距离为. 答案： 5 解析： 22 1 45 xy 的右焦点为(3,0) ，到直线 280 xy的距离 22 |3 8| 5 12 d . 15. 记ABC的
9、 内 角A，B，C的 对 边 分 别 为a，b，c， 面 积 为3， 60B , 22 3acac，则b . 答案： 2 2 解析： 由面积公式 1 sin3 2 SacB，且60B ，解得4ac ， 又由余弦定理 222 2cosbacacB， 22 3acac，且0b 解得2 2b . 16.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的 三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）. 答案： 或 解析： 由高度可知，侧视图只能为或. 侧视图为， 如图 （1） ， 平面PAC 平面ABC，2PAPC，5BA BC，2AC， 俯视图为. 俯视图为
10、，如图（2） ，PA平面ABC，1PA，5ACAB，2BC ，俯视图 为. 17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用 一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7 新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为 2 1 s和 2 2 s. （1）求x，y， 2 1 s， 2 2 s； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设
11、备是否有显著提高（ 如果 22 12 2 10 ss yx ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则 不认为有显著提高）. 答案： 见解析 解析： 9.8 10.3 1010.29.99.8 1010.1 10.29.7 10 10 x ； 10.1 10.410.1 1010.1 10.3 10.610.5 10.410.5 10.3 10 y . 2 1 1 (0.040.090.040.01 0.040.01 0.040.09) 10 s 1 0.360.036 10 2 2 1 (0.040.01 0.040.090.040.090.040.01 0.04) 10
12、 s 1 0.40.04 10 . （2）10.3 100.3yx 22 12 0.0360.04 22 1010 ss 2 0.0076. 则0.30.092 0.0760.0304 ， 所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较 旧设备有显著提高； 没有显著提高. 18.如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，M为BC的中点，且 PBAM. （1）证明：平面PAM 平面PBD （2）若1PDDC，求四棱锥PABCD的体积. 答案： 见解析 解析： 19.设 n a是首项为1的等比数列，数列 n b满足 3 n n na b .已知 1 a， 2 3a， 3 9a，成等差数
13、列. （1）求 n a和 n b的通项公式； （2）记 n S，和 n T分别为 n a和 n b的前n项和.证明： 2 n n S T . 答案： 见解析 解析： 设 n a的公比为q，则 1n n aq ， 因为 1 a， 2 3a， 3 9a成等差数列，所以 2 192 3qq，解得 1 3 q ， 故 1 1 ( ) 3 n n a ， 1 1 31 3 (1) 1 23 1 3 n n n S . 又 3 n n n b ，则 1231 1231 33333 n nn nn T ， 两边同乘 1 3 ，则 2341 11231 333333 n nn nn T ， 两式相减，得 23
14、41 211111 3333333 n nn n T ， 即 11 11 (1) 11 33 (1) 33 2 3 3 3 1 2 1 n nnn n nn T ， 整理得 31323 (1) 432 342 3 n nnn nn T ， 3233143 22()(1)0 42 3232 3 nn nnn nn TS ， 故 2 n n S T . 20.已知抛物线C： 2 2(0)ypx p的焦点F到准线的距离为2. （1）求C的方程， （2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足9PQQF ，求直线OQ斜率的最大值. 答案： 见解析 解析： （1）由焦点到准线的距离为p，则2p . 抛物线
15、c的方程： 2 4yx. （2）设点 2 0 0 (,) 4 y Py，(,) QQ Q xy，(1,0)F. 9PQQF . 2 0 2 20 0 0 00 9 4 99 (,)9(1,)4 10 4 9 10 QQQ QQQQ QQ Q y y xxxy xyyxy yyxy y 则 0 2 0 0 0 111 9 39 92 4 44 Q OQ Q y y k y yx y . 直线OQ斜率的最大值为 1 3 . 21.已知函数 32 ( )1f xxxax. （1）讨论( )f x的单调性； （2）求曲线( )yf x过坐标原点的切线与曲线( )yf x的公共点的坐标. 答案： 见解析
16、 解析： （1） 2 ( )32fxxxa （i）当4 120a ，即 1 3 a 时，( )0fx恒成立，即( )f x在( )f x在xR上单调 递增. （ii） 当4 120 ， 即 1 3 a 时，( )0fx解得， 1 11 3 3 a x ， 2 11 3 3 a x . ( )f x在 11 3 (,) 3 a ， 11 3 (,) 3 a 单调递增，在 11 311 3 (,) 33 aa 单 调递减，综上所述：当 1 3 a 时，( )f x在R上单调递增；当 1 3 a 时，( )f x在 11 311 3 (,) 33 aa 单调递减. （2）设可原点切线的切点为 32
17、( ,1)t ttat，切线斜率 2 ( )32kf ttta.又 32 1ttat k t ，可得 32 2 1 32 ttat tta t .化简得 2 (1)(21)0ttt ，即 1t .切点为(1,1)a，斜率1ka，切线方程为(1)yax，将(1)yax， 32 1yxxax联立可得 32 1(1)xxaxax ，化简得 2 (1) (1)0 xx，解得 1 1x ， 2 1x .过原点的切线与( )yf x公共点坐标为(1,1)a，( 1,1)a . 22.在直角坐标系xOy中，C的圆心为)(2,1C，半径为1. （1）写出C的一个参数方程; （2）过点)(4,1F作C的两条切线
18、.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系， 求这两条切线的极坐标方程. 答案： 见解析 解析： （1）C的参数方程为 2cos 1sin x y （为参数） （2）C的方程为 22 (2)(1)1xy 当直线斜率不存在时，直线方程为4x ，此时圆心到直线距离为2r，舍去； 当直线斜率存在时，设直线方程为1(4)yk x ，化简为410kxyk ， 此时圆心(2,1)C到直线的距离为 2 |2141| 1 1 kk dr k ， 化简得 2 2|1kk， 两边平方有 22 41kk，所以 3 3 k 代入直线方程并化简得3340 xy或3340 xy化为极坐标方程为 5 cos3 sin4
19、3sin()43 6 或cos3 sin43sin()43 6 . 23.已知函数( ) |3|f xxax. （1）当1a 时，求不等式( )6f x 的解集； （2）若( )f xa ，求a的取值范围. 答案： 见解析 解析： 当1a 时，( )6|1|3| 6f xxx， 当3x 时，不等式136xx ，解得4x ； 当31x 时，不等式136xx ，解得x； 当1x 时，不等式136xx ，解得2x . 综上，原不等式的解集为(, 42,) . （2）若( )f xa ，即 min ( )f xa ， 因为( ) |3| |()(3)| |3|f xxaxxaxa（当且仅当()(3)0 xa x时， 等号成立） ，所以 min ( )|3|f xa，所以|3|aa ，即3aa或3aa ，解得 3 (,) 2 a .
