1、现代控制理论三级项目报告现代控制理论三级项目报告 题目：一级倒立摆控制系统设计 姓名：刘然 学号：160103010258 专业：过程控制 4 班 指导教师：吴忠强 分数： 2019 年年 4 月月 一级倒立摆控制系统设计一级倒立摆控制系统设计 倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。对于 倒立摆系统的控制研究长期以来被认为是控制理论及其应用领域里引起人们极 大兴趣的问题，倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统。 研究倒立摆控制能有效地反映控制中的许多问题， 倒立摆研究具有重要的理论价 值和应用价值，理论上,它是检验各种新的控制理论和方法的有效实验装置。应
2、 用上,倒立摆广泛应用于控制理论研究!航空航天控制，机器人、杂技顶杆表演等 领域,在自动化领域中具有重要的价值。 另外,由于此装置成本低廉,结构简单,便于 用模拟、数字等不同方式控制,在控制理论教学和科研中也有很多应用。 本文中,以一级倒立摆为研究对象,对它的起摆以及稳定控制做了研究，主要 工作如下: 1.首先介绍了倒立摆系统的组成和控制原理,建立了一级倒立摆的数学模型, 对倒立摆系统进行定性分析,说明在平衡点是能控的。 2.分析了倒立摆的起摆过程,对倒立摆的起摆能量反馈控制进行分析与说明。 3.在 matlab2018a 的 simulink 库下对倒立摆构造单级倒立摆状态反馈控制系 统的仿
3、真模型。 4.对这次仿真的总结。 一、倒立摆的控制目标一、倒立摆的控制目标 倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置， 并且使之没有大的 振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保 持稳定的位置。 二、建立单级倒立摆系统的状态空间模型二、建立单级倒立摆系统的状态空间模型 其中，质量为 M 的小车在水平方向滑动，质量为 m 的球连在长度为 L 的刚 性摆一端，x 表示小车的位移，u 是作用在小车上的力，通过移动小车使带有小 球的摆杆始终处于垂直的位置。为了简单起见，假设小车和摆仅在一个平面内运 动，且不考虑摩擦、摆杆的质量和空气阻力。如图 1 图 1 设系统的
4、动态特性可以用小车的位移和速度及杆偏离垂线的角度和角速度 来描述。设小车位移为 x，则小球中心位置是lsinx 在水平方向，应用牛顿第二定律： 22 22 d xd (xsin) dd Mmlu tt 在垂直于摆杆方向，应用牛顿第二定律： 2 2 d (xsin)sin d mlmg t 求微分方程得： )(cos)(sin d d t cos)sin()(sin d d 2 2 2 t )sin()(cos d d t )sin()cos()(cos d d 2 2 2 t 化简得 umlymM ) ( mgmlym 线性化：当和较小时 ，有 和 较小时 ，有 0 1cos s in 化简得
5、 u MM mg y 1 u MlMl gmM1)( 选择状态变量 小车的位移、小车的速度、小车的角度、小车的角速度分别为 xsinl . 4 3 . 2 1 x x yx yx u 为输入，y 为系统的输出 ; 0 1 000 1000 000 0010 1 1 4 3 2 1 )( 4 3 2 1 u x x x x x x x x Ml M Ml gmM M mg 4 3 2 1 0001 x x x x y 模拟结构图为 采用 MATLAB/Simulink 构造单级倒立摆系统的仿真模型，如下图所示。 然后运行仿真程序，得到仿真曲线如下图 左为角度仿真曲线，右为位移仿真曲线，可见一阶倒
6、立摆系统不稳定。 三、三、单级倒立摆系统的极点配置单级倒立摆系统的极点配置 1. 状态反馈系统的极点配置及状态反馈系统的极点配置及 Simulink 仿真仿真 取适当的参数 M小车质量0.1 Kg m小球质量0.01Kg l摆杆的长度1m u加在小车上的力 y小车位移 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下 g重力加速度为10g/ 2 s 将参数代入后得到新的矩阵 u x x x x x x x x 1 0 1 0 01100 1000 0100 0010 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 0001 x x x x y 接下来使用 matlab 和线性系统的能控性
7、判据，通过是否为满秩来判断能控 性 根据判别系统能控性的定理，该系统的能控性矩阵满秩，所以该系统是能控 的。因为系统是能控的，所以，可以通过状态反馈来任意配置极点。 不失一般性，不妨将极点配置在 6 1 s ; 5 . 6 2 s ; 7 3 s ; 5 . 7 4 s 在 matlab 下输入命令 得到状态反馈矩阵为 175.1495 .488175.12275.204K 采用 MATLAB/Simulink 构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型，如下图所示。 首先，在 MATLAB 的 Command Window 中输入各个矩阵的值，并且在模型中的积分器 中设置非零初值（这里我们设置为0 0 0.1 0）。然后运行仿真程序。 得到的仿真曲线 从仿真结果可以看出，可以将倒立摆的杆子与竖直方向的偏角控制在=0 （即小球和杆子被控制保持在竖直倒立状态），另外说明下紫线代表位移，红线 代表角度。 2. 总结总结 由仿真结果对比可知，一阶倒立摆是一个绝对不稳定系统，但是通过状态反 馈配置极点可使倒立摆稳定 。
