1、线性方程组练习题 一、选择题 . x 1 x 2 x 3 0 1.若齐次线性方程组x 1 x 2 x 3 0 有非零解,则（）. x 1 x 2 x 3 0 A.1 或 2B.1或2C.1或2D.1或 2. 2. 设 A是 s n矩 阵 ， 则 齐 次 线 性 方 程 组 Ax0 有 非 零 解 的 充 分 必 要 条 件 是 (). A. A 的 行 向 量 组 线 性 无 关B. A 的 列 向 量 组 线 性 无 关 C. A 的 行 向 量 组 线 性 相 关D. A 的 列 向 量 组 线 性 相 关 3.设 , 均为 n 维向量，则下列结论中正确的是（）.A 12m A.若对任一组
2、不全为零的数k1,k2,km,都有 k1 1k22kmm0， 则 , 线性无关 . 12m B.若1, 2,m线性相关，则对任意一组不全为零的数k1,k2,km，都 有 k1 1k22kmm0 . C.若 k1 1k22kmm0，则, 线性相关 . 12m D.若向量组 1,2,mm3 中任意两个向量都不成比例，则1,2,m线性 无关. 4.向量11, 1,1 TTT ，22,k,0，3k,2,1， k为（）时，向量组 1， 2，3线性相关.D A.k3 且 k2B.k2C.k3D. k3 或 k2 5. 向量组 1,（ s2）线性无关的充分必要条件是（）.( D ) 2s A. 1, 2 s
3、均不为零向量 B. 1, 2 s中任意两个不成比例 C. 1,中任意 s1 个向量线性无关 2s D. 1,中任意一个向量均不能用其余s1 个向量线性表示 2s 6.齐次线性方程组Ax0 解的情况是（）. 3 55 A.无解 B. 仅有零解C. 必有非零解D. 可能有非零解，也可能没有非零解 7.设 n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩R(A)n3，且 1,2,3为此方程组的 三个线性无关的解，则此方程组的基础解系是（）. A. 1, 22, 33 12 2B. 1 2, 2 3, 31 C. 1-22, -221,3322D.2142, -22+3,1 3 8.要使 T 1(1,0,2) ，
4、T 2(0,1,1) 都是线性方程组 Ax0 的解，只要 A为 （）. A. ( 2 1 1)；B. 20 1 01 1 ； 102 011 ；D. 011 422 011 C. 9.已知 1,2是 Axb 的两个不同的解，1,2是相应的齐次方程组Ax0 的基 础解系， k1,k2为任意常数，则 Axb 的通解是（）. A. k1k2()B.k1k2() C.k1k2()D.k1k2() 10.设 n 阶矩阵 A的伴随矩阵 * A0 若 1,2,3,4是非齐次线性方程组Ax= b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax= 0 的基础解系是（）. A.不存在B.仅含一个非零解向量 C.含有两
5、个线性无关的解向量；D. 含有三个线性无关的解向量 11.设有齐次线性方程组Ax = 0 和 Bx = 0，其中 A ， B 均为 m n 矩阵，现有 4 个命题： 若 Ax = 0 的解均是 Bx = 0的解，则 R(A)R(B) 若 R(A)R(B)，则 Ax= 0 的解均是 Bx = 0的解 若 Ax = 0 与 Bx = 0同解，则 R(A)R(B) 若 R(A)R(B)，则 Ax= 0 与 Bx = 0同解 以上命题正确的是（）. A. ，B.，C.，D.， 12.设 A是 m n 矩阵， B 是 n m 矩阵，则线性方程组AB x0 （）. A.当 nm时仅有零解B.当 nm时必有
6、非零解 C.当 mn时仅有零解D. 当 mn 时必有非零解 13.设 A是 n 阶矩阵，是 n 维列向量若秩 A T0 秩 A ，则线性方程组 （）. A. Ax必有无穷多解B.Ax必有惟一解 C. Ax T0y 0仅有零解D. Ax T0y 0必有非零解 T 14.已知 4 3 矩阵 A 的列向量组线性无关，则r(A )（）. A.1B.2C.3D.4 15.设 1,为齐次线性方程组Ax0 的一个基础解系，则下列可作为该 方 程 23 组基础解系的是（）. A. 1,B. 1 2,23, 31 212 C. 1,2,1 2D.1 2,23,3 1 16.已知 34 矩阵A 的行向量组线 性
7、无 关 ， 则秩（A T）等于（ ）. A.1B.2C.3D.4 17.设两个向量组1，2，s和1，2，s均线性相关，则（）. A. 有不全为0 的数1，2， s使11+22+ss=0和11+2 2+ss=0 B. 有不全为0 的数1，2，s使1（1+1）+2（2+2）+s（ s+s）=0 C. 有不全为0的数1，2， s使1（1- 1）+2（2- 2）+s （s- s）=0 D.有不全为0 的数1，2，s和不全为0的数1，2，s使 11+22+ss=0和11+22+ss=0 18.设矩阵A 的秩为r，则A 中（）. A.所有 r- 1 阶子式都不为0B.所有 r- 1 阶子式全为0 C.至少
8、有一个 r 阶子式不等于 0D.所有 r 阶子式都不为0 19.设Ax=b 是一非齐次线性方程组， 1，2是其任意 2个解，则下列结论错误 的是（）. A. 1+2是 Ax=0 的一个解B. 1 2 1+ 1 2 2是 Ax=b 的一个解 C. 1-2是 Ax=0 的一个解D.21-2是 Ax=b 的一个解 20.设n 阶方阵A 不可逆，则必有（）. A. 秩(A)0B.r Ar AC.r Ar ABD.rAn 25.n 元线性方程组 AX=b 有解的充要条件为（）. A. R(A)R(A,b)B.R(A)R(A,b)n C.R(A)R(A,b)nD.R(A)R(A,b)n 26.向量组 T,
9、 (0,1,0) T 1(1,0,0)2，下列向量中可以由 1,2线性表出的是 （）. A T (1,2,3)B T (0,2,3)C T (1,0,3)D T (1,2,0) 27.设向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则（）. A R(B)R(A)B R(B)R(A) C R(B)R(A)D R(B)R(A) 28.设A为 mn 矩阵，则有（）. A若 mn，则 Axb 有无穷多解 B若 mn，则 Ax0 有非零解，且基础解系含有nm个线性无关解向量 C若A有 n 阶子式不为零，则Axb 有唯一解 D若A有 n 阶子式不为零，则Ax0 仅有零解 29.设、 是对应非齐次方程组Ax=b的解
10、， 是对应齐次方程组的解， 则 Ax b 一定有一个解是（）. A.+B.-C.+D. 12 12 33 30.1，是 n元非齐次方程组 Axb的两个不同的解，且 r(A)n 1, 则 2 Ax0的通解为（）. A. k 1(kR)B.k2(kR) C. k( 1) (kR)D.k(12) (kR) 2 二、填空题. 1. 设向量=(1, 2, 0,4) T, =(3，1，-1，7) T，向量 满足 2-= , 则=_. 2.已知向量=(1,2, 4,0) T, =(-3 ，2，6，2) T ，向量满足 3+2 = , 则=. 3.向量组=(1, -2, 3) T, =(2，-4，a) T 线
11、性相关，则 a. 4.向量组 TTTT 11,0,1 ,2(2,1,0) , 3(0,1,1) ,4(1,1,1) 则向量线 性. 5.当 t_时，向量组 (2,3,t),(1,2,3),(3, 1,2)线性相关. 6.设向量组 T, (1,2,a)T,(2,1, 1)T 1(1, 1,3)23线性相关，则 a. 7.设向量组 T 1(1,0,0) , T 2(0,1,0) , 则向量组 1,2的秩是. 8.矩阵 1 0 0 1 1 0 1 1 1 的秩等于_. 9.若 R 1,2,3, 44，则向量组 1,2,3是线性_. 1102 10.已知矩阵 A0011 的秩 r(A)=2，则 a_.
12、 000a 1102 11.已知矩阵 A0021的秩 r(A)=2，则 a_. 00a1a 12.若齐次线性方程组 3xx0 12 6xx0 12 有非零解，则. 13.当_时候， n元线性方程组 Ax0 有非零解，这里 A 是 n阶方阵. 14.设 1，是非齐次线性方程组Axb的解向量，则 1 2是方程组_ 2 的解向量 . 15.方程组 x 1 x 2 x 2 x 3 0 0 的基础解系是. a11x 1 0 16.设齐次线性方程组 1a1 x0 2 的基础解系含有 2个解向量，则 11ax 3 0 a. 17.设向量（ 2，-3，5）与向量（ -4，6，a）线性相关，则 a=. 18.设
13、 A 是 3 4 矩阵，其秩为 3，若1，2为非齐次线性方程组Ax=b 的 2 个不 同的解，则它的通解为. 19. 设 A 是 m n矩阵，A 的秩为 r(n) ，则齐次线性方程组Ax=0 的一个基础解 系中含有解的个数为. 20.设齐次线性方程组A0，其系数矩阵的秩 r(A)=2,则方程组的基础 3X 441 解系包含 _个线性无关的解向量 . 21.有三维列向两组 1 100，2 1 10，3 1 1 1， 123，且有1122 3 3，1_ ，2_，3_ 22.若 n个 n 维列向量线性无关，则由此 n个向量构成的矩阵必是_ 矩阵. 23.若向量组11,1,3 , 22,4,5 ,31
14、, 1,0 , 42,2,6 ,则此向量组的秩 是 _，一个极大无关组是_. 24.已知向量组11,2, 1,1 , 22,0,t,0 ,30, 4,5, 2 的秩为 2，则 t _. 25.当方程的个数等于未知数的个数时，Axb 有惟一解的充分必要条件 是 xxa, 121 26.线性方程组 xxa 232 xxa 343 , , 有解的充分必要条件是 xxa 414 27.设 n 阶方阵 A的各行元素之和均为零， 且 R(A)n 1，则线性方程组 Ax0的 通解为 28.设 A为 n 阶方阵， |A| 0，且a 的代数余子式 Akj0（其中， 1kn； kj j1,2,n），则 Ax0 的
15、通解 111x1 1 aaax 12n2 1 29.设 222 Aaaa, xx, b1 ，其中， 12n3 n 1n 1n 1 aaax 12nn 1 aa(ij; i, j1,2,n) ，则非齐次线性方程组 ij T A xb 的解是 x a11x1 1 30.设方程1a1x1 2 11ax2 3 有无穷多个解，则 a 三、判断题. 1.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合. （） 2. 向量组 a1，a2， ，am中，如果a 与 1 a 对应的分量成比例，则向量组 m a1，a2， ，a 线性相关.（） s 3.若=0 时，则向量组线性无关. （） 4若向量组与均线性无关，则，线性
16、无关. （） 5.方程个数小于未知量个数的线性方程组必有无穷解.（） 6.同秩的两个向量组未必等价. （） 7.向量组中某向量能被其余向量表示，则去掉它不影响它的秩 .（） 8.向 量 组 中 某 向 量 不 能 被 其 余 向 量 表 示 ， 则 去 掉 它 后 向 量 组 的 秩 必 改 变. （） 9.3 个未知量， 5 个方程组成的方程组中，必有一个方程能被其余的方程线性表 示.（） 10.不同秩的两个向量组必不等价.（） 11.向量组的向量各加一个分量，其秩不变.（） 12.方程组中自由未知量是唯一确定的.（） 13.向量组 a1,a2,as与 a1,a2,as 1等价，则向量组 a
17、1,a2,as线性相关 .（） 14.设 1,2是齐次线性方程组AX=0 的基础解系，则 1 2, 312也是 AX=0 的 基础解.（） 15用列初等变换可以求解线性方程组，也可以用行初等变换求解线性方程组. （）. 16若 A 为 6阶方阵，齐次线性方程组AX=0的基础解系中解向量的个数为2， 则 R(A)=2. （） 17.若 n 维向量1,2线性相关，则必定 1,2的对应元素成比例 .（） 18.设 A是 m n 矩阵，如果 A的 m 个行向量线性无关，则r(A)=m.（） 19.设 A是 m n 矩阵，如果 A的 m 个行向量线性无关，则r(A)m. （） 20.设 1,是齐次线性方
18、程组AX0 的解，那么 1 2也是该方程组 AX0 的 2 解.（） 21.设 1,是非齐次线性方程组AXb 的解，那么 1 2也是该方程组 AXb 2 的解.（） 22.对于任意的矩阵 A，一定有 T （r A） （r A ） .（） 23.向量组 1,2,3中，任意两个向量均线性无关，则1,2,3线性无关 . （） 24.设 A 是 m n 矩阵，如果 A 的 n 个列向量线性无关，则r(A)n. （） 25，设 1,2是 n 维向量，且 11 2, 22 12, 33 152，则 1,2,3必线性相关 . （） 26.设 Ax0是 Axb 的导出组，其中 A是 mn 矩阵，若 r( A)
19、m ， 则 Axb 有解.（） 请举例说明下面（ 27-30 题）各命题是错误的 . 27.若向量组a ,a ,a 1是线性相关的 ,则a1可由a2,am,线性表示. 2m 28.若有不全为 0 的数, 1使 2m 1amambmbm 11 1 0 成立, 则 a1,am线性相关,b1,bm亦线性相关 . 29.若只有当, 1全为 0时, 等式 2m 1amambmbm 11 1 0 才能成立 ,则a1,a 线性无关, b1,bm亦线性无关 . m 30.若a1,am线性相关,b1,bm亦线性相关 ,则有不全为 0 的数, 1使 1a1mam0,1b1mbm0同时成立. , 2m 四、解答题.
20、 1.求下列矩阵的秩 ,并求一个最高阶非零子式. 310232131 112121313 (1);(2) ； 134470518 21837 (3) 2 3 3 2 0 5 7 8 5 0 . 10320 2.把下列矩阵化为行最简形矩阵. 10210231 20310343 (1);(2); 30430471 1134323137 (3)3 2 3 2 5 3 4 2 1 0 ; (4) 1 3 2 2 0 8 2 3 4 0 . 3342123743 3.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组. 2531174311221 (1)75 75 94 94 53 54 132 134
21、 ; (2) 0 2 2 0 1 3 5 1 1 3 . 2532204811041 4.求下列向量组的秩 ,并求一个最大无关组 . 192 (1) 2 a, 1 1 100 a, 2 10 4 a; 3 2 448 TTT (2)a(1,2,1,3),a2(4, 1, 5, 6),a3(1, 3, 4, 7). 1 5.求解下列齐次线性方程组 . x 1 x 2 2x 3 x 4 0, x 1 2x 2 x 3 x 4 0, (1)2x 1 x 2 x 3 x 0, 4 (2)3x 1 6x 2 x 3 3x 4 0, 2x 1 2x 2 x 3 2x 4 0; 5x 1 10 x 2 x
22、3 5x 4 0; 2x 1 3x 2 x 3 5x 4 0, 3x 1 4x 2 5x 3 7x 4 0, (3) 3x 1 4x 1 x 2 x 2 2x 3 3x 3 7 x 4 6x 4 0, 0, (4) 2x 1 4x 1 3x 2 11x 2 3x 3 13x 3 2x 0, 4 16x 4 0, x 12x24x37x40;7x12x2x33x40. 6求解下列非齐次线性方程组. (1) 4x 1 3x 1 11x 1 2 x 2 x 2 1x 2 3 x 3 2x 3 8; 2, 1 0, (2) 2 x 3 4 x x x 3 y 2y 8y y z 4z 2z 9z 4,
23、 5, 1 3, 6; 2xyzw1,2xyzw1, 4x2y2zw2,3x2yz3w4,(3) (4) 2xyzw1;x4y3z5w2; 7取何值时, 非齐次线性方程组 x 1 x 2 x 3 1, x 1 x 2 x 3 , x 1 x 2 x 3 2 (1) 有唯一解； (2) 无解；(3) 有无穷多个解 ? 8非齐次线性方程组 2x 1 x 2 x 3 2, x 1 2x 2 x 3 ,当取何值时有解？并求出它的解 x 1 x 2 2x 3 2 (2)x 1 2x 2 2x 3 1, 9.设2x 1 (5)x 2 4x 3 2, 2x 1 4 x(5 2 ) x 3 1, 问为何值时,
24、此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解 时求解 x2xx1 123 10.讨论 a,b 取何值时，非齐次线性方程组3xx3x2 123 2xxaxb 123 （1）有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解. 11求下列齐次线性方程组的基础解系. x 1 8x 2 10 x 3 2x 4 0 2x 1 3x 2 2x 3 x 4 0 (1)2x 1 4x 2 5x 3 x 4 0 (2)3x 1 5x 2 4x 3 2x 4 0 3x 1 8x 2 6x 3 2x 4 08x 1 7 x 2 6x 3 3 x 4 0 (3)(1)20 nx1nxxnxn. 21 12设 2213 A,
25、求一个42矩阵B,使AB0,且R(B)2. 9528 13求一个齐次线性方程组 ,使它的基础解系为 : T (0,1,2,3) 1. 1 14设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知 1,2,3是它 的三个解向量且 21 3 1， 4 2 2，求该方程组的通解 3 3 54 15求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系. x 1 x 2 5,x 1 5x 2 2x 3 3x 4 11, (1)2x 1 x 2 x 3 2x 4 1,(2)5x 1 3x 2 6x 3 x 41, 5x 1 3x 2 2x 3 2x 4 3;2x 1 4x 2 2x 3 x 4 6. 五、
26、证明题. 1设b 1aa ,baa ,baa ,baa, 证明向量组 12223334441 b1,b ,b ,b 线性相关. 234 2设b 1a1,b2a1a2,bra1a2a ,且向量组 r a1,a2,a 线性无关,证明向量组b1,b2, ,br线性无关. r 3设是非齐次线性方程组Axb的一个解, 1是对应的齐 n r 次线性方程组的一个基础解系,证明: (1), 1,n r线性无关； (2), 1, n r线性无关. 4. 设 1,s是非齐次线性方程组Axb 的 s 个解，k1, ,ks为实数，满足 k1kks1.试证明xk11k22ks s也是它的解 . 2 5. 设非齐次线性方
27、程组Axb 的系数矩阵的秩为 r ， 1,n r 是它的 1 nr1个线性无关的解 (由题 24 知它确有nr1个线性无关的解 )试证 它 的 任 一 解 可 表 示 为 xk11k22kn r1n r 1 （ 其 中 k1kn r1）. 1 第三章线性方程组 一、选择题. 1.C2.D3.A4.D5.D 6.C7.A8.A9.B10.B 11.B12.D13.D14.C15.B. 16.C17.D18.C19.A20.A 21.C22.C23.B24.B25.A 26.D27.D28.D29.D30.D 二、填空题. 1.(-1,3,1,1) T2.(-3,-2,-3,1) T3. 64.相
28、关5. 5 6.-47.28.39.无关10.011.2 1 12.213.A014.Ax015.1 16.117.-10 1 18.1+c(2- 1)（或2+c(2- 1)） ， c 为任意常数19.n-r20. 2 21.1，1，322.可逆23.3;,24.3 1,23 25| A| 026.a4a3a2a10 1 27. 1 T xkk(1,1,1) ，k 为任意常数 1 28. T xc A1,A2,A，其中 c 为任意常数 kkkn 29. T x(1,0,0,0) 30.-2 部分题详解： 25.解 因为 R(A)R(Ab )n 是 Axb 有惟一解的充要条件 故由 R(A)n
29、可 得|A| 0 26.解 对方程组的增广矩阵施行初等行变换 1100a 1 1100a 1 BAb 0110 0011 a 2 a 3 0110 0011 a 2 a 3 1001a 4 0000aaaa 4123 所以方程组有解的充要条件是R(A)R(B)，即a4a3a2a10 1 27.解 令 1 x，显然 x 满足方程组，又因为R(A)n 1，所以 nR(A)1， 1 1 即方程组的基础解系中有一个向量，通解为 1 T xkk(1,1,1) ，k 为任意常 1 数 28.解 因为 A0，又 A0，所以 R(A)n 1，并且有 kj a Aa Aa A i1k1i2k 2inkn 0,i
30、k; |A| 0, ik 所以 T A1, A2, A是方程组的解，又因为R(A)n 1，可知方程组的通解为 kkkn T xc A1,A2,A，其中 c 为任意常数 kkkn 29.解 T x(1,0,0,0) 30. -2 三、判断题. 1. 2. 3. 4 5. 6. 7.8.9. 10. 11. 12. 13. 14. 15 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 请举例说明下面（ 27-30 题）各命题是错误的 . 27.若向量组a1,a2,a 是线性相关的,则 a1可由a2,am,线性表示. m 28.若有不全为 0 的数, 1使 2
31、m 1amambmbm 11 1 0 成立,则 a1,a 线性相关, b1,bm亦线性相关 . m 29.若只有当, 1全为 0时, 等式 2m 1amambmbm 11 1 0 才能成立 ,则a1,a 线性无关, b1,bm亦线性无关 . m 30.若 a1,a 线性相关, b1,bm亦线性相关 , 则有不全为 0 的数, m 1使 1a1mam0,1b1mbm0 , 2m 同时成立 . 解 (1) 设 a1e(1,0,0,0) 1 a2aam 3 0 满足a1,a2, ,am线性相关, 但 a1不能由a2,am,线性表示. (2)有不全为零的数, 1使 2m 1amambmbm 11 1
32、0 原式可化为()()0 1abmambm 11 取 a1e1b1,a2e2b2,amembm 其中e1, ,em为单位向量 ,则上式成立 ,而a1,am,b1,bm均线性相关 . (3)由0 1amambmbm ( 仅当1m0) 11 1 a1b1,a2b2,amb 线性无关 m 取0 a1aam 2 取 b1,bm为线性无关组 满足以上条件 ,但不能说是a ,a ,a 1线性无关的 . 2m (4) T a(1,0) 1 T a(2,0) 2 T b(0,3) 1 T b(0,4) 2 a 11 a 22 02 12 b 11 b 22 0 1 3 4 2 0 1与题设矛盾 . 2 四、解
33、答题. 1.求下列矩阵的秩 ,并求一个最高阶非零子式. 310232131 112121313 (1);(2) ； 134470518 21837 (3) 2 3 3 2 0 5 7 8 5 0 . 10320 解 (1) 3 1 1 1 0 2 2 1 rr 1 21 3 1 1 2 0 1 2 13441344 r 3r 2 1 r r 3 1 1 0 0 1 4 4 2 6 6 1 5 5 r r 3 2 1 0 0 1 4 0 2 6 0 1 5 0 秩为 2 31 二阶子式4 11 (2) 3 2 7 2 1 0 1 3 5 3 1 1 2 3 8 r r 1 2 2 r r 2 1
34、 7 r r 3 1 1 0 0 3 7 21 4 11 33 4 9 27 1 5 15 13441 32 r.二阶子式7 307119523 r秩为 2 21 00000 (3) 2 2 3 1 3 2 8 0 5 3 7 8 7 5 0 r 1 r 2 2r 4 2r 4 0 0 0 1 3 2 2 6 4 1 3 2 7 5 0 10320 r 3 3r 4 10320 r 2 r 3 3r 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 7 16 14 r 1 r 4 r 3 r 2 r 1 14 1 0 0 0 1 0 3 2 0 2 1 0 0 7 1 2r 1 秩为 3 1
35、0320 r 4 16 00000 r 4 r 3 075 58 三阶子式5 805700 32 320 2.把下列矩阵化为行最简形矩阵. 10210231 20310343 (1);(2); 30430471 1134323137 (3)3 2 3 2 5 3 4 2 1 0 ; (4) 1 3 2 2 0 8 2 3 4 0 . 3342123743 1021r( 2 2) r10 2 1 1 解:(1)2 3 0 0 3 4 1 3 r 3 ( 3)r1 0 0 0 0 1 2 3 0 r 2 r 3 ( ( 1) 2) 1021r3r2 0013 0010 1 0 0 0 0 0 2
36、1 0 1 3 3 r 3 31021r23r31021 00130010 00010001 r1( 2)r 2 rr 13 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0231r2 2 ( 3)r0 2 1 31 (2)0 0 3 4 4 7 3 1 r 3 ( 2)r 1 0 0 0 0 1 1 3 3 r 3 r 1 r 2 3r 2 02010r12 0013 0000 0 0 0 1 0 0 0 1 0 5 3 0 (3) 1 3 2 1 3 2 3 5 3 4 4 2 3 1 0 r 2 r 3 3r 1 2r 1 1 0 0 1 0 0 3 4 3 4 8 6 3 8 6 3
37、3421 r 4 3r 1 005 1010 r 2 r 3 ( ( 4) 3) 1 0 0 1 0 0 3 1 1 4 2 2 3 2 2 r13r 2 rr 32 1 0 0 1 0 0 0 1 0 2 2 0 3 2 0 r 4 ( 5) 0 0 1 2 2 r 4 r 2 00000 (4) 2 1 3 3 2 2 1 0 8 3 2 3 7 4 0 r 1 r 3 2r 2 3r 2 0 1 0 1 2 8 1 0 8 1 2 9 1 4 12 23743 r 4 2r 2 077811 r 2 r 3 2r 1 8r 1 0 1 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 1 2 4
38、r 1 r 2 ( r 2 1) 1 0 0 0 1 0 2 1 0 0 1 1 2 1 4 r 4 7r 1 0 0 01 4 r 4 r 3 00000 rr 23 1 0 0 0 1 0 2 1 0 0 0 1 2 3 4 00000 3. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组. 2531174311221 (1)75 75 94 94 53 54 132 134 ; (2) 0 2 2 0 1 3 5 1 1 3 . 2532204811041 253117432531 1743 解 (1) 75 75 25 94 94 32 53 54 20 132 134 48 r
39、2 r r 3 4 3r 1 3r 1 r 1 0 0 0 1 1 1 2 3 3 3 5 5 r 4 r 3 r 3 r 2 25 0 0 31 1 0 17 2 1 43 3 3 0000 所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组 . 1122111221 (2)0 2 2 0 1 3 5 1 1 3 r32r 1 r 4 r 1 0 0 2 2 1 1 5 5 1 1 1104100222 11221 r 3 r 3 r 2 r 4 0 0 2 0 1 2 5 2 1 2 ， 00000 所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组 4.求下列向量组的秩 ,并求一个最大无关组 . 192 (
40、1) 2 a, 1 1 100 a, 2 10 4 a; 3 2 448 TTT (2)a(1,2,1,3),a2(4, 1, 5, 6),a3(1, 3, 4, 7). 1 解(1)2a1a3a1,a3线性相关. T a 1 12141214 由 T 2 a 91001040821932 T 3 a 24280000 秩为 2, 一组最大线性无关组为 a1,a2. T 1 a 12131213 (2) T 2 a 415609918 T 3 a 134705510 1213 09918 0000 秩为 2, 最大线性无关组为a1,2. T a T a T 5.求解下列齐次线性方程组 . x
41、1 x 2 2x 3 x 4 0, x 1 2x 2 x 3 x 4 0, (1)2x 1 x 2 x 3 x 4 0,(2)3x 1 6x 2 x 3 3x 40, 2x 1 2x 2 x 3 2x 4 0; 5x 1 10 x 2 x 3 5x 4 0; 2x 1 3x 2 x 3 5x 4 0,3x 1 4x 2 5x 3 7x 4 0, (3) 3x 1 4x 1 x 2 x 2 2x 3 3x 3 7 x 4 6x 4 0, 0, (4) 2x 1 4x 1 3x 2 11x 2 3x 3 13x 3 2x 0, 4 16x 4 0, x 12x24x37x40;7x12x2x33x
42、40. 解(1) 对系数矩阵实施行变换 : 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 10 1 0 0131即得 4 001 3 x 1 x 2 x 3 4 x 4 3 3 4 3 x 4 x 4 x 4 x 4 故方程组的解为 x 1 x 2 x 3 k 4 3 3 4 x 4 3 1 (2) 对系数矩阵实施行变换 : 1 3 5 2 6 10 1 1 1 1 3 5 1 2 0 x 1 x 2 x 3 2x 2 x 2 0 x x 4 0 0 1 0 即得 0010 0 x 4 4 x 1 21 故方程组的解为 x 2 x 3 k 1 1 0 k 2 0 0 x 4 01 (3) 对
43、系数矩阵实施行变换 : 23151000 x 1 0 3 4 1 1 2 3 7 6 0100 即得 0010 x 2 x 3 0 0 12470001x 4 0 x 1 0 故方程组的解为 x 2 x 3 0 0 x 4 0 (4) 对系数矩阵实施行变换 : 3 2 4 7 4 3 11 2 5 3 13 1 7 2 16 3 1 0 0 0 0 1 0 0 3 17 19 17 0 0 13 17 20 17 0 0 x 1 3 17 x 3 13 17 x 4 即得 x 2 19 17 x 3 20 17 x 4 x 3 x 3 x 4 x 4 故方程组的解为 x 1 x 2 x 3 x
44、 4 k 1 3 17 19 17 1 0 k 2 13 17 20 17 0 1 6求解下列非齐次线性方程组. (1) 4x 1 3x 1 11x 1 2 x 2 x 2 1x 2 3 x 3 2x 3 8; 2, 1 0, (2) 2 x 3 4 x x x 3 y 2y 8y y z 4z 2z 9z 4, 5, 1 3, 6; 2xyzw1,2xyzw1, 4x2y2zw2,3x2yz3w4,(3) (4) 2xyzw1;x4y3z5w2; 解(1) 对系数的增广矩阵施行行变换, 有 42121338 312100101134 113080006 R(A)2而R(B)3,故方程组无解
45、(2) 对系数的增广矩阵施行行变换: 23141021 1 3 2 8 4 2 5 13 0 0 1 0 1 0 2 0 41960000 x2z1x21 yz2yk12即 得亦即 zzz10 (3) 对系数的增广矩阵施行行变换: 2111121111 4221200010 2111100000 即 得 x y z w y z 0 1 2y 1 2z 1 2 即 x y z w 1 2 1 k1k 2 0 0 1 2 0 1 0 1 2 0 0 0 (4) 对系数的增广矩阵施行行变换: 2 3 1 1 2 4 1 1 3 1 3 5 1 4 2 1 0 0 4 1 0 3 5 7 0 5 9
46、7 0 2 5 7 0 1 0 0 0 1 0 1 7 5 7 0 1 7 9 7 0 6 7 5 7 0 即 得 x y z w 1 z 7 5 z 7 z w 1 7 9 7 w w 6 7 5 7 即 x y z w 1 7 5 k1k 7 2 1 0 1 7 9 7 0 1 6 7 5 7 0 0 7取何值时, 非齐次线性方程组 x 1 x 2 x 3 1, x 1 x 2 x 3 , x 1 x 2 x 3 2 (1) 有唯一解； (2) 无解；(3) 有无穷多个解 ? 11 解(1)110, 即1, 2时方程组有唯一解 . 11 (2)R(A)R(B) 2 11111 B11011
47、(1) 22 1100(1)(2)(1)(1) 2 由(1)(2)0,(1)(1)0 得2时,方程组无解 . 2, (3)R(A)R(B)3,由(1)(2)(1)(1)0 得1 时,方程组有无穷多个解 . 8非齐次线性方程组 2x 1 x 2 x 3 2, x 1 2x 2 x 3 ,当取何值时有解？并求出它的解 x 1 x 2 2x 3 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 0 0 2 1 0 1 1 0( 2 3 ( 1)( B1) 解 2) 方程组有解，须(1)(2)0得1,2 x 1 11 当1时,方程组解为x 2 k 10 x 3 10 x 1 12 当2时,方程组解为
48、x 2 k 12 x 3 10 (2) x 1 2 x 2 2x 3 1, 9设2x 1 (5) x 2 4x 3 2, 2x 1 4x 2 (5)x 3 1, 问为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解 时求解 2221 2542 解 2451 初等行 变换 1 0 0 5 1 2 0(1 2 1 )(10 2 )(1 1 1 )(4 2 ) 2 (1) (10) 当A0,即0 2 1且10时，有唯一解 . (1)(10) 当0 2 (1)(4) 且0 2 ，即10时，无解 . (1)(10) 当0 2 (1)(4) 且0 2 ，即1时，有无穷多解 . 1221 0000
49、 此时，增广矩阵为 0000 x 1 221 原方程组的解为x 2 k 1 1k0 2 0(k1,kR) 2 x 3 010 x2xx1 123 10.讨论 a,b 取何值时，非齐次线性方程组3xx3x2 123 2xxaxb 123 （1）有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解. 解 A 1 3 2 1 1 3 1 2 r 3r 2 1 r 2r 3 1 1 0 2 5 1 0 1 1 r r 3 2 1 0 2 5 1 0 1 1 21ab05a2b200a2b1 （1）当 a20,即 a2 时，r(A)r(A)3，方程组解唯一； （2）当 a20,b10,即 a2，b1 时， r(A)r
50、(A)23，方程组解有无 穷多解； （3）当 a20,b10,即 a2，b1 时，r(A)2r(A)3，方程组无解 . 11求下列齐次线性方程组的基础解系. x 1 8x 2 10 x 3 2x 4 0 2x 1 3x 2 2x 3 x 4 0 (1)2x 1 4x 2 5x 3 x 4 0 (2)3x 1 5x 2 4x 3 2x 4 0 3x 1 8x 2 6x 3 2x 4 08x 1 7 x 2 6x 3 3 x 4 0 (3)nx1(n1)x2xnxn0. 21 A 解(1) 1 2 3 8 4 8 10 5 6 2 1 2 初等行 变换 1 0 0 0 1 0 4 3 4 0 0
