1、第 1页（共 24页） 2021 年福建省中考数学试卷年福建省中考数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的。一项是符合要求的。 1 （4 分）在实数 ?，? ?，0，1 中，最小的数是（ ） A1B0C? ? D ? 2 （4 分）如图所示的六角螺栓，其俯视图是（） AB CD 3 （4 分）如图，某研究性学习小组为测量学校 A 与河对岸工厂 B 之间的距离，在学校附近 选一点 C，利用测量仪器测得A60，C90，AC2km据此，可求得学校与 工
2、厂之间的距离 AB 等于（） A2kmB3kmC? ?kmD4km 4 （4 分）下列运算正确的是（） A2aa2B （a1）2a21 Ca6a3a2D （2a3）24a6 5 （4 分）某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进 第 2页（共 24页） 行量化评分，具体成绩（百分制）如表： 项目 作品 甲乙丙丁 创新性90959090 实用性90909585 如果按照创新性占 60%，实用性占 40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推 荐的作品是（） A甲B乙C丙D丁 6 （4 分）某市 2018 年底森林覆盖率为 63%为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”
3、的发 展理念，该市大力开展植树造林活动，2020 年底森林覆盖率达到 68%，如果这两年森林 覆盖率的年平均增长率为 x，那么，符合题意的方程是（） A0.63（1+x）0.68B0.63（1+x）20.68 C0.63（1+2x）0.68D0.63（1+2x）20.68 7（4 分） 如图， 点 F 在正五边形 ABCDE 的内部， ABF 为等边三角形， 则AFC 等于 （） A108B120C126D132 8 （4 分）如图，一次函数 ykx+b（k0）的图象过点（1，0） ，则不等式 k（x1）+b 0 的解集是（） 第 3页（共 24页） Ax2Bx1Cx0Dx1 9 （4 分）如
4、图，AB 为O 的直径，点 P 在 AB 的延长线上，PC，PD 与O 相切，切点分 别为 C，D若 AB6，PC4，则 sinCAD 等于（） A? ? B? ? C? ? D? ? 10 （4 分）二次函数 yax22ax+c（a0）的图象过 A（3，y1） ，B（1，y2） ，C（2， y3） ，D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（） A若 y1y20，则 y3y40B若 y1y40，则 y2y30 C若 y2y40，则 y1y30D若 y3y40，则 y1y20 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分。分。 11 （4 分
5、）若反比例函数 y? ? ?的图象过点（1，1） ，则 k 的值等于 12 （4 分）写出一个无理数 x，使得 1x4，则 x 可以是（只要写出一 个满足条件的 x 即可） 13 （4 分）某校共有 1000 名学生为了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取 100 名学 生的中长跑成绩，画出条形统计图，如图根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩 优秀的学生人数是 14 （4 分）如图，AD 是ABC 的角平分线若B90，BD?，则点 D 到 AC 的距 离是 第 4页（共 24页） 15 （4 分）已知非零实数 x，y 满足 y? ? ?t?，则 ?t? ? 的值等于 16 （4 分）如图，在
6、矩形 ABCD 中，AB4，AD5，点 E，F 分别是边 AB，BC 上的动点， 点 E 不与 A，B 重合，且 EFAB，G 是五边形 AEFCD 内满足 GEGF 且EGF90 的点现给出以下结论： GEB 与GFB 一定互补； 点 G 到边 AB，BC 的距离一定相等； 点 G 到边 AD，DC 的距离可能相等； 点 G 到边 AB 的距离的最大值为 2 ? 其中正确的是 （写出所有正确结论的序号） 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 9 小题，共小题，共 86 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （8 分）计算： ? t ?
7、 ? ? ? ? ? ? ? 18 （8 分）如图，在ABC 中，D 是边 BC 上的点，DEAC，DFAB，垂足分别为 E，F， 且 DEDF，CEBF求证：BC 第 5页（共 24页） 19 （8 分）解不等式组： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 20 （8 分）某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是 70 元，批发一箱该农产品 的利润是 40 元 （1）已知该公司某月卖出 100 箱这种农产品共获利润 4600 元，问：该公司当月零售、 批发这种农产品的箱数分别是多少？ （2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的 30%现该公司要经营 1000 箱这种农产品
8、，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是 多少？ 21 （8 分）如图，在 RtABC 中，ACB90线段 EF 是由线段 AB 平移得到的，点 F 在边 BC 上，EFD 是以 EF 为斜边的等腰直角三角形，且点 D 恰好在 AC 的延长线上 （1）求证：ADEDFC； （2）求证：CDBF 22 （10 分）如图，已知线段 MNa，ARAK，垂足为 A （1）求作四边形 ABCD，使得点 B，D 分别在射线 AK，AR 上，且 ABBCa，ABC 60，CDAB； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）设 P，Q 分别为（1）中四边形 ABCD 的边 A
9、B，CD 的中点，求证：直线 AD，BC， PQ 相交于同一点 23 （10 分） “田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒该故事的大意是：齐王 有上、中、下三匹马 A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马 A2，B2，C2，且这六匹马 第 6页（共 24页） 在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1A2B1B2C1C2（注：AB 表示 A 马与 B 马比赛，A 马获胜） 一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三 局，胜两局者获得整场比赛的胜利面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马” 顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、 中
10、马、下马比赛，即借助对阵（C2A1，A2B1，B2C1）获得了整场比赛的胜利，创造了以 弱胜强的经典案例 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： （1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马” ，他首局应出哪种马才可能获得整场 比赛的胜利？并求其获胜的概率； （2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说 明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率 24 （12 分）如图，在正方形 ABCD 中，E，F 为边 AB 上的两个三等分点，点 A 关于 DE 的对称点为 A，AA的延长线交 BC 于点 G （1）求证：D
11、EAF； （2）求GAB 的大小； （3）求证：AC2AB 25 （14 分）已知抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴只有一个公共点 （1）若抛物线过点 P（0，1） ，求 a+b 的最小值； （2）已知点 P1（2，1） ，P2（2，1） ，P3（2，1）中恰有两点在抛物线上 求抛物线的解析式； 设直线 l： ykx+1 与抛物线交于 M， N 两点， 点 A 在直线 y1 上， 且MAN90， 过点 A 且与 x 轴垂直的直线分别交抛物线和 l 于点 B，C求证：MAB 与MBC 的面 积相等 第 7页（共 24页） 2021 年福建省中考数学试卷年福建省中考数学试卷 参考答案与试题解析
12、参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的。一项是符合要求的。 1 （4 分）在实数 ?，? ?，0，1 中，最小的数是（ ） A1B0C? ? D ? 【解答】解：10 ? ? ?， 最小的是1， 故选：A 2 （4 分）如图所示的六角螺栓，其俯视图是（） AB CD 【解答】解：从上边看，是一个正六边形，六边形内部是一个圆， 故选：A 3 （4 分）如图，某研究性学习小组为测量学校 A 与河对岸工厂 B 之间的距离，在学校附近 选一点
13、 C，利用测量仪器测得A60，C90，AC2km据此，可求得学校与 工厂之间的距离 AB 等于（） 第 8页（共 24页） A2kmB3kmC? ?kmD4km 【解答】解：A60，C90，AC2km， B30， AB2AC4（km） 故选：D 4 （4 分）下列运算正确的是（） A2aa2B （a1）2a21 Ca6a3a2D （2a3）24a6 【解答】解：A.2aaa，故本选项不合题意； B （a1）2a22a+1，故本选项不合题意； Ca6a3a3，故本选项不合题意； D （2a3）24a6，故本选项符合题意； 故选：D 5 （4 分）某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、
14、丙、丁四项候选作品进 行量化评分，具体成绩（百分制）如表： 项目 作品 甲乙丙丁 创新性90959090 实用性90909585 如果按照创新性占 60%，实用性占 40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推 荐的作品是（） A甲B乙C丙D丁 【解答】解：甲的平均成绩9060%+9040%90（分） ， 乙的平均成绩9560%+9040%93（分） ， 丙的平均成绩9060%+9540%92（分） ， 第 9页（共 24页） 丁的平均成绩9060%+8540%88（分） ， 93929088， 乙的平均成绩最高， 应推荐乙 故选：B 6 （4 分）某市 2018 年底森林覆盖率为 63%
15、为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发 展理念，该市大力开展植树造林活动，2020 年底森林覆盖率达到 68%，如果这两年森林 覆盖率的年平均增长率为 x，那么，符合题意的方程是（） A0.63（1+x）0.68B0.63（1+x）20.68 C0.63（1+2x）0.68D0.63（1+2x）20.68 【解答】解：设从 2018 年起全市森林覆盖率的年平均增长率为 x， 根据题意得：0.63（1+x）20.68 故选：B 7（4 分） 如图， 点 F 在正五边形 ABCDE 的内部， ABF 为等边三角形， 则AFC 等于 （） A108B120C126D132 【解答】解：ABF 是等边
16、三角形， AFBF，AFBABF60， 在正五边形 ABCDE 中，ABBC，ABC108， BFBC，FBCABCABF48， BFC? ?th? ? ?66， AFCAFB+BFC126， 故选：C 8 （4 分）如图，一次函数 ykx+b（k0）的图象过点（1，0） ，则不等式 k（x1）+b 第 10页（共 24页） 0 的解集是（） Ax2Bx1Cx0Dx1 【解答】解：把（1，0）代入 ykx+b 得k+b0，解 bk， 则 k（x1）+b0 化为 k（x1）+k0， 而 k0， 所以 x1+10， 解得 x0 故选：C 方法二： 一次函数 ykx+b（k0）的图象向右平移 1 个
17、单位得 yk（x1）+b， 一次函数 ykx+b（k0）的图象过点（1，0） ， 一次函数 yk（x1）+b（k0）的图象过点（0，0） ， ， 由图象可知，当 x0 时，k（x1）+b0， 不等式 k（x1）+b0 的解集是 x0， 故选：C 9 （4 分）如图，AB 为O 的直径，点 P 在 AB 的延长线上，PC，PD 与O 相切，切点分 别为 C，D若 AB6，PC4，则 sinCAD 等于（） A? ? B? ? C? ? D? ? 【解答】解：连接 OC、OD、CD，CD 交 PA 于 E，如图， 第 11页（共 24页） PC，PD 与O 相切，切点分别为 C，D， OCCP，P
18、CPD，OP 平分CPD， OPCD， ? ? ? ? ?， COBDOB， CAD? ? ?COD， COBCAD， 在 RtOCP 中，OP?t ?t ?5， sinCOP? ? ? ? ? ?， sinCAD? ? ? 故选：D 10 （4 分）二次函数 yax22ax+c（a0）的图象过 A（3，y1） ，B（1，y2） ，C（2， y3） ，D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（） A若 y1y20，则 y3y40B若 y1y40，则 y2y30 C若 y2y40，则 y1y30D若 y3y40，则 y1y20 【解答】解：如图，由题意对称轴 x1， 第 12页（共 24页）
19、观察图象可知，y1y4y2y3， 若 y1y20，则 y3y40 或 y3y40，选项 A 不符合题意， 若 y1y40，则 y2y30 或 y2y30，选项 B 不符合题意， 若 y2y40，则 y1y30，选项 C 符合题意， 若 y3y40，则 y1y20 或 y1y20，选项 D 不符合题意， 故选：C 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分。分。 11 （4 分）若反比例函数 y? ? ?的图象过点（1，1） ，则 k 的值等于 1 【解答】解：反比例函数 y? ? ?的图象过点（1，1） ， k111， 故答案为 1 12 （
20、4 分）写出一个无理数 x，使得 1x4，则 x 可以是?（只要写出一个满足条 件的 x 即可） 【解答】解：1216， 1?4， ?是无理数， 故答案为： ? 13 （4 分）某校共有 1000 名学生为了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取 100 名学 生的中长跑成绩，画出条形统计图，如图根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩 第 13页（共 24页） 优秀的学生人数是270 【解答】解：根据题意得： 1000 ?0 ?hh ?270（人） ， 故答案为：270 14 （4 分）如图，AD 是ABC 的角平分线若B90，BD?，则点 D 到 AC 的距 离是? 【解答】解：如图，过点 D
21、 作 DEAC 于 E， AD 是ABC 的角平分线B90，DEAC， DEBD?， 点 D 到 AC 的距离为 ?， 故答案为 ? 15 （4 分）已知非零实数 x，y 满足 y? ? ?t?，则 ?t? ? 的值等于4 【解答】解：由 y? ? ?t?得：xy+yx， xyxy， 原式? ?t? ? 第 14页（共 24页） ? ? ? 4 故答案为：4 16 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD5，点 E，F 分别是边 AB，BC 上的动点， 点 E 不与 A，B 重合，且 EFAB，G 是五边形 AEFCD 内满足 GEGF 且EGF90 的点现给出以下结论： GEB 与
22、GFB 一定互补； 点 G 到边 AB，BC 的距离一定相等； 点 G 到边 AD，DC 的距离可能相等； 点 G 到边 AB 的距离的最大值为 2 ? 其中正确的是 （写出所有正确结论的序号） 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， B90， 又EGF90，四边形内角和是 360， GEB+GFB180， 故正确； 过 G 作 GMAB，GNBC，分别交 AB 于 M，交 BC 于 N， GEGF 且EGF90， 第 15页（共 24页） GEFGFE45， 又B90， BEF+EFB90，即BEF90EFB， GEM180BEFGEF18045（90EFB）45+EFB， GFNEFB+G
23、FEEFB+45， GEMGFN， 在GEM 和GFN 中， ? ?a? ? bh ? ? ?a ? ? ? ， GEMGFN（AAS） ， GMGN， 故正确； AB4，AD5，并由知， 点 G 到边 AD，DC 的距离不相等， 故错误： 当四边形 EBFG 是正方形时，点 G 到 AB 的距离最大， EFAB4， GEEBBFFG4 ? ? ?2 ?， 故正确 故答案为： 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 9 小题，共小题，共 86 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （8 分）计算： ? t ? ? ? ? ? ? ? ?
24、【解答】解：原式2 ? t3? ?3 ? 18 （8 分）如图，在ABC 中，D 是边 BC 上的点，DEAC，DFAB，垂足分别为 E，F， 且 DEDF，CEBF求证：BC 第 16页（共 24页） 【解答】证明：DEAC，DFAB， BFDCED90， 在BDF 和CDE 中， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， BDFCDE（SAS） ， BC 19 （8 分）解不等式组： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【解答】解：解不等式，得：x1， 解不等式，得：x3， 则不等式组的解集为 1x3 20 （8 分）某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是 70 元，批发一箱
25、该农产品 的利润是 40 元 （1）已知该公司某月卖出 100 箱这种农产品共获利润 4600 元，问：该公司当月零售、 批发这种农产品的箱数分别是多少？ （2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的 30%现该公司要经营 1000 箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是 多少？ 【解答】解： （1）设该公司当月零售这种农产品 x 箱，则批发这种农产品（100 x）箱， 依题意得 70 x+40（100 x）4600， 解得：x20， 1002080（箱） ， 第 17页（共 24页） 答：该公司当月零售这种农产品 20 箱，批发这种农产品 80
26、箱； （2）设该公司当月零售这种农产品 m 箱，则批发这种农产品（1000m）箱，依题意得 0m100030%， 解得 0m300， 设该公司获得利润为 y 元，依题意得 y70m+40（1000m） ， 即 y30m+40000， 300，y 随着 m 的增大而增大， 当 m300 时，y 取最大值，此时 y30300+4000049000（元） ， 批发这种农产品的数量为 1000m700（箱） ， 答： 该公司零售、 批发这种农产品的箱数分别是 300 箱， 700 箱时， 获得最大利润为 49000 元 21 （8 分）如图，在 RtABC 中，ACB90线段 EF 是由线段 AB 平
27、移得到的，点 F 在边 BC 上，EFD 是以 EF 为斜边的等腰直角三角形，且点 D 恰好在 AC 的延长线上 （1）求证：ADEDFC； （2）求证：CDBF 【解答】 （1）证明：ACB90， ACBCDF+DFC90， EFD 是以 EF 为斜边的等腰直角三角形， EDF90，DEFD， EDFADE+CDF90， ADEDFC； （2） 第 18页（共 24页） 连接 AE， 线段 EF 是由线段 AB 平移得到的， EFAB，EFAB， 四边形 ABEF 是平行四边形， AEBC，AEBF， DAEBCA90， DAEFCD， 在ADE 和CFD 中， ?宋? ? ?宋? ? ?
28、? ? ? ， ADECFD（AAS） ， AECD， AEBF， CDBF 22 （10 分）如图，已知线段 MNa，ARAK，垂足为 A （1）求作四边形 ABCD，使得点 B，D 分别在射线 AK，AR 上，且 ABBCa，ABC 60，CDAB； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）设 P，Q 分别为（1）中四边形 ABCD 的边 AB，CD 的中点，求证：直线 AD，BC， PQ 相交于同一点 【解答】 （1）解：如图，四边形 ABCD 为所作； 第 19页（共 24页） （2）证明：设 PQ 交 AD 于 G，BC 交 AD 于 G， DQAP， ? ?宋 ? ?t
29、宋?， DCAB， ?t? ?t宋 ? ? 宋?， P，Q 分别为边 AB，CD 的中点， DC2DQ，AB2AP， ?t? ?t宋 ? ? 宋? ? ?t ?宋? ? ?t 宋?， ?t? ?t宋 ? ? ?宋， 点 G 与点 G重合， 直线 AD，BC，PQ 相交于同一点 23 （10 分） “田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒该故事的大意是：齐王 有上、中、下三匹马 A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马 A2，B2，C2，且这六匹马 在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1A2B1B2C1C2（注：AB 表示 A 马与 B 马比赛，A 马获胜） 一天，齐王找田忌赛马，约定：
30、每匹马都出场比赛一局，共赛三 局，胜两局者获得整场比赛的胜利面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马” 顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、 中马、下马比赛，即借助对阵（C2A1，A2B1，B2C1）获得了整场比赛的胜利，创造了以 弱胜强的经典案例 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： （1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马” ，他首局应出哪种马才可能获得整场 第 20页（共 24页） 比赛的胜利？并求其获胜的概率； （2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说 明理由；若不是，请列出田忌获
31、得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率 【解答】解： （1）田忌首局应出“下马”才可能获胜， 此时，比赛所有可能的对阵为： （A1C2，B1A2，C1B2） ， （A1C2，C1B2，B1A2） ， （A1C2， B1B2，C1A2） ， （A1C2，C1A2，B1B2） ，共四种，其中获胜的有两场， 故此田忌获胜的概率为 P? ? ? （2）不是 当齐王的出马顺序为 A1，B1，C1 时，田忌获胜的对阵是： （A1C2，B1A2，C1B2） ， 当齐王的出马顺序为 A1，C1，B1 时，田忌获胜的对阵是： （A1C2，C1B2，B1A2） ， 当齐王的出马顺序为 B1，A1，C1 时
32、，田忌获胜的对阵是： （B1A2，A1C2，C1B2） ， 当齐王的出马顺序为 B1，C1，A1 时，田忌获胜的对阵是： （B1A2，C1B2，A1C2） ， 当齐王的出马顺序为 C1，A1，B1 时，田忌获胜的对阵是： （C1B2，A1C2，B1A2） ， 当齐王的出马顺序为 C1，B1，A1 时，田忌获胜的对阵是： （C1B2，B1A2，A1C2） ， 综上所述，田忌获胜的对阵有 6 种，不论齐王的出马顺序如何，也都有相应的 6 种可能 对阵，所以田忌获胜的概率为 P? ? ? ? ? ? 24 （12 分）如图，在正方形 ABCD 中，E，F 为边 AB 上的两个三等分点，点 A 关于
33、DE 的对称点为 A，AA的延长线交 BC 于点 G （1）求证：DEAF； （2）求GAB 的大小； （3）求证：AC2AB 【解答】证明： （1）如图，设 AG 与 DE 的交点为 O，连接 GF， 第 21页（共 24页） 点 A 关于 DE 的对称点为 A， AOAO，AADE， E，F 为边 AB 上的两个三等分点， AEEFBF， DEAF； （2）AADE， AOE90DAEABG， ADE+DEA90DEA+EAO， ADEEAO， 在ADE 和BAG 中， 宋? ?宋? 宋? ? 宋? ?宋? ? ?宋? ? bh? ， ADEBAG（ASA） ， AEBG， BFBG， G
34、FBFGB45， FAGFBG90， 点 F，点 B，点 G，点 A四点共圆， GABGFB45； （3）设 AEEFBFBGa， ADBC3a，FG?a， CG2a， 在 RtADE 中，DE?宋? ?t 宋? ?b ?t ? ?haAG， sinEAOsinADE， 第 22页（共 24页） ? 宋? ? 宋? ?， ? ? ?h， OE? ?h ?h a， AO?宋? ? ? ? ? ? ?h ? ? ?h ?h aAO， AG? ? ?h ? a， AOAO，AEEF， AF? ? ?h ?h a? ?h ? a， FAGFBG90， AFB+AGB180， AGC+AGB180， A
35、FBAGC， 又宋t? 宋t? ? ? ? ? ? ?， AFBAGC， 宋t? 宋t? ? ? ?， AC2AB 25 （14 分）已知抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴只有一个公共点 （1）若抛物线过点 P（0，1） ，求 a+b 的最小值； （2）已知点 P1（2，1） ，P2（2，1） ，P3（2，1）中恰有两点在抛物线上 求抛物线的解析式； 设直线 l： ykx+1 与抛物线交于 M， N 两点， 点 A 在直线 y1 上， 且MAN90， 过点 A 且与 x 轴垂直的直线分别交抛物线和 l 于点 B，C求证：MAB 与MBC 的面 积相等 【解答】解： （1）把 P（0，1）代
36、入解析式得：c1， yax2+bx+1， 又抛物线与 x 轴只有一个公共点， b24a0，即 ? ? ? ， 第 23页（共 24页） t ? ? ? ? ? t ? ? ? ?t ? ? ? ?， 当 b2 时，a+b 有最小值为1； （2）抛物线与 x 轴只有一个公共点， 抛物线上的点在 x 轴的同一侧或 x 轴上， 抛物线上的点为 P1，P3， 又P1，P3关于 y 轴对称， 顶点为原点（0，0） ， 设解析式为 yax2， 代入点 P1得：? ? ? ? ?， 证明： 联立直线 l 和抛物线得： ? ? ? ? ? ? ? ?t ? ， 即：x24kx40， 设 M（x1，kx1+1）
37、 ，N（x2，kx2+1） ， 由韦达定理得：x1+x24k，x1x24， 设线段 MN 的中点为 T，设 A 的坐标为（m，1） ， 则 T 的坐标为（2k，2k2+1） ， AT2（2km）2+（2k2+2）2， 由题意得：?a? ? ?t ? ? ?t ?t ?， MAN 是直角三角形，且 MN 是斜边， ? ? ?a ? 宋?，即：? ? ?a? 宋?， ? ? ?16（k4+2k2+1）（2km）2+（2k2+2）2， 解得 m2k， A（2k，1） ， B（2k，k2） ， C（2k，2k2+1） ， ? ?t?t? ? ? ?， 第 24页（共 24页） B 是 AC 的中点， ABBC， 又MAB 与MBC 的高都是点 M 到直线 AC 的距离， MAB 与MBC 的高相等， MAB 与MBC 的面积相等
