1、第 1页（共 19页） 2021 年湖南省长沙市中考数学试卷年湖南省长沙市中考数学试卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合 题意的选项。本大题共题意的选项。本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列四个实数中，最大的数是（） A3B1CD4 2 （3 分）2021 年 5 月 11 日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千 万，约为 10040000 人，将数据 10040000 用科学记数法表示为（）
2、 A1.004106B1.004107C0.1004108D10.04106 3 （3 分）下列几何图形中，是中心对称图形的是（） ABCD 4 （3 分）下列计算正确的是（） Aa3a2a5B2a+3a6aCa8a2a4D （a2）3a5 5 （3 分）如图，ABCD，EF 分别与 AB，CD 交于点 G，H，AGE100，则DHF 的度数为（） A100B80C50D40 6 （3 分）如图，点 A，B，C 在O 上，BAC54，则BOC 的度数为（） A27B108C116D128 7 （3 分）下列函数图象中，表示直线 y2x+1 的是（） 第 2页（共 19页） AB CD 8 （3
3、 分） “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植某种植户为了考 察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取 9 株水稻苗，测得苗高（单位：cm） 分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25则这组数据的众数和中位数分别是 （） A24，25B23，23C23，24D24，24 9 （3 分）有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有 1 到 6 的点数将它投掷两次， 则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为 5 的概率是（） A? ? B? ? C? ? D? ? 10 （3 分）在一次数学活动课上，某数学老师将 110 共十个整数依次写在十张不透明的卡 片上（每张
4、卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那 一面朝下） 他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位 同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片 上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊： 17根据以上信息，下列判断正确的是（） A戊同学手里拿的两张卡片上的数字是 8 和 9 B丙同学手里拿的两张卡片上的数字是 9 和 7 C丁同学手里拿的两张卡片上的数字是 3 和 4 D甲同学手里拿的两张卡片上的数字是 2 和 9 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小
5、题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）分解因式：x22021x 12 （3 分）如图，在O 中，弦 AB 的长为 4，圆心到弦 AB 的距离为 2，则AOC 的度数 为 第 3页（共 19页） 13 （3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 是边 AB 的中点，若 OE 6，则 BC 的长为 14 （3 分）若关于 x 的方程 x2kx120 的一个根为 3，则 k 的值为 15 （3 分）如图，在ABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，DEAB，垂 足为 E，若 BC4，DE1.6，则 BD 的长为 16 （3
6、 分）某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动先从中 随机抽取了部分作品，按 A，B，C，D 四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如 图两幅不完整的统计图那么，此次抽取的作品中，等级为 B 等的作品份数为 三三、解答题解答题（本大题共本大题共 9 个小题个小题，第第 17、18、19 题每小题题每小题 6 分分，第第 20、21 题每小题题每小题 6 分分， 第第 22、23 题每小题题每小题 6 分分，第第 24、25 题每小题题每小题 6 分分，共共 72 分分。解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明、 第 4页（共 19页） 证明过程或演算步骤）证明过程
7、或演算步骤） 17 （6 分）计算：? ? ? ?r? ? 香? ? 18 （6 分）先化简，再求值： （x3）2+（x+3） （x3）+2x（2x） ，其中 x? ? ? 19 （6 分）人教版初中数学教科书八年级上册第 3536 页告诉我们作一个三角形与已知三 角形全等的方法： 已知：ABC 求作：ABC，使得ABCABC 作法：如图 （1）画 BCBC； （2）分别以点 B，C为圆心，线段 AB，AC 长为半径画弧，两弧相交于点 A； （3）连接线段 AB，AC，则ABC即为所求作的三角 形 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上） ： 证明：由
8、作图可知，在ABC和ABC 中， ?明：明 ? ?： ?明?明 ? 香? ?明：明 ? 香? ABC （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 （填序号） AAS ASA SAS SSS 20 （8 分） “网红”长沙入选 2021 年“五一”假期热门旅游城市本市某景点为吸引游客， 设置了一种游戏， 其规则如下： 凡参与游戏的游客从一个装有 12 个红球和若干个白球 （每 个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得 第 5页（共 19页） 到一个景点吉祥物据统计参与这种游戏的游客共有 60000 人，景点一共为参与该游戏 的游客免费发放了景点吉祥物
9、 15000 个 （1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率； （2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？ 21 （8 分）如图， ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，OAB 是等边三角形，AB4 （1）求证： ABCD 是矩形； （2）求 AD 的长 22 （9 分）为庆祝伟大的中国共产党成立 100 周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学 校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共 有 25 道题，满分 100 分，每一题答对得 4 分，答错扣 1 分，不答得 0 分 （1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为 86 分，则该参赛同学
10、一共 答对了多少道题？ （2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于 90 分才可以被评为“学党史 小达人” ，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？ 23 （9 分）如图，在ABC 中，ADBC，垂足为 D，BDCD，延长 BC 至 E，使得 CE CA，连接 AE （1）求证：BACB； （2）若 AB5，AD4，求ABE 的周长和面积 24 （10 分）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关 于 y 轴对称，则把该函数称之为“T 函数” ，其图象上关于 y 轴对称的不同两点叫做一对 “T 点” 根据该约定，完成下列各题 第 6页（共
11、19页） （1）若点 A（1，r）与点 B（s，4）是关于 x 的“T 函数” y? ? ? ? 香? ?香? ? ?，? ? ?，?是常数? 的图象上的一对“T 点” ，则 r，s，t（将正确答案填在相应的横 线上） ； （2）关于 x 的函数 ykx+p（k，p 是常数）是“T 函数”吗？如果是，指出它有多少对 “T 点”如果不是，请说明理由； （3）若关于 x 的“T 函数”yax2+bx+c（a0，且 a，b，c 是常数）经过坐标原点 O， 且与直线 l：ymx+n（m0，n0，且 m，n 是常数）交于 M（x1，y1） ，N（x2，y2）两 点，当 x1，x2满足（1x1） 1+x2
12、1 时，直线 l 是否总经过某一定点？若经过某一定点， 求出该定点的坐标；否则，请说明理由 25 （10 分）如图，点 O 为以 AB 为直径的半圆的圆心，点 M，N 在直径 AB 上，点 P，Q 在? ?上，四边形 MNPQ 为正方形，点 C 在?上运动（点 C 与点 P，Q 不重合） ，连接 BC 并延长交 MQ 的延长线于点 D，连接 AC 交 MQ 于点 E，连接 OQ （1）求 sinAOQ 的值； （2）求? ?t的值； （3）令 MEx，QDy，直径 AB2R（R0，R 是常数） ，求 y 关于 x 的函数解析式， 并指明自变量 x 的取值范围 第 7页（共 19页） 2021
13、年湖南省长沙市中考数学试卷年湖南省长沙市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合 题意的选项。本大题共题意的选项。本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列四个实数中，最大的数是（） A3B1CD4 【解答】解：314， 最大的数是 4， 故选：D 2 （3 分）2021 年 5 月 11 日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千 万，约为 10040000
14、 人，将数据 10040000 用科学记数法表示为（） A1.004106B1.004107C0.1004108D10.04106 【解答】解：100400001.004107 故选：B 3 （3 分）下列几何图形中，是中心对称图形的是（） ABCD 【解答】解：A不是中心对称图形，故本选项不合题意； B不是中心对称图形，故本选项不合题意； C是中心对称图形，故本选项符合题意； D不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C 4 （3 分）下列计算正确的是（） Aa3a2a5B2a+3a6aCa8a2a4D （a2）3a5 【解答】解：Aa3a2a5,故此选项符合题意； B2a+3a5a,故
15、此选项不合题意； Ca8a2a6,故此选项不合题意； D （a2）3a6,故此选项不合题意； 故选：A 第 8页（共 19页） 5 （3 分）如图，ABCD，EF 分别与 AB，CD 交于点 G，H，AGE100，则DHF 的度数为（） A100B80C50D40 【解答】解：ABCD， CHGAGE100， DHFCHG100 故选：A 6 （3 分）如图，点 A，B，C 在O 上，BAC54，则BOC 的度数为（） A27B108C116D128 【解答】解：A54， BOC2A108， 故选：B 7 （3 分）下列函数图象中，表示直线 y2x+1 的是（） AB CD 第 9页（共 19
16、页） 【解答】解：k20，b10， 直线经过一、二、三象限 故选：B 8 （3 分） “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植某种植户为了考 察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取 9 株水稻苗，测得苗高（单位：cm） 分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25则这组数据的众数和中位数分别是 （） A24，25B23，23C23，24D24，24 【解答】解：将这组数据从小到大重新排列为 22，23，23，23，24，24，25，25，26， 这组数据的众数为 23cm，中位数为 24cm， 故选：C 9 （3 分）有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别
17、刻有 1 到 6 的点数将它投掷两次， 则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为 5 的概率是（） A? ? B? ? C? ? D? ? 【解答】解：列表如下： 123456 1（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6） 2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6） 3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6） 4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6） 5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6） 6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6） 由表可知共有 36 种等可能的情况， 两次掷
18、得骰子朝上一面的点数之和为 5 的情况有 4 种， 两次掷得骰子朝上一面的点数之和为 5 的概率为 ? ? ? ? ?， 故选：A 10 （3 分）在一次数学活动课上，某数学老师将 110 共十个整数依次写在十张不透明的卡 片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那 一面朝下） 他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位 第 10页（共 19页） 同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片 上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊： 17根据以上信息，下列判断正确
19、的是（） A戊同学手里拿的两张卡片上的数字是 8 和 9 B丙同学手里拿的两张卡片上的数字是 9 和 7 C丁同学手里拿的两张卡片上的数字是 3 和 4 D甲同学手里拿的两张卡片上的数字是 2 和 9 【解答】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片， 每人手里的数字不重复 由甲：11，可知甲手中的数字可能是 1 和 10，2 和 9，3 和 8，4 和 7，5 和 6； 由乙：4，可知乙手中的数字只有 1 和 3； 由丙：16，可知丙手中的数字可能是 6 和 10，7 和 9； 由丁：7，可知丁手中的数字可能是 1 和 6，2 和 5，3 和 4； 由戊：17，可知戊手中的数字
20、可能是 7 和 10，8 和 9； 丁只能是 2 和 5，甲只能是 4 和 7，丙只能是 6 和 10，戊只能是 8 和 9 各选项中，只有 A 是正确的， 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）分解因式：x22021xx(x2021) 【解答】解：x22021xx(x2021) 故答案为：x(x2021) 12 （3 分）如图，在O 中，弦 AB 的长为 4，圆心到弦 AB 的距离为 2，则AOC 的度数 为45 【解答】解：OCAB, ACBC? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2, 第 1
21、1页（共 19页） OC2, AOC 为等腰直角三角形， AOC45， 故答案为：45 13 （3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 是边 AB 的中点，若 OE 6，则 BC 的长为12 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ABBCCDAD，且 BDAC， 又点 E 是边 AB 的中点， OEAEEB? ? ? ?， BCAB2OE6212， 故答案为：12 14 （3 分）若关于 x 的方程 x2kx120 的一个根为 3，则 k 的值为1 【解答】解：把 x3 代入方程 x2kx120 得：93k120， 解得：k1， 故答案为：1 15 （3 分
22、）如图，在ABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，DEAB，垂 足为 E，若 BC4，DE1.6，则 BD 的长为2.4 【解答】解：AD 平分BAC，DEAB，C90， CDDE， DE1.6， 第 12页（共 19页） CD1.6， BDBCCD41.62.4 故答案为：2.4 16 （3 分）某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动先从中 随机抽取了部分作品，按 A，B，C，D 四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如 图两幅不完整的统计图那么，此次抽取的作品中，等级为 B 等的作品份数为50 【解答】解：3025%120（份） ， 一共抽取了 1
23、20 份作品， 此次抽取的作品中，等级为 B 等的作品份数为：12030281250（份） ， 故答案为：50 三三、解答题解答题（本大题共本大题共 9 个小题个小题，第第 17、18、19 题每小题题每小题 6 分分，第第 20、21 题每小题题每小题 6 分分， 第第 22、23 题每小题题每小题 6 分分，第第 24、25 题每小题题每小题 6 分分，共共 72 分分。解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤）证明过程或演算步骤） 17 （6 分）计算：? ? ? ?r? ? 香? ? 【解答】解：原式? ?2 ? ? ?1? ? ? ?1+4 5 18 （
24、6 分）先化简，再求值： （x3）2+（x+3） （x3）+2x（2x） ，其中 x? ? ? 【解答】解：原式x26x+9+x29+4x2x2 2x, 当 x? ? ?时， 原式2（? ? ?） 第 13页（共 19页） 1 19 （6 分）人教版初中数学教科书八年级上册第 3536 页告诉我们作一个三角形与已知三 角形全等的方法： 已知：ABC 求作：ABC，使得ABCABC 作法：如图 （1）画 BCBC； （2）分别以点 B，C为圆心，线段 AB，AC 长为半径画弧，两弧相交于点 A； （3）连接线段 AB，AC，则ABC即为所求作的三角 形 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成
25、下面证明过程（将正确答案填在相应的空上） ： 证明：由作图可知，在ABC和ABC 中， ?明：明 ? ?： ?明?明 ? 香? ?明：明 ? 香? ABCABC(SSS) （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 （填序号） AAS ASA SAS SSS 【解答】解： （1）由作图可知，在ABC和ABC 中， ?明：明 ? ?： ?明?明 ? ? ?明：明 ? ?： , ABCABC(SSS) 故答案为：ABC(SSS) 第 14页（共 19页） （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 SSS, 故答案为： 20 （8 分） “网红”长沙入选 2021 年“五一”假
26、期热门旅游城市本市某景点为吸引游客， 设置了一种游戏， 其规则如下： 凡参与游戏的游客从一个装有 12 个红球和若干个白球 （每 个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得 到一个景点吉祥物据统计参与这种游戏的游客共有 60000 人，景点一共为参与该游戏 的游客免费发放了景点吉祥物 15000 个 （1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率； （2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？ 【解答】解： （1）参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为? ? ?0.25； （2）设袋子中白球的数量为 x， 则 ? ? ?0.25， 解得 x36， 经检验 x36 是
27、分式方程的解且符合实际， 所以估计纸箱中白球的数量接近 36 21 （8 分）如图， ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，OAB 是等边三角形，AB4 （1）求证： ABCD 是矩形； （2）求 AD 的长 【解答】 （1）证明：AOB 为等边三角形， BAOAOB60，OAOB， 四边形 ABCD 是平行四边形 OBOD? ? ?BD，OAOC? ? ?AC， BDAC， ABCD 是矩形； （2）解： ABCD 是矩形， 第 15页（共 19页） BAD90， ABO60， ADB906030， AD?AB4 ? 22 （9 分）为庆祝伟大的中国共产党成立 100 周年，发扬红色
28、传统，传承红色精神，某学 校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共 有 25 道题，满分 100 分，每一题答对得 4 分，答错扣 1 分，不答得 0 分 （1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为 86 分，则该参赛同学一共 答对了多少道题？ （2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于 90 分才可以被评为“学党史 小达人” ，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？ 【解答】解： （1）设该参赛同学一共答对了 x 道题，则答错了（251x）道题， 依题意得：4x（251x）86， 解得：x22 答：该参赛同学一共答对了
29、 22 道题 （2）设参赛者需答对 y 道题才能被评为“学党史小达人” ，则答错了（25y）道题， 依题意得：4y（25y）90， 解得：y23 答：参赛者至少需答对 23 道题才能被评为“学党史小达人” 23 （9 分）如图，在ABC 中，ADBC，垂足为 D，BDCD，延长 BC 至 E，使得 CE CA，连接 AE （1）求证：BACB； （2）若 AB5，AD4，求ABE 的周长和面积 【解答】解： （1）证明：在ADB 和ADC 中： ? ? ?：? ? ? ?： ? ， 第 16页（共 19页） ADBADC（SAS） ， BACB； （2）在 RtADB 中，BD? ? ?3,
30、BDCD3,ACABCE5， BE2BD+CE23+511， 在 RtADE 中，AE? ? ?4 ， CABEAB+BE+AE5+11+4 ?16+4 ， SABE? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 24 （10 分）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关 于 y 轴对称，则把该函数称之为“T 函数” ，其图象上关于 y 轴对称的不同两点叫做一对 “T 点” 根据该约定，完成下列各题 （1）若点 A（1，r）与点 B（s，4）是关于 x 的“T 函数” y? ? ? ? 香? ?香? ? ?，? ? ?，?是常数? 的图象上的一对“T 点
31、” ，则 r4，s1，t4（将正确答案填在相应的 横线上） ； （2）关于 x 的函数 ykx+p（k，p 是常数）是“T 函数”吗？如果是，指出它有多少对 “T 点”如果不是，请说明理由； （3）若关于 x 的“T 函数”yax2+bx+c（a0，且 a，b，c 是常数）经过坐标原点 O， 且与直线 l：ymx+n（m0，n0，且 m，n 是常数）交于 M（x1，y1） ，N（x2，y2）两 点，当 x1，x2满足（1x1） 1+x21 时，直线 l 是否总经过某一定点？若经过某一定点， 求出该定点的坐标；否则，请说明理由 【解答】解： （1）A，B 关于 y 轴对称， s1，r4， A 的
32、坐标为（1，4） ， 把 A（1，4）代入是关于 x 的“T 函数”中，得：t4， 故答案为 r4，s1，t4； （2）当 k0 时，有 yp， 此时存在关于 y 轴对称得点， ykx+p 是“T 函数” ， 第 17页（共 19页） 当 k0 时，不存在关于 y 轴对称的点， ykx+p 不是“T 函数” ； （3）yax2+bx+c 过原点， c0， yax2+bx+c 是“T 函数” ， b0， yax2， 联立直线 l 和抛物线得： ? ? ? ? ? l? ? r， 即：ax2mxn0， ? ? l ?，? ? ?r ? ， 又香? ? ? ?， 化简得：x1+x2x1x2， l ?
33、 ? ?r ? ，即 mn， ymx+nmxm， 当 x1 时，y0， 直线 l 必过定点（1，0） 25 （10 分）如图，点 O 为以 AB 为直径的半圆的圆心，点 M，N 在直径 AB 上，点 P，Q 在? ?上，四边形 MNPQ 为正方形，点 C 在?上运动（点 C 与点 P，Q 不重合） ，连接 BC 并延长交 MQ 的延长线于点 D，连接 AC 交 MQ 于点 E，连接 OQ （1）求 sinAOQ 的值； （2）求? ?t的值； （3）令 MEx，QDy，直径 AB2R（R0，R 是常数） ，求 y 关于 x 的函数解析式， 并指明自变量 x 的取值范围 第 18页（共 19页）
34、 【解答】解： （1）如图，连接 OP 四边形 MNPQ 是正方形， OMNONP90，MQPN， OQOP， OMQONP（HL） ， OMON， 设 OMONm，则 MQ2m，OQ? ?m， sinAOQ? ? ? ? ?l l ? ? （2）由（1）可知 OMONm，OQOA?m，MN2m， AMOAOM?mm， ? ?t ? l?l ?l ? ? ? （3）AB2R， OAOBOQr， QM2MO， OM? ? ，MQ? ? ? ， AB 是直径， ACBDCE90， CEDAEM， AD， AMEDMB90， AMEDMB， 第 19页（共 19页） ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ? ， y? ? ? ? ? ? ， 当点 C 与 P 重合时，? ?t ? ? ?t， ? ? ? ? ? ? ? ? ， x? ? ? R， ? ? Rx ? R
