1、第 1页（共 24页） 2021 年北京市中考数学试卷年北京市中考数学试卷 一、选择题一、选择题(共共 16 分，每题分，每题 2 分分)第第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。 1 （2 分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（） A长方体B圆柱C圆锥D三棱柱 2 （2 分）党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务20142018 年，中 央财政累计投入 “全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件” 专项补助资金 1692 亿元，将 169200000000 用科学记数法表示应为（） A0.16921012B1.69210
2、12 C1.6921011D16.921010 3 （2 分）如图，点 O 在直线 AB 上，OCOD若AOC120，则BOD 的大小为 （） A30B40C50D60 4 （2 分）下列多边形中，内角和最大的是（） ABCD 5 （2 分）实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（） Aa2B|a|bCa+b0Dba0 6 （2 分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率 是（） 第 2页（共 24页） A? ? B? ? C? ? D? ? 7 （2 分）已知 4321849，4421936，4522025，4622116若 n 为整
3、数且 n?付? n+1，则 n 的值为（） A43B44C45D46 8 （2 分）如图，用绳子围成周长为 10m 的矩形，记矩形的一边长为 xm，它的邻边长为 ym， 矩形的面积为 Sm2当 x 在一定范围内变化时，y 和 S 都随 x 的变化而变化，则 y 与 x，S 与 x 满足的函数关系分别是（） A一次函数关系，二次函数关系 B反比例函数关系，二次函数关系 C一次函数关系，反比例函数关系 D反比例函数关系，一次函数关系 二、填空题二、填空题(共共 16 分，每题分，每题 2 分分) 9 （2 分）若 ? ? ?在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 10 （2 分）分解因式：5
4、x25y2 11 （2 分）方程 ? ? ? ? ?的解为 12 （2 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若反比例函数 y? ? ?（k0）的图象经过点 A（1，2） 和点 B（1，m） ，则 m 的值为 13 （2 分） 如图， PA， PB 是O 的切线， A， B 是切点 若P50， 则AOB 14 （2 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，AD 上，AFEC只需添加一个 条件即可证明四边形 AECF 是菱形，这个条件可以是（写出一个即可） 第 3页（共 24页） 15 （2 分）有甲、乙两组数据，如下表所示： 甲1112131415 乙1212131414 甲、乙
5、两组数据的方差分别为 s甲2，s乙2，则 s甲2s乙2（填“” ， “”或“” ） 16 （2 分）某企业有 A，B 两条加工相同原材料的生产线在一天内，A 生产线共加工 a 吨 原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B 生产线共加工 b 吨原材料，加工时间 为（2b+3）小时第一天，该企业将 5 吨原材料分配到 A，B 两条生产线，两条生产线 都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到 A 生产线的吨数与分配到 B 生产线 的吨数的比为第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了 5 吨原材料 后，又给 A 生产线分配了 m 吨原材料，给 B 生产线分配了 n 吨原材料若两条生产
6、线都 能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则? ? 的值为 三三、解答题解答题（共共 68 分分，第第 17-20 题题，每题每题 5 分分，第第 21-22 题题，每题每题 6 分分，第第 23 题题 5 分分，第第 24 题题 6 分，第分，第 25 题题 5 分，第分，第 26 题题 6 分，第分，第 27-28 题，每题题，每题 7 分）解答应写出文字说明、分）解答应写出文字说明、 演算步骤或证明过程。演算步骤或证明过程。 17 （5 分）计算：2sin60? ?|5|（?）0 18 （5 分）解不等式组： ? ? ? ? ? ? ? 19 （5 分）已知 a2+2
7、b210，求代数式（ab）2+b（2a+b）的值 20 （5 分） 淮南子天文训中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地 面上点 A 处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点 B，使 B，A 两点间的距离为 10 步（步是古代的一种长度单位） ，在点 B 处立一根杆；日落时，在地面上沿着点 B 处 的杆的影子的方向取一点 C，使 C，B 两点间的距离为 10 步，在点 C 处立一根杆取 CA 的中点 D，那么直线 DB 表示的方向为东西方向 （1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点 A，B，C 的位置如图所示使用直 尺和圆规，在图中作 CA 的中点 D（保留作图痕迹） ；
8、 第 4页（共 24页） （2）在如图中，确定了直线 DB 表示的方向为东西方向根据南北方向与东西方向互相 垂直，可以判断直线 CA 表示的方向为南北方向，完成如下证明 证明：在ABC 中，BA，D 是 CA 的中点， CADB（） （填推理的依据） 直线 DB 表示的方向为东西方向， 直线 CA 表示的方向为南北方向 21 （6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x24mx+3m20 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若 m0，且该方程的两个实数根的差为 2，求 m 的值 22 （6 分）如图，在四边形 ABCD 中，ACBCAD90，点 E 在 BC 上，AEDC， EFAB，垂足
9、为 F （1）求证：四边形 AECD 是平行四边形； （2）若 AE 平分BAC，BE5，cosB? ? ?，求 BF 和 AD 的长 23 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 ykx+b（k0）的图象由函数 y? ? ?x 的图 象向下平移 1 个单位长度得到 （1）求这个一次函数的解析式； （2）当 x2 时，对于 x 的每一个值，函数 ymx（m0）的值大于一次函数 ykx+b 的值，直接写出 m 的取值范围 24 （6 分）如图，O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，ADBC 于点 E （1）求证：BADCAD； 第 5页（共 24页） （2）连接 BO 并延长，交
10、 AC 于点 F，交O 于点 G，连接 GC若O 的半径为 5，OE 3，求 GC 和 OF 的长 25 （5 分）为了解甲、乙两座城市的邮政企业 4 月份收入的情况，从这两座城市的邮政企 业中，各随机抽取了 25 家邮政企业，获得了它们 4 月份收入（单位：百万元）的数据， 并对数据进行整理、描述和分析下面给出了部分信息 a甲城市邮政企业 4 月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成 5 组：6x8， 8x10，10 x12，12x14，14x16） ： b甲城市邮政企业 4 月份收入的数据在 10 x12 这一组的是： 10.0 10.0 10.1 10.9 11.4 11.5 11.
11、6 11.8 c甲、乙两座城市邮政企业 4 月份收入的数据的平均数、中位数如下： 平均数中位数 甲城市10.8m 乙城市11.011.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中 m 的值； 第 6页（共 24页） （2）在甲城市抽取的邮政企业中，记 4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数 为 p1在乙城市抽取的邮政企业中，记 4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个 数为 p2比较 p1，p2的大小，并说明理由； （3）若乙城市共有 200 家邮政企业，估计乙城市的邮政企业 4 月份的总收入（直接写出 结果） 26 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点（1，m）和点（3
12、，n）在抛物线 yax2+bx（a 0）上 （1）若 m3，n15，求该抛物线的对称轴； （2）已知点（1，y1） ， （2，y2） ， （4，y3）在该抛物线上若 mn0，比较 y1，y2，y3 的大小，并说明理由 27 （7 分）如图，在ABC 中，ABAC，BAC，M 为 BC 的中点，点 D 在 MC 上， 以点 A 为中心，将线段 AD 顺时针旋转得到线段 AE，连接 BE，DE （1）比较BAE 与CAD 的大小；用等式表示线段 BE，BM，MD 之间的数量关系，并 证明； （2）过点 M 作 AB 的垂线，交 DE 于点 N，用等式表示线段 NE 与 ND 的数量关系，并 证明
13、28 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，O 的半径为 1对于点 A 和线段 BC，给出如下定 义：若将线段 BC 绕点 A 旋转可以得到O 的弦 BC（B，C分别是 B，C 的对应 点） ，则称线段 BC 是O 的以点 A 为中心的“关联线段” （1）如图，点 A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数在线段 B1C1，B2C2， B3C3中，O 的以点 A 为中心的“关联线段”是； （2）ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 A（0，t） ，其中 t0若 BC 是O 的以点 A 为中心的“关联线段” ，求 t 的值； （3）在ABC 中，AB1，AC2若 BC 是O
14、的以点 A 为中心的“关联线段” ，直接 写出 OA 的最小值和最大值，以及相应的 BC 长 第 7页（共 24页） 第 8页（共 24页） 2021 年北京市中考数学试卷年北京市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题(共共 16 分，每题分，每题 2 分分)第第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。 1 （2 分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（） A长方体B圆柱C圆锥D三棱柱 【解答】解：圆柱的展开图为两个圆和一个长方形， 展开图可得此几何体为圆柱 故选：B 2 （2 分）党的十八大以来，坚持把教育扶
15、贫作为脱贫攻坚的优先任务20142018 年，中 央财政累计投入 “全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件” 专项补助资金 1692 亿元，将 169200000000 用科学记数法表示应为（） A0.16921012B1.6921012 C1.6921011D16.921010 【解答】解：将 169200000000 用科学记数法表示应为 1.6921011 故选：C 3 （2 分）如图，点 O 在直线 AB 上，OCOD若AOC120，则BOD 的大小为 （） A30B40C50D60 【解答】解：AOC+BOC180，AOC120， BOC18012060， 又OCOD， 第 9
16、页（共 24页） COD90， BODCODBOC906030， 故选：A 4 （2 分）下列多边形中，内角和最大的是（） ABCD 【解答】解：A三角形的内角和为 180； B四边形的内角和为 360； C五边形的内角和为： （52）180540； D六边形的内角和为： （62）180720； 故选：D 5 （2 分）实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（） Aa2B|a|bCa+b0Dba0 【解答】解：A由图可得数 a 表示的点在2 左侧， a2，A 选项错误，不符合题意 Ba 到 0 的距离大于 b 到 0 的距离， |a|b，B 选项正确，符合题意 C|a
17、|b，a0， ab， a+b0，C 选项错误，不符合题意 Dba， ba0，D 选项错误，不符合题意 故选：B 6 （2 分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率 是（） A? ? B? ? C? ? D? ? 【解答】解：画树形图得： 第 10页（共 24页） 由树形图可知共 4 种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有 2 种结 果， 一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的的概率为? ? ? ? ?， 故选：C 7 （2 分）已知 4321849，4421936，4522025，4622116若 n 为整数且 n?付? n+1，则 n 的值为（
18、） A43B44C45D46 【解答】解：193620212025， 44?付?45， n44， 故选：B 8 （2 分）如图，用绳子围成周长为 10m 的矩形，记矩形的一边长为 xm，它的邻边长为 ym， 矩形的面积为 Sm2当 x 在一定范围内变化时，y 和 S 都随 x 的变化而变化，则 y 与 x，S 与 x 满足的函数关系分别是（） A一次函数关系，二次函数关系 B反比例函数关系，二次函数关系 C一次函数关系，反比例函数关系 D反比例函数关系，一次函数关系 【解答】解：由题意得， 2（x+y）10， x+y5， y5x， 即 y 与 x 是一次函数关系 第 11页（共 24页） Sx
19、y x（5x） x2+5x， 矩形面积满足的函数关系为 Sx2+5x， 即满足二次函数关系， 故选：A 二、填空题二、填空题(共共 16 分，每题分，每题 2 分分) 9 （2 分）若 ? ? ?在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是x7 【解答】解：由题意得：x70， 解得：x7， 故答案为：x7 10 （2 分）分解因式：5x25y25（x+y） （xy） 【解答】解：原式5（x2y2）5（x+y） （xy） ， 故答案为：5（x+y） （xy） 11 （2 分）方程 ? ? ? ? ?的解为 x3 【解答】解：方程两边同时乘以 x（x+3）得： 2xx+3， 解得 x3， 检验：x
20、3 时，x（x+3）0， 方程的解为 x3 故答案为：x3 12 （2 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若反比例函数 y? ? ?（k0）的图象经过点 A（1，2） 和点 B（1，m） ，则 m 的值为2 【解答】解：反比例函数 y? ? ?（k0）的图象经过点 A（1，2）和点 B（1，m） ， m12，解得 m2， 即 m 的值为2 故答案为2 13 （2 分） 如图， PA， PB 是O 的切线， A， B 是切点 若P50， 则AOB130 第 12页（共 24页） 【解答】解：PA，PB 是O 的切线，A，B 是切点， OAPA，OBPB， OAPOBP90， OAP+AOB+OB
21、P+P360， AOB360909050130 故答案为 130 14 （2 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，AD 上，AFEC只需添加一个 条件即可证明四边形 AECF 是菱形，这个条件可以是AEAF（写出一个即可） 【解答】解：这个条件可以是 AEAF， 理由：四边形 ABCD 是矩形， ADBC， 即 AFCE， AFEC， 四边形 ABCD 是平行四边形， AEAF， 四边形 AECF 是菱形， 故答案为：AEAF 15 （2 分）有甲、乙两组数据，如下表所示： 甲1112131415 乙1212131414 甲、乙两组数据的方差分别为 s甲2，s乙2，则 s
22、甲2s乙2（填“” ， “”或“” ） 第 13页（共 24页） 【解答】解：?甲? ? ? ?（11+12+13+14+15）13， s甲2? ? ?（1113） 2+（1213）2+（1313）2+（1413）2+（1513）22， ?乙? ? ? ?（12+12+13+14+14）13， s乙2? ? ?（1213） 2+（1213）2+（1313）2+（1413）2+（1413）20.8， 20.8， s甲2s乙2 故答案为： 16 （2 分）某企业有 A，B 两条加工相同原材料的生产线在一天内，A 生产线共加工 a 吨 原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B 生产线共加工
23、b 吨原材料，加工时间 为（2b+3）小时第一天，该企业将 5 吨原材料分配到 A，B 两条生产线，两条生产线 都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到 A 生产线的吨数与分配到 B 生产线 的吨数的比为2：3第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了 5 吨原材料 后，又给 A 生产线分配了 m 吨原材料，给 B 生产线分配了 n 吨原材料若两条生产线都 能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则? ? 的值为 ? ? 【解答】解：设分配到 A 生产线的吨数为 x 吨，则分配到 B 生产线的吨数为（5x）吨， 依题意可得： 4x+12（5x）+3， 解得：x2， 分配
24、到 B 生产线的吨数为 523（吨） ， 分配到 A 生产线的吨数与分配到 B 生产线的吨数的比为 2：3； 第二天开工时，给 A 生产线分配了（2+m）吨原材料，给 B 生产线分配了（3+n）吨原 材料， 加工时间相同， 4（2+m）+12（3+n）+3， 解得：m? ? ?n， ? ? ? ? ?， 故答案为：2：3；? ? 第 14页（共 24页） 三三、解答题解答题（共共 68 分分，第第 17-20 题题，每题每题 5 分分，第第 21-22 题题，每题每题 6 分分，第第 23 题题 5 分分，第第 24 题题 6 分，第分，第 25 题题 5 分，第分，第 26 题题 6 分，第
25、分，第 27-28 题，每题题，每题 7 分）解答应写出文字说明、分）解答应写出文字说明、 演算步骤或证明过程。演算步骤或证明过程。 17 （5 分）计算：2sin60? ?|5|（?）0 【解答】解：原式2 ? ? ?2 ? ?51 ? ?2 ? ?51 3 ? ?4 18 （5 分）解不等式组： ? ? ? ? ? ? ? 【解答】解：解不等式 4x5x+1，得：x2， 解不等式? ? x，得：x4， 则不等式组的解集为 2x4 19 （5 分）已知 a2+2b210，求代数式（ab）2+b（2a+b）的值 【解答】解：原式a22ab+b2+2ab+b2 a2+2b2， a2+2b210，
26、 a2+2b21， 原式1 20 （5 分） 淮南子天文训中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地 面上点 A 处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点 B，使 B，A 两点间的距离为 10 步（步是古代的一种长度单位） ，在点 B 处立一根杆；日落时，在地面上沿着点 B 处 的杆的影子的方向取一点 C，使 C，B 两点间的距离为 10 步，在点 C 处立一根杆取 CA 的中点 D，那么直线 DB 表示的方向为东西方向 （1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点 A，B，C 的位置如图所示使用直 尺和圆规，在图中作 CA 的中点 D（保留作图痕迹） ； 第 15页（共 24
27、页） （2）在如图中，确定了直线 DB 表示的方向为东西方向根据南北方向与东西方向互相 垂直，可以判断直线 CA 表示的方向为南北方向，完成如下证明 证明：在ABC 中，BABC，D 是 CA 的中点， CADB（三线合一） （填推理的依据） 直线 DB 表示的方向为东西方向， 直线 CA 表示的方向为南北方向 【解答】解： （1）如图，点 D 即为所求 （2）在ABC 中，BABC，D 是 CA 的中点， CADB（三线合一） ， 直线 DB 表示的方向为东西方向， 直线 CA 表示的方向为南北方向 故答案为：BC，三线合一 21 （6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x24mx+3m20
28、 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若 m0，且该方程的两个实数根的差为 2，求 m 的值 【解答】 （1）证明：a1，b4m，c3m2， b24ac（4m）2413m24m2 无论 m 取何值时，4m20，即0， 原方程总有两个实数根 （2）解：x24mx+3m20，即（xm） （x3m）0， x1m，x23m m0，且该方程的两个实数根的差为 2， 3mm2， m1 22 （6 分）如图，在四边形 ABCD 中，ACBCAD90，点 E 在 BC 上，AEDC， 第 16页（共 24页） EFAB，垂足为 F （1）求证：四边形 AECD 是平行四边形； （2）若 AE 平分BAC
29、，BE5，cosB? ? ?，求 BF 和 AD 的长 【解答】 （1）证明：ACBCAD90， ADCE， AEDC， 四边形 AECD 是平行四边形； （2）解：EFAB， BFE90， cosB? ? ? ? ?t ?，BE5， BF? ? ?BE? ? ? ?54， EF? ?t? ?3， AE 平分BAC，EFAB，ACE90， ECEF3， 由（1）得：四边形 AECD 是平行四边形， ADEC3 23 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 ykx+b（k0）的图象由函数 y? ? ?x 的图 象向下平移 1 个单位长度得到 （1）求这个一次函数的解析式； （2）当 x
30、2 时，对于 x 的每一个值，函数 ymx（m0）的值大于一次函数 ykx+b 的值，直接写出 m 的取值范围 【解答】解： （1）函数 y? ? ?x 的图象向下平移 1 个单位长度得到 y? ? ?x1， 一次函数 ykx+b（k0）的图象由函数 y? ? ?x 的图象向下平移 1 个单位长度得到， 第 17页（共 24页） 这个一次函数的表达式为 y? ? ?x1 （2）把 x2 代入 y? ? ?x1，求得 y2， 函数 ymx（m0）与一次函数 y? ? ?x1 的交点为（2，2） ， 把点（2，2）代入 ymx，求得 m1， 当 x2 时，对于 x 的每一个值，函数 ymx（m0）
31、的值大于一次函数 y? ? ?x1 的值， ? ? ?m1 24 （6 分）如图，O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，ADBC 于点 E （1）求证：BADCAD； （2）连接 BO 并延长，交 AC 于点 F，交O 于点 G，连接 GC若O 的半径为 5，OE 3，求 GC 和 OF 的长 【解答】 （1）证明：AD 是O 的直径，ADBC， ? ? ? ? ?， BADCAD； （2）解：在 RtBOE 中，OB5，OE3， 第 18页（共 24页） BE? ?4， AD 是O 的直径，ADBC， BC2BE8， BG 是O 的直径， BCG90， GC? ?6， ADBC，BCG
32、90， AEGC， AFOCFG， ? ? ? ?t t?，即 ? ? ? ?t ?t， 解得：OF? ? ? 25 （5 分）为了解甲、乙两座城市的邮政企业 4 月份收入的情况，从这两座城市的邮政企 业中，各随机抽取了 25 家邮政企业，获得了它们 4 月份收入（单位：百万元）的数据， 并对数据进行整理、描述和分析下面给出了部分信息 a甲城市邮政企业 4 月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成 5 组：6x8， 8x10，10 x12，12x14，14x16） ： 第 19页（共 24页） b甲城市邮政企业 4 月份收入的数据在 10 x12 这一组的是： 10.0 10.0 10.1
33、 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8 c甲、乙两座城市邮政企业 4 月份收入的数据的平均数、中位数如下： 平均数中位数 甲城市10.8m 乙城市11.011.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中 m 的值； （2）在甲城市抽取的邮政企业中，记 4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数 为 p1在乙城市抽取的邮政企业中，记 4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个 数为 p2比较 p1，p2的大小，并说明理由； （3）若乙城市共有 200 家邮政企业，估计乙城市的邮政企业 4 月份的总收入（直接写出 结果） 【解答】解： （1）将甲城市抽取的 25 家邮政企业
34、 4 月份的营业额从小到大排列，处在中 间位置的一个数是 10.1， 因此中位数是 10.1，即 m10.1； （2）由题意得 p15+3+412（家） ， 由于乙城市抽取的 25 家邮政企业 4 月份的营业额的平均数是 11.0，中位数是 11.5， 因此所抽取的 25 家邮政企业 4 月份营业额在 11.5 及以上的占一半， 也就是 p2的值要大于 12， p1p2； （3）11.02002200（百万元） ， 答：乙城市 200 家邮政企业 4 月份的总收入约为 2200 百万元 26 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线 yax2+bx（a 0）上
35、 （1）若 m3，n15，求该抛物线的对称轴； （2）已知点（1，y1） ， （2，y2） ， （4，y3）在该抛物线上若 mn0，比较 y1，y2，y3 的大小，并说明理由 【解答】解： （1）m3，n15， 第 20页（共 24页） 点（1，3） ， （3，15）在抛物线上， 将（1，3） ， （3，15）代入 yax2+bx 得： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 解得 ? ? ? ? ? ?， yx2+2x（x+1）21， 抛物线对称轴为直线 x1 （2）yax2+bx（a0） ， 抛物线开口向上且经过原点， 当 b0 时，抛物线顶点为原点，x0 时 y 随 x 增大而增大，n
36、m0 不满足题意， 当 b0 时，抛物线对称轴在 y 轴左侧，同理，nm0 不满足题意， b0，抛物线对称轴在 y 轴右侧，x1 时 m0，x3 时 n0， 抛物线对称轴在直线 x? ? ?与直线 x? ? ?之间， 即? ? ? ? ? ? ?， 点（2，y2）与对称轴距离? ? 2（? ? ?） ? ?， 点（1，y1）与对称轴距离? ? ? ? ? ?（1） ? ?， 点（4，y3）与对称轴距离? ? 4（? ? ?） ? ? y2y1y3 27 （7 分）如图，在ABC 中，ABAC，BAC，M 为 BC 的中点，点 D 在 MC 上， 以点 A 为中心，将线段 AD 顺时针旋转得到线
37、段 AE，连接 BE，DE （1）比较BAE 与CAD 的大小；用等式表示线段 BE，BM，MD 之间的数量关系，并 证明； （2）过点 M 作 AB 的垂线，交 DE 于点 N，用等式表示线段 NE 与 ND 的数量关系，并 证明 第 21页（共 24页） 【解答】解： （1）DAEBAC， DAEBADBACBAD， 即BAECAD， 在ABE 和ACD 中， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ABEACD（SAS） ， BECD， M 为 BC 的中点， BMCM， BE+MDBM； （2）如图，作 EHAB 交 BC 于 H，交 AB 于 F， 由（1）ABEACD 得：ABEA
38、CD， ACDABC， ABEABD， 在BEF 和BHF 中， ?t ?t ?t ? ?t ?t ? ?t? ， BEFBHF（ASA） ， BEBH， 由（1）知：BE+MDBM， MHMD， MNHF， t t ? ? ?， ENDN 第 22页（共 24页） 28 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，O 的半径为 1对于点 A 和线段 BC，给出如下定 义：若将线段 BC 绕点 A 旋转可以得到O 的弦 BC（B，C分别是 B，C 的对应 点） ，则称线段 BC 是O 的以点 A 为中心的“关联线段” （1）如图，点 A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数在线段
39、 B1C1，B2C2， B3C3中，O 的以点 A 为中心的“关联线段”是B2C2； （2）ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 A（0，t） ，其中 t0若 BC 是O 的以点 A 为中心的“关联线段” ，求 t 的值； （3）在ABC 中，AB1，AC2若 BC 是O 的以点 A 为中心的“关联线段” ，直接 写出 OA 的最小值和最大值，以及相应的 BC 长 【解答】解： （1）由旋转的性质可知：ABAB，ACAC，BABCAC， 由图可知点 A 到圆上一点的距离 d 的范围为 ? ?1d? ?1， AC13d， 点 C1不可能在圆上， B1C1不是O 的以 A 为中心的“关联线段”
40、， AC21，AB2?， C2（0，1） ，B2（1，0） ， B2C2是O 的以 A 为中心的“关联线段” ， AC32，AB3?， 当 B3在圆上时，B3（1，0）或（0，1） ， 由图可知此时 C3不在圆上， B3C3不是O 的以 A 为中心的“关联线段” 第 23页（共 24页） 故答案为：B2C2 （2）ABC 是边长为 1 的等边三角形， 根据旋转的性质可知ABC也是边长为 1 的等边三角形， A（0，t） ， BCy 轴，且 BC1， AO 为 BC边上的高的 2 倍，且此高的长为 ? ? ， t?或? （3）OA 的最小值为 1 时，此时 BC 的长为 ?，OA 的最大值为 2
41、，此时 BC 的长为 ? ? 理由：由旋转的性质和“关联线段”的定义， 可知 ABABOBOC1，ACAC2，如图 1， 利用四边形的不稳定性可知， 当 A，O，C在同一直线上时，OA 最小，最小值为 1，如图 2， 此时 OAOBOC， ABC90， BC? ? ? 当 A，B，O 在同一直线上时，OA 最大，如图 3， 第 24页（共 24页） 此时 OA2，过点 A 作 AEOC于 E，过点 C作 CFOA 于 F AOAC2，AEOC， OEEC? ? ?， AE? ? ? ? ? ? ? ? ? ， SAOC? ? ?AOCF? ? ?OCAE， CF? ? ? ， OF? ?t? ? ? ? ? ? ?， FBOBOF? ? ?， BC?t? t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 综上 OA 的最小值为 1 时，此时 BC 的长为 ?，OA 的最大值为 2，此时 BC 的长为 ? ?
