1、第 1页（共 24页） 2021 年广东省深圳市中考数学试卷年广东省深圳市中考数学试卷 一、选择题一、选择题(每题每题 3 分，共分，共 30 分分) 1 （3 分）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，和“建”字所在面相 对的面上的字是（） A跟B百C走D年 2 （3 分）的相反数（） A2021BC2021D 3 （3 分）不等式 x12 的解集在数轴上表示为（） AB CD 4 （3 分） 你好，李焕英的票房数据是：109，133，120，118，124，那么这组数据的中 位数是（） A124B120C118D109 5 （3 分）下列运算中，正确的是（） A2a2a2a3
2、B （a2）3a5Ca2+a3a5Da6a2a3 6 （3 分）计算|1tan60|的值为（） A1B0C1D1 7 （3 分） 九章算术中记载：今有好田 1 亩，价值 300 钱；坏田 7 亩，价值 500 钱今 共买好、坏田 1 顷（1 顷100 亩） ，价钱 10000 钱问好、坏田各买了多少亩？设好田 买了 x 亩，坏田买了 y 亩，则下面所列方程组正确的是（） A 第 2页（共 24页） B C D 8 （3 分）如图，在点 F 处，看建筑物顶端 D 的仰角为 32，向前走了 15 米到达点 E 即 EF15 米，在点 E 处看点 D 的仰角为 64，则 CD 的长用三角函数表示为（
3、） A15sin32B15tan64C15sin64D15tan32 9 （3 分） 二次函数 yax2+bx+1 的图象与一次函数 y2ax+b 在同一平面直角坐标系中的图 象可能是（） AB CD 10 （3 分）在正方形 ABCD 中，AB2，点 E 是 BC 边的中点，连接 DE，延长 EC 至点 F， 使得 EFDE，过点 F 作 FGDE，分别交 CD、AB 于 N、G 两点，连接 CM、EG、EN， 下列正确的是（） tanGFB； 第 3页（共 24页） MNNC； ； S四边形GBEM A4B3C2D1 二、填空题二、填空题(每题每题 3 分，共分，共 15 分分) 11 （
4、3 分）因式分解：7a228 12 （3 分）已知方程 x2+mx30 的一个根是 1，则 m 的值为 13 （3 分）如图，已知BAC60，AD 是角平分线且 AD10，作 AD 的垂直平分线交 AC 于点 F，作 DEAC，则DEF 周长为 14 （3 分）如图，已知反比例函数过 A，B 两点，A 点坐标（2，3） ，直线 AB 经过原点，将 线段 AB 绕点 B 顺时针旋转 90得到线段 BC，则 C 点坐标为 15 （3 分）如图，在ABC 中，D，E 分别为 BC，AC 上的点，将CDE 沿 DE 折叠，得 第 4页（共 24页） 到FDE，连接 BF，CF，BFC90，若 EFAB
5、，AB4，EF10，则 AE 的长 为 三、解答题三、解答题(共共 55 分分) 16 （6 分）先化简再求值： （），其中 x1 17 （6 分）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为 1 个单位 （1）过直线 m 作四边形 ABCD 的对称图形； （2）求四边形 ABCD 的面积 18 （8 分）随机调查某城市 30 天空气质量指数（AQI） ，绘制成扇形统计图 空气质量等级空气质量指数（AQI）频数 优AQI50m 良50AQI10015 中100AQI1509 差AQI150n （1）m，n； （2）求良的占比； 第 5页（共 24页） （3）求差的圆心角； （4）统计表是一个
6、月内的空气污染指数统计，然后根据这个一个月内的统计进行估测一 年的空气污染指数为中的天数，从统计表可以得到空气污染指数为中的有 9 天根据统 计表，一个月（30 天）中有天 AQI 为中，估测该城市一年（以 365 天计）中大约 有天 AQI 为中 19 （8 分）如图，AB 为O 的弦，D，C 为的三等分点，ACBE （1）求证：AE； （2）若 BC3，BE5，求 CE 的长 20 （8 分）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为 8 万元，销售单价 x（万元）与销 售量 y（件）的关系如表所示： x（万元）10121416 y（件）40302010 （1）求 y 与 x 的函数关系式；
7、 （2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？ 21 （9 分）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的 2 倍、倍、k 倍 （1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为 2 的正方形 的 2 倍？（填“存在”或“不存在” ） （2） 继续探究， 是否存在一个矩形， 使其周长和面积都为长为 3， 宽为 2 的矩形的 2 倍？ 第 6页（共 24页） 同学们有以下思路： 设新矩形长和宽为 x、y，则依题意 x+y10，xy12，联立得 x210 x+12 0，再探究根的情况； 根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍； 如图也
8、可用反比例函数与一次函数证明 l1：yx+10，l2：y，那么， a是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的 2 倍？ b请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若存在，用图象表达； c请直接写出当结论成立时 k 的取值范围： 22 （10 分）在正方形 ABCD 中，等腰直角AEF，AFE90，连接 CE，H 为 CE 中点， 连接 BH、BF、HF，发现和HBF 为定值 （1）； HBF； 小明为了证明，连接 AC 交 BD 于 O，连接 OH，证明了和的关系，请你 按他的思路证明 （2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图 2，k，BDA EAF（090） 求； （用 k
9、的代数式表示） （用 k、的代数式表示） 第 7页（共 24页） 第 8页（共 24页） 2021 年广东省深圳市中考数学试卷年广东省深圳市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题(每题每题 3 分，共分，共 30 分分) 1 （3 分）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，和“建”字所在面相 对的面上的字是（） A跟B百C走D年 【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，和“建”字所 在面相对的面上的字是“百” 故选：B 2 （3 分）的相反数（） A2021BC2021D 【解答】解：，则的相反数是 故选：B 3 （3 分
10、）不等式 x12 的解集在数轴上表示为（） AB CD 【解答】解：x12， 所以，x3， 在数轴上表示为： 第 9页（共 24页） 故选：A 4 （3 分） 你好，李焕英的票房数据是：109，133，120，118，124，那么这组数据的中 位数是（） A124B120C118D109 【解答】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列：109、118、120、124、133，处于最 中间位置的一个数是 120，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 120 故选：B 5 （3 分）下列运算中，正确的是（） A2a2a2a3B （a2）3a5Ca2+a3a5Da6a2a3 【解答】解：A、2a
11、2a2a3，计算正确，故此选项符合题意； B、 （a2）3a6，原计算错误，故此选项不符合题意； C、a2+a3，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； D、a6a2a4，原计算错误，故此选项不符合题意 故选：A 6 （3 分）计算|1tan60|的值为（） A1B0C1D1 【解答】解：原式|1| 故选：C 7 （3 分） 九章算术中记载：今有好田 1 亩，价值 300 钱；坏田 7 亩，价值 500 钱今 共买好、坏田 1 顷（1 顷100 亩） ，价钱 10000 钱问好、坏田各买了多少亩？设好田 买了 x 亩，坏田买了 y 亩，则下面所列方程组正确的是（） A B C D 第 10
12、页（共 24页） 【解答】解：设他买了 x 亩好田，y 亩坏田， 共买好、坏田 1 顷（1 顷100 亩） x+y100； 今有好田 1 亩，价值 300 钱；坏田 7 亩，价值 500 钱，购买 100 亩田共花费 10000 钱， 300 x+y10000 联立两方程组成方程组得： 故选：B 8 （3 分）如图，在点 F 处，看建筑物顶端 D 的仰角为 32，向前走了 15 米到达点 E 即 EF15 米，在点 E 处看点 D 的仰角为 64，则 CD 的长用三角函数表示为（） A15sin32B15tan64C15sin64D15tan32 【解答】解：CED64，F32，CEDF+ED
13、F， EDFCEDF643232， EDFF， DEEF， EF15 米， DE15 米， 在 RtCDE 中， sinCED， CDDEsinCED15sin64， 故选：C 9 （3 分） 二次函数 yax2+bx+1 的图象与一次函数 y2ax+b 在同一平面直角坐标系中的图 象可能是（） 第 11页（共 24页） AB CD 【解答】解：A、由抛物线可知，a0，b0，c1，对称轴为直线 x，由直线可 知，a0，b0，直线经过点（，0） ，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，对称轴为直线 x，直线经过点（，0） ，故本选项不符合 题意； C、由抛物线可知，对称轴为直线 x，直线经过点（
14、，0） ，故本选项不符合 题意； D、由抛物线可知，对称轴为直线 x，直线经过点（，0） ，故本选项不符合 题意； 故选：A 10 （3 分）在正方形 ABCD 中，AB2，点 E 是 BC 边的中点，连接 DE，延长 EC 至点 F， 使得 EFDE，过点 F 作 FGDE，分别交 CD、AB 于 N、G 两点，连接 CM、EG、EN， 下列正确的是（） tanGFB； MNNC； ； S四边形GBEM 第 12页（共 24页） A4B3C2D1 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ABBCCDAD， AB2，点 E 是 BC 边的中点， CE1， DNMFCN， FGDE， DMN9
15、0， DMNNCF90，GFBEDC， tanGFBtanEDC，正确； DMNNCF90，MNDCNF， MDNCFN ECDEMF，EFED，MDNCFN DECFEM（SAS） EMEC， DMFC， MDNCFN，MNDCNF，DMFC， DMNFCN（AAS） ， MNNC，故正确； BEEC，MEEC， BEME， 在 RtGBE 和 RtGME 中，BEME，GEGE， RtGBERtGME（HL） ， BEGMEG， 第 13页（共 24页） MEEC，EMCECM， EMC+ECMBEG+MEG， GEBMCE， MCGE， ， EFDE， CFEFEC1， ，故错误； 由上
16、述可知：BEEC1，CF51， BF+1， tanFtanEDC， GBBF，故正确， 故选：B 二、填空题二、填空题(每题每题 3 分，共分，共 15 分分) 11 （3 分）因式分解：7a2287（a+2） （a2） 【解答】解：7a2287（a24） 7（a+2） （a2） 故答案为：7（a+2） （a2） 12 （3 分）已知方程 x2+mx30 的一个根是 1，则 m 的值为2 【解答】解：把 x1 代入 x2+mx30 得 12+m30， 解得 m2 故答案是：2 13 （3 分）如图，已知BAC60，AD 是角平分线且 AD10，作 AD 的垂直平分线交 AC 于点 F，作 DE
17、AC，则DEF 周长为5+5 第 14页（共 24页） 【解答】解：AD 的垂直平分线交 AC 于点 F， FAFD， AD 平分BAC，BAC60， DAE30， DEAD5， AE5， DEF 周长DE+DF+EFDE+FA+EFDE+AE5+5， 故答案为：5+5 14 （3 分）如图，已知反比例函数过 A，B 两点，A 点坐标（2，3） ，直线 AB 经过原点，将 线段 AB 绕点 B 顺时针旋转 90得到线段 BC，则 C 点坐标为（4，7） 【解答】解：A 点坐标（2，3） ，直线 AB 经过原点， B（2，3） 过点 B 作 y 轴的平行线 l 过点 A，点 C 作 l 的垂线，
18、分别交于 D，E 两点，则 D（2，3） ， ABD+CBE90，ABD+BAD90， CBEBAD， 在ABD 与BEC 中， 第 15页（共 24页） ， ABDBEC（AAS） ， BEAD6，CEBD4， C（4，7） ， 故答案为（4，7） 15 （3 分）如图，在ABC 中，D，E 分别为 BC，AC 上的点，将CDE 沿 DE 折叠，得 到FDE，连接 BF，CF，BFC90，若 EFAB，AB4，EF10，则 AE 的长 为104 【解答】解：如图，延长 ED 交 FC 于 G，延长 BA，DE 交于点 M， 第 16页（共 24页） 将COE 沿 DE 折叠，得到FDE， E
19、FEC，DFDC，FEDCED， EGCF， 又BFC90， BFEG， ABEF， 四边形 BFEM 是平行四边形， BMEF10， AMBMAB104， ABEF， MFED， MCEDAEM， AEAM104， 故答案为：104 三、解答题三、解答题(共共 55 分分) 16 （6 分）先化简再求值： （），其中 x1 【解答】解：原式 ， 当 x1 时，原式1 第 17页（共 24页） 17 （6 分）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为 1 个单位 （1）过直线 m 作四边形 ABCD 的对称图形； （2）求四边形 ABCD 的面积 【解答】解： （1）如图所示，四边形 A
20、BCD即为所求； （2）四边形 ABCD 的面积SABD+SBCD41+438 18 （8 分）随机调查某城市 30 天空气质量指数（AQI） ，绘制成扇形统计图 空气质量等级空气质量指数（AQI）频数 优AQI50m 良50AQI10015 中100AQI1509 差AQI150n （1）m4，n2； （2）求良的占比； （3）求差的圆心角； （4）统计表是一个月内的空气污染指数统计，然后根据这个一个月内的统计进行估测一 第 18页（共 24页） 年的空气污染指数为中的天数，从统计表可以得到空气污染指数为中的有 9 天根据统 计表，一个月（30 天）中有9天 AQI 为中，估测该城市一年（以
21、 365 天计）中大约 有110天 AQI 为中 【解答】解： （1）根据题意，得 m304， 所以 n3041592， 故答案为：4，2； （2）良的占比100%50%； （3）差的圆心角36024； （4）根据统计表，一个月（30 天）中有 9 天 AQI 为中，估测该城市一年（以 365 天计） 中大约有 365110（天）AQI 为中 故答案为：9，110 19 （8 分）如图，AB 为O 的弦，D，C 为的三等分点，ACBE （1）求证：AE； （2）若 BC3，BE5，求 CE 的长 【解答】 （1）证明： ACBE， EACD， 第 19页（共 24页） D，C 为的三等分点，
22、， ACDA， EA， （2）解：由（1）知， DCBDAE， BEBD5，BCCD3，CBDBDE， ，即， 解得 DE， CEDECD3 20 （8 分）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为 8 万元，销售单价 x（万元）与销 售量 y（件）的关系如表所示： x（万元）10121416 y（件）40302010 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？ 【解答】解： （1）由表格中数据可知，y 与 x 之间的函数关系式为一次函数关系， 设 ykx+b（k0） ， 则， 解得：， y 与 x 的函数关系式 y5x+90； （2）设该产品
23、的销售利润为 w， 由题意得：wy（x8）（5x+90） （x8）5x2+130 x7205（x13）2+125， 50， 当 x13 时，w 最大，最大值为 125（万元） ， 答：当销售单价为 13 万元时，有最大利润，最大利润为 125 万元 第 20页（共 24页） 21 （9 分）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的 2 倍、倍、k 倍 （1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为 2 的正方形 的 2 倍？不存在（填“存在”或“不存在” ） （2） 继续探究， 是否存在一个矩形， 使其周长和面积都为长为 3， 宽为 2 的矩形的 2 倍？ 同学
24、们有以下思路： 设新矩形长和宽为 x、y，则依题意 x+y10，xy12，联立得 x210 x+12 0，再探究根的情况； 根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍； 如图也可用反比例函数与一次函数证明 l1：yx+10，l2：y，那么， a是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的 2 倍？存在 b请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若存在，用图象表达； c请直接写出当结论成立时 k 的取值范围：k 【解答】解： （1）由题意得，给定正方形的周长为 8，面积为 4， 若存在新正方形满足条件，则新正方形的周长为 16，面积为 8， 对应的边长为：4 和，不符合题意，
25、 不存在新正方形的周长和面积是边长为 2 的正方形的 2 倍 故答案为：不存在 （2）设新矩形长和宽为 x、y，则依题意 x+y2.5，xy3， 联立，得：2x25x+60， （5）2426230， 第 21页（共 24页） 此方程无解， 不存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的倍 a：从图象看来，函数 yx+10 和函数 y图象在第一象限有两个交点， 存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的 2 倍 故答案为：存在 b：设新矩形长和宽为 x、y，则依题意 x+y2.5，xy3， 联立，得：2x25x+60， （5）2426230， 此方程无解， 不存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的倍 从图象看来
26、，函数 yx+2.5 和函数 y图象在第一象限没有交点， 不存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的倍 c：设设新矩形长和宽为 x、y，则依题意 x+y5k，xy6k， 联立，得：x25kx+6k0， （5k）2416k25k224k， 设方程的两根为 x1，x2， 当0 即 25k224k0 时，x1+x25k0，x1x26k0， 解得：k或 k0（舍） ， k时，存在新矩形的周长和面积均为原矩形的 k 倍 故答案为：k 第 22页（共 24页） 22 （10 分）在正方形 ABCD 中，等腰直角AEF，AFE90，连接 CE，H 为 CE 中点， 连接 BH、BF、HF，发现和HBF 为定值
27、（1）； HBF45； 小明为了证明，连接 AC 交 BD 于 O，连接 OH，证明了和的关系，请你 按他的思路证明 （2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图 2，k，BDA EAF（090） 求； （用 k 的代数式表示） （用 k、的代数式表示） 【解答】解：；45； 由正方形的性质得：，O 为 AC 的中点， 又H 为 CE 的中点， 第 23页（共 24页） OHAE，OH， AEF 是等腰直角三角形， AE， ， OHAE， COHCAE， BOHBAF， BOHBAF， ， HBFHBO+DBFDBA45； （2）如图 2，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OH， 由（1）中问同理可证：DOHDAF， ， 由知：DOHDAF， HDOFDA， HDFBDA， 在HDF 中， 设 DF2t，HDkt， 作 HMDF 于 M， HMDHsinktsin，DMktcos， MFDFDM（2kcos）t， 在 RtHMF 中，由勾股定理得： 第 24页（共 24页） HF，
