1、第 1页（共 35页） 2021 年山东省青岛市中考数学试卷年山东省青岛市中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）剪纸是我国古老的民间艺术下列四个剪纸图案为轴对称图形的是（） AB CD 2 （3 分）下列各数为负分数的是（） A1B? ? ? C0D ? 3 （3 分）如图所示的几何体，其左视图是（） AB CD 4 （3 分）2021 年 3 月 5 日，李克强总理在政府工作报告中指出，我国脱贫攻坚成果举世瞩 目，5575 万农村贫困人口实现脱贫5575 万55750000，用科学记数法将 557
2、50000 表 示为（） A5575104B55.75105C5.575107D0.5575108 5 （3 分）如图，将线段 AB 先绕原点 O 按逆时针方向旋转 90，再向下平移 4 个单位，得 到线段 AB，则点 A 的对应点 A的坐标是（） 第 2页（共 35页） A （1，6）B （1，6）C （1，2）D （1，2） 6 （3 分）如图，AB 是O 的直径，点 E，C 在O 上，点 A 是? ?的中点，过点 A 画O 的切线， 交 BC 的延长线于点 D， 连接 EC 若ADB58.5， 则ACE 的度数为 （） A29.5B31.5C58.5D63 7 （3 分）如图，在四边形纸
3、片 ABCD 中，ADBC，AB10，B60，将纸片折叠， 使点 B 落在 AD 边上的点 G 处，折痕为 EF，若BFE45，则 BF 的长为（） A5B3 ?C5 ?D ? ? 8（3分） 已知反比例函数y? ? ?的图象如图所示， 则一次函数ycx+a和二次函数yax 2+bx+c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（） 第 3页（共 35页） AB CD 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 （3 分）计算： （ ? ? ? ?） ? ? 10 （3 分）在一个不透明的袋中装有若干个红球和 4 个黑球，每个球除颜色
4、外完全相同， 摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸球 100 次， 其中有 40 次摸到黑球，估计袋中红球的个数是 11 （3 分）车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间 t（h）与行驶的平均速度 v（km/h）之 间的反比例函数关系如图所示若列车要在 2.5h 内到达，则速度至少需要提高到 km/h 12 （3 分）已知甲、乙两队员射击的成绩如图，设甲、乙两队员射击成绩的方差分别为 S甲 2、S 乙 2，则 S 甲 2 S乙2（填“” 、 “” 、 “” ） 13 （3 分）如图，正方形 ABCD 内接于O，PA，PD 分别与O 相切于点 A 和点 D，PD 第
5、4页（共 35页） 的延长线与 BC 的延长线交于点 E已知 AB2，则图中阴影部分的面积为 14 （3 分）已知正方形 ABCD 的边长为 3，E 为 CD 上一点，连接 AE 并延长，交 BC 的延 长线于点 F，过点 D 作 DGAF，交 AF 于点 H，交 BF 于点 G，N 为 EF 的中点，M 为 BD 上 一 动 点 ， 分 别 连 接 MC ， MN 若 ?h ? ? ? ? ， 则 MN+MC 的 最 小 值 为 三、作图题（本大题满分三、作图题（本大题满分 4 分）分） 15 （4 分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 已知：O 及其一边上的两点 A，B 求作
6、：RtABC，使C90，且点 C 在O 内部，BACO 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 74 分）分） 16 （8 分） （1）计算： （x? ? ? ） ? ? ； 第 5页（共 35页） （2）解不等式组： ? ? ? ? ? ? ? ? 并写出它的整数解 17 （6 分）为践行青岛市中小学生“十个一”行动，某校举行文艺表演，小静和小丽想合 唱一首歌小静想唱红旗飘飘 ，而小丽想唱大海啊，故乡 她们想通过做游戏的 方式来决定合唱哪一首歌，于是一起设计了一个游戏：下面是两个可以自由转动的转盘， 每个转盘被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，若两个指针指向的
7、数字之积 小于 4，则合唱大海啊，故乡 ，否则合唱红旗飘飘 ；若指针刚好落在分割线上，则 需要重新转动转盘，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平 18 （6 分）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼 BC 的高 度如图所示，其中观景平台斜坡 DE 的长是 20 米，坡角为 37，斜坡 DE 底部 D 与大 楼底端 C 的距离 CD 为 74 米，与地面 CD 垂直的路灯 AE 的高度是 3 米，从楼顶 B 测得 路灯 AE 顶端 A 处的俯角是 42.6试求大楼 BC 的高度 （参考数据：sin37? ? ?，cos37? ? ?，tan37? ? ?，sin
8、42.6? ? ?，cos42.6? ? ?， tan42.6? ? ?t） 19 （6 分）在中国共产党成立一百周年之际，某校举行了以“童心向党”为主题的知识竞 赛活动发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于 60 分，现从中随机抽取 n 名 学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用 x 表示，共分成四组） ，并绘制成如下的竞 赛成绩分组统计表和扇形统计图，其中“90 x100”这组的数据如下： 第 6页（共 35页） 90，92，93，95，95，96，96，96，97，100 竞赛成绩分组统计表 组别竞赛成绩分组频数平均分 160 x70865 270 x80a75 380 x90b
9、88 490 x1001095 请根据以上信息，解答下列问题： （1）a； （2） “90 x100”这组数据的众数是分； （3）随机抽取的这 n 名学生竞赛成绩的平均分是分； （4）若学生竞赛成绩达到 96 分以上（含 96 分）获奖，请你估计全校 1200 名学生中获 奖的人数 20 （8 分）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价 比乙品牌高 6 元，用 1800 元购进甲品牌洗衣液的数量是用 1800 元购进乙品牌洗衣液数 量的? ?销售时，甲品牌洗衣液的售价为 36 元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为 28 元/瓶 （1）求两种品牌洗衣液的进价； （2）若超市
10、需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共 120 瓶，且购进两种洗衣液的总成本不 超过 3120 元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出 后所获利润最大？最大利润是多少元？ 21 （8 分）如图，在 ABCD 中，E 为 CD 边的中点，连接 BE 并延长，交 AD 的延长线于 点 F，延长 ED 至点 G，使 DGDE，分别连接 AE，AG，FG （1）求证：BCEFDE； （2）当 BF 平分ABC 时，四边形 AEFG 是什么特殊四边形？请说明理由 第 7页（共 35页） 22 （10 分）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的 相关数
11、据无人机上升到离地面 30 米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器 （高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力） ，在 1 秒时，它们距离地面都是 35 米，在 6 秒时，它们距离地面的高度也相同其中无人机离地面高度 y1（米）与小钢 球运动时间 x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度 y2（米）与它的运动 时间 x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示 （1）直接写出 y1与 x 之间的函数关系式； （2）求出 y2与 x 之间的函数关系式； （3）小钢球弹射 1 秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？ 23 （10 分）问题提出： 最长边长为 128 的
12、整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三 角形 ） 问题探究： 为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般 性的结论 （1）如表，最长边长为 1 的整数边三角形，显然，最短边长是 1，第三边长也是 1按 照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为（1，1，1） ，有 1 个，所以总共有 1 第 8页（共 35页） 11 个整数边三角形 表 最长边长 最短边长 （最长边 长，最短 边长，第 三边长） 整数边三 角形个数 计算方法算式 11（1， 1， 1）11 个 111 （2）如表，最长边长为 2 的整数边三角形，最短边长是 1 或 2根
13、据三角形任意两边 之和大于第三边，当最短边长为 1 时，第三边长只能是 2，记为（2，1，2） ，有 1 个；当 最短边长为 2 时，显然第三边长也是 2，记为（2，2，2） ，有 1 个，所以总共有 1+11 22 个整数边三角形 表 最长边长 最短边长 （最长边 长，最短 边长，第 三边长） 整数边三 角形个数 计算方法算式 21（2， 1， 2）12 个 112 2（2， 2， 2）1 （3）下面在表中总结最长边长为 3 的整数边三角形个数情况： 表 最长边长 最短边长 （最长边长， 最短边长，第 三边长 整数边三 角形个数 计算方法算式 31（3，1，3）12 个 222 2（3， 2
14、， 2） ，（3， 2，3） 2 3（3，3，3）1 （4）下面在表中总结最长边长为 4 的整数边三角形个数情况： 第 9页（共 35页） 表 最长边长 最短边长 （最长边长，最 短边长，第三边 长） 整数边三 角形个数 计算方法算式 41（4，1，4）13 个 223 2（4，2，3） ， （4， 2，4） 2 3（4，3，3） ， （4， 3，4） 2 4（4，4，4）1 （5）请在表中总结最长边长为 5 的整数边三角形个数情况并填空： 表 最长边长 最短边长（最长边 长，最短边 长，三边长 整数边三 角形个数 计算方法算式 51（5，1，5）1 2（5，2，4） （5，2，5） 2 3
15、4（5，4，4） （5，4，5） 2 5（5，5，5）1 问题解决： （1）最长边长为 6 的整数边三角形有个 （2）在整数边三角形中，设最长边长为 n，总结上述探究过程，当 n 为奇数或 n 为偶数 时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为 n 的整数边三角形的个数 （3）最长边长为 128 的整数边三角形有个 拓展延伸： 第 10页（共 35页） 在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为 9 的直三棱柱有个 24 （12 分）已知：如图，在矩形 ABCD 和等腰 RtADE 中，AB8cm，ADAE6cm， DAE90点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为
16、1cm/s；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DB 方向匀速运动，速度为 1cms过点 Q 作 QMBE，交 AD 于点 H，交 DE 于点 M，过点 Q 作 QNBC，交 CD 于点 N分别连接 PQ，PM，设运动时间为 t（s） （0 t8） 解答下列问题： （1）当 PQBD 时，求 t 的值； （2）设五边形 PMDNQ 的面积为 S（cm2） ，求 S 与 t 之间的函数关系式； （3）当 PQPM 时，求 t 的值； （4）若 PM 与 AD 相交于点 W，分别连接 QW 和 EW在运动过程中，是否存在某一时 刻 t，使AWEQWD？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 第
17、 11页（共 35页） 2021 年山东省青岛市中考数学试卷年山东省青岛市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）剪纸是我国古老的民间艺术下列四个剪纸图案为轴对称图形的是（） AB CD 【解答】解：A、不是轴对称图形，本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、是轴对称图形，本选项符合题意； D、不是轴对称图形，本选项不符合题意 故选：C 2 （3 分）下列各数为负分数的是（） A1B? ? ? C0D ? 【解答】解：在正分数前面加负号的数
18、叫做负分数，且分数属于有理数， 只有 B 选项符合题意， 故选：B 3 （3 分）如图所示的几何体，其左视图是（） AB 第 12页（共 35页） CD 【解答】解：这个几何体的左视图为： 故选：A 4 （3 分）2021 年 3 月 5 日，李克强总理在政府工作报告中指出，我国脱贫攻坚成果举世瞩 目，5575 万农村贫困人口实现脱贫5575 万55750000，用科学记数法将 55750000 表 示为（） A5575104B55.75105C5.575107D0.5575108 【解答】解：557500005.575107， 故选：C 5 （3 分）如图，将线段 AB 先绕原点 O 按逆时
19、针方向旋转 90，再向下平移 4 个单位，得 到线段 AB，则点 A 的对应点 A的坐标是（） A （1，6）B （1，6）C （1，2）D （1，2） 【解答】解：A 点绕 O 点逆时针旋转 90，得到点 A（1，2） ， A向下平移 4 个单位，得到 A（1，2） ， 故选：D 第 13页（共 35页） 6 （3 分）如图，AB 是O 的直径，点 E，C 在O 上，点 A 是? ?的中点，过点 A 画O 的切线， 交 BC 的延长线于点 D， 连接 EC 若ADB58.5， 则ACE 的度数为 （） A29.5B31.5C58.5D63 【解答】解：AD 是O 的切线， BAAD， ADB
20、58.5， B90ADB31.5， AB 是O 的直径， ACB90， BAC90B58.5， 点 A 是? ?的中点， BAEC， ACE90BAC31.5， 故选：B 7 （3 分）如图，在四边形纸片 ABCD 中，ADBC，AB10，B60，将纸片折叠， 使点 B 落在 AD 边上的点 G 处，折痕为 EF，若BFE45，则 BF 的长为（） 第 14页（共 35页） A5B3 ?C5 ?D ? ? 【解答】解：由折叠知：BFGF，BFEGFE， BFE45， BFG90， 过点 A 作 AHBC 于 H， 在 RtABH 中，AHsin60AB? ? ? ? ?t ?5 ?， ADBC
21、， GAHAHB90， GAHAHBBFG90， 四边形 AHFG 是矩形， FGAH5 ?， BFGF5 ? 故选：C 8（3分） 已知反比例函数y? ? ?的图象如图所示， 则一次函数ycx+a和二次函数yax 2+bx+c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（） 第 15页（共 35页） AB CD 【解答】解：反比例函数的图象在二、四象限， b0， A、二次函数图象开口向上，对称轴在 y 轴右侧，交 y 轴的负半轴， a0，b0，c0， 一次函数图象应该过第一、二、四象限，A 错误； B、二次函数图象开口向下，对称轴在 y 轴右侧， a0，b0， 与 b0 矛盾，B 错误； C、二次函
22、数图象开口向下，对称轴在 y 轴右侧， a0，b0， 与 b0 矛盾，C 错误； D、二次函数图象开口向上，对称轴在 y 轴右侧，交 y 轴的负半轴， a0，b0，c0， 一次函数图象应该过第一、二、四象限，D 正确 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 （3 分）计算： （ ? ? ? ?） ? ?5 【解答】解：原式? ? ? ? ? ? ? ? 4+1 5 故答案为 5 第 16页（共 35页） 10 （3 分）在一个不透明的袋中装有若干个红球和 4 个黑球，每个球除颜色外完全相同， 摇匀后从中摸出一个球，
23、记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸球 100 次， 其中有 40 次摸到黑球，估计袋中红球的个数是6 【解答】解：设袋中红球的个数是 x 个，根据题意得： ? ? ? ?t ?tt， 解得：x6， 经检验：x6 是分式方程的解， 即估计袋中红球的个数是 6 个， 故答案为 6 11 （3 分）车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间 t（h）与行驶的平均速度 v（km/h）之 间的反比例函数关系如图所示若列车要在 2.5h 内到达，则速度至少需要提高到240 km/h 【解答】解：从甲地驶往乙地的路程为 2003600（km） ， 汽车行驶完全程所需的时间 t （h） 与行驶的平均速度
24、v （km/h） 之间的关系式为 t? ?tt ? ， 当 t2.5h 时，即 2.5? ?tt ? ， v240， 答：列车要在 2.5h 内到达，则速度至少需要提高到 240km/h 故答案为：240 12 （3 分）已知甲、乙两队员射击的成绩如图，设甲、乙两队员射击成绩的方差分别为 S甲 2、S 乙 2，则 S 甲 2 S乙2（填“” 、 “” 、 “” ） 第 17页（共 35页） 【解答】解：甲射击的成绩为：6，7，7，7，8，8，9，9，9，10， 乙射击的成绩为：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10， 则?甲? ? ?t ?（6+73+82+93+10）8， ?乙? ? ?t
25、 ?（6+72+84+92+10）8， S甲2? ? ?t ?（68）2+3（78）2+2（88）2+3（98）2+（108）2 ? ? ?t ?4+3+3+4 1.4； S乙2? ? ?t ?（68）2+2（78）2+4（88）2+2（98）2+（108）2 ? ? ?t ?4+2+2+4 1.2； 1.41.2， S甲2S乙2， 故答案为： 13 （3 分）如图，正方形 ABCD 内接于O，PA，PD 分别与O 相切于点 A 和点 D，PD 的延长线与 BC 的延长线交于点 E已知 AB2，则图中阴影部分的面积为5 【解答】解：连接 AC，OD， 第 18页（共 35页） 四边形 BCD
26、是正方形， B90， AC 是O 的直径，AOD90， PA，PD 分别与O 相切于点 A 和点 D， PAOPDO90， 四边形 AODP 是矩形， OAOD， 矩形 AODP 是正方形， P90，APAO，ACPE， EACB45， CDE 是等腰直角三角形， AB2， AC2AO2 ?，DE?CD2 ?， APPDAO?， PE3 ?， 图中阴影部分的面积? ? ?（AC+PE）AP? ? ?AO 2? ?（2 ? ?3 ?） ? ? ? ?（ ?） 2 5， 故答案为：5 14 （3 分）已知正方形 ABCD 的边长为 3，E 为 CD 上一点，连接 AE 并延长，交 BC 的延 长线
27、于点 F，过点 D 作 DGAF，交 AF 于点 H，交 BF 于点 G，N 为 EF 的中点，M 为 BD 上一动点，分别连接 MC，MN若?h ? ? ? ?，则 MN+MC 的最小值为 2 ?t 第 19页（共 35页） 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， A 点与 C 点关于 BD 对称， CMAM， MN+CMMN+AMAN， 当 A、M、N 三点共线时，MN+CM 的值最小， ADCF， DAEF， DAE+DEH90， DGAF， CDG+DEH90， DAECDG， CDGF， DCGFCE， ?h ? ? ? ?， ? ? ? ? ?， 正方形边长为 3， CF6， A
28、DCF， ? ? ? ? ? ? ? ?， DE1，CE2， 在 RtCEF 中，EF2CE2+CF2， EF? ?2 ?t， N 是 EF 的中点， 第 20页（共 35页） EN?t， 在 RtADE 中，EA2AD2+DE2， AE? ?t， AN2 ?t， MN+MC 的最小值为 2 ?t， 故答案为：2 ?t 三、作图题（本大题满分三、作图题（本大题满分 4 分）分） 15 （4 分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 已知：O 及其一边上的两点 A，B 求作：RtABC，使C90，且点 C 在O 内部，BACO 【解答】解：如图，RtABC 为所作 四、解答题（本大题共
29、四、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 74 分）分） 16 （8 分） （1）计算： （x? ? ? ） ? ? ； （2）解不等式组： ? ? ? ? ? ? ? ? 并写出它的整数解 【解答】解： （1） （x? ? ? ） ? ? 第 21页（共 35页） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； （2） ? ? ? ? ? ? ? ? 解不等式得：x1， 解不等式得：x2， 不等式组的解集为：1x2， 不等式组的整数解为：1，0，1 17 （6 分）为践行青岛市中小学生“十个一”行动，某校举行文艺表演，小静和小丽想合 唱一首歌小静想唱红旗飘飘 ，而小丽想唱大海
30、啊，故乡 她们想通过做游戏的 方式来决定合唱哪一首歌，于是一起设计了一个游戏：下面是两个可以自由转动的转盘， 每个转盘被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，若两个指针指向的数字之积 小于 4，则合唱大海啊，故乡 ，否则合唱红旗飘飘 ；若指针刚好落在分割线上，则 需要重新转动转盘，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平 【解答】解：根据题意画树状图如下： 共有 12 种等可能的结果，其中数字之积小于 4 的有 5 种结果， 合唱大海啊，故乡的概率是 ? ?， 合唱红旗飘飘的概率是 ? ?， ? ? ? ?， 第 22页（共 35页） 游戏不公平 18 （6 分）某校数学社团开展“探索
31、生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼 BC 的高 度如图所示，其中观景平台斜坡 DE 的长是 20 米，坡角为 37，斜坡 DE 底部 D 与大 楼底端 C 的距离 CD 为 74 米，与地面 CD 垂直的路灯 AE 的高度是 3 米，从楼顶 B 测得 路灯 AE 顶端 A 处的俯角是 42.6试求大楼 BC 的高度 （参考数据：sin37? ? ?，cos37? ? ?，tan37? ? ?，sin42.6? ? ?，cos42.6? ? ?， tan42.6? ? ?t） 【解答】解：延长 AE 交 CD 延长线于 M，过 A 作 ANBC 于 N，如图所示： 则四边形 AMCN 是矩
32、形， NCAM，ANMC， 在 RtEMD 中，EDM37， sinEDM? ?t ?，cosEDM? ?t ?， EMEDsin3720 ? ? ?12（米） ，DMEDcos3720 ? ? ?16（米） ， ANMCCD+DM74+1690（米） ， 在 RtANB 中，BAN42.6， tanBAN? ?t ?t， BNANtan42.690 ? ?t ?81（米） ， BCBN+AE+EN81+3+1296（米） ， 答：大楼 BC 的高度约为 96 米 第 23页（共 35页） 19 （6 分）在中国共产党成立一百周年之际，某校举行了以“童心向党”为主题的知识竞 赛活动发现该校全体
33、学生的竞赛成绩（百分制）均不低于 60 分，现从中随机抽取 n 名 学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用 x 表示，共分成四组） ，并绘制成如下的竞 赛成绩分组统计表和扇形统计图，其中“90 x100”这组的数据如下： 90，92，93，95，95，96，96，96，97，100 竞赛成绩分组统计表 组别竞赛成绩分组频数平均分 160 x70865 270 x80a75 380 x90b88 490 x1001095 请根据以上信息，解答下列问题： （1）a12； （2） “90 x100”这组数据的众数是96分； （3）随机抽取的这 n 名学生竞赛成绩的平均分是82.6分； （4）若学生
34、竞赛成绩达到 96 分以上（含 96 分）获奖，请你估计全校 1200 名学生中获 奖的人数 第 24页（共 35页） 【解答】解： （1）816%50（名） ， 5024%12（名） ， 因此 a12， 故答案为：12； （2） “90 x100”这组的数据中出现最多的是 96， “90 x100”这组数据的众数是 96 分， 故答案为：96； （3）第 3 组的频数 b508121020， 随机抽取的这 n 名学生竞赛成绩的平均分是： ? ?t ?（658+7512+8820+9510） 82.6（分） ， 故答案为：82.6； （4）1200 ? ?t ?120（人） ， 答：估计全校
35、1200 名学生中获奖的人数有 120 人 20 （8 分）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价 比乙品牌高 6 元，用 1800 元购进甲品牌洗衣液的数量是用 1800 元购进乙品牌洗衣液数 量的? ?销售时，甲品牌洗衣液的售价为 36 元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为 28 元/瓶 （1）求两种品牌洗衣液的进价； （2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共 120 瓶，且购进两种洗衣液的总成本不 超过 3120 元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出 后所获利润最大？最大利润是多少元？ 【解答】解： （1）设甲品牌洗衣液每瓶的进价
36、是 x 元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是（x 6）元， 依题意得：?tt ? ? ?tt ? ? ? ?， 解得：x30， 经检验，x30 是原方程的解，且符合题意， 第 25页（共 35页） x624（元） 答：甲品牌洗衣液每瓶的进价是 30 元，乙品牌洗衣液每瓶的进价是 24 元； （2）设可以购买甲品牌洗衣液 m 瓶，则可以购买（120m）瓶乙品牌洗衣液， 依题意得：30m+24（120m）3120， 解得：m40 依题意得：y（3630）m+（2824） （120m）2m+480， k20， y 随 m 的增大而增大， m40 时，y 取最大值，y最大值240+480560 120408
37、0（瓶） ， 答：超市应购进甲品牌洗衣液 40 瓶，乙品牌洗衣液 80 瓶，才能在两种洗衣液完全售出 后所获利润最大，最大利润是 560 元 21 （8 分）如图，在 ABCD 中，E 为 CD 边的中点，连接 BE 并延长，交 AD 的延长线于 点 F，延长 ED 至点 G，使 DGDE，分别连接 AE，AG，FG （1）求证：BCEFDE； （2）当 BF 平分ABC 时，四边形 AEFG 是什么特殊四边形？请说明理由 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， DFECBE， E 为 CD 边的中点， DECE， 在BCE 和FDE 中， 第 26页（共 35页）
38、 ? ? ? ? ? ? ? ? ， BCEFDE（AAS） ； （2）解：四边形 AEFG 是矩形，理由如下： 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， AFBFBC， 由（1）得：BCEFDE， BCFD，BEFE， FDAD， GDDE， 四边形 AEFG 是平行四边形， BF 平分ABC， FBCABF， AFBABF， AFAB， BEFE， AEFE， AEF90， 平行四边形 AEFG 是矩形 22 （10 分）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的 相关数据无人机上升到离地面 30 米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器 （高
39、度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力） ，在 1 秒时，它们距离地面都是 35 米，在 6 秒时，它们距离地面的高度也相同其中无人机离地面高度 y1（米）与小钢 球运动时间 x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度 y2（米）与它的运动 时间 x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示 （1）直接写出 y1与 x 之间的函数关系式； （2）求出 y2与 x 之间的函数关系式； （3）小钢球弹射 1 秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？ 第 27页（共 35页） 【解答】解： （1）设 y1与 x 之间的函数关系式为 y1kx+b， 函数图象过点（0，30）和（1，3
40、5） ， 则 ? ? ? ? ? ? ? ?t ， 解得： ? ? ? ? ? ?t， y1与 x 之间的函数关系式为 y15x+30； （2）x6 时，y156+3060， y2的图象是过原点的抛物线， 设 y2ax2+bx， 点（1.35） ， （6.60）在抛物线 y2ax2+bx 上， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?t， 解得： ? ? ? ? ? ?t ， y25x2+40 x， 答：y2与 x 的函数关系式为 y25x2+40 x； （3）设小钢球和无人机的高度差为 y 米， 由5x2+40 x0 得，x0 或 x8， 1x6 时， yy2y15x2+40 x5x305x2
41、+35x305（x? ? ?） 2? ? a50， 抛物线开口向下， 又1x6， 当 x? ? ?时，y 的最大值为 ? ? ； 第 28页（共 35页） 6x8 时，yy1y25x+30+5x240 x5x235x+305（x? ? ?） 2? ? ， a50， 抛物线开口向上， 又对称轴是直线 x? ? ?， 当 x ? ?时，y 随 x 的增大而增大， 6x8， 当 x8 时，y 的最大值为 70， ? ? 70， 高度差的最大值为 70 米 23 （10 分）问题提出： 最长边长为 128 的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三 角形 ） 问题探究： 为了探究规
42、律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般 性的结论 （1）如表，最长边长为 1 的整数边三角形，显然，最短边长是 1，第三边长也是 1按 照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为（1，1，1） ，有 1 个，所以总共有 1 11 个整数边三角形 表 最长边长 最短边长 （最长边 长，最短 边长，第 三边长） 整数边三 角形个数 计算方法算式 11（1， 1， 1）11 个 111 （2）如表，最长边长为 2 的整数边三角形，最短边长是 1 或 2根据三角形任意两边 之和大于第三边，当最短边长为 1 时，第三边长只能是 2，记为（2，1，2） ，有 1 个；当 最短
43、边长为 2 时，显然第三边长也是 2，记为（2，2，2） ，有 1 个，所以总共有 1+11 22 个整数边三角形 第 29页（共 35页） 表 最长边长 最短边长 （最长边 长，最短 边长，第 三边长） 整数边三 角形个数 计算方法算式 21（2， 1， 2）12 个 112 2（2， 2， 2）1 （3）下面在表中总结最长边长为 3 的整数边三角形个数情况： 表 最长边长 最短边长 （最长边长， 最短边长，第 三边长 整数边三 角形个数 计算方法算式 31（3，1，3）12 个 222 2（3， 2， 2） ，（3， 2，3） 2 3（3，3，3）1 （4）下面在表中总结最长边长为 4 的
44、整数边三角形个数情况： 表 最长边长 最短边长 （最长边长，最 短边长，第三边 长） 整数边三 角形个数 计算方法算式 41（4，1，4）13 个 223 2（4，2，3） ， （4， 2，4） 2 3（4，3，3） ， （4， 3，4） 2 4（4，4，4）1 （5）请在表中总结最长边长为 5 的整数边三角形个数情况并填空： 第 30页（共 35页） 表 最长边长 最短边长（最长边 长，最短边 长，三边长 整数边三 角形个数 计算方法算式 51（5，1，5）13 个 333 2（5，2，4） （5，2，5） 2 3（5，3，3） （5，3，4） （5，3，5） 3 4（5，4，4） （5，4
45、，5） 2 5（5，5，5）1 问题解决： （1）最长边长为 6 的整数边三角形有12个 （2）在整数边三角形中，设最长边长为 n，总结上述探究过程，当 n 为奇数或 n 为偶数 时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为 n 的整数边三角形的个数 （3）最长边长为 128 的整数边三角形有4160个 拓展延伸： 在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为 9 的直三棱柱有285个 【解答】解： （1）最长边三角形个数 111 212 322 423 533 634 . 故答案是：12； 第 31页（共 35页） （2）最长边是奇数时算式 111 322 533 744 . n?
46、? ? ?， 最长边是偶数时算式 212 423 634 . n ? ? ? ? ? ? ? ?； （3）当 n128 时， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4160； 故答案是 4160； 拓展延伸： 当侧棱是 9 时， 底边三角形的最长边可以是 1，2，3，4，5，6，7，8， 直三棱柱个数共：1+2+4+6+9+12+16+2070， 当 9 是底的棱长时， ? ? ? ?9225， 70+225295， 故答案是 295 24 （12 分）已知：如图，在矩形 ABCD 和等腰 RtADE 中，AB8cm，ADAE6cm， DAE90点 P 从点 B
47、 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DB 方向匀速运动，速度为 1cms过点 Q 作 QMBE，交 AD 于点 H，交 DE 于点 M，过点 Q 作 QNBC，交 CD 于点 N分别连接 PQ，PM，设运动时间为 t（s） （0 第 32页（共 35页） t8） 解答下列问题： （1）当 PQBD 时，求 t 的值； （2）设五边形 PMDNQ 的面积为 S（cm2） ，求 S 与 t 之间的函数关系式； （3）当 PQPM 时，求 t 的值； （4）若 PM 与 AD 相交于点 W，分别连接 QW 和 EW在运动过程中，是否存在某一时 刻 t
48、，使AWEQWD？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）如图 1 中， 由题意，BPDQt（cm） ， 在矩形 ABCD 中，AB8cm，BCAD6cm，BAD90， BD ? ? ?10（cm） ， PQBD， PQB90， cosPBQ? ? ? ? ? ?， ?t? ? ? ? ?t， t? ?t ? ， 答：当 PQBD 时，t 的值为?t ? 第 33页（共 35页） （2）如图 2 中，过点 P 作 POQM 于点 O 在等腰 RtADE 中，ADAE6，EAD90， BEAB+AE8+614（cm） ， QMBE， POHPAHOHA90， 四边形 O
49、PAH 是矩形， POAH， QMEB， DQMQDM， QDMQDM， DQMDBE， ?t ? ? ? ?， ?t ? ? ? ?t， QM? ? ?t（cm） ， QNBC， DNQC90， CDBCDB， NDQCDB， ? ? ? ?t ? t? ?， ? ?t ? ?t ? ? t? ? ， DN? ? ?t（cm） ，QN? ? ?t（cm） 第 34页（共 35页） SS四边形DQPM+SDNQ ? ? ?（PQ+DH）QM? ? ?QNND ? ? ?（HA+DH）QM? ? ?QNND ? ? ?ADQM? ? ?QNND ? ? ? ?6 ? ?t? ? ? ? ? ?t
50、 ? ?t ? ? ?t 2? ? t S 与 t 之间的函数关系式为：S? ? ?t 2? ? t（0t8） （3）如图 3 中，延长 NQ 交 BE 于点 G 由（1） （2）可知 DCAB，DNQ90，POQM， DNQNGABAD90， 四边形 NGAD 是矩形， BGCN（8? ? ?t） （cm） ， 同理可证，四边形 PGQO 是矩形， QOPGBPCNt（8? ? ?t）（ ? ?t8） （cm） ， ? ? ? ? ?t? ? ?t8， t? ?t ?， 答：当 PQPM 时，t 的值为?t ? （4）存在 第 35页（共 35页） 理由：如图 4 中， 由（2）得 DN?
