1、第 1页（共 31页） 2021 年山东省烟台市中考数学试卷年山东省烟台市中考数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分）每小题都给出标号为分）每小题都给出标号为 A,B,C,D 四个备选答案，其中有且只有一个是正确的四个备选答案，其中有且只有一个是正确的 1 （3 分）若 x 的相反数是 3，则 x 的值是（） A3B? ? ? C3D3 2 （3 分）下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） ABCD 3 （3 分）下列计算正确的是（） Aa2a3a6Ba2+a3a5C （a2）3a6Da2a3a 4 （
2、3 分）一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后，如图所示，则该几何体的左视图是 （） ABCD 5 （3 分）2021 年 5 月 15 日，天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的 重要一步已知火星与地球的近距离约为 5500 万公里，5500 万用科学记数法表示为 （） A0.55108B5.5107C55106D5.5103 6 （3 分）一副三角板如图放置，两三角板的斜边互相平行，每个三角板的直角顶点都在另 一个三角板的斜边上，图中的度数为（） 第 2页（共 31页） A45B60C75D85 7 （3 分）如图，在直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 A，B，C 在坐标轴
3、上，若点 B 的坐 标为（1，0） ，BCD120，则点 D 的坐标为（） A （2，2）B （ ?，2）C （3， ?）D （2， ?） 8 （3 分）如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果 如下： 按键的结果为 m； 按键的结果为 n； 按键的结果为 k 下列判断正确的是（） AmnBnkCmkDmnk 第 3页（共 31页） 9 （3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2mnx+m+n0，其中 m，n 在数轴上的对应点如图 所示，则这个方程的根的情况是（） A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根 C没有实数根D无法确定 10 （3 分）连接正六边形不
4、相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示 的镖盘，将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为（） A? ? B? ? C? ? D ? ? 11 （3 分）如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点 A（1，0） ，B（3，0） ，与 y 轴交 于点 C下列结论： ac0； 当 x0 时，y 随 x 的增大而增大； 3a+c0； a+bam2+bm 其中正确的个数有（） A1 个B2 个C3 个D4 个 12 （3 分）由 12 个有公共顶点 O 的直角三角形拼成的图形如图所示，AOBBOC LOM30若 OA16，则 OG 的长为（） 第 4页（共 31页） A
5、? ? B? ? C? ? ? D? ? ? 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 13 （3 分）若代数式 ? ? 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为 14 （3 分） 九章算术中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法如图所示，在井 口 A 处立一根垂直于井口的木杆 AB，从木杆的顶端 B 观察井水水岸 D，视线 BD 与井口 的直径 AC 交于点 E， 如果测得 AB1 米， AC1.6 米， AE0.4 米， 那么 CD 为米 15 （3 分）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书” 把洛书用今天的
6、数学符号 翻译出来， 就是一个三阶幻方 将数字 19 分别填入如图所示的幻方中， 要求每一横行， 每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是 15，则 a 的值为 16 （3 分）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为 40 米， 当无人机与旗杆的水平距离是 45 米时， 观测旗杆顶部的俯角为 30， 则旗杆的高度约为 米 （结果精确到 1 米，参考数据： ? ?1.41， ? ?1.73） 第 5页（共 31页） 17 （3 分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，O 是ABC 的外接圆， 点 A，B，O 在网格线的交点上，则 sinACB 的值是 18 （
7、3 分）综合实践活动课上，小亮将一张面积为 24cm2，其中一边 BC 为 8cm 的锐角三角 形纸片（如图 1） ，经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形 BCDE（如图 2） ， 则矩形的周长为cm 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 个小题，满分个小题，满分 66 分分 19 （6 分）先化简，再求值：? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，从2x2 中选出合适的 x 的 整数值代入求值 20 （8 分）2021 年是中国共产党成立 100 周年为普及党史知识，培养爱国主义精神，今 年五月份，某市党校举行党史知识竞赛，每个班级各选派 15 名学员参加了网上测试，现 对甲、
8、乙两班学员的分数进行整理分析如下： 甲班 15 名学员测试成绩（满分 100 分）统计如下： 87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98 乙班 15 名学员测试成绩（满分 100 分）统计如下： 77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89 第 6页（共 31页） （1）按如表分数段整理两班测试成绩 班级70.5 75.5 75.5 80.5 80.5 85.5 85.5 90.5 90.5 95.5 95.5 100.5 甲12a512 乙033621 表中 a； （2）补全甲班 15 名学员测试成绩的
9、频数分布直方图； （3）两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示： 班级平均数众数中位数方差 甲86x8644.8 乙8688y36.7 表中 x，y （4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是班； （5）本次测试两班的最高分都是 98 分，其中甲班 2 人，乙班 1 人现从以上三人中随 机抽取两人代表党校参加全市党史知识竞赛，利用树状图或表格求出恰好抽取甲、乙两 班各一人参加全市党史知识竞赛的概率 第 7页（共 31页） 21 （8 分）如图，正比例函数 y? ? ?x 与反比例函数 y? ? （x0）的图象交于点 A，过点 A 作 ABy 轴于点 B，OB4，点 C
10、在线段 AB 上，且 ACOC （1）求 k 的值及线段 BC 的长； （2）点 P 为 B 点上方 y 轴上一点，当POC 与PAC 的面积相等时，请求出点 P 的坐 标 22 （9 分）直播购物逐渐走进了人们的生活某电商在抖音上对一款成本价为 40 元的小商 品进行直播销售，如果按每件 60 元销售，每天可卖出 20 件通过市场调查发现，每件 小商品售价每降低 5 元，日销售量增加 10 件 （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件 62.5 元为提高市场竞争力， 促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销
11、售，使其销售价格不超过（1）中的售价， 则该商品至少需打几折销售？ 23 （10 分）如图，已知 RtABC 中，C90 （1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） 作BAC 的角平分线 AD，交 BC 于点 D； 作线段 AD 的垂直平分线 EF 与 AB 相交于点 O； 以点 O 为圆心，以 OD 长为半径画圆，交边 AB 于点 M （2）在（1）的条件下，求证：BC 是O 的切线； （3）若 AM4BM，AC10，求O 的半径 第 8页（共 31页） 24 （11 分）有公共顶点 A 的正方形 ABCD 与正方形 AEGF 按如图 1 所示放置，点 E，F 分 别在边 AB
12、 和 AD 上，连接 BF，DE，M 是 BF 的中点，连接 AM 交 DE 于点 N 【观察猜想】 （1）线段 DE 与 AM 之间的数量关系是，位置关系是； 【探究证明】 （2） 将图 1 中的正方形 AEGF 绕点 A 顺时针旋转 45， 点 G 恰好落在边 AB 上， 如图 2， 其他条件不变，线段 DE 与 AM 之间的关系是否仍然成立？并说明理由 25 （14 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 经过点 A（2，0） ，B（4，0） ，与 y 轴正半轴交于 点 C，且 OC2OA，抛物线的顶点为 D，对称轴交 x 轴于点 E直线 ymx+n 经过 B， C 两点 （1）求抛物线及
13、直线 BC 的函数表达式； （2）点 F 是抛物线对称轴上一点，当 FA+FC 的值最小时，求出点 F 的坐标及 FA+FC 的 最小值； （3）连接 AC，若点 P 是抛物线上对称轴右侧一点，点 Q 是直线 BC 上一点，试探究是 否存在以点 E 为直角顶点的 RtPEQ，且满足 tanEQPtanOCA若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 第 9页（共 31页） 第 10页（共 31页） 2021 年山东省烟台市中考数学试卷年山东省烟台市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，
14、满分 36 分）每小题都给出标号为分）每小题都给出标号为 A,B,C,D 四个备选答案，其中有且只有一个是正确的四个备选答案，其中有且只有一个是正确的 1 （3 分）若 x 的相反数是 3，则 x 的值是（） A3B? ? ? C3D3 【解答】解：3 的相反数是 3， x3 故选：A 2 （3 分）下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） ABCD 【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； C是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意 故选
15、：D 3 （3 分）下列计算正确的是（） Aa2a3a6Ba2+a3a5C （a2）3a6Da2a3a 【解答】解：Aa2a3a5，故此选项不符合题意； Ba2与 a3不是同类项，不能进行合并计算，故此选项不符合题意； C （a2）3a6，正确，故此选项符合题意； Da2a3? ? ?，故此选项不符合题意， 故选：C 4 （3 分）一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后，如图所示，则该几何体的左视图是 （） 第 11页（共 31页） ABCD 【解答】解：从左边看，是一个正方形，正方形的中间有一条横向的虚线 故选：C 5 （3 分）2021 年 5 月 15 日，天问一号探测器成功着陆火星，迈
16、出了我国星际探测征程的 重要一步已知火星与地球的近距离约为 5500 万公里，5500 万用科学记数法表示为 （） A0.55108B5.5107C55106D5.5103 【解答】解：5500 万550000005.5107 故选：B 6 （3 分）一副三角板如图放置，两三角板的斜边互相平行，每个三角板的直角顶点都在另 一个三角板的斜边上，图中的度数为（） A45B60C75D85 【解答】解：如图， 第 12页（共 31页） EFBC， FDCF30， FDC+C30+4575， 故选：C 7 （3 分）如图，在直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 A，B，C 在坐标轴上，若点 B 的坐
17、标为（1，0） ，BCD120，则点 D 的坐标为（） A （2，2）B （ ?，2）C （3， ?）D （2， ?） 【解答】解：菱形 ABCD，BCD120， ABC60， B（1，0） ， OB1，OA?，AB2， A（0， ?） ， BCAD2， OCBCOB211， C（1，0） ，D（2， ?） ， 故选：D 8 （3 分）如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果 如下： 按键的结果为 m； 按键的结果为 n； 按键的结果为 k 第 13页（共 31页） 下列判断正确的是（） AmnBnkCmkDmnk 【解答】解：m23? ?844； n? ? ?
18、?22440； k? ? ? ?cos60? ? ? ? ? ? ?4； mk， 故选：C 9 （3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2mnx+m+n0，其中 m，n 在数轴上的对应点如图 所示，则这个方程的根的情况是（） A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根 C没有实数根D无法确定 【解答】解：由数轴得 m0，n0，m+n0， mn0， （mn）24（m+n）0， 方程有两个不相等的实数根 故选：A 10 （3 分）连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示 的镖盘，将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为（） 第 14页（共 31页） A?
19、? B? ? C? ? D ? ? 【解答】解：如图所示，令 SABCa， 则 S阴影6a，S正六边形18a， 将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为 ? ? ? ? ?， 故选：B 11 （3 分）如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点 A（1，0） ，B（3，0） ，与 y 轴交 于点 C下列结论： ac0； 当 x0 时，y 随 x 的增大而增大； 3a+c0； a+bam2+bm 其中正确的个数有（） A1 个B2 个C3 个D4 个 【解答】解：把点 A（1，0） ，B（3，0）代入二次函数 yax2+bx+c， 可得二次函数的解析式为：yax22ax3a，
20、第 15页（共 31页） 该函数图象开口方向向下， a0， b2a0，c3a0， ac0，3a+c0，错误，正确； 对称轴为直线：x? ? ? ?1， x1 时，y 随 x 的增大而增大，x1 时，y 随 x 的增大而减小；错误； 当 x1 时，函数取得最大值，即对于任意的 m，有 a+b+cam2+bm+c， a+bam2+bm，故正确 综上，正确的个数有 2 个， 故选：B 12 （3 分）由 12 个有公共顶点 O 的直角三角形拼成的图形如图所示，AOBBOC LOM30若 OA16，则 OG 的长为（） A? ? B? ? C? ? ? D? ? ? 【解答】解：由图可知，ABOBCO
21、LMO90， AOBBOCLOM30， AOBABCDOLM60， AB? ? ?OA，OB? ?AB? ? ? OA， 同理可得，OC? ? ? OB（ ? ? ）2OA， OD? ? ? OC（ ? ? ）3OA， OG? ? ? OF（ ? ? ）6OA（ ? ? ）616? ? ? 故选：A 第 16页（共 31页） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 13 （3 分）若代数式 ? ? 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为x2 【解答】解：依题意，得 2x0， 解得，x2 故答案是：x2 14 （3 分）
22、 九章算术中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法如图所示，在井 口 A 处立一根垂直于井口的木杆 AB，从木杆的顶端 B 观察井水水岸 D，视线 BD 与井口 的直径 AC 交于点 E， 如果测得 AB1 米， AC1.6 米， AE0.4 米， 那么 CD 为3米 【解答】解：由题意知：ABCD， 则BAEC，BCDE， ABECDE， ?t ? ? ? ?， ? ? ? ? ?， CD3 米， 故答案为：3 15 （3 分）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书” 把洛书用今天的数学符号 翻译出来， 就是一个三阶幻方 将数字 19 分别填入如图所示的幻方中， 要求每一横行， 每一
23、竖行以及两条对角线上的数字之和都是 15，则 a 的值为2 第 17页（共 31页） 【解答】解：幻方右下角的数字为 15834， 幻方第二行中间的数字为 15645 依题意得：8+5+a15， 解得：a2 故答案为：2 16 （3 分）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为 40 米， 当无人机与旗杆的水平距离是 45 米时， 观测旗杆顶部的俯角为 30， 则旗杆的高度约为 14米 （结果精确到 1 米，参考数据： ? ?1.41， ? ?1.73） 【解答】解：过 O 点作 OCAB 于 C 点， 当无人机与旗杆的水平距离是 45 米时，观测旗杆顶部的俯角为 30，
24、 AC45 米，CAO30， OCACtan30? ? ? ? ? ? ? ?（米） ， 旗杆的高度4015 ? ?14（米） ， 故答案为：14 17 （3 分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，O 是ABC 的外接圆， 点 A，B，O 在网格线的交点上，则 sinACB 的值是 ? ? ? 第 18页（共 31页） 【解答】解：如图，连接 AO 并延长交O 于 D， 由圆周角定理得：ACBADB， 由勾股定理得：AD? ?2 ?， sinACBsinADB? ?t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 故答案为：? ? ? 18 （3 分）综合实践活动课上，小亮将一张面积
25、为 24cm2，其中一边 BC 为 8cm 的锐角三角 形纸片（如图 1） ，经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形 BCDE（如图 2） ， 则矩形的周长为22cm 【解答】解：延长 AT 交 BC 于点 P， APBC， 第 19页（共 31页） ? ?BCAP24， ? ? ?8AP24， AP6（cm） ， 由题意，ATPT3（cm） ， BECDPT3（cm） ， DEBC8cm， 矩形 BCDE 的周长为 8+8+3+322（cm） 故答案为：22 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 个小题，满分个小题，满分 66 分分 19 （6 分）先化简，再求值：? ? ?
26、? ? ? ? ? ? ?，从2x2 中选出合适的 x 的 整数值代入求值 【解答】解：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 2x2 且（x+1） （x1）0，2x0， x 的整数值为1，0，1，2 且 x1，2， x0， 当 x0 时，原式? ? ? ?1 20 （8 分）2021 年是中国共产党成立 100 周年为普及党史知识，培养爱国主义精神，今 年五月份，某市党校举行党史知识竞赛，每个班级各选派 15 名学员参加了网上测试，现 对甲、乙两班学员的分数进行整理分析如下： 甲班 15 名学员测试成绩（满
27、分 100 分）统计如下： 87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98 乙班 15 名学员测试成绩（满分 100 分）统计如下： 77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89 第 20页（共 31页） （1）按如表分数段整理两班测试成绩 班级70.5 75.5 75.5 80.5 80.5 85.5 85.5 90.5 90.5 95.5 95.5 100.5 甲12a512 乙033621 表中 a4； （2）补全甲班 15 名学员测试成绩的频数分布直方图； （3）两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方
28、差如表所示： 班级平均数众数中位数方差 甲86x8644.8 乙8688y36.7 表中 x87，y88 （4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是乙班； （5）本次测试两班的最高分都是 98 分，其中甲班 2 人，乙班 1 人现从以上三人中随 机抽取两人代表党校参加全市党史知识竞赛，利用树状图或表格求出恰好抽取甲、乙两 班各一人参加全市党史知识竞赛的概率 【解答】解： （1）由题意得：a4， 第 21页（共 31页） 故答案为：4； （2）补全甲班 15 名学员测试成绩的频数分布直方图如下： （3）甲班 15 名学员测试成绩中，87 分出现的次数最多， x87，由题意得：乙班
29、15 名学员测试成绩的中位数为 88， 故答案为：87，88； （4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是乙班，理由如下： 甲、乙两个班的平均数相等，但乙班的中位数大于甲班的中位数； 乙班的方差小于甲班的方差，因此乙班的成绩更稳定； 故答案为：乙； （5）把甲班 2 人记为 A、B，乙班 1 人记为 C， 画树状图如图： 共有 6 种等可能的结果，恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的结果有 4 种， 恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的概率为? ? ? ? 21 （8 分）如图，正比例函数 y? ? ?x 与反比例函数 y? ? （x0）的图象交于点 A，过点
30、 A 作 ABy 轴于点 B，OB4，点 C 在线段 AB 上，且 ACOC （1）求 k 的值及线段 BC 的长； （2）点 P 为 B 点上方 y 轴上一点，当POC 与PAC 的面积相等时，请求出点 P 的坐 第 22页（共 31页） 标 【解答】解： （1）点 A 在正比例函数 y? ? ?x 上，ABy 轴，OB4， 点 B 的坐标为（0，4） ， 点 A 的纵坐标是 4，代入 y? ? ?x，得 x8， A（8，4） ， 点 A 在反比例函数 y? ? （x0）的图象上， k4832， 点 C 在线段 AB 上，且 ACOC 设点 C（c，4） ， OC?t? t? ?，ACABB
31、C8c， ? ?8c，解得：c3， 点 C（3，4） ， BC3， k32，BC3； （2）如图， 第 23页（共 31页） 设点 P（0，p） ， 点 P 为 B 点上方 y 轴上一点， OPp，BPp4， A（8，4） ，C（3，4） ， AC835，BC3， POC 与PAC 的面积相等， ? ? ?3p? ? ? ?5（p4） ，解得：p10， P（0，10） 22 （9 分）直播购物逐渐走进了人们的生活某电商在抖音上对一款成本价为 40 元的小商 品进行直播销售，如果按每件 60 元销售，每天可卖出 20 件通过市场调查发现，每件 小商品售价每降低 5 元，日销售量增加 10 件 （
32、1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件 62.5 元为提高市场竞争力， 促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价， 则该商品至少需打几折销售？ 【解答】解： （1）设售价应定为 x 元，则每件的利润为（x40）元，日销售量为 20? ? ? ?（1402x）件， 依题意，得： （x40） （1402x）（6040）20， 整理，得：x2110 x+30000， 解得：x150，x260（舍去） 答：售价应定为 50 元； （2）该商品需要打 a 折销售， 第 24页（共 3
33、1页） 由题意，得，62.5 ? ? ?50， 解得：a8， 答：该商品至少需打 8 折销售 23 （10 分）如图，已知 RtABC 中，C90 （1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） 作BAC 的角平分线 AD，交 BC 于点 D； 作线段 AD 的垂直平分线 EF 与 AB 相交于点 O； 以点 O 为圆心，以 OD 长为半径画圆，交边 AB 于点 M （2）在（1）的条件下，求证：BC 是O 的切线； （3）若 AM4BM，AC10，求O 的半径 【解答】解： （1）如图所示， 以 A 为圆心，以任意长度为半径画弧，与 AC、AB 相交，再以两个交点为圆心，以大 于两
34、点之间距离的一半为半径画弧相交于BAC 内部一点，将点 A 与它连接并延长，与 BC 交于点 D，则 AD 为BAC 的平分线； 分别以点 A、点 D 为圆心，以大于? ?AD 长度为半径画圆，将两圆交点连接，则 EF 为 AD 的垂直平分线，EF 与 AB 交于点 O； 如图，O 与 AB 交于点 M； （2）证明：EF 是 AD 的垂直平分线，且点 O 在 AD 上， 第 25页（共 31页） OAOD， OADODA， AD 是BAC 的平分线， OADCAD， ODACAD， ODAC， ACBC， ODBC， 故 BC 是O 的切线 （3）根据题意可知 OMOAOD? ? ?AM，A
35、M4BM， OM2BM，BO3BM，AB5BM， t? ?t ? ?t ?t ? ? ?， 由（2）可知 RtBOD 与 RtBAC 有公共角B， RtBODRtBAC， ? ? ? t? t?，即 ? ? ? ? ?，解得 DO6， 故O 的半径为 6 24 （11 分）有公共顶点 A 的正方形 ABCD 与正方形 AEGF 按如图 1 所示放置，点 E，F 分 别在边 AB 和 AD 上，连接 BF，DE，M 是 BF 的中点，连接 AM 交 DE 于点 N 【观察猜想】 （1）线段 DE 与 AM 之间的数量关系是DE2AM，位置关系是DEAM； 【探究证明】 （2） 将图 1 中的正方
36、形 AEGF 绕点 A 顺时针旋转 45， 点 G 恰好落在边 AB 上， 如图 2， 其他条件不变，线段 DE 与 AM 之间的关系是否仍然成立？并说明理由 第 26页（共 31页） 【解答】解： （1）四边形 ABCD 和四边形 AEGF 都是正方形， ADAB，AFAE，DAEBAF90， DAEBAF（SAS） ， DEBF，ADEABF， ABF+AFB90， ADE+AFB90， 在 RtBAF 中，M 是 BF 的中点， AMFMBM? ? ?BF， DE2AM AMFM， AFBMAF， 又ADE+AFB90， ADE+MAF90， AND180（ADE+MAF）90， 即 A
37、NDN； 故答案为 DE2AM，DEAM （2）仍然成立， 证明如下：延长 AM 至点 H，使得 AMMH，连接 FH， 第 27页（共 31页） M 是 BF 的中点， BMFM， 又AMBHMF， AMBHMF（SAS） ， ABHF，ABMHFM， ABHF， HFGAGF， 四边形 ABCD 和四边形 AEGF 是正方形， DABAFG90，AEAF，ADABFH，EAGAGF， EADEAG+DABAFG+AGFAFG+HFGAFH， EADAFH（SAS） ， DEAH， 又AMMH， DEAM+MH2AM， EADAFH， ADEFHA， AMBHMF， FHABAM， ADEB
38、AM， 又BAM+DAMDAB90， ADE+DAM90， AND180（ADE+DAM）90， 第 28页（共 31页） 即 ANDN 故线段 DE 与 AM 之间的数量关系是 DE2AM线段 DE 与 AM 之间的位置关系是 DE AM 25 （14 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 经过点 A（2，0） ，B（4，0） ，与 y 轴正半轴交于 点 C，且 OC2OA，抛物线的顶点为 D，对称轴交 x 轴于点 E直线 ymx+n 经过 B， C 两点 （1）求抛物线及直线 BC 的函数表达式； （2）点 F 是抛物线对称轴上一点，当 FA+FC 的值最小时，求出点 F 的坐标及 FA+
39、FC 的 最小值； （3）连接 AC，若点 P 是抛物线上对称轴右侧一点，点 Q 是直线 BC 上一点，试探究是 否存在以点 E 为直角顶点的 RtPEQ，且满足 tanEQPtanOCA若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）由点 A 的坐标知，OA2， OC2OA4，故点 C 的坐标为（0，4） ， 将点 A、B、C 的坐标代入抛物线表达式得： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，解得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 故抛物线的表达式为 y? ? ?x 2+x+4； 将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式得： ? ? ? 耀 耀
40、? ? ，解得 ? ? ? 耀 ? ? ， 故直线 BC 的表达式为 yx+4； 第 29页（共 31页） （2）点 A、B 关于抛物线的对称轴对称， 设抛物线的对称轴交 BC 于点 F，则点 F 为所求点，此时，当 FA+FC 的值最小， 理由：由函数的对称性知，AFBF， 则 AF+FCBF+FCBC 为最小， 当 x1 时，yx+43，故点 F（1，3） ， 由点 B、C 的坐标知，OBOC4， 则 BC?BO4 ?， 即点 F 的坐标为（1，3） 、FA+FC 的最小值为 4 ?； （3）存在，理由： 设点 P 的坐标为（m，? ? ?m 2+m+4） 、点 Q 的坐标为（t，t+4）
41、 ， 当点 Q 在点 P 的左侧时， 如图 2，过点 P、Q 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 N、M， 由题意得：PEQ90， 第 30页（共 31页） PEN+QEM90， EQM+QEM90， PENEQM， QMEENP90， QMEENP， ? ? ? ? ? ? ? ? ?tanEQPtanOCA? ? ? ? ? ? ? ? ?， 则 PN? ? ?m 2+m+4，ME1t，ENm1，QMt+4， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 解得 m ?（舍去负值） ， 当 m?时，? ? ?m 2+m+4? ? ? ， 故点 P 的坐标为（ ?，? ? ? ） 当点 Q 在点 P 的右侧时， 分别过点 P、Q 作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为 N、M， 则 MQt1，MEt4，NE? ? ?m 2+m+4、PNm1， 同理可得：QMEENP， ? ? ? ? ? ? ? ? ?tanPQE2， 即 ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 解得 m?（舍去负值） ， 故 m?， 第 31页（共 31页） 故点 P 的坐标为（ ?，? ? ? ） ， 故点 P 的坐标为（ ?，? ? ? ）或（ ?，? ? ? ）
