1、第 1页（共 27页） 2021 年湖北省十堰市中考数学试卷年湖北省十堰市中考数学试卷 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）下面每小题给出的四个选项中，分）下面每小题给出的四个选项中， 只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内. 1 （3 分）? ? ?的相反数是（ ） A2B2C? ? D? ? ? 2 （3 分）如图，直线 ABCD，155，232，则3（） A87B23C67D90 3 （3 分）由 5 个相同的小立方体搭成的几何体如图所示
2、，则它的俯视图为（） ABCD 4 （3 分）下列计算正确的是（） Aa3a32a3B （2a）24a2 C （a+b）2a2+b2D （a+2） （a2）a22 5 （3 分）某校男子足球队的年龄分布如下表： 年龄131415161718 人数268321 则这些队员年龄的众数和中位数分别是（） A8，15B8，14C15，14D15，15 6 （3 分）某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 400 台机器所需时间 比原计划生产 450 台机器所需时间少 1 天，设现在平均每天生产 x 台机器，则下列方程 正确的是（） 第 2页（共 27页） A?tt ? ? ?t ?t
3、 ?1B ?t ?t ? ?tt ? ?1 C?tt ? ? ?t ? ?50D?t ? ? ?tt ? ?50 7 （3 分）如图，小明利用一个锐角是 30的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间 的水平距离 BC 为 15m，AB 为 1.5m（即小明的眼睛与地面的距离） ，那么旗杆的高度是 （） A （15 ? ? ? ?）m B5 ?mC15 ?mD （5 ? ? ? ?）m 8 （3 分）如图，ABC 内接于O，BAC120，ABAC，BD 是O 的直径，若 AD 3，则 BC（） A2 ?B3 ?C3D4 9 （3 分）将从 1 开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第
4、4 行第 3 列的数为 27，则位于第 32 行第 13 列的数是（） A2025B2023C2021D2019 10 （3 分）如图，反比例函数 y? ? ?（x0）的图象经过点 A（2，1） ，过 A 作 ABy 轴于 点 B，连 OA，直线 CDOA，交 x 轴于点 C，交 y 轴于点 D，若点 B 关于直线 CD 的对 称点 B恰好落在该反比例函数图象上，则 D 点纵坐标为（） 第 3页（共 27页） A? ? ? B? ? C? ? D? ? ? 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11（3 分） 2021 年 5
5、 月 11 日， 第七次全国人口普查结果公布， 我国总人口大约为 1412000000 人，把数字 1412000000 用科学记数法表示为 12 （3 分）已知 xy2，x3y3，则 2x3y12x2y2+18xy3 13 （3 分）如图，O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点若 AB5，AD 12，则四边形 ABOM 的周长为 14 （3 分）对于任意实数 a、b，定义一种运算：aba2+b2ab，若 x（x1）3，则 x 的值为 15 （3 分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，以 AB 为直径的半圆交对角线 AC 于点 E， 以 C 为圆心、BC
6、长为半径画弧交 AC 于点 F，则图中阴影部分的面积是 16 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC8，BC6，点 P 是平面内一个动 点，且 AP3，Q 为 BP 的中点，在 P 点运动过程中，设线段 CQ 的长度为 m，则 m 的 取值范围是 第 4页（共 27页） 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 9 个小题，共个小题，共 72 分）分） 17 （5 分）计算： ?cos45+（? ?） 1|3| 18 （5 分）化简： （ ? ? ? ? ?） ? ? 19 （9 分）为庆祝中国共产党成立 100 周年，某校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取 了部分学生的成绩，按得分
7、划分为 A、B、C、D 四个等级，并绘制了如下不完整的统计 表和统计图 等级成绩（x）人数 A90 x10015 B80 x90a C70 x8018 Dx707 根据图表信息，回答下列问题： （1）表中 a；扇形统计图中，C 等级所占的百分比是；D 等级对应的 扇形圆心角为度；若全校共有 1800 名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成 绩为 A 等级的学生共有人； （2）若 95 分以上的学生有 4 人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这 4 人中随 机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有 1 人被选中的概率 20 （7 分）已知关于 x 的一元二次方程 x24x
8、2m+50 有两个不相等的实数根 （1）求实数 m 的取值范围； （2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数 m 的值 21 （7 分）如图，已知ABC 中，D 是 AC 的中点，过点 D 作 DEAC 交 BC 于点 E，过 点 A 作 AFBC 交 DE 于点 F，连接 AE、CF （1）求证：四边形 AECF 是菱形； 第 5页（共 27页） （2）若 CF2，FAC30，B45，求 AB 的长 22 （8 分）如图，已知 AB 是O 的直径，C 为O 上一点，OCB 的角平分线交O 于点 D，F 在直线 AB 上，且 DFBC，垂足为 E，连接 AD、BD （1）求证：DF 是O
9、 的切线； （2）若 tanA? ? ?，O 的半径为 3，求 EF 的长 23 （9 分）某商贸公司购进某种商品的成本为 20 元/kg，经过市场调研发现，这种商品在未 来 40 天 的 销 售 单 价 y （ 元 /kg ） 与 时 间 x （ 天 ） 之 间 的 函 数 关 系 式 为 ： y? t? ?t? ? ? ? ?t且?为整数? ?t? ? ?t且?为整数? ，且日销量 m（kg）与时间 x（天）之间的变化 规律符合一次函数关系，如下表： 时间 x（天）13610 日销量 m （kg） 142138132124 （1）填空：m 与 x 的函数关系为； （2）哪一天的销售利润最大
10、？最大日销售利润是多少？ （3）在实际销售的前 20 天中，公司决定每销售 1kg 商品就捐赠 n 元利润（n4）给当 地福利院， 后发现： 在前 20 天中， 每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 x 的增大而增大， 求 n 的取值范围 24 （10 分）已知等边三角形 ABC，过 A 点作 AC 的垂线 l，点 P 为 l 上一动点（不与点 A 重合） ，连接 CP，把线段 CP 绕点 C 逆时针方向旋转 60得到 CQ，连 QB 第 6页（共 27页） （1）如图 1，直接写出线段 AP 与 BQ 的数量关系； （2）如图 2，当点 P、B 在 AC 同侧且 APAC 时，求证：直线 PB
11、垂直平分线段 CQ； （3）如图 3，若等边三角形 ABC 的边长为 4，点 P、B 分别位于直线 AC 异侧，且APQ 的面积等于 ? ? ，求线段 AP 的长度 25 （12 分）已知抛物线 yax2+bx5 与 x 轴交于点 A（1，0）和 B（5，0） ，与 y 轴 交于点 C，顶点为 P，点 N 在抛物线对称轴上且位于 x 轴下方，连 AN 交抛物线于 M，连 AC、CM （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，当 tanACM2 时，求 M 点的横坐标； （3）如图 2，过点 P 作 x 轴的平行线 l，过 M 作 MDl 于 D，若 MD?MN，求 N 点 的坐标 第 7页（共
12、 27页） 2021 年湖北省十堰市中考数学试卷年湖北省十堰市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）下面每小题给出的四个选项中，分）下面每小题给出的四个选项中， 只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内. 1 （3 分）? ? ?的相反数是（ ） A2B2C? ? D? ? ? 【解答】解：? ? ?的相反数是 ? ? 故选：C 2 （3 分）如图，直线 ABCD，155，232，则3（） A87
13、B23C67D90 【解答】解：ABCD，155， C155， 32+C，232， 332+5587， 故选：A 3 （3 分）由 5 个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图为（） ABCD 【解答】解：从上面看，底层有 3 个正方形，上层右边有一个正方形 故选：A 4 （3 分）下列计算正确的是（） Aa3a32a3B （2a）24a2 第 8页（共 27页） C （a+b）2a2+b2D （a+2） （a2）a22 【解答】解：a3a3a6，故选项 A 错误； （2a）24a2，故选项 B 正确； （a+b）2a2+2ab+b2，故选项 C 错误； （a+2） （a2）a24，
14、故选项 D 错误； 故选：B 5 （3 分）某校男子足球队的年龄分布如下表： 年龄131415161718 人数268321 则这些队员年龄的众数和中位数分别是（） A8，15B8，14C15，14D15，15 【解答】解：根据图表数据，同一年龄人数最多的是 15 岁，共 8 人，所以众数是 15； 根据图表数据可知共有 22 名队员，按照年龄从小到大排列，第 11 名队员与第 12 名队员 的年龄都是 15 岁，所以，中位数是（15+15）215 故选：D 6 （3 分）某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 400 台机器所需时间 比原计划生产 450 台机器所需时间少
15、1 天，设现在平均每天生产 x 台机器，则下列方程 正确的是（） A?tt ? ? ?t ?t ?1B ?t ?t ? ?tt ? ?1 C?tt ? ? ?t ? ?50D ?t ? ? ?tt ? ?50 【解答】解：设现在平均每天生产 x 台机器，则原计划平均每天生产（x50）台机器， 根据题意，得 ?t ?t ? ?tt ? ?1 故选：B 7 （3 分）如图，小明利用一个锐角是 30的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间 的水平距离 BC 为 15m，AB 为 1.5m（即小明的眼睛与地面的距离） ，那么旗杆的高度是 （） 第 9页（共 27页） A （15 ? ? ? ?）m
16、B5 ?mC15 ?mD （5 ? ? ? ?）m 【解答】解：由题意可得，四边形 ABCD 是矩形，BC15m，AB1.5m， BCAD15m，ABCD1.5m， 在 RtADE 中，EAD30，AD15m， DEADtanEAD15 ? ? ?5 ?（m） ， CECD+DE（5 ? ?1.5） （m） 故选：D 8 （3 分）如图，ABC 内接于O，BAC120，ABAC，BD 是O 的直径，若 AD 3，则 BC（） A2 ?B3 ?C3D4 【解答】解：过点 O 作 OEBC 于点 E，如图所示： BAC120，ABAC， ABCACB30， 又? ?对应圆周角为ACB 和ADB，
17、ACBADB30， 而 BD 为直径， BAD90， 第 10页（共 27页） 在 RtBAD 中，ADB30，AD3， cos30? ? ? ? ? ? ? ? ? ， BD2 ?， OB?， 又ABD90ADB903060，ABC30， OBE30， 又OEBC， OBE 为直角三角形， cosOBEcos30? ? ? ? ? ? ? ， BE? ? ?， 由垂径定理可得：BC2BE2 ? ? ?3，故 C 正确， 故选：C 9 （3 分）将从 1 开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第 4 行第 3 列的数为 27，则位于第 32 行第 13 列的数是（） A2025B202
18、3C2021D2019 【解答】解：由题意可知： 行数为 1 的方阵内包含“1” ，共 1 个数； 行数为 2 的方阵内包含“1、3、5、7” ，共 22个数； 行数为 3 的方阵内包含“1、3、5、7、9、11、13、15、17” ，共 32个数； 行数为 32 的方阵内包含“1、3、5、7、.”共 322个数，即共 1024 个数， 位于第 32 行第 13 列的数是连续奇数的第（102412）1012 个数， 位于第 32 行第 13 列的数是：2101212023 故选：B 10 （3 分）如图，反比例函数 y? ? ?（x0）的图象经过点 A（2，1） ，过 A 作 ABy 轴于 第
19、 11页（共 27页） 点 B，连 OA，直线 CDOA，交 x 轴于点 C，交 y 轴于点 D，若点 B 关于直线 CD 的对 称点 B恰好落在该反比例函数图象上，则 D 点纵坐标为（） A? ? ? B? ? C? ? D? ? ? 【解答】解：设 BB交直线 CD 于点 E，过点 E 作 EGBD 于 G，过 B作 BFBD 于点 F，如图， B 与 B关于直线 CD 对称， CD 垂直平分 BB 即 E 为 BB的中点，EBEB EGBD，BFBD， EGBF EG? ? ?BF 直线 OA 经过点 A（2，1） ， 直线 OA 的解析式为：y? ? ?x CDOA，BBCD， BBO
20、A 设直线 BB的解析式为 y? ? ?x+b， B（0，1） ， b1 设直线 BB的解析式为 y? ? ?x+1 反比例函数 y? ? ?（x0）的图象经过点 A（2，1） ， 第 12页（共 27页） 反比例函数 y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得： ? ? ? ? ? ? ， ? ? ? ? ? ? B（ ? ? ?， ? ? ） BF? ? ? EG? ? ? ABBD， OABODC tanOABtanODC? ? ? ? ? ? 在 RtDGE 中， tanODC? ? ? ? ?， DG? ?1 同理：BG? ? ? ODOB+BG+DG? ? ?
21、? D 点纵坐标为? ? ? 故选：A 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11（3 分） 2021 年 5 月 11 日， 第七次全国人口普查结果公布， 我国总人口大约为 1412000000 人，把数字 1412000000 用科学记数法表示为1.412109 【解答】解：14120000001.412109， 故答案为：1.412109 12 （3 分）已知 xy2，x3y3，则 2x3y12x2y2+18xy336 【解答】解：原式2xy（x26xy+9y2） 2xy（x3y）2， xy2，x3y3， 第 13页（共
22、 27页） 原式2232 49 36， 故答案为：36 13 （3 分）如图，O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点若 AB5，AD 12，则四边形 ABOM 的周长为20 【解答】解：O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点， OM? ? ?CD? ? ?AB2.5， AB5，AD12， AC? ?13， O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点， BO? ? ?AC6.5， 四边形 ABOM 的周长为 AB+AM+BO+OM5+6+6.5+2.520， 故答案为：20 14 （3 分）对于任意实数 a、b，定义一种运算：aba2+b
23、2ab，若 x（x1）3，则 x 的值为2 或1 【解答】解：由题意得： x2+（x1）2x（x1）3 整理得： x2x20 即（x2） （x+1）0 解得：x12，x21 故答案为：2 或1 15 （3 分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，以 AB 为直径的半圆交对角线 AC 于点 E， 以 C 为圆心、BC 长为半径画弧交 AC 于点 F，则图中阴影部分的面积是36 第 14页（共 27页） 【解答】解：连接 BE， AB 为直径， BEAC， ABBC4，ABC90， BEAECE， S弓形AES弓形BE， 图中阴影部分的面积S半圆? ? ?（S 半圆SABE）（SABCS扇
24、形CBF） ? ? ?2 2? ?（ ? ? ? t ? ? ? t ? ? t ? t ?）（? ? t ? t ? ? ?t? ?t ） 36， 故答案为 36 16 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC8，BC6，点 P 是平面内一个动 点，且 AP3，Q 为 BP 的中点，在 P 点运动过程中，设线段 CQ 的长度为 m，则 m 的 取值范围是 ? ? ?m? ? ? 【解答】解：如图，取 AB 的中点 M，连接 QM，CM， 第 15页（共 27页） 在 RtABC 中，ACB90，AC8，BC6， AB10， 点 M 是 AB 的中点， AMBMCM? ? ?AB5
25、， 点 Q 是 PB 的中点，点 M 是 AB 的中点， QM 是APB 的中位线， QM? ? ?AP? ? ?， 在CMQ 中，CMMQCQCM+MQ， ? ? m ? ? ， 点 C，点 M 是定点，点 Q 是动点，且点 Q 以点 M 为圆心，QM 长为半径的圆上运动， 当点 C，M，Q 三点共线，且点 Q 在线段 CM 上时，m 取得最小值? ?， 当点 C，M，Q 三点共线，且点 Q 在射线 CM 上时，m 取得最大值? ? ， 综上，m 的取值范围为：? ? ?m? ? ? 故答案为：? ? ?m? ? ? 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 9 个小题，共个小题，共 72 分）
26、分） 17 （5 分）计算： ?cos45+（? ?） 1|3| 【解答】解：原式? t ? ? ?331 18 （5 分）化简： （ ? ? ? ? ?） ? ? 【解答】解： （ ? ? ? ? ?） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第 16页（共 27页） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 19 （9 分）为庆祝中国共产党成立 100 周年，某校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取 了部分学生的成绩，按得分划分为 A、B、C、D 四个等级，并绘制了如下不完整的统计 表和统计图 等级成绩（x）人数 A90 x10015 B80 x90a
27、C70 x8018 Dx707 根据图表信息，回答下列问题： （1）表中 a20；扇形统计图中，C 等级所占的百分比是30%；D 等级对应的 扇形圆心角为42度；若全校共有 1800 名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成 绩为 A 等级的学生共有450人； （2）若 95 分以上的学生有 4 人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这 4 人中随 机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有 1 人被选中的概率 【解答】解： （1）抽取的学生人数为：15 ?t? ?t? ?60（人） ， a601518720，C 等级所占的百分比是 1860100%30%，D 等级对应的 扇
28、形圆心角为：360 ? t ?42， 估计成绩为 A 等级的学生共有：1800 ? t ?450（人） ， 故答案为：20，30%，42，450； 第 17页（共 27页） （2）95 分以上的学生有 4 人，其中甲、乙两人来自同一班级，其他两人记为丙、丁， 画树状图如图： 共有 12 种等可能的结果，甲、乙两人至少有 1 人被选中的结果有 10 种， 甲、乙两人至少有 1 人被选中的概率为?t ? ? ? 20 （7 分）已知关于 x 的一元二次方程 x24x2m+50 有两个不相等的实数根 （1）求实数 m 的取值范围； （2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数 m 的值 【解答】
29、解： （1）根据题意得（4）24（2m+5）0， 解得 m ? ?； （2）设 x1，x2是方程的两根， 根据题意得 x1+x240，x1x22m+50，解得 m ? ?， 所以 m 的范围为? ? m ? ?， 因为 m 为整数， 所以 m1 或 m2， 当 m1 时，方程两根都是整数；当 m2 时，方程两根都不是整数； 所以整数 m 的值为 1 21 （7 分）如图，已知ABC 中，D 是 AC 的中点，过点 D 作 DEAC 交 BC 于点 E，过 点 A 作 AFBC 交 DE 于点 F，连接 AE、CF （1）求证：四边形 AECF 是菱形； （2）若 CF2，FAC30，B45，求
30、 AB 的长 【解答】解： （1）证明：如图， 第 18页（共 27页） 在ABC 中，点 D 是 AC 的中点， ADDC， AFBC， FADECD，AFDCED， AFDCED（AAS） ， AFEC， 四边形 AECF 是平行四边形， 又 EFAC，点 D 是 AC 的中点，即 EF 垂直平分 AC， AFFC， 平行四边形 AECF 是菱形 （2）如图，过点 A 作 AGBC 于点 G， 由（1）知四边形 AECF 是菱形，又 CF2，FAC30， AFEC，AECF2，FAE2FAC60， AEBFAE60， AGBC， AGBAGE90， GAE30， GE? ? ?AE1，AG
31、? ?GE?， B45， GABB45， BGAG?， AB?BG? 22 （8 分）如图，已知 AB 是O 的直径，C 为O 上一点，OCB 的角平分线交O 于点 D，F 在直线 AB 上，且 DFBC，垂足为 E，连接 AD、BD （1）求证：DF 是O 的切线； 第 19页（共 27页） （2）若 tanA? ? ?，O 的半径为 3，求 EF 的长 【解答】解： （1）如图，连接 OD， OCOD， ODCOCD， CD 平分OCB， OCDBCD， ODCBCD， ODCE， CEFODE， CEDF， CEF90， ODE90，即 ODDF， DF 是O 的切线； （2）AB 是O
32、 的直径， ADB90， tanA? ? ? ? ? ?，则 AD2BD， 在 RtABD 中，ADB90，AB2r6， BD2+AD2AB2，即 BD2+（2BD）262， 解得 BD? ? ? ， 第 20页（共 27页） 由（1）知 DF 是O 的切线， BDFA， BEDF， BEF90， tanBDF? ? ? ? ?，则 DE2BE， 在 RtBDE 中，BD? ? ? ， 由勾股定理可得，BE2+DE2BD2，即 BE2+（2BE）2（ ? ? ）2， 解得 BE? ?，则 DE? ? ? ， 由（1）知 BEOD， ? ? ? ?，即 ? ? ? ? ? ? ?，解得 EF?
33、? ? 23 （9 分）某商贸公司购进某种商品的成本为 20 元/kg，经过市场调研发现，这种商品在未 来 40 天 的 销 售 单 价 y （ 元 /kg ） 与 时 间 x （ 天 ） 之 间 的 函 数 关 系 式 为 ： y? t? ?t? ? ? ? ?t且?为整数? ?t? ? ?t且?为整数? ，且日销量 m（kg）与时间 x（天）之间的变化 规律符合一次函数关系，如下表： 时间 x（天）13610 日销量 m （kg） 142138132124 （1）填空：m 与 x 的函数关系为m2x+144（1x40 且 x 为整数）； （2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
34、（3）在实际销售的前 20 天中，公司决定每销售 1kg 商品就捐赠 n 元利润（n4）给当 地福利院， 后发现： 在前 20 天中， 每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 x 的增大而增大， 求 n 的取值范围 【解答】解： （1）由题意可设日销量 m（kg）与时间 x（天）之间的一次函数关系式为： mkx+b（k0） ， 将（1，142）和（3，138）代入 mkx+b，有： ? ? ? ? 一 ? ? ? 一， 解得 k2，b144， 第 21页（共 27页） 故 m 与 x 的函数关系为：m2x+144（1x40 且 x 为整数） ； （2）设日销售利润为 W 元，根据题意可得： 当 1x
35、20 且 x 为整数时，W（0.25x+3020） （2x+144）0.5x2+16x+1440 0.5（x16）2+1568， 此时当 x16 时，取得最大日销售利润为 1568 元， 当 20 x40 且 x 为整数时，W（3520） （2x+144）30 x+2160， 此时当 x21 时，取得最大日销售利润 W3021+21601530（元） ， 综上所述，第 16 天的销售利润最大，最大日销售利润为 1568 元； （3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为 P，根据题意可得： P0.5x2+16x+1440n（2x+144）0.5x2+（16+2n）x+1440144n，其对称轴为 直线
36、 x16+2n， 在前 20 天中， 每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 x 的增大而增大， 且 x 只能取整数， 故只要第 20 天的利润高于第 19 天，即对称轴要大于 19.5 16+2n19.5，求得 n1.75， 又n4， n 的取值范围是：1.75n4， 答：n 的取值范围是 1.75n4 24 （10 分）已知等边三角形 ABC，过 A 点作 AC 的垂线 l，点 P 为 l 上一动点（不与点 A 重合） ，连接 CP，把线段 CP 绕点 C 逆时针方向旋转 60得到 CQ，连 QB （1）如图 1，直接写出线段 AP 与 BQ 的数量关系； （2）如图 2，当点 P、B 在 AC
37、 同侧且 APAC 时，求证：直线 PB 垂直平分线段 CQ； （3）如图 3，若等边三角形 ABC 的边长为 4，点 P、B 分别位于直线 AC 异侧，且APQ 的面积等于 ? ? ，求线段 AP 的长度 【解答】解： （1）在等边ABC 中，ACBC，ACB60， 第 22页（共 27页） 由旋转可得，CPCQ，PCQ60， ACBPCQ， ACPPCBBCQPCB，即ACPBCQ， ACPBCQ（SAS） ， APBQ （2）在等边ABC 中，ACBC，ACB60， 由旋转可得，CPCQ，PCQ60， ACBPCQ， ACPPCBBCQPCB，即ACPBCQ， ACPBCQ（SAS） ，
38、 APBQ，CBQCAP90； BQAPACBC， APAC，CAP90， BAP30，ABPAPB75， CBPABC+ABP135， CBD45， QBD45， CBDQBD，即 BD 平分CBQ， BDCQ 且点 D 是 CQ 的中点，即直线 PB 垂直平分线段 CQ （3）当点 Q 在直线 l 上方时，如图所示，延长 BQ 交 l 于点 E，过点 Q 作 QFl 于点 F， 由题意可得 ACBC，PCCQ，PCQACB60， ACPBCQ， APCBCQ（SAS） ， APBQ，CBQCAP90， 第 23页（共 27页） CABABC60， BAEABE30， ABAC4， AEBE
39、? ? ? ? ， BEF60， 设 APt，则 BQt， EQ? ? ? ? ?t， 在 RtEFQ 中，QF? ? ? EQ? ? ? （? ? ? ?t） ， SAPQ? ? ?APQF? ? ? ，即? ?t ? ? （? ? ? ?t）? ? ? ， 解得 t?或 t? ? ? 即 AP 的长为 ?或 ? ? 当点 Q 在直线 l 下方时，如图所示，设 BQ 交 l 于点 E，过点 Q 作 QFl 于点 F， 由题意可得 ACBC，PCCQ，PCQACB60， ACPBCQ， APCBCQ（SAS） ， APBQ，CBQCAP90， CABABC60， BAEABE30， BEF12
40、0，QEF60， ABAC4， AEBE? ? ? ? ， 设 APm，则 BQm， 第 24页（共 27页） EQm? ? ? ? ， 在 RtEFQ 中，QF? ? ? EQ? ? ? （m? ? ? ? ） ， SAPQ? ? ?APQF? ? ? ，即? ?t ? ? （m? ? ? ? ）? ? ? ， 解得 m? ? ? ? ? （m? ? ? ? ? 负值舍去） 综上可得，AP 的长为： ?或 ? ? 或? ? ? ? 25 （12 分）已知抛物线 yax2+bx5 与 x 轴交于点 A（1，0）和 B（5，0） ，与 y 轴 交于点 C，顶点为 P，点 N 在抛物线对称轴上且位
41、于 x 轴下方，连 AN 交抛物线于 M，连 AC、CM （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，当 tanACM2 时，求 M 点的横坐标； （3）如图 2，过点 P 作 x 轴的平行线 l，过 M 作 MDl 于 D，若 MD?MN，求 N 点 的坐标 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx5 与 x 轴交于点 A（1，0）和 B（5，0） ， ? ? 一 ? ? ? t ? ? ?一? ? ? t， 解得： ? ? ? 一 ? ， 该抛物线的解析式为：yx26x5； （2）在 yx26x5 中，令 x0，则 y5， C（0，5） ， OC5， 第 25页（共 27页） 如图 1，过
42、点 A 作 AFAC 交直线 CM 于点 F，过点 F 作 FEx 轴于点 E， AEFCAFAOC90， EAF+CAOCAO+ACO90， EAFACO， AEFCAO， ? ? ? ? ? ? ? ? ?tanACM2， EF2OA2，AE2OC10， OEOA+AE1+1011， F（11，2） ， 设直线 CF 解析式为 ykx+c， C（0，5） ，F（11，2） ， ? ? ? ? ? ? ? ?， 解得： ? ? ? ? ? ? ? ， 直线 CF 解析式为 y? ? ?x5， 结合抛物线：yx26x5，得：x26x5? ? ?x5， 解得：x10（舍） ，x2? ? ?， 点
43、 M 的横坐标为? ? ?； （3）yx26x5（x+3）2+4， 顶点 P（3，4） ， 设 N（3，n） ，直线 AN 解析式为 yk1x+c1， A（1，0） ，N（3，n） ， ? ? ? t ? ? ? t， 解得： ? ? ? t ? ? ? t ， 直线 AN 解析式为 y? ? ?nx? ? ?n， 结合抛物线 yx26x5，得：x26x5? ? ?nx? ? ?n， 第 26页（共 27页） 解得：x11（舍） ，x2? ? ?n5， 当 x? ? ?n5 时，y? ? ?n（ ? ?n5）? ? ?n? ? ?n 2+2n， M（? ?n5，? ? ?n 2+2n） ， P
44、Dx 轴，MDPD， D（? ?n5，4） ， MD4（? ? ?n 2+2n）? ?n 22n+4， 如图 2，过点 M 作 MGPN 于点 G， 则 MG3（? ?n5）2? ? ?n，NGn（? ? ?n 2+2n）? ?n 2n， MGN90， MN2MG2+NG2（2? ? ?n） 2+（? ?n 2n）2? ? ?（n 2+4） （n4）2， MD?MN， MD23MN2， （? ?n 22n+4）23 ? ?（n 2+4） （n4）2， ? ?（n4） 4? ? ?（n 2+4） （n4）2， 点 N 在抛物线对称轴上且位于 x 轴下方， n0， n40， （n4）20， （n4）23（n2+4） ， 解得：n1? ?2（舍） ，n2? ?2， N（3，? ?2） 第 27页（共 27页）
