1、第 1页（共 20页） 2021 年湖南省永州市中考数学试卷年湖南省永州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，每个小题只有一个正确选项请分，每个小题只有一个正确选项请 将正确的选项填涂到答题卡上）将正确的选项填涂到答题卡上） 1 （4 分）|2021|的相反数为（） A2021B2021C? ? ?t? D ? ?t? 2 （4 分）如图，在平面内将五角星绕其中心旋转 180后所得到的图案是（） ABCD 3 （4 分）据永州市 2020 年国民经济和社会发展统计公报，永州市全年全体居民人均可支 配收入约为 2
2、4000 元， 比上年增长 6.5%， 将 “人均可支配收入” 用科学记数法表示为 （） A24103B2.4104C2.4105D0.24105 4 （4 分）已知一列数据：27，12，12，5，7，12，5该列数据的众数是（） A27B12C7D5 5 （4 分）下列计算正确的是（） A （3）01Btan30? ? ? C ? ?2Da2a3a6 6 （4 分）在一元一次不等式组 ?th ?t t ? ? ? t 的解集中，整数解的个数是（） A4B5C6D7 7 （4 分）如图，在ABC 中，ABAC，分别以点 A，B 为圆心，大于? ?AB 的长为半径画 弧，两弧相交于点 M 和点
3、N，作直线 MN 分别交 BC、AB 于点 D 和点 E，若B50， 则CAD 的度数是（） 第 2页（共 20页） A30B40C50D60 8 （4 分）中国传统数学重要著作九章算术中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出 七，不足四，问人数、物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每 人出 9 元，则多了 4 元；如果每人出 6 元，则少了 5 元，问组团人数和物价各是多少？ 若设 x 人参与组团，物价为 y 元，则以下列出的方程组正确的是（） A ?t ? i ? ? i ? ?t ? ? B ?t ? i ? ? ?t? i ? ? C i ? ?t ? ? i ? ?t
4、 ? ? D i ? ?t ? ? ?t? i ? ? 9 （4 分）小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜 帝祭典”四种民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的 概率为（） A? ? B? ? C? ? D? ? 10 （4 分）定义：若 10 xN，则 xlog10N，x 称为以 10 为底的 N 的对数，简记为 lgN，其 满足运算法则： lgM+lgNlg （MN）（M0， N0） 例如： 因为 102100， 所以 2lg100， 亦即 lg1002；lg4+lg3lg12根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2lg5+
5、lg5 的 结果为（） A5B2C1D0 二二、填空题填空题（本大题共本大题共 8 个小题个小题，每小题每小题 4 分分，共共 32 分分，请将答案填在答题卡的答案栏内请将答案填在答题卡的答案栏内） 11 （4 分）在 0，? ? ，0.101001， ? ?中无理数的个数是个 12 （4 分）已知二次根式 t h ?有意义，则 x 的取值范围是 13 （4 分） 请写出一个图象在第二、 四象限的反比例函数的表达式： 14 （4 分）某初级中学坚持开展阳光体育活动，七年级至九年级每学期均进行体育技能测 试其中 A 班甲、乙两位同学 6 个学期的投篮技能测试成绩（投篮命中个数）折线图如 第 3页
6、（共 20页） 图所示为参加学校举行的毕业篮球友谊赛，A 班需从甲、乙两位同学中选 1 人进入班 球队，从两人成绩的稳定性考虑，请你决策 A 班应该选择的同学是 15 （4 分）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为 60，底面半径为 6 的圆锥模 型（如图所示） ，则此圆锥的母线长为 16 （4 分）如图，A，B 两点的坐标分别为 A（4，3） ，B（0，3） ，在 x 轴上找一点 P，使 线段 PA+PB 的值最小，则点 P 的坐标是 17 （4 分）已知函数 y? t?，t ? t? ?t? ?，t ? ?，若 y2，则 x 18 （4 分）若 x，y 均为实数，43x2021，47
7、y2021，则： （1）43xy47xy（）x+y； 第 4页（共 20页） （2）? t h ? i ? 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，满分小题，满分 78 分）分） 19 （8 分）先化简，再求值： （x+1）2+（2+x） （2x） ，其中 x1 20（8分） 若x1， x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c0的两个根， 则x1+x2? ? ?， x1x2? ? ? 现 已知一元二次方程 px2+2x+q0 的两根分别为 m，n （1）若 m2，n4，求 p，q 的值； （2）若 p3，q1，求 m+mn+n 的值 21 （8 分）为庆祝中国共产党成立 100 周年，某校组
8、织全校学生进行了一场党史知识竞赛 活动根据竞赛结果，抽取了 200 名学生的成绩（得分均为正整数，满分为 100 分，大于 80 分的为优秀）进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表 200 名学生党史知识竞赛成绩的频数表 组别频数频率 A 组（60.570.5）a0.3 B 组（70.580.5）300.15 C 组（80.590.5）50b D 组（90.5100.5）600.3 请结合图表解决下列问题： （1）频数表中，a，b； （2）请将频数分布直方图补充完整； （3）抽取的 200 名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是组； （4）若该校共有 1000 名学生，请估计本次党史知识竞赛
9、成绩为“优秀”的学生人数 第 5页（共 20页） 22 （10 分）如图，已知点 A，D，C，B 在同一条直线上，ADBC，AEBF，AEBF （1）求证：AECBFD （2）判断四边形 DECF 的形状，并证明 23（10 分） 永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下， 根据市场需求， 计划在 2022 年将 30 亩土地全部用于种植 A、B 两种经济作物预计 B 种经济作物亩产值比 A 种经济 作物亩产值多 2 万元，为实现 2022 年 A 种经济作物年总产值 20 万元，B 种经济作物年 总产值 30 万元的目标，问：2022 年 A、B 两种经济作物应各种植多少亩？ 24 （1
10、0 分）已知锐角ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，边角总满足关系式： ? ? ? ? ? ? ? ? （1）如图 1，若 a6，B45，C75，求 b 的值； （2） 某公园准备在园内一个锐角三角形水池 ABC 中建一座小型景观桥 CD （如图 2所示） ， 若 CDAB，AC14 米，AB10 米，sinACB? ? ? ? ，求景观桥 CD 的长度 25 （12 分）如图 1，AB 是O 的直径，点 E 是O 上一动点，且不与 A，B 两点重合， EAB 的平分线交O 于点 C，过点 C 作 CDAE，交 AE 的延长线于点 D （1）求证：CD 是O 的切线； （2）
11、求证：AC22ADAO； 第 6页（共 20页） （3）如图 2，原有条件不变，连接 BE，BC，延长 AB 至点 M，EBM 的平分线交 AC 的延长线于点 P， CAB 的平分线交CBM 的平分线于点 Q 求证： 无论点 E 如何运动， 总有PQ 26 （12 分）已知关于 x 的二次函数 y1x2+bx+c（实数 b，c 为常数） （1）若二次函数的图象经过点（0，4） ，对称轴为 x1，求此二次函数的表达式； （2）若 b2c0，当 b3xb 时，二次函数的最小值为 21，求 b 的值； （3）记关于 x 的二次函数 y22x2+x+m，若在（1）的条件下，当 0 x1 时，总有 y2
12、 y1，求实数 m 的最小值 第 7页（共 20页） 2021 年湖南省永州市中考数学试卷年湖南省永州市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，每个小题只有一个正确选项请分，每个小题只有一个正确选项请 将正确的选项填涂到答题卡上）将正确的选项填涂到答题卡上） 1 （4 分）|2021|的相反数为（） A2021B2021C? ? ?t? D ? ?t? 【解答】解：|2021|2021， 2021 的相反数为 2021 故选：B 2 （4 分）如图，在平面内将五角星绕其中心旋转
13、 180后所得到的图案是（） AB CD 【解答】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，五 角星图案绕中心旋转 180后，阴影部分的等腰三角形的顶点向下，得到的图案是 C 故选：C 3 （4 分）据永州市 2020 年国民经济和社会发展统计公报，永州市全年全体居民人均可支 配收入约为 24000 元， 比上年增长 6.5%， 将 “人均可支配收入” 用科学记数法表示为 （） A24103B2.4104C2.4105D0.24105 【解答】解：240002.4104 第 8页（共 20页） 故选：B 4 （4 分）已知一列数据：27，12，12，5，7，12，5该列
14、数据的众数是（） A27B12C7D5 【解答】解：这组数据中出现次数最多的是 12，共出现 3 次，因此众数是 12， 故选：B 5 （4 分）下列计算正确的是（） A （3）01Btan30? ? ? C ? ?2Da2a3a6 【解答】解：A因为30，所以（3）01，因此选项 A 符合题意； Btan30? ? ? ，因此选项 B 不符合题意； C. ? ?2，因此选项 C 不符合题意； Da2a3a2+3a5，因此选项 D 不符合题意； 故选：A 6 （4 分）在一元一次不等式组 ?th ?t t ? ? ? t 的解集中，整数解的个数是（） A4B5C6D7 【解答】解： ?th ?
15、t t ? ? ? t? 解不等式得：x0.5， 解不等式得：x5， 不等式组的解集为0.5x5， 不等式组的整数解为 0，1，2，3，4，5，共 6 个， 故选：C 7 （4 分）如图，在ABC 中，ABAC，分别以点 A，B 为圆心，大于? ?AB 的长为半径画 弧，两弧相交于点 M 和点 N，作直线 MN 分别交 BC、AB 于点 D 和点 E，若B50， 则CAD 的度数是（） 第 9页（共 20页） A30B40C50D60 【解答】解：由作法得 MN 垂直平分 AB， DADB， DABB50， ABAC， CB50， BAC180BC180505080， CADBACDAB805
16、030 故选：A 8 （4 分）中国传统数学重要著作九章算术中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出 七，不足四，问人数、物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每 人出 9 元，则多了 4 元；如果每人出 6 元，则少了 5 元，问组团人数和物价各是多少？ 若设 x 人参与组团，物价为 y 元，则以下列出的方程组正确的是（） A ?t ? i ? ? i ? ?t ? ? B ?t ? i ? ? ?t? i ? ? C i ? ?t ? ? i ? ?t ? ? D i ? ?t ? ? ?t? i ? ? 【解答】解：由题意可得， ?t ? i ? ? i ? ?t ? ?，
17、 故选：A 9 （4 分）小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜 帝祭典”四种民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的 概率为（） A? ? B? ? C? ? D? ? 第 10页（共 20页） 【解答】解：把“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化分别记 为：A、B、C、D， 画树状图如图： 共有 12 种等可能的结果，小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的结果有 2 种， 小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为 ? ? ? ? ?， 故选：D 10 （4 分）定义：若 10 xN，则 xlog10N，x 称为以
18、 10 为底的 N 的对数，简记为 lgN，其 满足运算法则： lgM+lgNlg （MN）（M0， N0） 例如： 因为 102100， 所以 2lg100， 亦即 lg1002；lg4+lg3lg12根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2lg5+lg5 的 结果为（） A5B2C1D0 【解答】解： （lg2）2+lg2lg5+lg5 lg2（lg2+lg5）+lg5 lg2+lg5 1g10 1 故选：C 二二、填空题填空题（本大题共本大题共 8 个小题个小题，每小题每小题 4 分分，共共 32 分分，请将答案填在答题卡的答案栏内请将答案填在答题卡的答案栏内） 11 （4 分）
19、在 0，? ? ，0.101001， ? ?中无理数的个数是1个 【解答】解：0， ? ? ? ?，是整数，属于有理数； ? ? 是分数，属于有理数； 0.101001 是有限小数，属于有理数； 无理数有，共 1 个 故答案为：1 12 （4 分）已知二次根式 t h ?有意义，则 x 的取值范围是x3 第 11页（共 20页） 【解答】解：根据二次根式的意义，得 x+30， 解得 x3 故答案为：x3 13 （4 分）请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式：y? ? t 【解答】解：图象在第二、四象限， y? ? t， 故答案为：y? ? t 14 （4 分）某初级中学坚持开展阳光
20、体育活动，七年级至九年级每学期均进行体育技能测 试其中 A 班甲、乙两位同学 6 个学期的投篮技能测试成绩（投篮命中个数）折线图如 图所示为参加学校举行的毕业篮球友谊赛，A 班需从甲、乙两位同学中选 1 人进入班 球队，从两人成绩的稳定性考虑，请你决策 A 班应该选择的同学是甲 【解答】解：根据折线统计图可得， 甲的投篮技能测试成绩起伏小，比较平稳，乙的投篮技能测试成绩起伏大，不稳定， 因此 A 班应该选择的同学是甲 故答案为：甲 15 （4 分）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为 60，底面半径为 6 的圆锥模 型（如图所示） ，则此圆锥的母线长为10 第 12页（共 20页） 【解
21、答】解：设此圆锥的母线长为 l， 根据题意得? ? ?26l60，解得 l10， 所以此圆锥的母线长为 10 故答案为 10 16 （4 分）如图，A，B 两点的坐标分别为 A（4，3） ，B（0，3） ，在 x 轴上找一点 P，使 线段 PA+PB 的值最小，则点 P 的坐标是（2，0） 【解答】解：如图，连接 AB 交 x 轴于点 P， 根据两点之间，线段最短可知：P即为所求， 设直线 AB 的关系式为：ykx+b， ?h ? ? ? ? ? ? ， 解得 ? ? ? ? ? ? ? ， y? ? ? t ? ?， 当 y0 时，x2， P（2，0） ， 第 13页（共 20页） 故答案为
22、： （2，0） 17 （4 分）已知函数 y? t?，t ? t? ?t? ?，t ? ?，若 y2，则 x 2 【解答】解：y2 当 x22 时，x? 0 x1 x?（舍去） 当 2x22 时，x2 故答案为：2 18 （4 分）若 x，y 均为实数，43x2021，47y2021，则： （1）43xy47xy（2021）x+y； （2）? t h ? i ?1 【解答】解： （1）43xy47xy（43x）y（47y）x2021y2021x2021x+y， 故答案为：2021； （2）由（1）知，43xy47xy2021 （x+y） ， 43xy47xy（4347）xy2021xy， xy
23、x+y， ? t h ? i ? thi ti ?1， 故答案为：1 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，满分小题，满分 78 分）分） 19 （8 分）先化简，再求值： （x+1）2+（2+x） （2x） ，其中 x1 【解答】解： （x+1）2+（2+x） （2x） x2+2x+1+4x2 第 14页（共 20页） 2x+5， 当 x1 时，原式2+57 20（8分） 若x1， x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c0的两个根， 则x1+x2? ? ?， x1x2? ? ? 现 已知一元二次方程 px2+2x+q0 的两根分别为 m，n （1）若 m2，n4，求 p，q 的值； （
24、2）若 p3，q1，求 m+mn+n 的值 【解答】解： （1）根据题意得 24? ? ?，2（4）? ? ?， 所以 p1，q8； （2）根据 m+n? ? ? ? ? ?，mn? ? ?， 所以 m+mn+nm+n+mn? ? ? ? ? ? ?1 21 （8 分）为庆祝中国共产党成立 100 周年，某校组织全校学生进行了一场党史知识竞赛 活动根据竞赛结果，抽取了 200 名学生的成绩（得分均为正整数，满分为 100 分，大于 80 分的为优秀）进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表 200 名学生党史知识竞赛成绩的频数表 组别频数频率 A 组（60.570.5）a0.3 B 组（70
25、.580.5）300.15 C 组（80.590.5）50b D 组（90.5100.5）600.3 请结合图表解决下列问题： （1）频数表中，a60，b0.25； （2）请将频数分布直方图补充完整； （3）抽取的 200 名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是C组； （4）若该校共有 1000 名学生，请估计本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数 第 15页（共 20页） 【解答】解： （1）300.15200， a2000.360， b502000.25， 故答案为：60，0.25； （2）由（1）知，a60， 如图，即为补全的频数分布直方图； （3）抽取的 200 名学生中竞赛成绩的中位
26、数落在的组别是 C 组； 故答案为：C； （4）1000（0.25+0.3）10000.55550（人） ， 即本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数有 550 人 22 （10 分）如图，已知点 A，D，C，B 在同一条直线上，ADBC，AEBF，AEBF （1）求证：AECBFD （2）判断四边形 DECF 的形状，并证明 第 16页（共 20页） 【解答】 （1）证明：ADBC， AD+DCBC+DC， ACBD， AEBF， AB， 在AEC 和BFD 中， ? ? ? ? ? ? ? ? ， AECBFD（SAS） （2）四边形 DECF 是平行四边形， 证明：AECBFD， AC
27、EBDF，CEDF， CEDF， 四边形 DECF 是平行四边形 23（10 分） 永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下， 根据市场需求， 计划在 2022 年将 30 亩土地全部用于种植 A、B 两种经济作物预计 B 种经济作物亩产值比 A 种经济 作物亩产值多 2 万元，为实现 2022 年 A 种经济作物年总产值 20 万元，B 种经济作物年 总产值 30 万元的目标，问：2022 年 A、B 两种经济作物应各种植多少亩？ 【解答】解：设 2022 年 A 种经济作物应种植 x 亩，则 B 种经济作物应种植（30 x）亩， 根据题意，得?t t h2? ?t ?t?t 解得 x2
28、0 或 x15（舍去） 经检验 x20 是原方程的解，且符合题意 所以 30 x10 答：2022 年 A 种经济作物应种植 20 亩，则 B 种经济作物应种植 10 亩 24 （10 分）已知锐角ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，边角总满足关系式： ? ? ? ? ? ? ? ? 第 17页（共 20页） （1）如图 1，若 a6，B45，C75，求 b 的值； （2） 某公园准备在园内一个锐角三角形水池 ABC 中建一座小型景观桥 CD （如图 2所示） ， 若 CDAB，AC14 米，AB10 米，sinACB? ? ? ? ，求景观桥 CD 的长度 【解答】解：B4
29、5，C75， A60， ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ?t? ? ? ?， b2 ?； （2） ? ? ? ? ?， ?t ? ? ? ? ? ?， sinB? ? ? ， B60， tanB? ? ? ?， BD? ? ? CD， AC2CD2+AD2， 196CD2+（10? ? ? CD）2， CD8 ?，CD3 ?（舍去） ， CD 的长度为 8 ?米 25 （12 分）如图 1，AB 是O 的直径，点 E 是O 上一动点，且不与 A，B 两点重合， EAB 的平分线交O 于点 C，过点 C 作 CDAE，交 AE 的延长线于点 D 第 18页（共 20页） （1）求证：CD
30、是O 的切线； （2）求证：AC22ADAO； （3）如图 2，原有条件不变，连接 BE，BC，延长 AB 至点 M，EBM 的平分线交 AC 的延长线于点 P， CAB 的平分线交CBM 的平分线于点 Q 求证： 无论点 E 如何运动， 总有PQ 【解答】证明： （1）连接 OC， OAOC， OACOCA， BOC2OAC， AC 平分BAE， BAE2OAC， BAEBOC， COAD， D90， DCO90， OCCD， CD 是O 的切线 （2）AC 平分BAE， BACCAD， AB 是O 的直径， BCA90， D90， DBCA， BACCAD， 第 19页（共 20页） ?
31、? ? ? ?， AC2ABAD， AB2AO， AC22ADAO （3）CAB、CBM 的角平分线交于点 Q， QAM? ? ?CAB，QBM? ? ?CBM， QBM 是QAB 的一个外角，CBM 是ABC 的一个外角， QQBMQAM? ? ?（CBMCAM） ，ACBCBMCAM， Q? ? ?ACB， ACB90， Q45， 同理可证：P45， PQ 26 （12 分）已知关于 x 的二次函数 y1x2+bx+c（实数 b，c 为常数） （1）若二次函数的图象经过点（0，4） ，对称轴为 x1，求此二次函数的表达式； （2）若 b2c0，当 b3xb 时，二次函数的最小值为 21，求
32、 b 的值； （3）记关于 x 的二次函数 y22x2+x+m，若在（1）的条件下，当 0 x1 时，总有 y2 y1，求实数 m 的最小值 【解答】解： （1）二次函数的图象经过点（0，4） ， c4； 对称轴为直线：x? ? ? ?1， b2， 第 20页（共 20页） 此二次函数的表达式为：y1x22x+4 （2）当 b2c0 时，b2c，此时函数的表达式为：y1x2+bx+b2， 根据题意可知，需要分三种情况： 当 b? ? ?，即 b0 时，二次函数的最小值在 xb 处取到； b2+b2+b221，解得 b?，b?舍去； b3? ? ?，即 b2 时，二次函数的最小值在 xb3 处取到； （b3）2+b（b3）+b221，解得 b4，b1（舍去） ； b3? ? ? ?b，即 0b2 时，二次函数的最小值在 x? ? ?处取到； （? ? ?） 2+b（? ?）+b 221，解得 b2 ?（舍去） 综上，b 的取值为?或 4 （3）由（1）知，二次函数的表达式为：y1x22x+4， 对称轴为直线：x1， 10， 当 0 x1 时，y 随 x 的增大而减小，且最大值为 4； 二次函数 y22x2+x+m 的对称轴为直线：x? ? ?，且 20， 当 0 x1 时，y 随 x 的增大而增大，且最小值为 m， 当 0 x1 时，总有 y2y1， m4，即 m 的最小值为 4
