1、第 1页（共 19页） 2021 年浙江省杭州市中考数学试卷年浙江省杭州市中考数学试卷 一、选择题：本大题有一、选择题：本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1 （3 分）（2021）（） A2021B2021C? ? ? D ? ? 2 （3 分） “奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了 10909 米的我国载人深潜记 录数据 10909 用科学记数法可表示为（） A0.10909105B1.0909104 C10.909103D109.0
2、9102 3 （3 分）因式分解：14y2（） A （12y） （1+2y）B （2y） （2+y） C （12y） （2+y）D （2y） （1+2y） 4 （3 分）如图，设点 P 是直线 l 外一点，PQl，垂足为点 Q，点 T 是直线 l 上的一个动 点，连结 PT，则（） APT2PQBPT2PQCPTPQDPTPQ 5 （3 分）下列计算正确的是（） A ?2B ? ? ?2C ?2 D ? ? ?2 6 （3 分）某景点今年四月接待游客 25 万人次，五月接待游客 60.5 万人次设该景点今年 四月到五月接待游客人次的增长率为 x（x0） ，则（） A60.5（1x）25B25（
3、1x）60.5 C60.5（1+x）25D25（1+x）60.5 7 （3 分）某轨道列车共有 3 节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等某天甲、乙 两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（） A? ? B? ? C? ? D? ? 8 （3 分）在“探索函数 yax2+bx+c 的系数 a，b，c 与图象的关系”活动中，老师给出了 第 2页（共 19页） 直角坐标系中的四个点：A（0，2） ，B（1，0） ，C（3，1） ，D（2，3） 同学们探索了经 过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其 中 a 的值最大为（） A? ?
4、B? ? C? ? D? ? 9 （3 分）已知线段 AB，按如下步骤作图：作射线 AC，使 ACAB；作BAC 的平 分线 AD；以点 A 为圆心，AB 长为半径作弧，交 AD 于点 E；过点 E 作 EPAB 于 点 P，则 AP：AB（） A1： ?B1：2C1： ?D1： ? 10 （3 分）已知 y1和 y2均是以 x 为自变量的函数，当 xm 时，函数值分别是 M1和 M2， 若存在实数 m，使得 M1+M20，则称函数 y1和 y2具有性质 P以下函数 y1和 y2具有性 质 P 的是（） Ay1x2+2x 和 y2x1By1x2+2x 和 y2x+1 Cy1? ? ?和 y2x
5、1 Dy1? ? ?和 y2x+1 二、填空题：本大题有二、填空题：本大题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分。分。 11 （4 分）计算：sin30 12 （4 分）计算：2a+3a 13 （4 分）如图，已知O 的半径为 1，点 P 是O 外一点，且 OP2若 PT 是O 的切 线，T 为切点，连结 OT，则 PT 第 3页（共 19页） 14 （4 分）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示 甲种糖果乙种糖果 单价（元/千克）3020 千克数23 将这 2 千克甲种糖果和 3 千克乙种糖果混合成 5 千克什锦糖果，若商家用加权平均数来 确定什锦糖果的单价，
6、则这 5 千克什锦糖果的单价为元/千克 15 （4 分）如图，在直角坐标系中，以点 A（3，1）为端点的四条射线 AB，AC，AD，AE 分别过点 B（1，1） ，点 C（1，3） ，点 D（4，4） ，点 E（5，2） ，则BACDAE （填“” 、 “” 、 “”中的一个） 16 （4 分）如图是一张矩形纸片 ABCD，点 M 是对角线 AC 的中点，点 E 在 BC 边上，把 DCE 沿直线 DE 折叠， 使点 C 落在对角线 AC 上的点 F 处， 连接 DF， EF 若 MFAB， 则DAF度 三、解答题：本大题有三、解答题：本大题有 7 个小题，共个小题，共 66 分。解答应写出文
7、字说明、证明过程或验算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 第 4页（共 19页） 17 （6 分）以下是圆圆解不等式组 ?i ? ? ? ? ? ?的解答过程： 解：由，得 2+x1， 所以 x3 由，得 1x2， 所以x1， 所以 x1 所以原不等式组的解是 x1 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程 18 （8 分）为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部 360 名学生进行一分钟 跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直 方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值） 某校某年级 360 名学生一分钟跳绳次数
8、的频数表 组别（次）频数 10013048 13016096 160190a 19022072 （1）求 a 的值； （2）把频数直方图补充完整； （3）求该年级一分钟跳绳次数在 190 次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比 第 5页（共 19页） 19 （8 分）在ADAE，ABEACD，FBFC 这三个条件中选择其中一个， 补充在下面的问题中，并完成问题的解答 问题：如图，在ABC 中，ABCACB，点 D 在 AB 边上（不与点 A，点 B 重合） ， 点 E 在 AC 边上（不与点 A，点 C 重合） ，连接 BE，CD，BE 与 CD 相交于点 F若，求证：BECD 注：如果选择
9、多个条件分别作答，按第一个解答计分 20 （10 分）在直角坐标系中，设函数 y1? ? ?（k1 是常数，k10，x0）与函数 y2k2x（k2 是常数，k20）的图象交于点 A，点 A 关于 y 轴的对称点为点 B （1）若点 B 的坐标为（1，2） ， 求 k1，k2的值； 当 y1y2时，直接写出 x 的取值范围； （2）若点 B 在函数 y3? ? ? （k3是常数，k30）的图象上，求 k1+k3的值 21 （10 分）如图，在ABC 中，ABC 的平分线 BD 交 AC 边于点 D，AEBC 于点 E已 知ABC60，C45 （1）求证：ABBD； （2）若 AE3，求ABC 的
10、面积 第 6页（共 19页） 22 （12 分）在直角坐标系中，设函数 yax2+bx+1（a，b 是常数，a0） （1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象 的顶点坐标； （2）已知 ab1，当 xp，q（p，q 是实数，pq）时，该函数对应的函数值分别为 P，Q若 p+q2，求证：P+Q6 23 （12 分）如图，锐角三角形 ABC 内接于O，BAC 的平分线 AG 交O 于点 G，交 BC 边于点 F，连接 BG （1）求证：ABGAFC （2）已知 ABa，ACAFb，求线段 FG 的长（用含 a，b 的代数式表示） （3）已知点 E 在线段 A
11、F 上（不与点 A，点 F 重合） ，点 D 在线段 AE 上（不与点 A，点 E 重合） ，ABDCBE，求证：BG2GEGD 第 7页（共 19页） 2021 年浙江省杭州市中考数学试卷年浙江省杭州市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题有一、选择题：本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1 （3 分）（2021）（） A2021B2021C? ? ? D ? ? 【解答】解：（2021）2021 故选：B 2 （
12、3 分） “奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了 10909 米的我国载人深潜记 录数据 10909 用科学记数法可表示为（） A0.10909105B1.0909104 C10.909103D109.09102 【解答】解：109091.0909104 故选：B 3 （3 分）因式分解：14y2（） A （12y） （1+2y）B （2y） （2+y） C （12y） （2+y）D （2y） （1+2y） 【解答】解：14y2 1（2y)2 （12y） （1+2y） 故选：A 4 （3 分）如图，设点 P 是直线 l 外一点，PQl，垂足为点 Q，点 T 是直线 l 上的一个动 点，
13、连结 PT，则（） APT2PQBPT2PQCPTPQDPTPQ 【解答】解：PQl，点 T 是直线 l 上的一个动点，连结 PT， 第 8页（共 19页） PTPQ， 故选：C 5 （3 分）下列计算正确的是（） A ?2B ? ? ?2C ?2 D ? ? ?2 【解答】解：A ?2，故本选项符合题意； B ? ? ?2，故本选项不符合题意； C ?2，故本选项不符合题意； D ? ? ?2，故本选项不符合题意； 故选：A 6 （3 分）某景点今年四月接待游客 25 万人次，五月接待游客 60.5 万人次设该景点今年 四月到五月接待游客人次的增长率为 x（x0） ，则（） A60.5（1x
14、）25B25（1x）60.5 C60.5（1+x）25D25（1+x）60.5 【解答】解：设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为 x（x0） ，则 25（1+x）60.5 故选：D 7 （3 分）某轨道列车共有 3 节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等某天甲、乙 两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（） A? ? B? ? C? ? D? ? 【解答】解：把 3 节车厢分别记为 A、B、C， 画树状图如图： 共有 9 种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有 3 种， 甲和乙从同一节车厢上车的概率为? ? ? ? ?， 故选：C 8 （3 分）在“
15、探索函数 yax2+bx+c 的系数 a，b，c 与图象的关系”活动中，老师给出了 直角坐标系中的四个点：A（0，2） ，B（1，0） ，C（3，1） ，D（2，3） 同学们探索了经 第 9页（共 19页） 过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其 中 a 的值最大为（） A? ? B? ? C? ? D? ? 【解答】解：由图象知，A、B、D 组成的点开口向上，a0； A、B、C 组成的二次函数开口向上，a0； B、C、D 三点组成的二次函数开口向下，a0； A、D、C 三点组成的二次函数开口向下，a0； 即只需比较 A、B、D 组成的二次函数和 A、B、
16、C 组成的二次函数即可 设 A、B、C 组成的二次函数为 y1a1x2+b1x+c1， 把 A（0，2） ，B（1，0） ，C（3，1）代入上式得， ? ? ?i ?i ? ? ?i ?i ? ? ， 解得 a1? ? ?； 设 A、B、D 组成的二次函数为 yax2+bx+c， 把 A（0，2） ，B（1，0） ，D（2，3）代入上式得， ? ? ? ? i ? i ? ? ? ?i ?i ? ? ? ， 解得 a? ? ?， 即 a 最大的值为? ?， 故选：A 9 （3 分）已知线段 AB，按如下步骤作图：作射线 AC，使 ACAB；作BAC 的平 分线 AD；以点 A 为圆心，AB 长
17、为半径作弧，交 AD 于点 E；过点 E 作 EPAB 于 点 P，则 AP：AB（） 第 10页（共 19页） A1： ?B1：2C1： ?D1： ? 【解答】解：ACAB， CAB90, AD 平分BAC, EAB? ? ? ?9045, EPAB, APE90, EAPAEP45, APPE, 设 APPEx, 故 AEAB?x, AP：ABx: ?x1: ? 故选：D 10 （3 分）已知 y1和 y2均是以 x 为自变量的函数，当 xm 时，函数值分别是 M1和 M2， 若存在实数 m，使得 M1+M20，则称函数 y1和 y2具有性质 P以下函数 y1和 y2具有性 质 P 的是（
18、） Ay1x2+2x 和 y2x1By1x2+2x 和 y2x+1 Cy1? ? ?和 y2x1 Dy1? ? ?和 y2x+1 【解答】解：A令 y1+y20，则 x2+2xx10，解得 x? ?i ? ? 或 x? ? ? ? ，即函 数 y1和 y2具有性质 P，符合题意； B令 y1+y20，则 x2+2xx+10，整理得，x2+x+10，方程无解，即函数 y1和 y2不 具有有性质 P，不符合题意； C令 y1+y20，则? ? ? ?x10，整理得，x2+x+10，方程无解，即函数 y1和 y2不具 第 11页（共 19页） 有有性质 P，不符合题意； D令 y1+y20，则? ?
19、 ? ?x+10，整理得，x2x+10，方程无解，即函数 y1和 y2不具 有有性质 P，不符合题意； 故选：A 二、填空题：本大题有二、填空题：本大题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分。分。 11 （4 分）计算：sin30 ? ? 【解答】解：sin30? ? ? 12 （4 分）计算：2a+3a5a 【解答】解：2a+3a5a，故答案为 5a 13 （4 分）如图，已知O 的半径为 1，点 P 是O 外一点，且 OP2若 PT 是O 的切 线，T 为切点，连结 OT，则 PT? 【解答】解：PT 是O 的切线，T 为切点， OTPT， 在 RtOPT 中，O
20、T1，OP2， PT ? ? ? ? ?， 故：PT ? 14 （4 分）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示 甲种糖果乙种糖果 单价（元/千克）3020 千克数23 将这 2 千克甲种糖果和 3 千克乙种糖果混合成 5 千克什锦糖果，若商家用加权平均数来 确定什锦糖果的单价，则这 5 千克什锦糖果的单价为24元/千克 【解答】解：这 5 千克什锦糖果的单价为： （302+203）524（元/千克） 第 12页（共 19页） 故答案为：24 15 （4 分）如图，在直角坐标系中，以点 A（3，1）为端点的四条射线 AB，AC，AD，AE 分别过点 B（1，1） ，点 C（1，3） ，点
21、D（4，4） ，点 E（5，2） ，则BACDAE （填“” 、 “” 、 “”中的一个） 【解答】解：连接 DE， 由上图可知 AB2，BC2， ABC 是等腰直角三角形， BAC45， 又AE ?i ? ?i ? ?， 同理可得 DE ?i ? ?， AD ?i ? ?， 则在ADE 中，有 AE2+DE2AD2， ADE 是等腰直角三角形， DAE45， BACDAE， 故答案为： 第 13页（共 19页） 16 （4 分）如图是一张矩形纸片 ABCD，点 M 是对角线 AC 的中点，点 E 在 BC 边上，把 DCE 沿直线 DE 折叠， 使点 C 落在对角线 AC 上的点 F 处，
22、连接 DF， EF 若 MFAB， 则DAF18度 【解答】解：连接 DM,如图： 四边形 ABCD 是矩形， ADC90 M 是 AC 的中点， DMAMCM, FADMDA,MDCMCD DC,DF 关 DE 对称， DFDC, DFCDCF MFAB,ABCD,DFDC, MFFD FMDFDM DFCFMD+FDM, DFC2FMD DMCFAD+ADM, DMC2FAD 设FADx,则DFC4x, MCDMDC4x DMC+MCD+MDC180, 第 14页（共 19页） 2x+4x+4x180 x18 故答案为：18 三、解答题：本大题有三、解答题：本大题有 7 个小题，共个小题，
23、共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 17 （6 分）以下是圆圆解不等式组 ?i ? ? ? ? ? ?的解答过程： 解：由，得 2+x1， 所以 x3 由，得 1x2， 所以x1， 所以 x1 所以原不等式组的解是 x1 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程 【解答】解：圆圆的解答过程有错误， 正确过程如下：由得 2+2x1， 2x3， x? ? ?， 由得 1x2， x1， x1， 不等式组的解集为 x1 18 （8 分）为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部 360 名学生进行一分钟 跳绳次数的测
24、试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直 方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值） 某校某年级 360 名学生一分钟跳绳次数的频数表 组别（次）频数 10013048 13016096 第 15页（共 19页） 160190a 19022072 （1）求 a 的值； （2）把频数直方图补充完整； （3）求该年级一分钟跳绳次数在 190 次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比 【解答】解： （1）a360（48+96+72）144； （2）补全频数分布直方图如下： （3）该年级一分钟跳绳次数在 190 次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比为 ? ? ?100%
25、20% 19 （8 分）在ADAE，ABEACD，FBFC 这三个条件中选择其中一个， 补充在下面的问题中，并完成问题的解答 问题：如图，在ABC 中，ABCACB，点 D 在 AB 边上（不与点 A，点 B 重合） ， 点 E 在 AC 边上（不与点 A，点 C 重合） ，连接 BE，CD，BE 与 CD 相交于点 F若 ADAE（ABEACD 或FBFC），求证：BECD 第 16页（共 19页） 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分 【解答】证明：选择条件的证明为： ABCACB， ABAC， 在ABE 和ACD 中， ? ? ? ? ? ? ? ? ， ABEACD（SAS）
26、 ， BECD； 选择条件的证明为： ABCACB， ABAC， 在ABE 和ACD 中， ? ? ? ? ? ? ? ， ABEACD（ASA） ， BECD； 选择条件的证明为： ABCACB， ABAC， FBFC， FBCFCB， ABCFBCACBFCB， 即ABEACD， 第 17页（共 19页） 在ABE 和ACD 中， ? ? ? ? ? ? ? ， ABEACD（ASA） ， BECD 故答案为ADAE（ABEACD 或FBFC） 20 （10 分）在直角坐标系中，设函数 y1? ? ?（k1 是常数，k10，x0）与函数 y2k2x（k2 是常数，k20）的图象交于点 A，
27、点 A 关于 y 轴的对称点为点 B （1）若点 B 的坐标为（1，2） ， 求 k1，k2的值； 当 y1y2时，直接写出 x 的取值范围； （2）若点 B 在函数 y3? ? ? （k3是常数，k30）的图象上，求 k1+k3的值 【解答】解： （1）由题意得，点 A 的坐标是（1，2） ， 函数 y1? ? ? （k1是常数，k10，x0）与函数 y2k2x（k2是常数，k20）的图象交 于点 A， 2? ? ? ，2k2， k12，k22； 由图象可知，当 y1y2时，x 的取值范围是 x1； （2）设点 A 的坐标是（x0，y） ，则点 B 的坐标是（x0，y） ， k1x0y，k3
28、x0y， k1+k30 21 （10 分）如图，在ABC 中，ABC 的平分线 BD 交 AC 边于点 D，AEBC 于点 E已 知ABC60，C45 （1）求证：ABBD； 第 18页（共 19页） （2）若 AE3，求ABC 的面积 【解答】 （1）证明：BD 平分ABC，ABC60， DBC? ? ?ABC30， ADBDBC+C75， BAC180ABCC75， BACADB， ABBD； （2）解：由题意得，BE? ? ?h? ?，EC? ? ?h? ?3， BC3i?， SABC? ? ?BCAE? ?i? ? ? 22 （12 分）在直角坐标系中，设函数 yax2+bx+1（a，
29、b 是常数，a0） （1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象 的顶点坐标； （2）已知 ab1，当 xp，q（p，q 是实数，pq）时，该函数对应的函数值分别为 P，Q若 p+q2，求证：P+Q6 【解答】解： （1）由题意，得 ? i ? i ? ? ? ?i ?i ? ? ?, 解得 ? ? ? ? ? ?, 所以，该函数表达式为 yx22x+1 并且该函数图象的顶点坐标为（1,0） （2）由题意，得 Pp2+p+1,Qq2+q+1, 所以 P+Qp2+p+1+q2+q+1 p2+q2+4 (2q)2+q2+4 2(q1)2+66， 第 19页（共
30、 19页） 由条件 pq，知 q1所以 P+Q6，得证 23 （12 分）如图，锐角三角形 ABC 内接于O，BAC 的平分线 AG 交O 于点 G，交 BC 边于点 F，连接 BG （1）求证：ABGAFC （2）已知 ABa，ACAFb，求线段 FG 的长（用含 a，b 的代数式表示） （3）已知点 E 在线段 AF 上（不与点 A，点 F 重合） ，点 D 在线段 AE 上（不与点 A，点 E 重合） ，ABDCBE，求证：BG2GEGD 【解答】 （1）证明：AG 平分BAC， BAGFAC， 又GC， ABCAFC； （2）解：由（1）知，ABCAFC， ? ? ? ?t ?， ACAFb， ABAGa， FGAGAFab； （3）证明：CAGCBG，BAGCAG， BAGCBG， ABDCBE， BDGBAG+ABDCBG+CBEEBG， 又DGBBGE， DGBBGE， t? t ? t t?， BG2GEGD
