2021年江苏省无锡市中考数学试卷（学生版+解析版）.docx

1、第 1页（共 27页） 2021 年江苏省无锡市中考数学试卷年江苏省无锡市中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题所给出的四个选项中，分在每小题所给出的四个选项中， 只有一项是正确的，请用只有一项是正确的，请用 2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑 ） 1 （3 分）? ? ?的相反数是（ ） A? ? ? B? ? C3D3 2 （3 分）函数 y? ? ?h中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax2Bx2Cx2Dx2 3 （3 分）已知一组数据：58，53，55，52，54，5

2、1，55，这组数据的中位数和众数分别是 （） A54，55B54，54C55，54D52，55 4 （3 分）方程组 ? ? ? ? ? ? ? ? ?的解是（ ） A ? ? h ? ? ? B ? ? ? ? ? h C ? ? ? ? ? ? D ? ? ? ? ? ? 5 （3 分）下列运算正确的是（） Aa2+aa3B （a2）3a5Ca8a2a4Da2a3a5 6 （3 分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（） ABCD 7 （3 分）如图，D、E、F 分别是ABC 各边中点，则以下说法错误的是（） ABDE 和DCF 的面积相等 B四边形 AEDF 是平行四边形 C

3、若 ABBC，则四边形 AEDF 是菱形 D若A90，则四边形 AEDF 是矩形 第 2页（共 27页） 8 （3 分）一次函数 yx+n 的图象与 x 轴交于点 B，与反比例函数 y? ? ?（m0）的图象交 于点 A（1，m） ，且AOB 的面积为 1，则 m 的值是（） A1B2C3D4 9 （3 分）在 RtABC 中，A90，AB6，AC8，点 P 是ABC 所在平面内一点， 则 PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（） A点 P 是ABC 三边垂直平分线的交点 B点 P 是ABC 三条内角平分线的交点 C点 P 是ABC 三条高的交点 D点 P 是ABC 三条中线的

4、交点 10 （3 分）设 P（x，y1） ，Q（x，y2）分别是函数 C1，C2图象上的点，当 axb 时，总 有1y1y21 恒成立， 则称函数 C1， C2在 axb 上是 “逼近函数” ， axb 为 “逼 近区间” 则下列结论： 函数 yx5，y3x+2 在 1x2 上是“逼近函数” ； 函数 yx5，yx24x 在 3x4 上是“逼近函数” ； 0 x1 是函数 yx21，y2x2x 的“逼近区间” ； 2x3 是函数 yx5，yx24x 的“逼近区间” 其中，正确的有（） ABCD 二二、填空题填空题（本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 2 分分，共共 16 分分不需写出

5、解答过程不需写出解答过程，请把答案直接请把答案直接 填写在答题卡上相应的位置填写在答题卡上相应的位置 ） 11 （2 分）分解因式：2x38x 12 （2 分）2021 年 5 月 15 日我国天问一号探测器在火星预选着陆区着陆，在火星上首次留 下中国印迹，迈出我国星际探测征程的重要一步目前探测器距离地球约 320000000 千 米，320000000 这个数据用科学记数法可表示为 13 （2 分）用半径为 50，圆心角为 120的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的 底面半径为 14 （2 分）请 写出一个 函数表达式 ，使其图象 在第二、 四象限且关 于原点对 称： 15 （2 分）

6、一条上山直道的坡度为 1：7，沿这条直道上山，每前进 100 米所上升的高度为 第 3页（共 27页） 米 16 （2 分）下列命题中，正确命题的个数为 所有的正方形都相似 所有的菱形都相似 边长相等的两个菱形都相似 对角线相等的两个矩形都相似 17 （2 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，AB2 h，AC6，点 E 在线段 AC 上， 且 AE1，D 是线段 BC 上的一点，连接 DE，将四边形 ABDE 沿直线 DE 翻折，得到四 边形 FGDE，当点 G 恰好落在线段 AC 上时，AF 18 （2 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 C 为 y 轴正半轴上的一个动点

7、， 过点 C 的直线与二次函数 yx2的图象交于 A、B 两点，且 CB3AC，P 为 CB 的中点， 设点 P 的坐标为 P （x， y）（x0） ， 写出 y 关于 x 的函数表达式为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 84 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤等字说明、证明过程或演算步骤等 ） 19 （8 分）计算： （1）|? ? h|（2） 3+sin30； （2）? ? ? ? h? 20 （8 分） （1）解方程： （x+1）240； 第 4页（共 27页） （2）解不等

8、式组： ? h? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 21 （8 分）已知：如图，AC，DB 相交于点 O，ABDC，ABODCO 求证： （1）ABODCO； （2）OBCOCB 22 （8 分）将 4 张分别写有数字 1、2、3、4 的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放 在盒子中，搅匀后从中任意取出 1 张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出 1 张卡 片求下列事件发生的概率 （请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） （1）取出的 2 张卡片数字相同； （2）取出的 2 张卡片中，至少有 1 张卡片的数字为“3” 23 （8 分）某企业为推进全民健身活动，提升员工身体素质，号

9、召员工开展健身锻炼活动， 经过两个月的宣传发动，员工健身锻炼的意识有了显著提高为了调查本企业员工上月 参加健身锻炼的情况， 现从 1500名员工中随机抽取200人调查每人上月健身锻炼的次数， 并将调查所得的数据整理如下： 某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表 锻炼次数 x （代号） 0 x5 （A） 5x10 （B） 10 x15 （C） 15x20 （D） 20 x25 （E） 25x30 （F） 频数10a68c246 频率0.05b0.34d0.120.03 （1）表格中 a； 第 5页（共 27页） （2）请把扇形统计图补充完整； （只需标注相应的数据） （3）请估计该企业上月参加健

10、身锻炼超过 10 次的员工有多少人？ 24 （8 分）如图，已知锐角ABC 中，ACBC （1）请在图 1 中用无刻度的直尺和圆规作图：作ACB 的平分线 CD；作ABC 的外接 圆O； （不写作法，保留作图痕迹） （2） 在 （1） 的条件下， 若 AB? ? ? ， O 的半径为 5， 则 sinB （如 需画草图，请使用图 2） 25 （8 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，AC 是O 的直径，AC 与 BD 交于点 E，PB 切O 于点 B （1）求证：PBAOBC； （2）若PBA20，ACD40，求证：OABCDE 26 （8 分）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工

11、的消防意识，某单位工会 决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品现有 经费 1275 元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之 比为 4：3当用 600 元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品 25 件 （1）求一、二等奖奖品的单价； （2）若购买一等奖奖品的数量不少于 4 件且不超过 10 件，则共有哪几种购买方式？ 27 （10 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线 yx+3 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，二次函数 yax2+2x+c 的图象过 B、C 两点，且与 x 轴交于另一点 A，点 M 第 6页（共

12、 27页） 为线段 OB 上的一个动点，过点 M 作直线 l 平行于 y 轴交 BC 于点 F，交二次函数 y ax2+2x+c 的图象于点 E （1）求二次函数的表达式； （2）当以 C、E、F 为顶点的三角形与ABC 相似时，求线段 EF 的长度； （3）已知点 N 是 y 轴上的点，若点 N、F 关于直线 EC 对称，求点 N 的坐标 28 （10 分）已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，点 E 是射线 BC 上的动点，以 AE 为 直角边在直线 BC 的上方作等腰直角三角形 AEF，AEF90，设 BEm （1）如图，若点 E 在线段 BC 上运动，EF 交 CD 于点 P，

13、AF 交 CD 于点 Q，连接 CF， 当 m? ? ?时，求线段 CF 的长； 在PQE 中，设边 QE 上的高为 h，请用含 m 的代数式表示 h，并求 h 的最大值； （2）设过 BC 的中点且垂直于 BC 的直线被等腰直角三角形 AEF 截得的线段长为 y，请 直接写出 y 与 m 的关系式 第 7页（共 27页） 2021 年江苏省无锡市中考数学试卷年江苏省无锡市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题所给出的四个选项中，分在每小题所给出的四个选项中， 只有一项是正

14、确的，请用只有一项是正确的，请用 2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑 ） 1 （3 分）? ? ?的相反数是（ ） A? ? ? B? ? C3D3 【解答】解：? ? ?的相反数是 ? ? 故选：B 2 （3 分）函数 y? ? ?h中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax2Bx2Cx2Dx2 【解答】解：由题意得：x20， 解得：x2， 故选：A 3 （3 分）已知一组数据：58，53，55，52，54，51，55，这组数据的中位数和众数分别是 （） A54，55B54，54C55，54D52，55 【解答】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列：51、52

15、、53、54、55、55、58， 中位数为 54， 55 出现的次数最多， 众数为 55， 故选：A 4 （3 分）方程组 ? ? ? ? ? ? ? ? ?的解是（ ） A ? ? h ? ? ? B ? ? ? ? ? h C ? ? ? ? ? ? D ? ? ? ? ? ? 【解答】解： ? ? ? ? ? ? ? ? ?， +得：2x8， x4， 把 x4 代入得：4+y5， 第 8页（共 27页） y1， 方程组的解为 ? ? ? ? ? ? 故选：C 5 （3 分）下列运算正确的是（） Aa2+aa3B （a2）3a5Ca8a2a4Da2a3a5 【解答】解：Aa2+a，不是同类

16、项，无法合并，故此选项不合题意； B （a2）3a6，故此选项不合题意； Ca8a2a6，故此选项不合题意； Da2a3a5，故此选项符合题意 故选：D 6 （3 分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（） AB CD 【解答】解：A既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； D是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意 故选：A 7 （3 分）如图，D、E、F 分别是ABC 各边中点，则以下说法错误的是（） ABDE 和DCF 的面积相等 第 9页（共 27

17、页） B四边形 AEDF 是平行四边形 C若 ABBC，则四边形 AEDF 是菱形 D若A90，则四边形 AEDF 是矩形 【解答】解：A连接 EF， D、E、F 分别是ABC 各边中点， EFBC，BDCD， 设 EF 和 BC 间的距离为 h， SBDE? ? hBDh，SDCE? ? hCDh， SBDESDCE， 故本选项不符合题意； BD、E、F 分别是ABC 各边中点， DEAC，DFAB， DEAF，DFAE， 四边形 AEDF 是平行四边形， 故本选项不符合题意； CD、E、F 分别是ABC 各边中点， EF? ? hBC，DF? ? hAB， 若 ABBC，则 FEDF， 四

18、边形 AEDF 不一定是菱形， 故本选项符合题意； D四边形 AEDF 是平行四边形， 若A90，则四边形 AEDF 是矩形， 故本选项不符合题意； 故选：C 8 （3 分）一次函数 yx+n 的图象与 x 轴交于点 B，与反比例函数 y? ? ?（m0）的图象交 第 10页（共 27页） 于点 A（1，m） ，且AOB 的面积为 1，则 m 的值是（） A1B2C3D4 【解答】解：在 yx+n 中，令 y0，得 xn， B（n，0） ， A（1，m）在一次函数 yx+n 的图象上， m1+n，即 nm1， B（1m，0） ， AOB 的面积为 1，m0， ? hOB|yA|1，即 ? h|

19、1m|m1， 解得 m2 或 m1（舍去） ， m2， 故选：B 9 （3 分）在 RtABC 中，A90，AB6，AC8，点 P 是ABC 所在平面内一点， 则 PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（） A点 P 是ABC 三边垂直平分线的交点 B点 P 是ABC 三条内角平分线的交点 C点 P 是ABC 三条高的交点 D点 P 是ABC 三条中线的交点 【解答】解：过 P 作 PDAC 于 D，过 P 作 PEAB 于 E，延长 CP 交 AB 于 M，延长 BP 交 AC 于 N，如图： A90，PDAC，PEAB， 四边形 AEPD 是矩形， 设 ADPEx，AEDPy

20、， 第 11页（共 27页） RtAEP 中，AP2x2+y2， RtCDP 中，CP2（8x）2+y2， RtBEP 中，BP2x2+（6y）2， AP2+CP2+BP2x2+y2+（8x）2+y2+x2+（6y）2 3x216x+3y212y+100 3（x? ?） 2+3（y2）2h ? ， x? ?，y2 时，AP 2+CP2+BP2的值最小， 此时 ADPE? ?，AEPD2， A90，PDAC， PDAB， ?R ?R ? ?t tR，即 ?R h ? ?i ? ， AM3， AM? ? hAB，即 M 是 AB 的中点， 同理可得 AN? ? hAC，N 为 AC 中点， P 是

21、ABC 三条中线的交点， 故选：D 10 （3 分）设 P（x，y1） ，Q（x，y2）分别是函数 C1，C2图象上的点，当 axb 时，总 有1y1y21 恒成立， 则称函数 C1， C2在 axb 上是 “逼近函数” ， axb 为 “逼 近区间” 则下列结论： 函数 yx5，y3x+2 在 1x2 上是“逼近函数” ； 函数 yx5，yx24x 在 3x4 上是“逼近函数” ； 0 x1 是函数 yx21，y2x2x 的“逼近区间” ； 2x3 是函数 yx5，yx24x 的“逼近区间” 其中，正确的有（） ABCD 【解答】解：y1y22x7，在 1x2 上，当 x1 时，y1y2最大

22、值为9，当 x2 时，y1y2最小值为11，即11y1y29，故函数 yx5，y3x+2 在 1x 2 上是“逼近函数”不正确； 第 12页（共 27页） y1y2x2+5x5，在 3x4 上，当 x3 时，y1y2最大值为 1，当 x4 时，y1 y2最小值为1，即1y1y21，故函数 yx5，yx24x 在 3x4 上是“逼 近函数”正确； y1y2x2+x1，在 0 x1 上，当 x? ? h时，y1y2 最大值为? ? ?，当 x0 或 x1 时，y1y2最小值为1，即1y1y2? ? ?，当然1y1y21 也成立，故 0 x1 是函数 yx21，y2x2x 的“逼近区间”正确； y1

23、y2x2+5x5，在 2x3 上，当 x? ? h时，y1y2 最大值为? ?，当 x2 或 x3 时，y1y2最小值为 1，即 1y1y2? ? ?，故 2x3 是函数 yx5，yx 24x 的“逼 近区间”不正确； 正确的有， 故选：A 二二、填空题填空题（本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 2 分分，共共 16 分分不需写出解答过程不需写出解答过程，请把答案直接请把答案直接 填写在答题卡上相应的位置填写在答题卡上相应的位置 ） 11 （2 分）分解因式：2x38x2x（x2） （x+2） 【解答】解：2x38x， 2x（x24） ， 2x（x+2） （x2） 12 （2 分）2

24、021 年 5 月 15 日我国天问一号探测器在火星预选着陆区着陆，在火星上首次留 下中国印迹，迈出我国星际探测征程的重要一步目前探测器距离地球约 320000000 千 米，320000000 这个数据用科学记数法可表示为3.2108 【解答】解：3200000003.2108， 故选：3.2108 13 （2 分）用半径为 50，圆心角为 120的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的 底面半径为 ? ? 【解答】解：设圆锥的底面圆半径为 r，依题意，得 2r? ?h?t? ? ， 解得 r? ? ? 第 13页（共 27页） 故答案为：? ? 14 （2 分）请写出一个函数表达式，使其

25、图象在第二、四象限且关于原点对称：y? ? ? 答案不唯一 【解答】解：若反比例函数 y? ? ?（k 是常数，且 k0）的图象在第二、四象限，则 k0， 故 k 可取1，此时反比例函数解析式为 y? ? ? 故答案为：y? ? ?答案不唯一 15 （2 分）一条上山直道的坡度为 1：7，沿这条直道上山，每前进 100 米所上升的高度为 10 h米 【解答】解：设上升的高度为 x 米， 上山直道的坡度为 1：7， 水平距离为 7x 米， 由勾股定理得：x2+（7x）21002， 解得：x110 h，x210 h（舍去） ， 故答案为：10 h 16 （2 分）下列命题中，正确命题的个数为1 所

26、有的正方形都相似 所有的菱形都相似 边长相等的两个菱形都相似 对角线相等的两个矩形都相似 【解答】解：所有的正方形都相似，正确，符合题意； 所有的菱形都相似，错误，不符合题意； 边长相等的两个菱形都相似，错误，不符合题意； 对角线相等的两个矩形都相似，错误，不符合题意， 正确的有 1 个， 故答案为：1 17 （2 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，AB2 h，AC6，点 E 在线段 AC 上， 且 AE1，D 是线段 BC 上的一点，连接 DE，将四边形 ABDE 沿直线 DE 翻折，得到四 第 14页（共 27页） 边形 FGDE，当点 G 恰好落在线段 AC 上时，AF h i

27、? 【解答】解：如图，过点 F 作 FHAC 于 H， 将四边形 ABDE 沿直线 DE 翻折，得到四边形 FGDE， ABFG2 h，AEEF1，BACEFG90， EG? h ?h ? ?3， sinFEG? ? ? ? ? ?， ? ? ? h h ? ， HF? h h ? ， cosFEG? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ?， EH? ? ?， AHAE+EH? ? ?， AF? h ?h ? ?i ? ? ? h i ? ， 故答案为：h i ? 18 （2 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 C 为 y 轴正半轴上的一个动点， 过点 C 的直线与二次函数 y

28、x2的图象交于 A、B 两点，且 CB3AC，P 为 CB 的中点， 设点 P 的坐标为 P（x，y） （x0） ，写出 y 关于 x 的函数表达式为：y? ?x 2 第 15页（共 27页） 【解答】解：过 A 作 ADy 轴于 D，过 B 作 BEy 轴于 E，如图： ADy 轴，BEy 轴， ADBE， ?t ?t ? tR t? ? ?R ?， CB3AC， CE3CD，BE3AD， 设 ADm，则 BE3m， A、B 两点在二次函数 yx2的图象上， A（m，m2） ，B（3m，9m2） ， ODm2，OE9m2， ED8m2， 而 CE3CD， CD2m2，OC3m2， C（0，3

29、m2） ， P 为 CB 的中点， P（? hm，6m 2） ， 又已知 P（x，y） ， 第 16页（共 27页） ? ? ? h ? ? ? i?h ， y? ?x 2； 故答案为：y? ?x 2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 84 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤等字说明、证明过程或演算步骤等 ） 19 （8 分）计算： （1）|? ? h|（2） 3+sin30； （2）? ? ? ? h? 【解答】解： （1）原式? ? h 8 ? h 1+8 9 （2）原式? h?

30、? ? h? ? ? h? ? ? h 20 （8 分） （1）解方程： （x+1）240； （2）解不等式组： ? h? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【解答】解： （1）（x+1）240， （x+1）24， x+12， 解得：x11，x23 （2） ? h? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 由得，x1， 由得，x3， 故不等式组的解集为：1x3 21 （8 分）已知：如图，AC，DB 相交于点 O，ABDC，ABODCO 第 17页（共 27页） 求证： （1）ABODCO； （2）OBCOCB 【解答】证明： （1）在ABO 和DCO 中， ? ?tR ? ? ?Rt ? ?

31、 Rt ， ABODCO（AAS） ； （2）由（1）知，ABODCO， OBOC OBCOCB 22 （8 分）将 4 张分别写有数字 1、2、3、4 的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放 在盒子中，搅匀后从中任意取出 1 张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出 1 张卡 片求下列事件发生的概率 （请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） （1）取出的 2 张卡片数字相同； （2）取出的 2 张卡片中，至少有 1 张卡片的数字为“3” 【解答】解： （1）画树状图如图： 共有 16 种等可能的结果，取出的 2 张卡片数字相同的结果有 4 种， 取出的 2 张卡片数字相同的概率为

32、? ?i ? ? ?； （2）由（1）可知，共有 16 种等可能的结果，取出的 2 张卡片中，至少有 1 张卡片的数 字为“3”的结果有 7 种， 取出的 2 张卡片中，至少有 1 张卡片的数字为“3”的概率为 ? ?i 23 （8 分）某企业为推进全民健身活动，提升员工身体素质，号召员工开展健身锻炼活动， 经过两个月的宣传发动，员工健身锻炼的意识有了显著提高为了调查本企业员工上月 第 18页（共 27页） 参加健身锻炼的情况， 现从 1500名员工中随机抽取200人调查每人上月健身锻炼的次数， 并将调查所得的数据整理如下： 某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表 锻炼次数 x （代号） 0

33、x5 （A） 5x10 （B） 10 x15 （C） 15x20 （D） 20 x25 （E） 25x30 （F） 频数10a68c246 频率0.05b0.34d0.120.03 （1）表格中 a42； （2）请把扇形统计图补充完整； （只需标注相应的数据） （3）请估计该企业上月参加健身锻炼超过 10 次的员工有多少人？ 【解答】解： （1）a20021%42（人） ， 故答案为：42； （2）b21%0.21， C 组所占的百分比 c0.3434%， D 组所占的百分比是：d10.050.210.340.120.030.2525%， 扇形统计图补充完整如图： ； （3）估计该企业上月参加

34、健身锻炼超过 10 次的员工有 1500（0.34+0.25+0.12+0.03） 第 19页（共 27页） 1110（人） 答：估计该企业上月参加健身锻炼超过 10 次的员工有 1110 人 24 （8 分）如图，已知锐角ABC 中，ACBC （1）请在图 1 中用无刻度的直尺和圆规作图：作ACB 的平分线 CD；作ABC 的外接 圆O； （不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若 AB? ? ? ，O 的半径为 5，则 sinB ? ? （如需画草图， 请使用图 2） 【解答】解： （1）如图，射线 CD，O 即为所求 （2）连接 OA，设射线 CD 交 AB 于 E CACB

35、，CD 平分ACB， CDAB，AEEB? h? ? ， OE?h? ?h?h? ? h? ? ?h? ? ?， CEOC+OE5 ? ? ? ?h ? ， ACBC?h ?th? h? ? ?h ? ?h ? ?h?8， sinB? ?t ?t ? ?h ? ? ? ? 故答案为：? ? 第 20页（共 27页） 25 （8 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，AC 是O 的直径，AC 与 BD 交于点 E，PB 切O 于点 B （1）求证：PBAOBC； （2）若PBA20，ACD40，求证：OABCDE 【解答】证明： （1）AC 是O 的直径， ABC90， ACB+BAC90， P

36、B 切O 于点 B， PBA+ABO90， OAOBOC， BAOABO，OBCACB， OBC+ABOPBA+ABO90， PBAOBC； （2）由（1）知，PBAOBCACB， PBA20， OBCACB20， AOBACB+OBC20+2040， ACD40， AOBACD， ?t ? ? ?t ?， CDECDBBACBAO， OABCDE 第 21页（共 27页） 26 （8 分）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会 决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品现有 经费 1275 元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖

37、品单价与二等奖奖品单价之 比为 4：3当用 600 元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品 25 件 （1）求一、二等奖奖品的单价； （2）若购买一等奖奖品的数量不少于 4 件且不超过 10 件，则共有哪几种购买方式？ 【解答】解： （1）设一等奖奖品单价为 4x 元，则二等奖奖品单价为 3x 元， 依题意得：i ? ?h?i ? ?25， 解得：x15， 经检验，x15 是原方程的解，且符合题意， 4x60，3x45 答：一等奖奖品单价为 60 元，二等奖奖品单价为 45 元 （2）设购买一等奖奖品 m 件，二等奖奖品 n 件， 依题意得：60m+45n1275， n? ? ? m，n

38、均为正整数，且 4m10， ? ? ? ? ? h?或 ? ? ? ? ? ?或 ? ? ? ? ? ? ， 共有 3 种购买方案， 方案 1：购买 4 件一等奖奖品，23 件二等奖奖品； 方案 2：购买 7 件一等奖奖品，19 件二等奖奖品； 方案 3：购买 10 件一等奖奖品，15 件二等奖奖品 27 （10 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线 yx+3 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，二次函数 yax2+2x+c 的图象过 B、C 两点，且与 x 轴交于另一点 A，点 M 第 22页（共 27页） 为线段 OB 上的一个动点，过点 M 作直线 l 平行于 y 轴交

39、BC 于点 F，交二次函数 y ax2+2x+c 的图象于点 E （1）求二次函数的表达式； （2）当以 C、E、F 为顶点的三角形与ABC 相似时，求线段 EF 的长度； （3）已知点 N 是 y 轴上的点，若点 N、F 关于直线 EC 对称，求点 N 的坐标 【解答】解： （1）在 yx+3 中，令 x0 得 y3，令 y0 得 x3， B（3，0） ，C（0，3） ， 把 B（3，0） ，C（0，3）代入 yax2+2x+c 得： ? ? i ? ? ，解得 ? ? ? ? ? ， 二次函数的表达式为 yx2+2x+3； （2）如图： 在 yx2+2x+3 中，令 y0 得 x3 或 x

40、1， A（1，0） ， B（3，0） ，C（0，3） ， OBOC，AB4，BC3 h， ABCMFBCFE45， 以 C、E、F 为顶点的三角形与ABC 相似，B 和 F 为对应点， 第 23页（共 27页） 设 E（m，m2+2m+3） ，则 F（m，m+3） ， EF（m2+2m+3）（m+3）m2+3m，CF?h ?h?hm， ABCCFE 时，? t ? ?t ?， ? h? ? ? h ?h?， 解得 m? ? h或 m0（舍去） ， EF? ? ?， ABCEFC 时，? ? ? ?t t， ? ?h? ? ? h h?， 解得 m0（舍去）或 m? ? ?， EF? h ? ，

41、 综上所述，EF? ? ?或 h ? （3）连接 NE，如图： 点 N、F 关于直线 EC 对称， NCEFCE，CFCN， EFy 轴， NCECEF， FCECEF， CFEFCN， 由（2）知： 设 E（m，m2+2m+3） ，则 F（m，m+3） ，EF（m2+2m+3）（m+3）m2+3m， 第 24页（共 27页） CF?h ?h?hm， m2+3m?hm，解得 m0（舍去）或 m3?h， CNCF?hm3 h ?2， N（0，3 h 1） 28 （10 分）已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，点 E 是射线 BC 上的动点，以 AE 为 直角边在直线 BC 的上方作等腰

42、直角三角形 AEF，AEF90，设 BEm （1）如图，若点 E 在线段 BC 上运动，EF 交 CD 于点 P，AF 交 CD 于点 Q，连接 CF， 当 m? ? ?时，求线段 CF 的长； 在PQE 中，设边 QE 上的高为 h，请用含 m 的代数式表示 h，并求 h 的最大值； （2）设过 BC 的中点且垂直于 BC 的直线被等腰直角三角形 AEF 截得的线段长为 y，请 直接写出 y 与 m 的关系式 【解答】解： （1）过 F 作 FGBC 于 G，连接 CF，如图： 四边形 ABCD 是正方形，AEF90， BAE90AEBFEG，BG90， 等腰直角三角形 AEF， AEEF，

43、 在ABE 和EGF 中， ? ? ? ? ? ? ? ? ， 第 25页（共 27页） ABEEGF（AAS） ， FGBE? ? ?，EGABBC， EGECBCEC，即 CGBE? ? ?， 在 RtCGF 中，CF?t?h ?h? h ? ； ABE 绕 A 逆时针旋转 90，得ADE，过 P 作 PHEQ 于 H，如图： ABE 绕 A 逆时针旋转 90，得ADE， ABEADE，BADE90，BAEDAE，AEBE，AEAE， BEDE， ADC+ADE180， C、D、E共线， BAE+EAD90， DAE+EAD90， EAF45， EAFEAF45， 在EAQ 和EAQ 中，

44、 ? ? ? ?h ? ?h ?h ? ?h ， EAQEAQ（SAS） ， EAEQ，EQEQ， AEBAEQ，EQDQ+DEDQ+BE， QEP90AEQ90AEBCEP，即 EF 是QEC 的平分线， 又C90，PHEQ， PHPC， 第 26页（共 27页） BAECEP，BC90， ABEECP， t? ? ? t? ?，即 t? ? ? ? ? ， CPm（1m） ， PHhm2+m（m? ? h） 2? ?， m? ? h时，h 最大值是 ? ?； （2）当 0m? ? h时，如图： BAE90AEBHEG，BHGE90， ABEEGH， ? ? ? ? ?，即 ? ? ? ?

45、h? ? ， HGm2 ? hm， MGCD，G 为 BC 中点， MN 为ADQ 的中位线， MN? ? hDQ， 由（1）知：EQDQ+BE， 设 DQx，则 EQx+m，CQ1x， RtEQC 中，EC2+CQ2EQ2， （1m）2+（1x）2（x+m）2， 解得 x? ? ?， MN? ? h?， yNHMGHGMN 第 27页（共 27页） 1（m2 ? hm）? ? h? 1? ? hm? ? h? m2， 当 m ? h时，如图： MGAB， ? ? ? ? ?，即 ? ? ? ? h ? ， HG? h? h? ， 同可得 MN? ? hDQ? ? h?， HNMGHGMN 1? h? h? ? ? h? ? ?h h?hh?， y? ?h h?hh?， 综上所述，y1 ? hm ? h? m2或 y? ?h h?hh?