1、第 1页（共 36页） 2021 年辽宁省鞍山市中考数学试卷年辽宁省鞍山市中考数学试卷 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的每小题一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）下列实数最小的是（） A2B3.5C0D1 2 （3 分）下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的 是（） AB CD 3 （3 分）下列运算正确的是（） Aa2+a3a5Ba3a4a12 Ca3a2aD （3a3b）26a6b2 4 （3 分）不等式 32xx 的解集在数轴上表示正确的是（） A B C D 5（3
2、分） 如图， 直线 ab， 将一个含 30角的三角尺按如图所示的位置放置， 若124， 则2 的度数为（） 第 2页（共 36页） A120B136C144D156 6 （3 分）某班 40 名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示： 时间/h6789 人数218146 那么该班 40 名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（） A18，7.5B18，7C7，8D7，7.5 7 （3 分）如图，AB 为O 的直径，C，D 为O 上的两点，若ABD54，则C 的度 数为（） A34B36C46D54 8 （3 分）如图，ABC 是等边三角形，AB6cm，点 M 从点 C 出发沿 CB 方向
3、以 1cm/s 的速度匀速运动到点 B，同时点 N 从点 C 出发沿射线 CA 方向以 2cm/s 的速度匀速运动， 当点 M 停止运动时， 点 N 也随之停止 过点 M 作 MPCA 交 AB 于点 P， 连接 MN， NP， 作MNP 关于直线 MP 对称的MNP，设运动时间为 ts，MNP 与BMP 重叠部 分的面积为 Scm2，则能表示 S 与 t 之间函数关系的大致图象为（） 第 3页（共 36页） AB CD 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9 （3 分） 第七次全国人口普查数据结果显示， 全国人口约为 1411780000 人 将 1411
4、780000 用科学记数法可表示为 10 （3 分）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球 停留在黑色区域的概率是 11 （3 分）如图，ABC 沿 BC 所在直线向右平移得到DEF，已知 EC2，BF8，则平 移的距离为 12 （3 分）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂” 为了大力 弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动用 3600 元购买“四大名著”若干 套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书 城八折销售该套书，于是用 2400 元购买的套数只比第一批少 4 套设第一批购买的“四 大名著”
5、每套的价格为 x 元，则符合题意的方程是 13 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB3，对角线 AC，BD 交于点 O，DHAC，垂足为点 H，若ADH2CDH，则 AD 的长为 第 4页（共 36页） 14 （3 分）如图，POQ90，定长为 a 的线段端点 A，B 分别在射线 OP，OQ 上运动 （点 A，B 不与点 O 重合） ，C 为 AB 的中点，作OAC 关于直线 OC 对称的OAC， AO 交 AB 于点 D，当OBD 是等腰三角形时，OBD 的度数为 15 （3 分）如图，ABC 的顶点 B 在反比例函数 y? ? ?（x0）的图象上，顶点 C 在 x 轴负 半轴上，ABx
6、 轴，AB，BC 分别交 y 轴于点 D，E若?t ?t ? ? ? ? ? ?，SABC13，则 k 16 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，F 是线段 OD 上的动 点（点 F 不与点 O，D 重合） ，连接 CF，过点 F 作 FGCF 分别交 AC，AB 于点 H，G， 连接 CG 交 BD 于点 M，作 OECD 交 CG 于点 E，EF 交 AC 于点 N有下列结论： 当 BGBM 时，AG?BG；?t ?t ? ?t ?；当 GMHF 时，CF 2CNBC；CN2 BM2+DF2其中正确的是（填序号即可） 第 5页（共 36页） 三、解答题
7、（每小题三、解答题（每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 17 （8 分）先化简，再求值： （ ? ? ? ? ?） ? ?，其中 a? ? ?2 18 （8 分）如图，在 ABCD 中，G 为 BC 边上一点，DGDC，延长 DG 交 AB 的延长线 于点 E，过点 A 作 AFED 交 CD 的延长线于点 F求证：四边形 AEDF 是菱形 四、解答题（每小题四、解答题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 19 （10 分）为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障， 各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作某社区印刷了多套宣传海报，每套海 报四张，海报
8、内容分别是： A防疫道路千万条，接种疫苗第一条； B疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员； C接种疫苗别再拖，安全保障好处多； D疫苗接种连万家，平安健康乐全家 志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报 （1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到 B 海报的概率是 （2）小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个 人中有一个人抽到 D 海报的概率 20 （10 分）为庆祝建党 100 周年，某校开展“学党史颂党恩”的作品征集活动，征集的 作品分为四类：征文、书法、剪纸、绘画学校随机抽取部分学生的作品进行整理，并 根据结果绘制成如下两幅不完整的统计图 第 6页（共 36
9、页） 请根据以上信息解答下列问题： （1）所抽取的学生作品的样本容量是多少？ （2）补全条形统计图 （3）本次活动共征集作品 1200 件，估计绘画作品有多少件 五、解答题（每小题五、解答题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 21 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 yk1x+b 的图象分别与 x 轴、y 轴交于 A，B 两点，与反比例函数 y? ? ? 的图象在第二象限交于 C，D（6，2）两点，DEOC 交 x 轴于点 E，若? ? ? ? ? （1）求一次函数和反比例函数的表达式 （2）求四边形 OCDE 的面积 22 （10 分）小明和小华约定一同去公园游玩，公园
10、有南北两个门，北门 A 在南门 B 的正北 方向，小明自公园北门 A 处出发，沿南偏东 30方向前往游乐场 D 处；小华自南门 B 处出发，沿正东方向行走 150m 到达 C 处，再沿北偏东 22.6方向前往游乐场 D 处与小 明汇合（如图所示） ，两人所走的路程相同求公园北门 A 与南门 B 之间的距离 （结果 取整数参考数据：sin22.6? ? ?，co22.6? ? ?，tan22.6? ? ?， ? ?1.732） 第 7页（共 36页） 六、解答题（每小题六、解答题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 23 （10 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 为 A
11、B 上一点，BDBC，过点 A 作 AEAB 交 CD 的延长线于点 E，CE 交O 于点 G，连接 AC，AG，在 EA 的延长线 上取点 F，使FCA2E （1）求证：CF 是O 的切线； （2）若 AC6，AG?，求O 的半径 24 （10 分）2022 年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文 化衫进行销售， 文化衫的进价为每件 30 元， 当销售单价定为 70 元时， 每天可售出 20 件， 每销售一件需缴纳网络平台管理费 2 元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降 价措施，经调查发现：销售单价每降低 1 元，则每天可多售出 2 件（销售单价不低于进 价
12、） ，若设这款文化衫的销售单价为 x（元） ，每天的销售量为 y（件） （1）求每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少 元？ 七、解答题（本题满分七、解答题（本题满分 12 分）分） 第 8页（共 36页） 25 （12 分）如图，在ABC 中，ABAC，BAC（0180） ，过点 A 作射线 AM 交射线 BC 于点 D，将 AM 绕点 A 逆时针旋转得到 AN，过点 C 作 CFAM 交直线 AN 于点 F，在 AM 上取点 E，使AEBACB （1）当 AM 与线段 BC 相交时， 如图
13、 1，当60时，线段 AE，CE 和 CF 之间的数量关系为 如图 2，当90时，写出线段 AE，CE 和 CF 之间的数量关系，并说明理由 （2）当 tan? ? ?，AB5 时，若CDE 是直角三角形，直接写出 AF 的长 八、解答题（本题满分八、解答题（本题满分 14 分）分） 26 （14 分）如图，抛物线 yax2+bx3 交 x 轴于点 A（1，0） ，B（3，0） ，D 是抛物线 的顶点， P 是抛物线上的动点， 点 P 的横坐标为 m （0m3） ， AEPD 交直线 l： y? ? ?x+2 于点 E，AP 交 DE 于点 F，交 y 轴于点 Q （1）求抛物线的表达式； （
14、2）设PDF 的面积为 S1，AEF 的面积为 S2，当 S1S2时，求点 P 的坐标； （3）连接 BQ，点 M 在抛物线的对称轴上（位于第一象限内） ，且BMQ45，在点 P 从点 B 运动到点 C 的过程中， 点 M 也随之运动， 直接写出点 M 的纵坐标 t 的取值范围 第 9页（共 36页） 2021 年辽宁省鞍山市中考数学试卷年辽宁省鞍山市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的每小题一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）下列实数最小的是（） A2B3.
15、5C0D1 【解答】解：因为3.5201， 所以最小的实数是3.5 故选：B 2 （3 分）下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的 是（） AB CD 【解答】解：A不是中心对称图形，故本选项不合题意； B不是中心对称图形，故本选项不合题意； C不是中心对称图形，故本选项不合题意； D是中心对称图形，故本选项符合题意 故选：D 3 （3 分）下列运算正确的是（） Aa2+a3a5Ba3a4a12 Ca3a2aD （3a3b）26a6b2 【解答】解：Aa2与 a3不是同类项，不能合并，故 A 选项不符合题意； Ba3a4a7，故 B 选项不符合题意； Ca3a2
16、a，故 C 选项符合题意； 第 10页（共 36页） D （3a3b）29a6b2，故 D 选项不符合题意， 故选：C 4 （3 分）不等式 32xx 的解集在数轴上表示正确的是（） A B C D 【解答】解：32xx， 2xx3， 3x3， x1， 表示在数轴上如图： 故选：B 5（3 分） 如图， 直线 ab， 将一个含 30角的三角尺按如图所示的位置放置， 若124， 则2 的度数为（） A120B136C144D156 【解答】解：如图，作 ca， 第 11页（共 36页） 三角尺是含 30角的三角尺， 3+460， ac， 1424， 3602436， ac，ab， bc， 218
17、036144， 故选：C 6 （3 分）某班 40 名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示： 时间/h6789 人数218146 那么该班 40 名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（） A18，7.5B18，7C7，8D7，7.5 【解答】解：根据题意可得，参加体育锻炼时间的众数为 7， 因为该班有 40 名同学，所以中位数为第 20 和 21 名同学锻炼时间的平均数，第 20 名同 学的时间为 7h，第 21 名同学的时间为 8h， 所以中位数为?h ? ?7.5 故选：D 7 （3 分）如图，AB 为O 的直径，C，D 为O 上的两点，若ABD54，则C 的度 数为（） 第 1
18、2页（共 36页） A34B36C46D54 【解答】解：连接 AD，如图， AB 为O 的直径， ADB90， A90ABD905436， CA36 故选：B 8 （3 分）如图，ABC 是等边三角形，AB6cm，点 M 从点 C 出发沿 CB 方向以 1cm/s 的速度匀速运动到点 B，同时点 N 从点 C 出发沿射线 CA 方向以 2cm/s 的速度匀速运动， 当点 M 停止运动时， 点 N 也随之停止 过点 M 作 MPCA 交 AB 于点 P， 连接 MN， NP， 作MNP 关于直线 MP 对称的MNP，设运动时间为 ts，MNP 与BMP 重叠部 分的面积为 Scm2，则能表示
19、S 与 t 之间函数关系的大致图象为（） 第 13页（共 36页） AB CD 【解答】解：如图 1 中，当点 N落在 AB 上时，取 CN 的中点 T，连接 MT CMt（cm） ，CN2t（cm） ，CTTN， CTTNt（cm） ， ABC 是等边三角形， CA60， MCT 是等边三角形， TMTCTN， CMN90， MPAC， BPMAMPN60，BMPC60，C+CMP180， CMP120，BMP 是等边三角形， BMMP， CMP+MPN180， CMPN， MPCN， 第 14页（共 36页） 四边形 CMPN 是平行四边形， PMCNBM2t， 3t6， t2， 如图 2
20、 中，当 0t2 时，过点 M 作 MKAC 于 K，则 MKCMsin60? ? ? t， S? ? ?（6t） ? ? t? ? ? t2? ? ? t 如图 3 中，当 2t3 时，S? ? ? ? ? ? （6t）2， 观察图象可知，选项 A 符合题意， 故选：A 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9 （3 分） 第七次全国人口普查数据结果显示， 全国人口约为 1411780000 人 将 1411780000 用科学记数法可表示为1.41178109 【解答】解：14117800001.41178109 故答案为：1.41178109 10 （3
21、 分）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球 第 15页（共 36页） 停留在黑色区域的概率是 ? ? 【解答】解：由图可知：黑色区域在整个地面中所占的比值? ? ?， 小球最终停留在黑色区域的概率? ? ?， 故答案为：? ? 11 （3 分）如图，ABC 沿 BC 所在直线向右平移得到DEF，已知 EC2，BF8，则平 移的距离为3 【解答】解：由平移的性质可知，BECF， BF8，EC2， BE+CF826， BECF3， 平移的距离为 3， 故答案为：3 12 （3 分）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂” 为了大力 弘扬中华优秀传
22、统文化，某校决定开展名著阅读活动用 3600 元购买“四大名著”若干 套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书 城八折销售该套书，于是用 2400 元购买的套数只比第一批少 4 套设第一批购买的“四 大名著”每套的价格为 x 元，则符合题意的方程是 ? ? ? ? ?th? ?4 【解答】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为 x 元，则设第二批购买的“四 大名著”每套的价格为 0.8x 元， 依题意得：? ? ? ? ?th? ?4 第 16页（共 36页） 故答案为：? ? ? ? ?th? ?4 13 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB3，对
23、角线 AC，BD 交于点 O，DHAC，垂足为点 H，若ADH2CDH，则 AD 的长为3 ? 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， CDAB3，ADC90， ADH2CDH， CDH30，ADH60， DHAC， DHA90， DAC906030， AD?CD3 ?， 故答案为：3 ? 14 （3 分）如图，POQ90，定长为 a 的线段端点 A，B 分别在射线 OP，OQ 上运动 （点 A，B 不与点 O 重合） ，C 为 AB 的中点，作OAC 关于直线 OC 对称的OAC， AO 交 AB 于点 D，当OBD 是等腰三角形时，OBD 的度数为67.5或 72 【解答】解：POQ90，
24、C 为 AB 的中点， OCACBC， COABAO，OBCBOC， 又由折叠性质可得COACOA， COACOABAO， 第 17页（共 36页） 设COACOABAOx，则BCO2x，AOB902x，OBD 90 x，BDOAOD+BAO3x， 当 OBOD 时，ABOBDO， 90 x3x， 解得 x22.5， OBD9022.567.5； 当 BDOD 时，OBDAOB， 90 x902x，方程无解， 此情况不存在； 当 OBDB 时，BDOAOB， 3x902x， 解得：x18， OBD901872； 综上，OBD 的度数为 67.5或 72， 故答案为：67.5或 72 15 （3
25、 分）如图，ABC 的顶点 B 在反比例函数 y? ? ?（x0）的图象上，顶点 C 在 x 轴负 半轴上，ABx 轴，AB，BC 分别交 y 轴于点 D，E若?t ?t ? ? ? ? ? ?，SABC13，则 k 18 【解答】解：如图，过点 B 作 BFx 轴于点 F 第 18页（共 36页） ABx 轴， DBEOCE， ? ? ? ?t ?t ? ?t t?， ?t ?t ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ?t t? ? ?t ?t ? ? ? ? ? ?， 设 CO3a，DE3b，则 AD2a，OE2b， ? ? ? ? ?，OD5b， BD? ? ? ， ABAD+DB? ?
26、 ? ， SABC? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?t ?13， ab? ? ?， S矩形ODBFBDOD? ? ? ? ?t ? ?t ? ?18， 又反比例函数图象在第一象限， k18， 故答案为 18 16 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，F 是线段 OD 上的动 点（点 F 不与点 O，D 重合） ，连接 CF，过点 F 作 FGCF 分别交 AC，AB 于点 H，G， 连接 CG 交 BD 于点 M，作 OECD 交 CG 于点 E，EF 交 AC 于点 N有下列结论： 当 BGBM 时，AG?BG；?t ?t ? ?
27、t ?；当 GMHF 时，CF 2CNBC；CN2 BM2+DF2其中正确的是（填序号即可） 第 19页（共 36页） 【解答】解：如图 1 中，过点 G 作 GTAC 于 T BGBM， BGMBMG， BGMGAC+ACG，BMGMBC+BCM， 四边形 ABCD 是正方形， GACMBC45，AC?BC， ACGBCG， GBCB，GTAC， GBGT， ?h ?h ? ?h ?h ? ? ?h? ? ?h ? ? ? ? ? ?， AG?BG，故正确， 假设?t ?t ? ?t ?成立， FOHCOM， FOHCOM， OFHOCM，显然这个条件不成立，故错误， 如图 2 中，过点 M
28、 作 MPBC 于 P，MQAB 于 Q，连接 AF OFH+FHO90，FHO+FCO90， OFHFCO， ABCB，ABFCBF，BFBF， ABFCBF（SAS） ， AFCF，BAFBCF， CFGCBG90， BCF+BGF180， 第 20页（共 36页） BGF+AGF180， AGFBCFGAF， AFFG， FGFC， FCGBCA45， ACFBCG， MQCB， GMQBCGACFOFH， MQGFOH90，FHMG， FOHMQG（AAS） ， MQOF， BMPMBQ，MAB，MPBC， MQMP， MPOF， CPMCOF90，PCMOCF， CPMCOF（AAS
29、） ， CMCF， OEAG，OAOC， EGEC， FCG 是等腰直角三角形， CEN45， CENCBM， FCNBCM， BCMFCN， ?t ? ? ? ?t， CF2CBCN，故正确， 如图 3 中，将CBM 绕点 C 顺时针旋转 90得到CDW，连接 FW则 CMCW，BM DW，MCW90，CBMCDW45， FCGFCW45，CMCW，CFCF， 第 21页（共 36页） CFMCFW（SAS） ， FMFW， FDWFDC+CDW45+4590， FW2DF2+DW2， FM2BM2+DF2，故正确， 故答案为： 三、解答题（每小题三、解答题（每小题 8 分，共分，共 16
30、分）分） 17 （8 分）先化简，再求值： （ ? ? ? ? ?） ? ?，其中 a? ? ?2 【解答】解：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第 22页（共 36页） ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当 a? ?2 时，原式? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? ? 18 （8 分）如图，在 ABCD 中，G 为 BC 边上一点，DGDC，延长 DG 交 AB 的延长线 于点 E，过点 A 作 AFED 交 CD 的延长线于点 F求证：四边形 AEDF 是菱形 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， BADC，ADBC，
31、ABCD， AFED， 四边形 AEDF 是平行四边形， ADBC， DGCADE， DGDC， DGCC， BADADE， AEDE， 平行四边形 AEDF 是菱形 四、解答题（每小题四、解答题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 19 （10 分）为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障， 各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作某社区印刷了多套宣传海报，每套海 报四张，海报内容分别是： A防疫道路千万条，接种疫苗第一条； B疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员； C接种疫苗别再拖，安全保障好处多； D疫苗接种连万家，平安健康乐全家 志愿者小张和小李利用休息时
32、间到某小区张贴海报 第 23页（共 36页） （1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到 B 海报的概率是 ? ? （2）小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个 人中有一个人抽到 D 海报的概率 【解答】解： （1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到 B 海报的概率是? ?， 故答案为：? ?； （2）画树状图如图： 共有 12 种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到 D 海报的结果有 6 种， 小张和小李两个人中有一个人抽到 D 海报的概率为 ? ? ? ? ? 20 （10 分）为庆祝建党 100 周年，某校开展“学党史颂党恩”的作品征集活动，征集的
33、 作品分为四类：征文、书法、剪纸、绘画学校随机抽取部分学生的作品进行整理，并 根据结果绘制成如下两幅不完整的统计图 请根据以上信息解答下列问题： （1）所抽取的学生作品的样本容量是多少？ （2）补全条形统计图 （3）本次活动共征集作品 1200 件，估计绘画作品有多少件 【解答】解： （1）根据题意得：1210%120（件） ， 第 24页（共 36页） 所抽取的学生作品的样本容量是 120； （2）绘画作品为 120（42+30+12）36（件） ， 补全统计图，如图所示： 故答案为：36； （3）根据题意得：1200 ? ? ?360（件） ， 则绘画作品约有 360 件 答：本次活动共征
34、集作品 1200 件时，绘画作品约有 360 件 五、解答题（每小题五、解答题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 21 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 yk1x+b 的图象分别与 x 轴、y 轴交于 A，B 两点，与反比例函数 y? ? ? 的图象在第二象限交于 C，D（6，2）两点，DEOC 交 x 轴于点 E，若? ? ? ? ? （1）求一次函数和反比例函数的表达式 （2）求四边形 OCDE 的面积 【解答】解： （1）将 D（6，2）代入 y? ? ? 中， k26212， 反比例函数的解析式为 y? ? ? ； 过点 D 作 DMx 轴，过点 C 作 CNx
35、 轴， 第 25页（共 36页） DEOC， ADEACO， ? ? ? ?t ? ? ?t ? ? ? ?， CN3DM6， 将 y6 代入 y? ? ? 中， ? ? ? ? ?， 解得：x2， C 点坐标为（2，6） ， 将 C（2，6） ，D（6，2）代入 yk1x+b 中， 可得 ? ? t ? ? ? ? t ? ?， 解得： ? ? t ? h ， 一次函数的解析式为 yx+8； （2）设直线 OC 的解析式为 ymx， 将 C（2，6）代入，得：2m6， 解得：m3， 直线 OC 的解析式为 y3x， 由 DEOC，设直线 DE 的解析式为 y3x+n， 将 D（6，2）代入可
36、得：3（6）+n2， 解得：n16， 直线 DE 的解析式为 y3x16， 当 y0 时，3x160， 解得：x? ? ? ， E 点坐标为（? ? ? ，0） ， 第 26页（共 36页） OE? ? ? ， 在 yx+8 中，当 y0 时，x+80， 解得：x8， A 点坐标为（8，0） ， OA8， AE8? ? ? ? h ?， S四边形OCDESAOCSAED ? ? ? ? ? ? ? ? ?t ? ?t ? ? ? ? h ? ? ? ? ? ? h ? ? ? 24? h ? ? ? ? 22 （10 分）小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门 A 在南门 B 的
37、正北 方向，小明自公园北门 A 处出发，沿南偏东 30方向前往游乐场 D 处；小华自南门 B 处出发，沿正东方向行走 150m 到达 C 处，再沿北偏东 22.6方向前往游乐场 D 处与小 明汇合（如图所示） ，两人所走的路程相同求公园北门 A 与南门 B 之间的距离 （结果 取整数参考数据：sin22.6? ? ?，co22.6? ? ?，tan22.6? ? ?， ? ?1.732） 【解答】解：作 DEAB 于 E，CFDE 于 F， BCAB， 四边形 BCFE 是矩形， 第 27页（共 36页） BECF，EFBC150 m， 设 DFxm，则 DE（x+150）m， 在 RtADE
38、 中，BAD30， AD2DE2（x+150）m， 在 RtDCF 中，FCD22.6， CD? ?t ?t? ? ? ? ? ? ? ? xm， ADCD+BC， 2（x+150）? ? ? ?150， 解得 x250（m） ， DF250 m， DE250+150400 m， AD2DE800 m， CD800150650 m， 由勾股定理得 AE? ?t?h? ?400 ? m， BECF? ?t? ?600 m， ABAE+BE400 ? ?6001293（m） ， 答：公园北门 A 与南门 B 之间的距离约为 1293 m 六、解答题（每小题六、解答题（每小题 10 分，共分，共 2
39、0 分）分） 23 （10 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 为 AB 上一点，BDBC，过点 A 作 AEAB 交 CD 的延长线于点 E，CE 交O 于点 G，连接 AC，AG，在 EA 的延长线 上取点 F，使FCA2E 第 28页（共 36页） （1）求证：CF 是O 的切线； （2）若 AC6，AG?，求O 的半径 【解答】解： （1）BAGC，ADGCDB， ADGDCB， ? h? ? ? h?， BDBC， GDGA， ADGDAG， 又AEAB， EAD90， GAE+DAGE+ADG90， GAEE， AGDGEG，AGD2E， FCA2E， FCAAGD
40、B， AB 是O 的直径， CAB+B90， 又OAOC， ACOCAB， FCA+ACO90， FCO90， 即 CF 是O 的切线； （2）CF 是O 的切线，AEAB， 第 29页（共 36页） AFCF， FACFCA2E， ACAE6， 又AGDGEG?， 在 RtADE 中，AD?t? ?t? ? ? ?， 设O 的半径为 x，则 AB2x，BDBC2x2， 在 RtABC 中，62+（2x2）2（2x）2， 解得：x5， O 的半径为 5 24 （10 分）2022 年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文 化衫进行销售， 文化衫的进价为每件 30 元，
41、当销售单价定为 70 元时， 每天可售出 20 件， 每销售一件需缴纳网络平台管理费 2 元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降 价措施，经调查发现：销售单价每降低 1 元，则每天可多售出 2 件（销售单价不低于进 价） ，若设这款文化衫的销售单价为 x（元） ，每天的销售量为 y（件） （1）求每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少 元？ 【解答】解： （1）由题意可得：y20+2（70 x） ， 整理，得：y2x+160， 每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式为
42、 y2x+160； （2）设销售所得利润为 w，由题意可得： w（x302）y（x32） （2x+160）2x2+224x5120， 整理，得：w2（x56）2+1152， 20， 当 x56 时，w 取最大值为 1152， 当销售单价为 56 元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为 1152 元 七、解答题（本题满分七、解答题（本题满分 12 分）分） 25 （12 分）如图，在ABC 中，ABAC，BAC（0180） ，过点 A 作射线 AM 交射线 BC 于点 D，将 AM 绕点 A 逆时针旋转得到 AN，过点 C 作 CFAM 交直线 第 30页（共 36页） AN 于点
43、 F，在 AM 上取点 E，使AEBACB （1）当 AM 与线段 BC 相交时， 如图 1，当60时，线段 AE，CE 和 CF 之间的数量关系为AECF+CE 如图 2，当90时，写出线段 AE，CE 和 CF 之间的数量关系，并说明理由 （2）当 tan? ? ?，AB5 时，若CDE 是直角三角形，直接写出 AF 的长 【解答】解： （1）结论：AECF+CE 理由：如图 1 中，作 CTAF 交 AM 于 T ABAC，BAC6， ABC 是等边三角形， CACB，ACB60， AFCT，CFAT， 四边形 AFCT 是平行四边形， CFAT， ADCBDE，DEBACD， ACDB
44、ED， ? ? ? ? t?， ? ? ? ? t?， 第 31页（共 36页） ADBCDE， ADBCDE， ABDCED60， CTAF， CTEFAE60， CTE 是等边三角形， ECET， AEAT+ETCF+CE 故答案为：AECF+CE 如图 2 中，结论：EC?（AECF） 理由：过点 C 作 CQAE 于 Q CFAM， CFA+MAN180， MAN90， CFAFAQ90， CQA90， 四边形 AFCQ 是矩形， CFAQ， ADCBDE，DEBACD， ACDBED， ? ? ? ? t?， ? ? ? ? t?， 第 32页（共 36页） ADBCDE， ADBC
45、DE， ABDCED45， CQE90， CE?EQ， AECFAEAQEQ， EC?（AECF） （2） 如图 31 中， 当CDE90时， 过点 B 作 BJAC 于 J， 过点 F 作 FKAE 于 K 在 RtABJ 中，tanBAJ? ? ? ? ? ?，AB5， AJ3，BJ4， ACAB5， CJACAJ532， BC? ? ?2 ?， ? ?ACBJ? ? ?BCAD， AD? ? ? ? ?2 ?， CD? ? ? ?， FKAD， CDEFKD90， CDFK， CFDK， 第 33页（共 36页） 四边形 CDKF 是平行四边形， FKD90， 四边形 CDKF 是矩形，
46、 FKCD?， tanFAKtanCAB? ? ?， t? ? ? ? ?， AK? ? ? ?， AF? t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 如图 32 中，当ECD90时，DAB90， CFAM， AKFDAB90， 在 RtACK 中，tanCAK? ? ? ? ? ?，AC5， CK4，AK3， MANCAB， CANDAB90， CAB+BAF90，BAF+AFK90， 第 34页（共 36页） AFKCAB， tanAFK? ? t? ? ? ?， FK? ? ?， AF? ?t? ? ? ? ? ? ? ? 综上所述，满足条件的 AF 的值为? ? ? 或? ? 八、解答题
47、（本题满分八、解答题（本题满分 14 分）分） 26 （14 分）如图，抛物线 yax2+bx3 交 x 轴于点 A（1，0） ，B（3，0） ，D 是抛物线 的顶点， P 是抛物线上的动点， 点 P 的横坐标为 m （0m3） ， AEPD 交直线 l： y? ? ?x+2 于点 E，AP 交 DE 于点 F，交 y 轴于点 Q （1）求抛物线的表达式； （2）设PDF 的面积为 S1，AEF 的面积为 S2，当 S1S2时，求点 P 的坐标； （3）连接 BQ，点 M 在抛物线的对称轴上（位于第一象限内） ，且BMQ45，在点 P 从点 B 运动到点 C 的过程中， 点 M 也随之运动，
48、直接写出点 M 的纵坐标 t 的取值范围 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx3 交 x 轴于点 A（1，0） ，B（3，0） ， 将 A、B 坐标分别代入抛物线解析式得： ? ? t ? ? ? ? ? ? ?t? ? ? ?， 解得： ? ? ? t ? ?， 抛物线的表达式为：yx22x3； （2）如图，D 是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：yx22x3（x1）24， D（1，4） ， 第 35页（共 36页） AEPD 交直线 l：y? ? ?x+2 于点 E，P 是抛物线上的动点，点 P 的横坐标为 m（0m 3） ， AEFPDF，设 E（e，? ?e+2） ，P（m，m 2
49、2m3） ， 又PDF 的面积为 S1，AEF 的面积为 S2，S1S2， AEFPDF， AFPF，EFDF，即点 F 分别是 AP、ED 的中点， 又A（1，0） ，P（m，m22m3） ，E（e，? ?e+2） ，D（1，4） ， 由中点坐标公式得： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 解得：m10（与“AEPD”不符，应舍去） ，m2? ? ?， t2? ? ?， P（? ?，? ? ?） ，E（ ? ?， ? ?） ； （3）当点 P 与点 B 重合时，点 Q 与点 O 重合，此时 t 的值最大，如图 2， 以 OB 为斜边在第一象限内作等腰直角OOB， 则 O（? ?，
50、 ? ?） ，OOOB? ? ? ? ， 以 O为圆心，OO为半径作O，交抛物线对称轴于点 M（1，t） ， 过点 O作 OHy 轴于点 H，则OHM90， OH? ? ? ?1? ? ?，OMOO? ? ? ? ， MH?tt? ?tt? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 当点 P 与点 C 重合时，点 Q 与点 C 重合，此时 t 的值最小，如图 3， 连接 BC，以 O 为圆心，OB 为半径作O 交抛物线对称轴于点 M， OBOC3， O 经过点 C， 连接 OM，设抛物线对称轴交 x 轴于点 E， 则 OMOB3，OE1， 第 3
