1、第 1页（共 32页） 2021 年辽宁省辽阳市、葫芦岛市、本溪市中考数学试卷年辽宁省辽阳市、葫芦岛市、本溪市中考数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （3 分）5 的相反数是（） A? ? ? B? ? C5D5 2 （3 分）下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出 来的，这些图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（） AB CD 3 （3 分）下列运算正确的是（） Ax
2、2x2x2B （xy3）2x2y6 Cx6x3x2Dx2+xx3 4 （3 分）如图，该几何体的左视图是（） AB CD 第 2页（共 32页） 5 （3 分）下表是有关企业和世界卫生组织统计的 5 种新冠疫苗的有效率，则这 5 种疫苗有 效率的中位数是（） 疫苗名称 克尔来福 阿斯利康莫德纳辉瑞卫星 V 有效率79%76%95%95%92% A79%B92%C95%D76% 6 （3 分）反比例函数 y? ? ?的图象分别位于第二、四象限，则直线 ykx+k 不经过的象限是 （） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 7 （3 分）如图为本溪、辽阳 6 月 1 日至 5 日最低气温的折线
3、统计图，由此可知本溪，辽阳 两地这 5 天最低气温波动情况是（） A本溪波动大B辽阳波动大 C本溪、辽阳波动一样D无法比较 8 （3 分）一副三角板如图所示摆放，若180，则2 的度数是（） A80B95C100D110 9 （3 分）如图，在ABC 中，ABBC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线 BD 与 AC 交于 点 E，点 F 为 BC 的中点，连接 EF，若 BEAC2，则CEF 的周长为（） 第 3页（共 32页） A ? ?1B ? ?3C ? ?1D4 10 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，BC1，ADB60，动点 P 沿折线 ADDB 运动 到点 B，同时动点 Q 沿折线
4、 DBBC 运动到点 C，点 P，Q 在矩形边上的运动速度为每 秒 1 个单位长度，点 P，Q 在矩形对角线上的运动速度为每秒 2 个单位长度设运动时 间为 t 秒，PBQ 的面积为 S，则下列图象能大致反映 S 与 t 之间函数关系的是（） AB CD 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 11 （3 分）若 ? ? ?在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 12 （3 分）分解因式：2x24x+2 13 （3 分）有 5 张看上去无差别的卡片，上面分别写着?，1，0， ?，2从中随机 抽取一张，则抽出卡片上写的数是 ?的
5、概率为 14 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 3x22xk0 有两个相等的实数根，则 k 的值 为 15 （3 分）为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学 校准备为获奖同学颁奖 在购买奖品时发现， A 种奖品的单价比 B 种奖品的单价多 10 元， 第 4页（共 32页） 用 300 元购买 A 种奖品的数量与用 240 元购买 B 种奖品的数量相同设 B 种奖品的单价 是 x 元，则可列分式方程为 16 （3 分）如图，由边长为 1 的小正方形组成的网格中，点 A，B，C 都在格点上，以 AB 为直径的圆经过点 C 和点 D，则 tanADC 17 （3
6、分）如图，AB 是半圆的直径，C 为半圆的中点，A（2，0） ，B（0，1） ，反比例函数 y? ? ?（x0）的图象经过点 C，则 k 的值为 18 （3 分）如图，将正方形纸片 ABCD 沿 PQ 折叠，使点 C 的对称点 E 落在边 AB 上，点 D 的对称点为点 F，EF 交 AD 于点 G，连接 CG 交 PQ 于点 H，连接 CE下列四个结论中： PBEQFG；SCEGSCBE+S四边形CDQH；EC 平分BEG；EG2CH2 GQGD，正确的是（填序号即可） 三、解答题（第三、解答题（第 19 题题 10 分，第分，第 20 题题 12 分，共分，共 22 分）分） 19 （10
7、 分）先化简，再求值： ? ? ?（1? ? ? ） ，其中 a2sin30+3 20 （12 分）为迎接建党 100 周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动竞赛项目有： 第 5页（共 32页） A回顾重要事件；B列举革命先烈；C讲述英雄故事；D歌颂时代精神学校要求 学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生， 并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生共有名； （2）在扇形统计图中“B 项目”所对应的扇形圆心角的度数为，并把条形统计 图补充完整； （3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随
8、机抽出 2 名同学去做宣 讲员，请用列表或画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率 四、解答题（第四、解答题（第 21 题题 12 分，第分，第 22 题题 12 分，共分，共 24 分）分） 21 （12 分）某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买 1 本手绘纪念册和 4 本图片纪念册共 需 135 元，购买 5 本手绘纪念册和 2 本图片纪念册共需 225 元 （1）求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？ （2）该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共 40 本，总费用不超过 1100 元，那么最多 能购买手绘纪念册多少本？ 22 （12 分）如图，某地政府为解决当地农户网络销
9、售农特产品物流不畅问题，计划打通一 条东西方向的隧道 AB无人机从点 A 的正上方点 C，沿正东方向以 8m/s 的速度飞行 15s 到达点 D，测得 A 的俯角为 60，然后以同样的速度沿正东方向又飞行 50s 到达点 E， 测得点 B 的俯角为 37 （1）求无人机的高度 AC（结果保留根号） ； （2）求 AB 的长度（结果精确到 1m） （参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75， ? ?1.73） 第 6页（共 32页） 五、解答题（满分五、解答题（满分 12 分）分） 23 （12 分）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个 40 元，在销售过程中
10、发现， 这款蒸蛋器销售单价为 60 元时，每星期卖出 100 个如果调整销售单价，每涨价 1 元， 每星期少卖出 2 个，现网店决定提价销售，设销售单价为 x 元，每星期销售量为 y 个 （1）请直接写出 y（个）与 x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是 2400 元？ （3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？ 六、解答题（满分六、解答题（满分 12 分）分） 24 （12 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，延长 CA 到点 D，以 AD 为直径作O， 交 BA 的延长线于点 E，延长 BC 到点 F，使 B
11、FEF （1）求证：EF 是O 的切线； （2）若 OC9，AC4，AE8，求 BF 的长 七、解答题（满分七、解答题（满分 12 分）分） 25 （12 分）在 ABCD 中，BAD，DE 平分ADC，交对角线 AC 于点 G，交射线 AB 于点 E，将线段 EB 绕点 E 顺时针旋转? ?得线段 EP （1）如图 1，当120时，连接 AP，请直接写出线段 AP 和线段 AC 的数量关系； （2）如图 2，当90时，过点 B 作 BFEP 于点，连接 AF，请写出线段 AF，AB， AD 之间的数量关系，并说明理由； 第 7页（共 32页） （3）当120时，连接 AP，若 BE? ? ?
12、AB，请直接写出APE 与CDG 面积的比值 八、解答题（满分八、解答题（满分 14 分）分） 26 （14 分）如图，抛物线 y? ? ?x 2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 C（1，0） ，与 y 轴交于点 B（0，3） ，连接 AB，BC，点 P 是抛物线第一象限上的一动点，过点 P 作 PDx 轴于点 D，交 AB 于点 E （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，作 PFPD 于点 P，使 PF? ? ?OA，以 PE，PF 为邻边作矩形 PEGF当矩 形 PEGF 的面积是BOC 面积的 3 倍时，求点 P 的坐标； （3）如图 2，当点 P 运动到抛物线的顶点时，点 Q
13、 在直线 PD 上，若以点 Q、A、B 为 顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点 Q 纵坐标 n 的取值范围 第 8页（共 32页） 2021 年辽宁省辽阳市、葫芦岛市、本溪市中考数学试卷年辽宁省辽阳市、葫芦岛市、本溪市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （3 分）5 的相反数是（） A? ? ? B? ? C5D5 【解答】解：5 的相反数是 5 故选：D 2
14、 （3 分）下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出 来的，这些图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（） AB CD 【解答】解：A既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意 故选：A 3 （3 分）下列运算正确的是（） Ax2x2x2B （xy3）2x2y6 Cx6x3x2Dx2+xx3 【解答】解：Ax2xx3，故此选项不符合题意； B （xy3）2x2y6，计算正确，故此选项符合题意；
15、Cx6x3x3，故此选项不符合题意； Dx2，x 不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意； 第 9页（共 32页） 故选：B 4 （3 分）如图，该几何体的左视图是（） AB CD 【解答】解：从左面看该几何体所得到的图形是一个长方形，被挡住的棱用虚线表示， 图形如下： 故选：D 5 （3 分）下表是有关企业和世界卫生组织统计的 5 种新冠疫苗的有效率，则这 5 种疫苗有 效率的中位数是（） 疫苗名称 克尔来福 阿斯利康莫德纳辉瑞卫星 V 有效率79%76%95%95%92% A79%B92%C95%D76% 【解答】解：从小到大排列此数据为：76%、79%、92%、95%、95%，92
16、%处在第 3 位 为中位数 故选：B 6 （3 分）反比例函数 y? ? ?的图象分别位于第二、四象限，则直线 ykx+k 不经过的象限是 第 10页（共 32页） （） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【解答】解：反比例函数 y? ? ?的图象分别位于第二、四象限， k0， 一次函数 ykx+k 的图象经过第二、三、四象限，即不经过第一象限 故选：A 7 （3 分）如图为本溪、辽阳 6 月 1 日至 5 日最低气温的折线统计图，由此可知本溪，辽阳 两地这 5 天最低气温波动情况是（） A本溪波动大B辽阳波动大 C本溪、辽阳波动一样D无法比较 【解答】解：本溪 6 月 1 日至 5
17、日最低气温的平均数为? ? ?12.8（） ， 辽阳 6 月 1 日至 5 日最低气温的平均数为? ? ?13.8（） ； 本溪 6 月 1 日至 5 日最低气温的方差 S12? ? ? ?（1212.8）23+（1512.8）2+（13 12.8）21.36， 辽阳 6 月 1 日至 5 日最低气温的方差 S22? ? ? ?（1313.8）23+（1613.8）2+（14 13.8）21.36， S12S22， 本溪、辽阳波动一样 故选：C 8 （3 分）一副三角板如图所示摆放，若180，则2 的度数是（） 第 11页（共 32页） A80B95C100D110 【解答】解：如图，5903
18、060，314535， 4335， 24+595， 故选：B 9 （3 分）如图，在ABC 中，ABBC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线 BD 与 AC 交于 点 E，点 F 为 BC 的中点，连接 EF，若 BEAC2，则CEF 的周长为（） A ? ?1B ? ?3C ? ?1D4 【解答】解：由图中的尺规作图得：BE 是ABC 的平分线， ABBC， BEAC，AECE? ? ?AC1， BEC90， BC? 谘? ?， 点 F 为 BC 的中点， EF? ? ?BCBFCF， CEF 的周长CF+EF+CECF+BF+CEBC+CE? ?1， 第 12页（共 32页） 故选：C 10
19、（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，BC1，ADB60，动点 P 沿折线 ADDB 运动 到点 B，同时动点 Q 沿折线 DBBC 运动到点 C，点 P，Q 在矩形边上的运动速度为每 秒 1 个单位长度，点 P，Q 在矩形对角线上的运动速度为每秒 2 个单位长度设运动时 间为 t 秒，PBQ 的面积为 S，则下列图象能大致反映 S 与 t 之间函数关系的是（） AB CD 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， ADBC1，AC90，ADBC， ADBDBC60， ABDCDB30， BD2AD2， 当点 P 在 AD 上时，S? ? ?（22t）（1t）sin60? ? ? （1t）2（0
20、t1） ， 当点 P 在线段 BD 上时，S? ? ?（42t） ? ? （t1）? ? ? t2? ? ? ? t?（1t2） ， 观察图象可知，选项 D 满足条件， 故选：D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 11 （3 分）若 ? ? ?在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是x2 【解答】解：由题意得，2x0， 解得，x2， 第 13页（共 32页） 故答案为：x2 12 （3 分）分解因式：2x24x+22（x1）2 【解答】解：2x24x+2， 2（x22x+1） ， 2（x1）2 13 （3 分）有 5 张看
21、上去无差别的卡片，上面分别写着?，1，0， ?，2从中随机 抽取一张，则抽出卡片上写的数是 ?的概率为 ? ? 【解答】解：有 5 张看上去无差别的卡片，上面分别写着?，1，0， ?，2， 从中随机抽取一张，抽出卡片上写的数是 ?的概率为 15? ? ? 故答案为：? ? 14 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 3x22xk0 有两个相等的实数根，则 k 的值为 ? ? ? 【解答】解：一元二次方程 3x22xk0 有两个相等的实数根， b24ac（2）243（k）0， 解得 k? ? ? 故答案为? ? ? 15 （3 分）为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛
22、，学 校准备为获奖同学颁奖 在购买奖品时发现， A 种奖品的单价比 B 种奖品的单价多 10 元， 用 300 元购买 A 种奖品的数量与用 240 元购买 B 种奖品的数量相同设 B 种奖品的单价 是 x 元，则可列分式方程为 ?tt ?t ? ?t ? 【解答】解：设 B 种奖品的单价是 x 元，则 A 种奖品的单价是（x+10）元， 依题意得： ?tt ?t ? ?t ? 故答案为： ?tt ?t ? ?t ? 16 （3 分）如图，由边长为 1 的小正方形组成的网格中，点 A，B，C 都在格点上，以 AB 为直径的圆经过点 C 和点 D，则 tanADC ? ? 第 14页（共 32页
23、） 【解答】解：AB 为直径， ACB90， 在 RtABC 中，tanABC? ?谘 ?谘 ? ? ?， ADCABC， tanADC? ? ? 故答案为? ? 17 （3 分）如图，AB 是半圆的直径，C 为半圆的中点，A（2，0） ，B（0，1） ，反比例函数 y? ? ?（x0）的图象经过点 C，则 k 的值为 ? ? 【解答】解：设半圆圆心为 D，连接 DC，过 C 作 CGOA 于 G，交 AB 于 E，如图： A（2，0） ，B（0，1） ， AB?，DADC? ? ? ， tanBAO? ? ? ? ? ?，cosBAO? ? ? ? ? ? ? ，sinBAO? ? ? ?
24、? ? ， 第 15页（共 32页） C 为半圆的中点， CDEEGA90， 又CEDAEG， CBAO， RtCDE 中，tanC? ? 谘?，cosC? 谘? 谘?， ? ? ? ? ? ? ，? ? ? ? ? ? 谘? ， DE? ? ? ，CE? ? ?， AEADDE? ? ? ， RtAGE 中，sinBAO? ? ?，cosBAO? ? ?， ? ? ? ? ? ? ， ? ? ? ? ? ? ? ， GE? ? ?，AG? ? ?， OGOAAG? ? ?，CGCE+GE? ? ?， C（? ?， ? ?） ， 把 C（? ?， ? ?）代入 y? ? ?得 k? ? ?，
25、故答案为：? ? 18 （3 分）如图，将正方形纸片 ABCD 沿 PQ 折叠，使点 C 的对称点 E 落在边 AB 上，点 D 的对称点为点 F，EF 交 AD 于点 G，连接 CG 交 PQ 于点 H，连接 CE下列四个结论中： PBEQFG；SCEGSCBE+S四边形CDQH；EC 平分BEG；EG2CH2 GQGD，正确的是（填序号即可） 第 16页（共 32页） 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ABBCDD90 由折叠可知：GEPBCD90，FD90 BEP+AEG90， A90， AEG+AGE90， BEPAGE FGQAGE， BEPFGQ BF90， PBEQFG
26、故正确； 过点 C 作 CMEG 于 M， 由折叠可得：GECDCE， ABCD， BECDCE， BECGEC， 在BEC 和MEC 中， ? ?T谘 ? ?t ?谘 ? ?谘 谘? ? 谘? ， BECMEC（AAS） CBCM，SBECSMEC CGCG， RtCMGRtCDG（HL） ， SCMGSCDG， SCEGSBEC+SCDGSBEC+S四边形CDQH， 不正确； 由折叠可得：GECDCE， ABCD， BECDCE， 第 17页（共 32页） BECGEC， 即 EC 平分BEG 正确； 连接 DH，MH，HE，如图， BECMEC，CMGCDG， BCEMCE，MCGDCG
27、， ECGECM+GCM? ? ?BCD45， ECHP， CHP45 GHQCHP45 由折叠可得：EHPCHP45， EHCG EG2EH2GH2 由折叠可知：EHCH EG2CH2GH2 CMEG，EHCG， EMCEHC90， E，M，H，C 四点共圆， HMCHEC45 在CMH 和CDH 中， 谘T ? 谘? ?T谘? ? ?谘? 谘t ? 谘t ， CMHCDH（SAS） CDHCMH45， 第 18页（共 32页） CDA90， GDH45， GHQCHP45， GHQGDH45 HGQDGH， GHQGDH， ?t ?t ? ?t ? GH2GQGD GE2CH2GQGD 正
28、确； 综上可得，正确的结论有： 故答案为： 三、解答题（第三、解答题（第 19 题题 10 分，第分，第 20 题题 12 分，共分，共 22 分）分） 19 （10 分）先化简，再求值： ? ? ?（1? ? ? ） ，其中 a2sin30+3 【解答】解： ? ? ?（1? ? ? ） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 当 a2sin30+32 ? ? ?31+34 时，原式? ? ? ?2 20 （12 分）为迎接建党 100 周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动竞赛项目有： A回顾重要事件；B列举革命先烈；C讲述英雄故事；D歌颂时代精神学校要求 学生全员
29、参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生， 并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： 第 19页（共 32页） （1）本次被调查的学生共有60名； （2）在扇形统计图中“B 项目”所对应的扇形圆心角的度数为90，并把条形统 计图补充完整； （3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出 2 名同学去做宣 讲员，请用列表或画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率 【解答】解： （1）本次被调查的学生共有：915%60（名） ； （2）B 项目的人数有：609122415（人） ， 图中“B 项目”所对应的扇形圆心角的
30、度数为：360 ? ?t ?90； 补全统计图如下： （3）根据题意列表如下： 第 20页（共 32页） 小华小光小艳小萍 小华（小光，小华） （小艳，小华） （小萍，小华） 小光（小华，小光）（小艳，小光） （小萍，小光） 小艳（小华，小艳） （小光，小艳）（小萍，小艳） 小萍（小华，小萍） （小光，小萍） （小艳，小萍） 由表格可以看出，所有可能出现的结果有 12 种，并且它们出现的可能性相等，其中恰好 小华和小艳被抽中的情况有 2 种 则恰好小华和小艳被抽中的概率是 ? ? ? ? ? 四、解答题（第四、解答题（第 21 题题 12 分，第分，第 22 题题 12 分，共分，共 24 分
31、）分） 21 （12 分）某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买 1 本手绘纪念册和 4 本图片纪念册共 需 135 元，购买 5 本手绘纪念册和 2 本图片纪念册共需 225 元 （1）求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？ （2）该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共 40 本，总费用不超过 1100 元，那么最多 能购买手绘纪念册多少本？ 【解答】解： （1）设每本手绘纪念册的价格为 x 元，每本图片纪念册的价格为 y 元， 依题意得： ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 解得： ? ? ? ? ? 答：每本手绘纪念册的价格为 35 元，每本图片纪念册的价格为 25 元 （2
32、）设可以购买手绘纪念册 m 本，则购买图片纪念册（40m）本， 依题意得：35m+25（40m）1100， 解得：m10 答：最多能购买手绘纪念册 10 本 22 （12 分）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一 条东西方向的隧道 AB无人机从点 A 的正上方点 C，沿正东方向以 8m/s 的速度飞行 15s 到达点 D，测得 A 的俯角为 60，然后以同样的速度沿正东方向又飞行 50s 到达点 E， 测得点 B 的俯角为 37 （1）求无人机的高度 AC（结果保留根号） ； （2）求 AB 的长度（结果精确到 1m） 第 21页（共 32页） （参考数据：si
33、n370.60，cos370.80，tan370.75， ? ?1.73） 【解答】解： （1）由题意，CD815120（m） ， 在 RtACD 中，tanADC? ?谘 谘?， ACCDtanADCCDtan60120? ?120 ?（m） ， 答：无人机的高度 AC 是 120 ?米； （2）过点 B 作 BFCD 于点 F，则四边形 ABFC 是矩形， BFAC120 ?，ABCF， 在 RtBEF 中，tanBEF? ? ?， EF? ? ? ? ?t ? tt? ?276.8（m） ， CE8（15+50）520（m） ， ABCFCEEF520276.8243（米） ， 答：隧道
34、 AB 的长度约为 243 米 五、解答题（满分五、解答题（满分 12 分）分） 23 （12 分）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个 40 元，在销售过程中发现， 这款蒸蛋器销售单价为 60 元时，每星期卖出 100 个如果调整销售单价，每涨价 1 元， 每星期少卖出 2 个，现网店决定提价销售，设销售单价为 x 元，每星期销售量为 y 个 （1）请直接写出 y（个）与 x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是 2400 元？ 第 22页（共 32页） （3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【解答】解：
35、（1）由题意，得：y1002（x60）2x+220， y2x+220； （2）设利润为 W， 则 W（x40）y（x40） （2x+220）2x+300 x8800， 令 W2400， 则2x2+300 x88002400， 解得：x70 或 x80， 答：当销售价为 70 元或 80 元时，每星期的销售利润恰为 2400 元； （3）W2x2+300 x88002（x75）2+2450， 20， 当 x75 时，W 有最大值，最大值为 2450 元， 答：每件定价为 75 元时利润最大，最大利润为 2450 元 六、解答题（满分六、解答题（满分 12 分）分） 24 （12 分）如图，在 R
36、tABC 中，ACB90，延长 CA 到点 D，以 AD 为直径作O， 交 BA 的延长线于点 E，延长 BC 到点 F，使 BFEF （1）求证：EF 是O 的切线； （2）若 OC9，AC4，AE8，求 BF 的长 【解答】证明： （1）连接 OE， OAOE， OEAOAE， 在 RtABC 中，ACB90， BAC+B90， BFEF， 第 23页（共 32页） BBEF， OAEBAC， OEABAC， OEFOEA+BEFBAC+B90， OEEF， OE 是O 的半径， EF 是O 的切线； （2）解：连接 DE， OC9，AC4， OAOCAC5， AD2OA， AD10， A
37、D 是O 的直径， AED90， 在 RtADE 中， DE? ?t? ?6， cosDAE? ? ? ? ? ?t ? ? ?， 在 RtABC 中，cosBAC? ?谘 ? ? ? ?， BACDAE， ? ? ? ? ?， AB5， BEAB+AE5+813， ODOE， ODEOED， EF 是O 的切线， FEO90， OED+OEA90，FEB+OEA90， FEBOED， 第 24页（共 32页） BFEBOEDODE， FBEODE， ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ， BF? ? ? 七、解答题（满分七、解答题（满分 12 分）分） 25 （12 分）在 ABCD
38、中，BAD，DE 平分ADC，交对角线 AC 于点 G，交射线 AB 于点 E，将线段 EB 绕点 E 顺时针旋转? ?得线段 EP （1）如图 1，当120时，连接 AP，请直接写出线段 AP 和线段 AC 的数量关系； （2）如图 2，当90时，过点 B 作 BFEP 于点，连接 AF，请写出线段 AF，AB， AD 之间的数量关系，并说明理由； （3）当120时，连接 AP，若 BE? ? ?AB，请直接写出APE 与CDG 面积的比值 【解答】解： （1）方法一：如图 1，连接 PB，PC， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ABCD，ADBC， 第 25页（共 32页） 1
39、20，即BAD120， BADC60， BEP60B， 由旋转知：EPEB， BPE 是等边三角形， BPEP，EBPBPE60， CBPABC+EBP120， AEP180BEP120， AEPCBP， DE 平分ADC， ADECDE30， AEDCDE30ADE， ADAE， AEBC， APECPB（SAS） ， APCP，APECPB， APE+CPECPB+CPE， 即APCBPE60， APC 是等边三角形， APAC； 方法二：如图 1，延长 PE 交 CD 于点 Q，连接 AQ， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ABCD， 120，即BAD120， BADC60，
40、 BEP60B， PEBCAD， 四边形 ADQE 和四边形 BCQE 是平行四边形， DE 平分ADC， ADECDE30， 第 26页（共 32页） AEDCDE30ADE， ADAE， 四边形 ADQE 是菱形， EAQAEQ60， AEQ 是等边三角形， AEAQ，AQE60， 四边形 BCQE 是平行四边形， PEBECQ，BCQE60， AEP120，AQCAQE+CQE120， AEPAQC， AEPAQC（SAS） ， APAC； （2）AB2+AD22AF2， 理由：如图 2，连接 CF， 在 ABCD 中，BAD90， ADCABCBAD90，ADBC， DE 平分ADC，
41、 ADECDE45， AEDADE45， ADAE， AEBC， BFEP， BFE90， BEF? ? ? ? ?BAD? ? ? ?9045， EBFBEF45， BFEF， FBCFBE+ABC45+90135， AEF180FEB135， CBFAEF， 第 27页（共 32页） BCFEAF（SAS） ， CFAF，CFBAFE， AFCAFE+CFECFB+CFEBFE90， ACFCAF45， sinACF? ? ?谘， AC? ? ?谘? ? ? ? ? ? ? ? ?AF， 在 RtABC 中，AB2+BC2AC2， AB2+AD22AF2； （3）方法一：由（1）知，BCA
42、DAEABBE， BE? ? ?AB，ABCD， ABCD2BE， 设 BEa，则 PEADAEa，ABCD2a， 当点 E 在 AB 上时，如图 3，过点 G 作 GMAD 于点 M，作 GNCD 于点 N， 过点 C 作 CKAD 于点 K，过点 A 作 AHPE 的延长线于点 H， 当120时，BADC60， DE 平分ADC，GMAD，GNCD， GMGN， SACD? ? ?ADCK? ? ?a2asin60? ? ? a2， ?谘? ? ? ? ?谘? ? ?T ? 谘? ? ? ? ? ?2， SCDG2SADG， SCDG? ? ?SACD? ? ? a2， 由（1）知 PEB
43、C， AEHB60， H90， AHAEsin60? ? ? a， SAPE? ? ?PEAH? ? ?a ? ? a? ? ? a2， 第 28页（共 32页） ?t? ?谘? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 如图 4，当点 E 在 AB 延长线上时， 由同理可得：SCDG? ? ?SACD? ? ? ? ? ? ?2a ? ? ?3a? ? ? ? a2， SAPE? ? ?PHAE? ? ? ? ? ? a3a? ? ? ? a2， ?t? ?谘? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 综上所述，APE 与CDG 面积的比值为? ?或 ? ? 方法二：如图 3，四边形
44、 ABCD 是平行四边形， ADBC，ABCD，ABCD， AEGCDG， ? ?谘? ?（? 谘?） 2，? ? ? ? 谘?， 当点 E 在 AB 上时， BE? ? ?AB， AEBE? ? ?AB? ? ?CD， ? ?谘? ?（? 谘?） 2? ?， 又? ? ? ? 谘? ? ? ?， ? ? ? ? ?，即 ? ? ?3， ? ? ? ? ? ?3， 当120时，BADC60， DE 平分ADC， ADE30， AED180BADADE30ADE， AEAD， EPEBAE，EPAD， EPADAE，AEPDAE120， 第 29页（共 32页） AEDEAP（SAS） ， SA
45、EDSEAP， ?t? ?谘? ? ?t? ? ? ?谘? ? ? ? ? ?谘? ?3 ? ? ? ? ?； 如图 4，当点 E 在 AB 延长线上时， BE? ? ?AB， AE? ? ?AB? ? ?CD， 由知，ADAE? ? ?CD， EPBE? ? ?AE? ? ?AD，EPAD， ?t? ? ? ?t ? ? ? ?， ? ? ? ? 谘? ? ? ?， ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ?谘? ?（? 谘?） 2（? ?） 2? ?， ?t? ?谘? ? ?t? ? ? ? ? ?谘? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； 综上所述，APE
46、 与CDG 面积的比值为? ?或 ? ? 第 30页（共 32页） 八、解答题（满分八、解答题（满分 14 分）分） 26 （14 分）如图，抛物线 y? ? ?x 2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 C（1，0） ，与 y 轴交于点 B（0，3） ，连接 AB，BC，点 P 是抛物线第一象限上的一动点，过点 P 作 PDx 轴于点 D，交 AB 于点 E （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，作 PFPD 于点 P，使 PF? ? ?OA，以 PE，PF 为邻边作矩形 PEGF当矩 形 PEGF 的面积是BOC 面积的 3 倍时，求点 P 的坐标； （3）如图 2，当点 P 运动到
47、抛物线的顶点时，点 Q 在直线 PD 上，若以点 Q、A、B 为 顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点 Q 纵坐标 n 的取值范围 第 31页（共 32页） 【解答】解： （1）由题意得： ? ? ? ? a ? i ? t i ? ? ，解得 a ? ? ? i ? ? ， 故抛物线的表达式为 y? ? ?x 2? ?x+3； （2）对于 y? ? ?x 2? ?x+3，令 y? ? ?x 2? ?x+30，解得 x4 或1， 故点 A 的坐标为（4，0） ，则 PF2， 由点 A、B 的坐标得，直线 AB 的表达式为 y? ? ?x+3， 设点 P 的坐标为（x，? ? ?x 2? ?x
48、+3） ，则点 E（x，? ? ?x+3） ， 则矩形 PEGF 的面积PFPE2（? ? ?x 2? ?x+3? ? ?x3）3SBOC3 ? ? ?BO CO? ? ? ?31， 解得 x1 或 3， 故点 P 的坐标为（1，? ?）或（3，3） ； （3）由抛物线的表达式知，其对称轴为 x? ? ?，故点 Q 的坐标为（ ? ?，n） ， 当ABQ 为直角时，如图 21， 设 BQ 交 x 轴于点 H， 由直线 AB 的表达式知，tanBAO? ? ?，则 tanBHO? ? ?， 故设直线 BQ 的表达式为 y? ? ?x+t， 该直线过点 B（0，3） ，故 t3， 第 32页（共
49、32页） 则直线 BQ 的表达式为 y? ? ?x+3， 当 x? ? ?时，y? ? ?x+35， 即 n5； 当BQA 为直角时， 过点 Q 作直线 MN 交 y 轴于点 N，交过点 A 与 y 轴的平行线于点 M， BQN+MQA90，MQA+MAQ90， BQNMAQ， tanBQNtanMAQ， 即? ?t ? Tt T?，则 ? ? ? ? ? ? ? ， 解得 n? ? ? ? ； 当BAQ 为直角时， 同理可得，n? ?t ? ； 综上，以点 Q、A、B 为顶点的三角形是锐角三角形，则ABQ 不为直角三角形， 故点 Q 纵坐标 n 的取值范围为 ?t ? n ? ? ? 或? ? ? n5
