1、第 1页（共 30页） 2021 年辽宁省铁岭市、抚顺市中考数学试卷年辽宁省铁岭市、抚顺市中考数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 （3 分）下列各数中，比1 大的数是（） A3B2C1D0 2 （3 分）如图是由 5 个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（） ABCD 3 （3 分）如图，直线 ab，150，2 的度数为（） A100B120C130D150 4 （3 分）下列运算正确的是（）
2、 Ax5+x5x10B （x3y2）2x5y4 Cx6x2x3Dx2x3x5 5 （3 分）某校为加强学生出行的安全意识，学校每月都要对学生进行安全知识测评，随机 选取 15 名学生在五月份的测评成绩如表： 成绩（分）909195969799 人数（人）232431 则这组数据的中位数和众数分别为（） A95，95B95，96C96，96D96，97 6 （3 分） 某校举行学生会成员的竞选活动， 对竞选者从民主测评和演讲两个方面进行考核， 第 2页（共 30页） 两项成绩均按百分制计，规定民主测评的成绩占 40%，演讲的成绩占 60%，小新同学的 民主测评和演讲的成绩分别为 80 分和 90
3、 分，则他的最终成绩是（） A83 分B84 分C85 分D86 分 7 （3 分）如图，直线 y2x 与 ykx+b 相交于点 P（m，2） ，则关于 x 的方程 kx+b2 的解 是（） Ax? ? ? Bx1Cx2Dx4 8 （3 分）如图，在O 中，弦 CD 与直径 AB 相交于点 E，连接 OC，BD若ABD20， AED80，则COB 的度数为（） A80B100C120D140 9 （3 分）自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯某公司为员工购买甲、乙两种型号的 水杯，用 720 元购买甲种水杯的数量和用 540 元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水 杯的单价比乙种水杯的单价多 1
4、5 元设甲种水杯的单价为 x 元，则列出方程正确的是 （） A? ? ? ? ?t? B? ? ? ? ?t? C ? ?t? ? ? ? D? ? ? ? ? t ? 10 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB6，AD4，E 是 CD 的中点，射线 AE 与 BC 的 延长线相交于点 F，点 M 从 A 出发，沿 ABF 的路线匀速运动到点 F 停止过点 M 作 MNAF 于点 N设 AN 的长为 x，AMN 的面积为 S，则能大致反映 S 与 x 之间函数 关系的图象是（） 第 3页（共 30页） AB CD 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3
5、 分，共分，共 24 分）分） 11 （3 分）在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利， 现行标准下 98990000 农村贫困人口全部脱贫，将数据 98990000 用科学记数法表示 为 12 （3 分）27 的立方根为 13 （3 分） 在平面直角坐标系中， 点 M （2， 4） 关于原点对称的点的坐标是 14 （3 分）在一个不透明袋子中，装有 3 个红球，5 个白球和一些黄球，这些球除颜色外无 其他差别，从袋中随机摸出一个球是白球的概率为? ?，则袋中黄球的个数为 15 （3 分）如图，ABC 中，B30，以点 C 为圆心，CA 长为半径画弧，交 BC 于
6、点 D，分别以点 A，D 为圆心，大于? ?AD 的长为半径画弧，两弧相交于点 E，作射线 CE， 交 AB 于点 F，FHAC 于点 H若 FH?，则 BF 的长为 16 （3 分） 如图， 将矩形纸片 ABCD 折叠， 使点 A 与点 C 重合， 折痕 EF 与 AC 相交于点 O， 第 4页（共 30页） 连接 BO若 AB4，CF5，则 OB 的长为 17 （3 分）如图，AOB 中，AOAB，OB 在 x 轴上 C，D 分别为 AB，OB 的中点，连接 CD，E 为 CD 上任意一点，连接 AE，OE，反比例函数 y? ? ?（x0）的图象经过点 A若 AOE 的面积为 2，则 k
7、的值是 18 （3 分）如图，在ABC 和DEC 中，ACBDCE90，BACEDC60， AC2cm，DC1cm则下列四个结论：ACDBCE；ADBE；CBE+ DAE45；在CDE 绕点 C 旋转过程中，ABD 面积的最大值为（2 ? t2）cm2. 其中正确的是.（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（第三、解答题（第 19 题题 10 分，第分，第 20 题题 12 分，共分，共 22 分）分） 19 （10 分）先化简，再求值：?t ? t ? t? ? ? ?t? t? ，其中 m? ? ? ? ?t? 20 （12 分）某校以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行随机抽样调查，
8、每个被调 查的学生必须从“科普” 、 “绘画” 、 “诗歌” 、 “散文”四类书籍中选择最喜欢的一类，学 校的调查结果如图： 第 5页（共 30页） 图中信息解答下列问题 （1）本次被调查的学生有人； （2）根据统计图中“散文”类所对应的圆心角的度数为，请补充条形统计图 （3）最喜爱“科普”类的 4 名学生中有 1 名女生，3 名男生，现从 4 名学生中随机抽取 两人参加学校举办的科普知识宣传活动，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰 好都是男生的概率 四、解答题（第四、解答题（第 21 题题 12 分，第分，第 22 题题 12 分，共分，共 24 分）分） 21 （12 分）某市公交公
9、司为落实“绿色出行，低碳环保”的城市发展理念，计划购买 A， B 两种型号的新型公交车，已知购买 1 辆 A 型公交车和 2 辆 B 型公交车需要 165 万元，2 辆 A 型公交车和 3 辆 B 型公交车需要 270 万元 （1）求 A 型公交车和 B 型公交车每辆各多少万元？ （2）公交公司计划购买 A 型公交车和 B 型公交车共 140 辆，且购买 A 型公交车的总费 用不高于 B 型公交车的总费用，那么该公司最多购买多少辆 A 型公交车？ 22 （12 分）某景区 A、B 两个景点位于湖泊两侧，游客从景点 A 到景点 B 必须经过 C 处才 能到达观测得景点 B 在景点 A 的北偏东
10、30，从景点 A 出发向正北方向步行 600 米到 达 C 处，测得景点 B 在 C 的北偏东 75方向 （1）求景点 B 和 C 处之间的距离； （结果保留根号） （2） 当地政府为了便捷游客游览， 打算修建一条从景点 A 到景点 B 的笔直的跨湖大桥 大 桥修建后， 从景点 A 到景点 B 比原来少走多少米？ （结果保留整数 参考数据：? ?1.414， ? ?1.732） 第 6页（共 30页） 五、解答满分五、解答满分 12 分分 23 （12 分）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是 20 元，试销售时发现：遮阳 伞每天的销售量 y（个与销售单价 x（元）之间是一次函数关系，当
11、销售单价为 28 元时， 每天的销售量为 260 个；当销售单价为 30 元时，每天的销量为 240 个 （1）求遮阳伞每天的销出量 y（个）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （2）设遮阳伞每填的销售利润为 w（元） ，当销售单价定为多少元时，才能使每天的销 售润最大？最大利润是多少元？ 六、解答题（满分六、解答题（满分 12 分）分） 24 （12 分）如图，在O 中，AOB120，? ? ? ? ?，连接 AC，BC，过点 A 作 AD BC，交 BC 的延长线于点 D，DA 与 BO 的延长线相交于点 E，DO 与 AC 相交于点 F （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若O
12、的半径为 2，求线段 DF 的长 七、解答题（满分七、解答题（满分 12 分）分） 25 （12 分）如图，RtABC 中，ACB90，D 为 AB 中点，点 E 在直线 BC 上（点 E 第 7页（共 30页） 不与点 B，C 重合） ，连接 DE，过点 D 作 DFDE 交直线 AC 于点 F，连接 EF （1）如图 1，当点 F 与点 A 重合时，请直接写出线段 EF 与 BE 的数量关系； （2）如图 2，当点 F 不与点 A 重合时，请写出线段 AF，EF，BE 之间的数量关系，并说 明理由； （3）若 AC5，BC3，EC1，请直接写出线段 AF 的长 八、解答题（满分八、解答题（
13、满分 14 分）分） 26 （14 分）直线 yx+3 与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B，抛物线 yax2+2x+c 经 过点 A，B，与 x 轴的另一个交点为 C （1）求抛物线的解析式； （2） 如图 1， 点 D 是第一象限内抛物线上的一个动点， 过点 D 作 DEy 轴交 AB 于点 E， DFAB 于点 F，FGx 轴于点 G当 DEFG 时，求点 D 的坐标； （3）如图 2，在（2）的条件下，直线 CD 与 AB 相交于点 M，点 H 在抛物线上，过 H 作 HKy 轴，交直线 CD 于点 KP 是平面内一点，当以点 M，H，K，P 为顶点的四边 形是正方形时，请直
14、接写出点 P 的坐标 第 8页（共 30页） 2021 年辽宁省铁岭市、抚顺市中考数学试卷年辽宁省铁岭市、抚顺市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 （3 分）下列各数中，比1 大的数是（） A3B2C1D0 【解答】解：31，21，11，01， 所给的各数中，比1 大的数是 0 故选：D 2 （3 分）如图是由 5 个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是
15、（） ABCD 【解答】解：从左边看，有两列，从左到右第一列是两个正方形，第二列底层是一个正 方形 故选：A 3 （3 分）如图，直线 ab，150，2 的度数为（） A100B120C130D150 【解答】解：ab，150， 3150， 2+3180， 第 9页（共 30页） 2130， 故选：C 4 （3 分）下列运算正确的是（） Ax5+x5x10B （x3y2）2x5y4 Cx6x2x3Dx2x3x5 【解答】解：A、x5+x52x5，故此选项不符合题意； B、 （x3y2）2x6y4，故此选项不符合题意； C、x6x2x4，故此选项不符合题意； D、x2x3x5，正确，故此选项符合
16、题意； 故选：D 5 （3 分）某校为加强学生出行的安全意识，学校每月都要对学生进行安全知识测评，随机 选取 15 名学生在五月份的测评成绩如表： 成绩（分）909195969799 人数（人）232431 则这组数据的中位数和众数分别为（） A95，95B95，96C96，96D96，97 【解答】解：将这 15 名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的一个数，即第 8 个数是 96，因此中位数是 96， 这 15 名学生成绩出现次数最多的是 96，共出现 4 次，因此众数是 96， 故选：C 6 （3 分） 某校举行学生会成员的竞选活动， 对竞选者从民主测评和演讲两个方面进行考核， 两项成绩
17、均按百分制计，规定民主测评的成绩占 40%，演讲的成绩占 60%，小新同学的 民主测评和演讲的成绩分别为 80 分和 90 分，则他的最终成绩是（） A83 分B84 分C85 分D86 分 第 10页（共 30页） 【解答】解：他的最终成绩为 8040%+9060%86（分） ， 故选：D 7 （3 分）如图，直线 y2x 与 ykx+b 相交于点 P（m，2） ，则关于 x 的方程 kx+b2 的解 是（） Ax? ? ? Bx1Cx2Dx4 【解答】解：直线 y2x 与 ykx+b 相交于点 P（m，2） ， 22m， m1， P（1，2） ， 当 x1 时，ykx+b2， 关于 x 的
18、方程 kx+b2 的解是 x1， 故选：B 8 （3 分）如图，在O 中，弦 CD 与直径 AB 相交于点 E，连接 OC，BD若ABD20， AED80，则COB 的度数为（） A80B100C120D140 【解答】解：ABD20，AED80， DAEDABD802060， COB2D120， 故选：C 9 （3 分）自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯某公司为员工购买甲、乙两种型号的 第 11页（共 30页） 水杯，用 720 元购买甲种水杯的数量和用 540 元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水 杯的单价比乙种水杯的单价多 15 元设甲种水杯的单价为 x 元，则列出方程正确的是 （）
19、A? ? ? ? ?t? B? ? ? ? ?t? C ? ?t? ? ? ? D? ? ? ? ? t ? 【解答】解：设甲种水杯的单价为 x 元，则乙种水杯的单价为（x15）元， 依题意得：? ? ? ? ?t? 故选：A 10 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB6，AD4，E 是 CD 的中点，射线 AE 与 BC 的 延长线相交于点 F，点 M 从 A 出发，沿 ABF 的路线匀速运动到点 F 停止过点 M 作 MNAF 于点 N设 AN 的长为 x，AMN 的面积为 S，则能大致反映 S 与 x 之间函数 关系的图象是（） AB CD 【解答】解：如图， 第 12页（共 30
20、页） E 是 CD 的中点， CEDE， 四边形 ABCD 是矩形， DDCF90，ADBC4， 在ADE 与FCE 中， ? ? ? ? ? ? ? ? ， ADEFCE（SAS） ， CFAD4， BFCF+BC8， AF?t t? ?， 当点 M 在 AB 上时， 在 RtAMN 和 RtAFB 中， tanNAM? ? ? ? ? ?， NM? t ? ? ? ? ?， AMN 的面积 S? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 当点 M 在 AB 上时，函数图象是开口向上、经过原点的抛物线的一部分； 当点 M 在 BF 上时，如图， ANx，NF10 x， 在 RtFMN 和
21、 RtFBA 中， tanF? ? ? ? ? ?， ? ? ? t ?t ? ?t ? ? t ? ? ， AMN 的面积 S? ? ? ? ? ? ? t ? ? ? t ? ? ? 第 13页（共 30页） ?t ? t ?t ? ? ?， 当点 M 在 BF 上时，函数图象是开口向下的抛物线的一部分； 故选：B 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 11 （3 分）在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利， 现行标准下 98990000 农村贫困人口全部脱贫，将数据 98990000 用科学
22、记数法表示为 9.899107 【解答】解：989900009.899107， 故答案为：9.899107 12 （3 分）27 的立方根为3 【解答】解：3327， 27 的立方根是 3， 故答案为：3 13 （3 分） 在平面直角坐标系中， 点 M （2， 4） 关于原点对称的点的坐标是（2， 4） 【解答】解：点（2，4）关于原点对称的点的坐标为（2，4） 故答案为： （2，4） 14 （3 分）在一个不透明袋子中，装有 3 个红球，5 个白球和一些黄球，这些球除颜色外无 其他差别，从袋中随机摸出一个球是白球的概率为? ?，则袋中黄球的个数为 7 【解答】解：设有黄球 x 个， 根据题意
23、得： ? ?t?t? ? ? ?， 解得：x7， 经检验 x7 是原方程的解， 故答案为：7 15 （3 分）如图，ABC 中，B30，以点 C 为圆心，CA 长为半径画弧，交 BC 于点 第 14页（共 30页） D，分别以点 A，D 为圆心，大于? ?AD 的长为半径画弧，两弧相交于点 E，作射线 CE， 交 AB 于点 F，FHAC 于点 H若 FH?，则 BF 的长为2 ? 【解答】解：过 F 作 FGBC 于 G， 由作图知，CF 是ACB 的角平分线， FHAC 于点 HFH?， FGFH?， FGB90，B30 BF2FG2 ?， 故答案为：2 ? 16 （3 分） 如图， 将矩
24、形纸片 ABCD 折叠， 使点 A 与点 C 重合， 折痕 EF 与 AC 相交于点 O， 连接 BO若 AB4，CF5，则 OB 的长为2 ? 【解答】解：连接 AF，过 O 作 OHBC 于 H，如图： 将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 A 与点 C 重合，折痕 EF 与 AC 相交于点 O， AFCF5， 第 15页（共 30页） 在 RtABF 中，BF?t ?t ?3， BCBF+CF8， OAOC，OHBC，ABBC， O 为 AC 中点，OHAB， OH 是ABC 的中位线， BHCH? ? ?BC4，OH? ? ?AB2， 在 RtBOH 中，OB?t ?t ?2 ?， 故答案
25、为：2 ? 17 （3 分）如图，AOB 中，AOAB，OB 在 x 轴上 C，D 分别为 AB，OB 的中点，连接 CD，E 为 CD 上任意一点，连接 AE，OE，反比例函数 y? ? ?（x0）的图象经过点 A若 AOE 的面积为 2，则 k 的值是4 【解答】解： 如图：连接 AD， AOB 中，AOAB，OB 在 x 轴上，C、D 分别为 AB，OB 的中点， ADOB，AOCD， SAOESAOD2， k4 故答案为：4 18 （3 分）如图，在ABC 和DEC 中，ACBDCE90，BACEDC60， 第 16页（共 30页） AC2cm，DC1cm则下列四个结论：ACDBCE；
26、ADBE；CBE+ DAE45；在CDE 绕点 C 旋转过程中，ABD 面积的最大值为（2 ? t2）cm2. 其中正确的是.（填写所有正确结论的序号） 【解答】解：ACBDCE90， ACB+ACEDCE+ACE， BCEACD， BACEDC60，AC2cm，DC1cm， tanBAC? ? ? ?，tanBAC? ? ? ?， BC2 ?cm，CE?cm， ? ? ? ? ? ?2， ACDBCE，故正确； ACDBCE， EBCDAC， 如图，记 BE 与 AD、AC 分别交于 F、G， AGFBGC， BCGBFA90， ADBE，故正确； EBCDAC， CBE+DAEDAC+DA
27、ECAE 不一定等于 45，故错误； 如图，过点 C 作 CHAB 于 H， 第 17页（共 30页） ABC30， CH? ? ?BC? ?cm， D 到直线 AB 的最大距离为 CH+CD（ ? t1）cm， ABD 面积的最大值为? ? ? ? ? t ? ?（2 ? t2）cm2，故正确 故答案为： 三、解答题（第三、解答题（第 19 题题 10 分，第分，第 20 题题 12 分，共分，共 22 分）分） 19 （10 分）先化简，再求值：?t ? t ? t? ? ? ?t? t? ，其中 m? ? ? ? ?t? 【解答】解：?t ? t ? t? ? ? ?t? t? ? ?t
28、?t?t? t? t? ?t? ? ?t?t? ?t? ? ?t?t? ?t? ? t? ? ， 当 m? ? ? ? t? ?4 时，原式? ?t? ? ? ? ? 20 （12 分）某校以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行随机抽样调查，每个被调 查的学生必须从“科普” 、 “绘画” 、 “诗歌” 、 “散文”四类书籍中选择最喜欢的一类，学 校的调查结果如图： 第 18页（共 30页） 图中信息解答下列问题 （1）本次被调查的学生有50人； （2）根据统计图中“散文”类所对应的圆心角的度数为72，请补充条形统计图 （3）最喜爱“科普”类的 4 名学生中有 1 名女生，3 名男生，现从
29、4 名学生中随机抽取 两人参加学校举办的科普知识宣传活动，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰 好都是男生的概率 【解答】解： （1）2040%50（人） ， 所以本次被调查的学生有 50 人； 故答案为 50； （2） “散文”类所对应的圆心角的度数为 360 ? ? ?72； 最喜欢“绘画”类的人数为 504201016（人） ， 条形统计图补充为： 故答案为 72； 第 19页（共 30页） （3）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果，其中所选的两人恰好都是男生的结果数为 6， 所以所选的两人恰好都是男生的概率? ? ? ? ? ? 四、解答题（第四、解答题（第 21 题题 12
30、 分，第分，第 22 题题 12 分，共分，共 24 分）分） 21 （12 分）某市公交公司为落实“绿色出行，低碳环保”的城市发展理念，计划购买 A， B 两种型号的新型公交车，已知购买 1 辆 A 型公交车和 2 辆 B 型公交车需要 165 万元，2 辆 A 型公交车和 3 辆 B 型公交车需要 270 万元 （1）求 A 型公交车和 B 型公交车每辆各多少万元？ （2）公交公司计划购买 A 型公交车和 B 型公交车共 140 辆，且购买 A 型公交车的总费 用不高于 B 型公交车的总费用，那么该公司最多购买多少辆 A 型公交车？ 【解答】解： （1）设 A 型公交车每辆 x 万元，B
31、型公交车每辆 y 万元， 由题意得： ? t ?i ? ? ?t ?i ? ?， 解得： ? ? ? i ? ?， 答：A 型公交车每辆 45 万元，B 型公交车每辆 60 万元； （2）设该公司购买 m 辆 A 型公交车，则购买（140m）辆 B 型公交车， 由题意得：45m60（140m） ， 解得：m80， 答：该公司最多购买 80 辆 A 型公交车 22 （12 分）某景区 A、B 两个景点位于湖泊两侧，游客从景点 A 到景点 B 必须经过 C 处才 能到达观测得景点 B 在景点 A 的北偏东 30，从景点 A 出发向正北方向步行 600 米到 达 C 处，测得景点 B 在 C 的北偏
32、东 75方向 （1）求景点 B 和 C 处之间的距离； （结果保留根号） （2） 当地政府为了便捷游客游览， 打算修建一条从景点 A 到景点 B 的笔直的跨湖大桥 大 桥修建后， 从景点 A 到景点 B 比原来少走多少米？ （结果保留整数 参考数据：? ?1.414， ? ?1.732） 第 20页（共 30页） 【解答】解： （1）过点 C 作 CDAB 于点 D， 由题意得，A30，BCE75，AC600m， 在 RtACD 中，A30，AC600， CD? ? ?AC300（m） ， AD? ? ? AC300 ?（m） ， BCE75A+B， B75A45， CDBD300（m） ，
33、BC?CD300 ?（m） ， 答：景点 B 和 C 处之间的距离为 300 ?m； （2）由题意得 AC+BC（600+300 ?）m， ABAD+BD（300+300 ?）m， AC+BCAB（600+300 ?）（300+300 ?） 204.6 205（m） ， 答：大桥修建后，从景点 A 到景点 B 比原来少走约 205m 第 21页（共 30页） 五、解答满分五、解答满分 12 分分 23 （12 分）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是 20 元，试销售时发现：遮阳 伞每天的销售量 y（个与销售单价 x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为 28 元时， 每天的销售量为 2
34、60 个；当销售单价为 30 元时，每天的销量为 240 个 （1）求遮阳伞每天的销出量 y（个）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （2）设遮阳伞每填的销售利润为 w（元） ，当销售单价定为多少元时，才能使每天的销 售润最大？最大利润是多少元？ 【解答】解： （1）设函数关系式为 ykx+b， 由题意可得： ? ? ?t? t ? ? ? ?t ?， 解得： ? ?t ? ? ? ? ， 函数关系式为 y10 x+540； （2）由题意可得：w（x20）y（x20） （10 x+540）10（x37）2+2890， 100， 当 x37 时，w 有最大值为 2890， 答：当销售单价定为
35、 37 元时，才能使每天的销售润最大，最大利润是 2890 元 六、解答题（满分六、解答题（满分 12 分）分） 24 （12 分）如图，在O 中，AOB120，? ? ? ? ?，连接 AC，BC，过点 A 作 AD BC，交 BC 的延长线于点 D，DA 与 BO 的延长线相交于点 E，DO 与 AC 相交于点 F （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若O 的半径为 2，求线段 DF 的长 第 22页（共 30页） 【解答】解： （1）如图，连接 OC， ? ? ? ? ?， ACBC， 又OAOB，OCOC， OACOBC（SSS） ， AOCBOC? ? ?AOB60， AOC、B
36、OC 是等边三角形， OAACCBOB， 四边形 OACB 是菱形， OABD， 又ADBD， OADE， DE 是O 的切线； （2）由（1）得 ACOA2，OAC60，DAC906030， 在 RtACD 中，DAC30，AC2， DC? ? ?AC1，AD? ? ? AC?， 在 RtAOD 中，由勾股定理得， OD?t ? t ? ?， OABD， CFDAFO， ? ? ? ? ?， 第 23页（共 30页） 又? ? ?sin30? ? ?，ACOA2， ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ?， 即 DF? ? ?OD? ? ? 七、解答题（满分七、解答题（满分 12 分）分）
37、25 （12 分）如图，RtABC 中，ACB90，D 为 AB 中点，点 E 在直线 BC 上（点 E 不与点 B，C 重合） ，连接 DE，过点 D 作 DFDE 交直线 AC 于点 F，连接 EF （1）如图 1，当点 F 与点 A 重合时，请直接写出线段 EF 与 BE 的数量关系； （2）如图 2，当点 F 不与点 A 重合时，请写出线段 AF，EF，BE 之间的数量关系，并说 明理由； （3）若 AC5，BC3，EC1，请直接写出线段 AF 的长 【解答】解： （1）结论：EFBE 理由：如图 1 中， 第 24页（共 30页） ADDB，DEAB， EFEB （2）结论：AF2+
38、BE2EF2 理由：如图 2 中，过点 A 作 AJAC 交 ED 的延长线于 J，连接 FJ AJAC，ECAC， AJBE， AJDDEB， 在AJD 和BED 中， ? ? ? ? ? ? ? ? ， AJDBED（AAS） ， AJBE，DJDE， DFEJ， FJEF， FAJ90， AF2+AJ2FJ2， AF2+BE2EF2 第 25页（共 30页） （3）如图 31 中，当点 E 在线段 BC 上时，设 AFx，则 CF5x BC3，CE1， BE2， EF2AF2+BE2CF2+CE2， x2+22（5x）2+12， x? ? ? ， AF? ? ? 如图 32 中，当点 E
39、 在线段 BC 的延长线上时，设 AFx，则 CF5x BC3，CE1， BE4， EF2AF2+BE2CF2+CE2， x2+42（5x）2+12， x1， AF1， 综上所述，满足条件的 AF 的长为? ? 或 1 八、解答题（满分八、解答题（满分 14 分）分） 26 （14 分）直线 yx+3 与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B，抛物线 yax2+2x+c 经 过点 A，B，与 x 轴的另一个交点为 C （1）求抛物线的解析式； 第 26页（共 30页） （2） 如图 1， 点 D 是第一象限内抛物线上的一个动点， 过点 D 作 DEy 轴交 AB 于点 E， DFAB 于
40、点 F，FGx 轴于点 G当 DEFG 时，求点 D 的坐标； （3）如图 2，在（2）的条件下，直线 CD 与 AB 相交于点 M，点 H 在抛物线上，过 H 作 HKy 轴，交直线 CD 于点 KP 是平面内一点，当以点 M，H，K，P 为顶点的四边 形是正方形时，请直接写出点 P 的坐标 【解答】解： （1）令 x0，则 y3， B（0，3） ， 令 y0，则 x3， A（3，0） ， 抛物线 yax2+2x+c 经过点 A，B， ?a t ? t r ? ? r ? ? ， a ?t ? r ? ? ， 抛物线解析式为 yx2+2x+3； （2）设 D（m，m2+2m+3） ， DEy
41、 轴交 AB 于点 E， E（m，m+3） ， OAOB， OAB45， AGFG， DEFG， DEAG， 连接 GE，延长 DE 交 x 轴于点 T， 第 27页（共 30页） 四边形 FGED 是平行四边形， DFAB， EGAB， AEG 为等腰直角三角形， ATETGT3m， AGFG62m， OG3（62m）2m3， F 点横坐标为 2m3， FG2m+6， DT2m+6+3m3m+9， m2+2m+33m+9， 解得 m2 或 m3（舍） ， D（2，3） ； （3）令 y0，则x2+2x+30， 解得 x3 或 x1， C（1，0） ， 设 CD 的解析式为 ykx+b，将 C
42、（1，0） 、D（2，3）代入， t ? t ? ? ? ?t ? ? ? ， ? ? ? ? ? ?， yx+1， ACM45， CMAM， 联立 x+1x+3， 解得 x1， M（1，2） ， 以点 M，H，K，P 为顶点的四边形是正方形， 如图 2，图 3，当 MHMK 时，H 点在 AB 上，K 点在 CD 上， 第 28页（共 30页） H 点在抛物线上， H（3，0）或 H（0，3） ， 当 H（3，0）时，MH2 ?， KH4， K（3，4） HK 的中点为（3，2） ，则 MP 的中点也为（3，2） ， P（5，2） ； 当 H（0，3）时，MH?， KH2， K（0，1） ， HK 的中点为（0，2） ，则 MP 的中点也为（0，2） ， 第 29页（共 30页） P（1，2） ， 此时 HK 与 y 轴重合， P（1，2）不符合题意； 如图 4，图 5，当 MHHK 时，此时 MHy 轴， H（1t?，2）或 H（1t?，2） ， 当 H（1t?，2）时，MH?， P（1，2t?） ； 当 H（1t?，2）时，MH?， P（1，2t?） ； 综上所述：当以点 M，H，K，P 为顶点的四边形是正方形时，P 点坐标为（5，2）或（1， 2t?）或（1，2t?） 第 30页（共 30页）
