1、第 1页（共 28页） 2021 年浙江省绍兴市中考数学试卷年浙江省绍兴市中考数学试卷 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。请选出每小题中一个最符合题意分。请选出每小题中一个最符合题意 的选项，不选、多选、错选均不给分）的选项，不选、多选、错选均不给分） 1 （4 分）实数 2，0，3， ?中，最小的数是（） A2B0C3D ? 2（4 分） 第七次全国人口普查数据显示， 绍兴市常住人口约为 5270000 人， 这个数字 5270000 用科学记数法可表示为（） A0.527107B5.27106C52.7105D5.2710
2、7 3 （4 分）如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是（） ABCD 4 （4 分）在一个不透明的袋中装有 6 个只有颜色不同的球，其中 3 个红球、2 个黄球和 1 个白球从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（） A? ? B? ? C? ? D? ? 5 （4 分）如图，正方形 ABCD 内接于O，点 P 在?t ?上，则BPC 的度数为（ ） A30B45C60D90 6 （4 分）关于二次函数 y2（x4）2+6 的最大值或最小值，下列说法正确的是（） A有最大值 4B有最小值 4C有最大值 6D有最小值 6 7 （4 分）如图，树 AB 在路灯 O 的照射下形成投影 A
3、C，已知路灯高 PO5m，树影 AC 3m，树 AB 与路灯 O 的水平距离 AP4.5m，则树的高度 AB 长是（） 第 2页（共 28页） A2mB3mC? ?m D? ? m 8 （4 分）如图，菱形 ABCD 中，B60，点 P 从点 B 出发，沿折线 BCCD 方向移动， 移动到点 D 停止在ABP 形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（） A直角三角形等边三角形等腰三角形直角三角形 B直角三角形等腰三角形直角三角形等边三角形 C直角三角形等边三角形直角三角形等腰三角形 D等腰三角形等边三角形直角三角形等腰三角形 9 （4 分）如图，RtABC 中，BAC90，cosB? ? ?
4、，点 D 是边 BC 的中点，以 AD 为底 边在其右侧作等腰三角形 ADE，使ADEB，连结 CE，则?t ?的值为（ ） A? ? B ?C ?t ? D2 10 （4 分）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图 1）中发现，用相同的菱形放置，可 得到更多的菱形 如图2， 用2个相同的菱形放置， 得到3个菱形 下面说法正确的是 （） 第 3页（共 28页） A用 3 个相同的菱形放置，最多能得到 6 个菱形 B用 4 个相同的菱形放置，最多能得到 16 个菱形 C用 5 个相同的菱形放置，最多能得到 27 个菱形 D用 6 个相同的菱形放置，最多能得到 41 个菱形 二、填空题（本大题有二
5、、填空题（本大题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）分解因式：x2+2x+1 12 （5 分）我国明代数学读本算法统宗有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每 人 7 两，还剩 4 两；若每人 9 两，则差 8 两银子共有两 13 （5 分）图 1 是一种矩形时钟，图 2 是时钟示意图，时钟数字 2 的刻度在矩形 ABCD 的 对角线 BD 上，时钟中心在矩形 ABCD 对角线的交点 O 上若 AB30cm，则 BC 长为 cm（结果保留根号） 14 （5 分）如图，在ABC 中，ABAC，B70，以点 C 为圆心，CA 长为半径作弧， 交直线
6、BC 于点 P，连结 AP，则BAP 的度数是 15 （5 分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 B， 第 4页（共 28页） C 在第一象限，顶点 D 的坐标（t ?，2） 反比例函数 y? ? ?（常数 k0，x0）的图象恰 好经过正方形 ABCD 的两个顶点，则 k 的值是 16 （5 分）已知ABC 与ABD 在同一平面内，点 C，D 不重合，ABCABD30， AB4，ACAD2 ?，则 CD 长为 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，第小题，第 1720 小题每小题小题每小题 8 分，第分，第 21 小题小题 10 分
7、，第分，第 22，23 小题每小题小题每小题 8 分分，第第 24 小题小题 14 分分，共共 80 分分.解答需写出必要的文字说明解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明演算步骤或证明 过程过程 17 （8 分） （1）计算：4sin60? ?（2?）0 （2）解不等式：5x+32（x+3） 18 （8 分）绍兴莲花落，又称“莲花乐” ， “莲花闹” ，是绍兴一带的曲艺为了解学生对该 曲种的熟悉度，某校设置了：非常了解、了解、了解很少、不了解四个选项，随机抽查 了部分学生进行问卷调查，要求每名学生只选其中的一项，并将抽查结果绘制成不完整 的统计图 第 5页（共 28页） 根据图中信息，解答下
8、列问题： （1）本次接受问卷调查的学生有多少人？并求图 2 中“了解”的扇形圆心角的度数； （2）全校共有 1200 名学生，请你估计全校学生中“非常了解” 、 “了解”莲花落的学生 共有多少人 19 （8 分）号无人机从海拔 10m 处出发，以 10m/min 的速度匀速上升，号无人机从海 拔 30m 处同时出发，以 a（m/min）的速度匀速上升，经过 5min 两架无人机位于同一海 拔高度 b（m） 无人机海拔高度 y（m）与时间 x（min）的关系如图两架无人机都上升 了 15min （1）求 b 的值及号无人机海拔高度 y（m）与时间 x（min）的关系式； （2）问无人机上升了多少
9、时间，号无人机比号无人机高 28 米 20 （8 分）拓展小组研制的智能操作机器人，如图 1，水平操作台为 l，底座 AB 固定，高 AB 为 50cm，连杆 BC 长度为 70cm，手臂 CD 长度为 60cm点 B，C 是转动点，且 AB， BC 与 CD 始终在同一平面内 （1）转动连杆 BC，手臂 CD，使ABC143，CDl，如图 2，求手臂端点 D 离操作 台 l 的高度 DE 的长（精确到 1cm，参考数据：sin530.8，cos530.6） （2）物品在操作台 l 上，距离底座 A 端 110cm 的点 M 处，转动连杆 BC，手臂 CD，手 臂端点 D 能否碰到点 M？请说
10、明理由 第 6页（共 28页） 21 （10 分）如图，在ABC 中，A40，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，BDBC CE，连结 CD，BE （1）若ABC80，求BDC，ABE 的度数； （2）写出BEC 与BDC 之间的关系，并说明理由 22 （12 分）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意 图，如图 1，杯体 ACB 是抛物线的一部分，抛物线的顶点 C 在 y 轴上，杯口直径 AB4， 且点 A，B 关于 y 轴对称，杯脚高 CO4，杯高 DO8，杯底 MN 在 x 轴上 （1）求杯体 ACB 所在抛物线的函数表达式（不必写出 x 的取值范围） ；
11、 （2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图 2，杯体 ACB所在抛物线形状 不变，杯口直径 ABAB，杯脚高 CO 不变，杯深 CD与杯高 OD之比为 0.6，求 AB的长 第 7页（共 28页） 23 （12 分）问题：如图，在 ABCD 中，AB8，AD5，DAB，ABC 的平分线 AE， BF 分别与直线 CD 交于点 E，F，求 EF 的长 答案：EF2 探究： （1）把“问题”中的条件“AB8”去掉，其余条件不变 当点 E 与点 F 重合时，求 AB 的长； 当点 E 与点 C 重合时，求 EF 的长 （2）把“问题”中的条件“AB8，AD5”去掉，其余条件不变，当点 C，D
12、，E，F 相邻两点间的距离相等时，求? ?t的值 24 （14 分）如图，矩形 ABCD 中，AB4，点 E 是边 AD 的中点，点 F 是对角线 BD 上一 动点，ADB30连结 EF，作点 D 关于直线 EF 的对称点 P （1）若 EFBD，求 DF 的长； （2）若 PEBD，求 DF 的长； （3）直线 PE 交 BD 于点 Q，若DEQ 是锐角三角形，求 DF 长的取值范围 第 8页（共 28页） 2021 年浙江省绍兴市中考数学试卷年浙江省绍兴市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共
13、分，共 40 分。请选出每小题中一个最符合题意分。请选出每小题中一个最符合题意 的选项，不选、多选、错选均不给分）的选项，不选、多选、错选均不给分） 1 （4 分）实数 2，0，3， ?中，最小的数是（） A2B0C3D ? 【解答】解：30?2， 最小的数是3， 故选：C 2（4 分） 第七次全国人口普查数据显示， 绍兴市常住人口约为 5270000 人， 这个数字 5270000 用科学记数法可表示为（） A0.527107B5.27106C52.7105D5.27107 【解答】解：52700005.27106 故选：B 3 （4 分）如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是（
14、） ABCD 【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层左边一个小正方形， 故选：D 4 （4 分）在一个不透明的袋中装有 6 个只有颜色不同的球，其中 3 个红球、2 个黄球和 1 个白球从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（） A? ? B? ? C? ? D? ? 【解答】解：袋子中共有 6 个小球，其中白球有 1 个， 摸出一个球是白球的概率是? ?， 故选：A 第 9页（共 28页） 5 （4 分）如图，正方形 ABCD 内接于O，点 P 在?t ?上，则BPC 的度数为（ ） A30B45C60D90 【解答】解：连接 OB、OC，如图， 正方形 ABCD 内接于O， BC 弧
15、所对的圆心角为 90， BOC90， BPC? ? ?BOC45 故选：B 6 （4 分）关于二次函数 y2（x4）2+6 的最大值或最小值，下列说法正确的是（） A有最大值 4B有最小值 4C有最大值 6D有最小值 6 【解答】解：二次函数 y2（x4）2+6，a20， 该函数图象开口向上，有最小值，当 x2 取得最小值 6， 故选：D 7 （4 分）如图，树 AB 在路灯 O 的照射下形成投影 AC，已知路灯高 PO5m，树影 AC 3m，树 AB 与路灯 O 的水平距离 AP4.5m，则树的高度 AB 长是（） A2mB3mC? ?m D? ? m 第 10页（共 28页） 【解答】解：
16、ABOP， CABCPO， ?t ?t ? ? ?， ?t t ? ? ?t， OP2（m） ， 故选：A 8 （4 分）如图，菱形 ABCD 中，B60，点 P 从点 B 出发，沿折线 BCCD 方向移动， 移动到点 D 停止在ABP 形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（） A直角三角形等边三角形等腰三角形直角三角形 B直角三角形等腰三角形直角三角形等边三角形 C直角三角形等边三角形直角三角形等腰三角形 D等腰三角形等边三角形直角三角形等腰三角形 【解答】解：B60，故菱形由两个等边三角形组合而成， 当 APBC 时，此时ABP 为等腰三角形； 当点 P 到达点 C 处时，此时ABP
17、为等边三角形； 当点 P 在 CD 上且位于 AB 的中垂线时，则ABP 为等腰三角形； 当点 P 与点 D 重合时，此时ABP 为等腰三角形， 故选：C 9 （4 分）如图，RtABC 中，BAC90，cosB? ? ?，点 D 是边 BC 的中点，以 AD 为底 边在其右侧作等腰三角形 ADE，使ADEB，连结 CE，则?t ?的值为（ ） 第 11页（共 28页） A? ? B ?C ?t ? D2 【解答】解：设 DE 交 AC 于 T,过点 E 作 EHCD 于 H BAC90,BDDC, ADDBDC, BDAB, BADE, DABADE, ABDE, DTCBAC90, DTA
18、B,BDDC, ATTC, EAECED, EDCECD, EHCD, CHDH, DEAB, EDCB, 第 12页（共 28页） ECDB, cosECHcosB? ? ?, ? t? ? ? ?, t? ? ? t? ? ?2, 故选：D 10 （4 分）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图 1）中发现，用相同的菱形放置，可 得到更多的菱形 如图2， 用2个相同的菱形放置， 得到3个菱形 下面说法正确的是 （） A用 3 个相同的菱形放置，最多能得到 6 个菱形 B用 4 个相同的菱形放置，最多能得到 16 个菱形 C用 5 个相同的菱形放置，最多能得到 27 个菱形 D用 6 个相同
19、的菱形放置，最多能得到 41 个菱形 【解答】解：如图所示， 用 2 个相同的菱形放置，最多能得到 3 个菱形； 用 3 个相同的菱形放置，最多能得到 8 个菱形， 第 13页（共 28页） 用 4 个相同的菱形放置，最多能得到 16 个菱形， 故选：B 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）分解因式：x2+2x+1（x+1）2 【解答】解：x2+2x+1（x+1）2 故答案为： （x+1）2 12 （5 分）我国明代数学读本算法统宗有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每 人 7 两，还剩 4 两；若每人 9
20、 两，则差 8 两银子共有46两 【解答】解：设有 x 人，银子 y 两， 由题意得： ? ? 答? ? ? ? 答? ? ?，解得 ? ? ? ? ? ?， 故答案为 46 13 （5 分）图 1 是一种矩形时钟，图 2 是时钟示意图，时钟数字 2 的刻度在矩形 ABCD 的 对角线 BD 上，时钟中心在矩形 ABCD 对角线的交点 O 上若 AB30cm，则 BC 长为 ? ?cm（结果保留根号） 【解答】解：过 O 点作 OECD，OFAD，垂足分别为 E，F， 由题意知FOD2DOE， FOD+DOE90， 第 14页（共 28页） DOE30，FOD60， 在矩形 ABCD 中，C9
21、0，CDAB30cm， OEBC， DBCDOE30， BC?CD? ? ?cm， 故答案为 ? ? 14 （5 分）如图，在ABC 中，ABAC，B70，以点 C 为圆心，CA 长为半径作弧， 交直线 BC 于点 P，连结 AP，则BAP 的度数是15或 75 【解答】解：如右图所示， 当点 P 在点 B 的左侧时， ABAC，ABC70， ACBABC70， BAC180ACBABC180707040， CACP1， CAP1CP1A? ? ? ? ?答? ? ?55， BAP1CAP1CAB554015； 当点 P 在点 C 的右侧时， ABAC，ABC70， ACBABC70， BAC
22、180ACBABC180707040， CACP2， CAP2CP1A? ?t ? ? 答? ? ?35， BAP2CAP2CAB35+4075； 由上可得，BAP 的度数是 15或 75， 第 15页（共 28页） 故答案为：15或 75 15 （5 分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 B， C 在第一象限，顶点 D 的坐标（t ?，2） 反比例函数 y? ? ?（常数 k0，x0）的图象恰 好经过正方形 ABCD 的两个顶点，则 k 的值是5 或 22.5 【解答】解：作 DMx 轴于 M，BN轴于 N，过 C 点作 x 轴的平行线，交 D
23、M 于 E， 交 BN 于 F， 正方形 ABCD 中，BAD90， DAM+BAN90， ADM+DAM90， ADMBAN， 在ADM 和BAN 中， ?h ?t?h ?h? ? ?th? ? 答? ? ? t? ， ADMBAN（AAS） ， AMBN，DMAN， 第 16页（共 28页） 顶点 D 的坐标（t ?，2） OM? t ?，DM2， 同理：ADMDCE， AMDE，CEDM， AMBNDE，DMANCE2， 设 AMBNDEm， ON? t ? ?m+24.5+m， B（4.5+m，m） ，C（4.5，2+m） ， 当反比例函数 y? ? ?（常数 k0，x0）的图象经过点
24、 B、D 时，则 k? t ? ?25； 当反比例函数 y? ? ?（常数 k0，x0）的图象经过点 B、C 时，则 k（4.5+m）m4.5 （2+m） ， 解得 m3， k4.5（2+3）22.5， 故答案为 5 或 22.5 16 （5 分）已知ABC 与ABD 在同一平面内，点 C，D 不重合，ABCABD30， AB4，ACAD2 ?，则 CD 长为2 ?2 或 4 或 2 ? 【解答】解：如图，当 C,D 同侧时，过点 A 作 AECD 于 E 第 17页（共 28页） 在 RtAEB 中，AEB90,AB4,ABE30， AE? ? ?AB2， ADAC2 ?， DE? ? ?2
25、,EC? ? ?2， DEECAE， ADC 是等腰直角三角形， CD4， 当 C,D 异侧时，过 C作 CHCD 于 H， BCC是等边三角形，BCBEEC2 ? ?2， CHBH? ?1,CH?CH62 ?， 在 RtDCH 中，DC? ?h? ? ? ?2 ?， DBD是等边三角形， DD2 ? ?2， CD 的长为 2 ?2 或 4 或 2 ? 故答案为：2 ?2 或 4 或 2 ? 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，第小题，第 1720 小题每小题小题每小题 8 分，第分，第 21 小题小题 10 分，第分，第 22，23 小题每小题小题每小题 8 分分，第第 24
26、 小题小题 14 分分，共共 80 分分.解答需写出必要的文字说明解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明演算步骤或证明 过程过程 17 （8 分） （1）计算：4sin60? ?（2?）0 （2）解不等式：5x+32（x+3） 【解答】解： （1）原式2 ? ?2 ? ?1 第 18页（共 28页） 1； （2）5x+32（x+3） ， 去括号得：5x+32x+6, 移项得：5x2x63， 合并同类项得：3x3， 解得：x1 18 （8 分）绍兴莲花落，又称“莲花乐” ， “莲花闹” ，是绍兴一带的曲艺为了解学生对该 曲种的熟悉度，某校设置了：非常了解、了解、了解很少、不了解四个选项，随机抽
27、查 了部分学生进行问卷调查，要求每名学生只选其中的一项，并将抽查结果绘制成不完整 的统计图 根据图中信息，解答下列问题： （1）本次接受问卷调查的学生有多少人？并求图 2 中“了解”的扇形圆心角的度数； （2）全校共有 1200 名学生，请你估计全校学生中“非常了解” 、 “了解”莲花落的学生 共有多少人 【解答】解： （1）接受问卷调查的学生数：3015%200（人） ， “了解”的扇形圆心角度数为 360 答? ? ?126； 答：本次接受问卷调查的学生有 200 人，图 2 中“了解”的扇形圆心角的度数为 126； （3）1200 ?答? ? ?600（人） ， 第 19页（共 28页）
28、 答：估计全校学生中“非常了解” 、 “了解”莲花落的学生共有 600 人 19 （8 分）号无人机从海拔 10m 处出发，以 10m/min 的速度匀速上升，号无人机从海 拔 30m 处同时出发，以 a（m/min）的速度匀速上升，经过 5min 两架无人机位于同一海 拔高度 b（m） 无人机海拔高度 y（m）与时间 x（min）的关系如图两架无人机都上升 了 15min （1）求 b 的值及号无人机海拔高度 y（m）与时间 x（min）的关系式； （2）问无人机上升了多少时间，号无人机比号无人机高 28 米 【解答】解： （1）b10+10560， 设函数的表达式为 ykx+t， 将（0,
29、30） 、 （5,60）代入上式得 ? ? ? ? ? t? ?，解得 ? ? ? ? ? ?， 故函数表达式为 y6x+30（0 x15） ； （2）由题意得： （10z+10）（6x+30）28， 解得 x125， 故无人机上升 12min，号无人机比号无人机高 28 米 20 （8 分）拓展小组研制的智能操作机器人，如图 1，水平操作台为 l，底座 AB 固定，高 AB 为 50cm，连杆 BC 长度为 70cm，手臂 CD 长度为 60cm点 B，C 是转动点，且 AB， BC 与 CD 始终在同一平面内 （1）转动连杆 BC，手臂 CD，使ABC143，CDl，如图 2，求手臂端点
30、D 离操作 台 l 的高度 DE 的长（精确到 1cm，参考数据：sin530.8，cos530.6） （2）物品在操作台 l 上，距离底座 A 端 110cm 的点 M 处，转动连杆 BC，手臂 CD，手 臂端点 D 能否碰到点 M？请说明理由 第 20页（共 28页） 【解答】解： （1）过点 C 作 CPAE 于点 P，过点 B 作 BQCP 于点 Q，如图： ABC143， CBQ53， 在 RtBCQ 中，CQBCsin53700.856cm， CDl， DECPCQ+PQ56+50106cm （2）当 B,C,D 共线时，如图： BD60+70130cm，AB50cm， 在 RtA
31、BD 中，AB+ADBD， AD120cm110cm 手臂端点 D 能碰到点 M 21 （10 分）如图，在ABC 中，A40，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，BDBC CE，连结 CD，BE （1）若ABC80，求BDC，ABE 的度数； （2）写出BEC 与BDC 之间的关系，并说明理由 第 21页（共 28页） 【解答】解： （1）ABC80，BDBC, BDCBCD? ? ?(18080)50, A+ABC+ACB180,A40, ACB180405060, CEBC, BCE 是等边三角形， EBC60, ABEABCEBC20; (2)BEC 与BDC 之间的关系：BEC+B
32、DC110, 理由：设BEC,BDC, 在ABE 中，A+ABE40+ABE, CEBC, CBEBEC, ABCABE+CBEA+2ABE40+ABE, CEBC, CBEBEC, ABCABE+CBEA+2ABE40+2ABE, 在BDC 中，BDBC, BDC+BCD+DBC2+40+2ABE180, 70ABE, +40+ABE+70ABE110, BEC+BDC110 22 （12 分）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意 图，如图 1，杯体 ACB 是抛物线的一部分，抛物线的顶点 C 在 y 轴上，杯口直径 AB4， 且点 A，B 关于 y 轴对称，
33、杯脚高 CO4，杯高 DO8，杯底 MN 在 x 轴上 第 22页（共 28页） （1）求杯体 ACB 所在抛物线的函数表达式（不必写出 x 的取值范围） ； （2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图 2，杯体 ACB所在抛物线形状 不变，杯口直径 ABAB，杯脚高 CO 不变，杯深 CD与杯高 OD之比为 0.6，求 AB的长 【解答】解： （1）CO4， 顶点 C(0，4)， 设抛物线的函数表达式为 yax2+4， AB4， ADDB2， DO8， A(2，8)，B(2，8)， 将 B(2，8)代入 yax2+4， 得：8a22+4， 解得：a1， 该抛物线的函数表达式为 yx2+
34、4； （2）由题意得：?h t?h ?0.6，CO4, ?h ?h ?0.6， CD6， ODOC+CD4+610， 又杯体 ACB所在抛物线形状不变，杯口直径 ABAB， 设 B(x1，10)，A(x2，10), 第 23页（共 28页） 当 y10 时，10 x2+4， 解得：x1?，x2?， AB2 ?， 杯口直径 AB的长为 2 ? 23 （12 分）问题：如图，在 ABCD 中，AB8，AD5，DAB，ABC 的平分线 AE， BF 分别与直线 CD 交于点 E，F，求 EF 的长 答案：EF2 探究： （1）把“问题”中的条件“AB8”去掉，其余条件不变 当点 E 与点 F 重合时
35、，求 AB 的长； 当点 E 与点 C 重合时，求 EF 的长 （2）把“问题”中的条件“AB8，AD5”去掉，其余条件不变，当点 C，D，E，F 相邻两点间的距离相等时，求? ?t的值 【解答】解： （1）如图 1 所示： 四边形 ABCD 是平行四边形， CDAB8，BCAD5，ABCD， DEABAE， AE 平分DAB， DAEBAE， DEADAE， DEAD5， 同理：BCCF5， 点 E 与点 F 重合， 第 24页（共 28页） ABCDDE+CF10； 如图 2 所示： 点 E 与点 C 重合， DEDC5， CFBC5， 点 F 与点 D 重合， EFDC5； （2）分三种
36、情况： 如图 3 所示： 同（1）得：ADDE， 点 C，D，E，F 相邻两点间的距离相等， ADDEEFCF， ? ?t ? ? ?； 如图 4 所示： 同（1）得：ADDECF， DFFECE， ? ?t ? ? ?； 如图 5 所示： 第 25页（共 28页） 同（1）得：ADDECF， DFDCCE， ? ?t ?2； 综上所述，? ?t的值为 ? ?或 ? ?或 2 24 （14 分）如图，矩形 ABCD 中，AB4，点 E 是边 AD 的中点，点 F 是对角线 BD 上一 动点，ADB30连结 EF，作点 D 关于直线 EF 的对称点 P （1）若 EFBD，求 DF 的长； （2
37、）若 PEBD，求 DF 的长； （3）直线 PE 交 BD 于点 Q，若DEQ 是锐角三角形，求 DF 长的取值范围 【解答】解： （1）点 D、点 P 关于直线 EF 的对称，EFBD， 点 P 在 BD 上， 四边形 ABCD 是矩形， BAD90， AB4，ADB30 AD4 ?， 点 E 是边 AD 的中点， DE2 ?， 第 26页（共 28页） EFBD， DF3； （2）如图 2， PEBD，ADB30 PED60, 由对称可得，EF 平分PED， DEFPEF30， DEF 是等腰三角形， DFEF, PEBD,ADB30DE2 ?， QE?, PEF30， EF2, DFE
38、F2； 如图 3， PEBD，ADB30 PED120, 由对称可得，PFDF,EPED,EF 平分PED， 第 27页（共 28页） DEFPEF120， EFD30, DEF 是等腰三角形， PEBD, QDQF? ? ?DF, PEBD,ADB30DE2 ?， QE?,QD3 DF2QD6； DF 的长为 2 或 6； （3）由（2）得，当DQE90时，DF2(如图 2)或 6(如图 3), 当DEQ90时， 第一种情况，如图 4， EF 平分PED, DEF45, 过点 F 作 FMAD 于点 M，设 EMa,则 FMa,DM?a， ?a+a2 ?， a3?,DF62 ?, 2DF62 ?； 第二种情况,如图 5, 第 28页（共 28页） EF 平分AEQ, MEF45, 过点 F 作 FMAD 于点 M，设 EMa,则 FMa,DM?a， ?aa2 ?， a3?,DF6+2 ?, 6+2 ?8, DF 最大值为 8， 6DF8。 综上，DF 长的取值范围为 2DF62 ?或 6DF8
