1、学习探究诊断 数学选修 1-1（文科）测试卷及参考答案单元测试一常用逻辑用语一、选择题1.下列全称命题中真命题的个数为（）末位数是0的整数,可以被2整除；角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；正四面体中相邻两侧面为全等的三角形.（A）1个（B）2个（C）3个（D）0个2.下列特称命题中,真命题的个数是（）xR ,0 x ；至少有一个整数,它既不是合数也不是素数；xx x 是无理数,2x是无理数.（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个3.设M,N是两个集合,则“MN ”是“MN ”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件4.设a,b是向量,命
2、题“若ab ,则ab”的逆命题是（）（A）若ab ,则ab（B）若ab ,则ab（C）若ab,则ab （D）若ab,则ab 5.“1x ”是“1x ”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要条件6.已知实数1a ,命题p：函数212log (2)yxxa的定义域为R,命题:1qx 是xa的充分不必要条件,则（）（A）p或q为真命题（B）p且q为假命题（C）p且q为真命题（D）p或q为真命题二、填空题7.命题“若0 xy ,则0 x ”的逆否命题是_.8.设1e,1e是两个不共线的向量,则向量12()beeR与向量122aee共线的充要条件是_.9.
3、圆220 xyDxEyF与x轴相切的一个充分不必要条件是_.10.已知下列五个命题：“若x,y互为倒数,则1xy ”的否命题；“若1m,则方程220 xxm有实数根”的逆否命题；“素数都是奇数”的否定；“菱形的对角线互相垂直”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的逆命题.其中所有的真命题的序号为_.三、解答题11.已知44Px axa,2430Qx xx且xP是xQ的必要条件,求实数a的取值范围.12.命题p：对任意实数x,有0 xa或0 xb,其中a,b是常数.（1）写出命题p的否定；（2）实数a,b满足什么条件时,命题p的否定为真？13.设函数( )f xx xab,其中, a bR.求证：
4、( )f x为奇函数的充要条件是220ab.14.已知命题: 51pxa和2:2310qxx ,请选取适当的实数a的值,构造命题：“若p则q”,并使得构造的命题为真命题,而其逆命题为假命题,并说明为什么这一命题是符合要求的命题.单元测试二圆锥曲线与方程（一）一、选择题1.抛物线22xy的焦点坐标是（）（A）(1,0)（B）(0,1)（C）1(0, )2（D）1( ,0)22.已知双曲线的离心率为2,焦点是( 4,0),(4,0),则此曲线方程为（）（A）221412xy(B)221124xy（C）221106xy(D)221610 xy3.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于（）
5、（A）13（B）33（C）12（D）324.若抛物线22ypx的焦点与椭圆22162xy的右焦点重合,则p的值为（）（A）2（B）2（C）4（D）45.已知( 1,0)A ,(1,0)B,动点P满足2PAPB,则点P的轨迹方程是（）（A）221xy（B）0y （C）0y , 1,1x （D）22143xy6.若20ma,则双曲线22221xyambm与22221xyab有（）（A）共同的离心率 （B）共同的渐近线（C）共同的焦点（D）共同的顶点二、填空题7.已知双曲线222210 xyab的一条渐近线方程为43yx,则双曲线的离心率为_.8.如果一个椭圆是双曲线221169xy的焦点为顶点、顶
6、点为焦点,那么这个椭圆的方程是_.9.设1A,2A为椭圆2222:1(0)xyCabab的长轴的两个顶点,若其两个焦点将线段12A A三等分,设22cab,则a,b,c的大小关系是_.10.抛物线22ypx上一点(4,)Am到其焦点的距离为5,则pm_.三、解答题11.已知点( 2,0)M ,(2,0)N,点P满足条件4 2PMPN.求动点P的轨迹W的方程及其离心率.12.已知双曲线2212yx 与点(1,2)P,过点P且斜率为1的直线l与双曲线相交于A,B两点,求证：点P是线段AB的中点.13.设F为抛物线2:2(0)C ypx p的焦点,点P为抛物线C上一点,若点P到点F的距离等于点P到直
7、线:1l x 的距离.（1）求抛物线C的方程；（2）设过点(3,2)且斜率为1的直线1l与抛物线C相交于A,B两点,求AB.14.已知曲线C的方程为22(4)1()kxk ykkR.（1）若曲线C是椭圆,求实数k的取值范围；（2）若曲线C是双曲线,且有一条渐近线的倾斜角是60,求此双曲线的方程.单元测试三圆锥曲线与方程（二）一、选择题1.抛物线24(0)yax a的焦点坐标是（）（A）( ,0)a（B）(,0)a（C）(0, )a（D）(0,)a2.双曲线2214xyk的离心率(1,2)e,则实数k的取值范围是（）（A）(0,)（B）(0,12)（C）(0,3)（D）(12,60)3.以双曲线
8、221412xy 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为（）（A）2211612xy（B）2211216xy（C）221164xy（D）221416xy4.双曲线221mxy的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于（）（A）14（B）4（C）4（D）145.一动圆圆心在抛物线24xy上,过点(0,1)且恒与直线l相切,则直线l的方程为（）（A）1x （B）116x （C）1y （D）116y 6.若动点, x y在曲线2221(0)4xybb上变化,则22xy的最大值为（）（A）24,(04)42 , (b4)bbb（B）24,(02)42 , (b2)bbb（C）244b（D）2b二、填空题7.在平面
9、直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点,且过点(2,4)P,则该抛物线的方程为_.8.一座抛物线形拱桥,高水位时,拱顶离水面2m,水面宽4m,当水面下降1m后,水面宽_m.9.已知1F,2F为椭圆的焦点,等边三角形12AFF两边的中点M、N在椭圆上,如图所示,则椭圆的离心率为_.10.已知双曲线22:149xyC,给出以下四个命题,其中真命题的序号是_.双曲线C的渐近方程是32yx ；直线312yx与双曲线有且仅有一个交点；双曲线C与22194yx有相同的渐近线；双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3.三、解答题11.已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截直线21yx所得的弦长为
10、15,求抛物线的方程.12.已知点M( 2,0),N(2,0),点P满足2 2PMPN.（1）求动点P的轨迹W的方程；（2）若以PM为直径的圆过点N,求点P的坐标.13.设双曲线222:1(0)xCyaa与直线:1l xy相交于两个不同的点,A B,求双曲线C的离心率的取值范围.14.已知椭圆222:1xCym（常数1m）,P是曲线C上的一个动点,M是曲线C的右顶点,定点A的坐标为(2,0).（1）若点M与A重合,求曲线C的焦点坐标；（2）若3m,求PA的最大值与最小值；（3）若PA的最小值为MA,求实数m的取值范围.单元测试四导数（一）一、选择题1.函数2( )f xaxc在区间0,内单调递
11、增,则实数, a c应满足（）（A）0a 且0c （B）0a 且0c （C）0a 且c为任意实数（D）0a 且c为任意实数2.设函数cosxyex,则y等于（）（A）cosxex（B）sinxex（C）cossinxxexex（D）cossinxxexex3.函数2( )(1)(1)f xxx的单调递减区间是（）（A）1( 1, )3（B）1( 1,)3（C）11(,)(,)33 （D）1(, 1)(,)3 4.若函数( )sinxf xex,则此图象在(,( )22f处切线的倾斜角为（）（A）0（B）锐角（C）2（D）钝角5.函数( )2cosf xxx在0,2上取最大值时的x值为（）（A）
12、0（B）6（C）4（D）26.设( )fx是函数( )f x的导函数,将( )yf x和( )yfx的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是（）二、填空题7.曲线lnyx在与x轴交点处的切线方程为_.8.函数1xyx,则y _.9.xyxe在R上的最大值是_.10.已知函数3( )128f xxx在区间 3,3上的最大值、最小值分别为,M m,则Mm_.三、解答题11.已知函数3( )3f xxx.（1）求函数( )f x在3 3, 2上的最大值和最小值；（2）过点2, 6P作曲线( )yf x的切线,求此切线的方程.12.求函数( )lnf xxx的最小值.13.设曲线(0)xyex在点
13、( ,)tM t e处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为( )S t.（1）求切线l的方程；（2）求( )S t的最大值.14.已知函数32( )( ,)f xxaxb a bR .（1）若1a ,函数( )f x的图象能否总在直线yb的下方？说明理由；（2）若函数( )f x在0,2上是增函数,求a的取值范围；（3）设123,x xx为方程( )0f x 的三个根,且1( 1,0)x ,2(0,1)x ,3(, 1)x (1,),求证：1a .单元测试五导数（二）一、选择题1.若曲线4yx的一条切线l与直线480 xy垂直,则l的方程为（）（A）430 xy（B）450 xy（C）43
14、0 xy（D）430 xy2.已知函数( )()yf x xR上任一点00,xf x处的切线斜率200(2)(1)kxx,则该函数的单调递减区间为（）（A） 1,) （B）(,2（C）(, 1) 和(1,2)（D）2,)3.可导函数( )f x在0 x处的导数0()0fx是( )f x在0 x处取得极值的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件4.函数2( )(2)1f xxa xa是偶函数,则曲线( )yf x在1x 处的切线方程是（）（A）2yx（B）24yx （C）yx （D）2yx 5.设函数( )yf x的图象如图所示,则函数( )yf
15、x的图象可能是（）6.曲线sinyxx在点(,)2 2 处的切线与x轴,直线x 所围成的三角形的面积为（）（A）22（B）2（C）22（D）21(2)2二、填空题7.曲线3123yx 在点5( 1,)3 处的切线的倾斜角为_.8. 已 知 抛 物 线22yxbxc 在 点(2, 1)处 与 直 线3yx相 切 , 则bc_.9.函数31( )3f xxx 在2( ,10)aa上有最大值,则实数a的取值范围是_.10.曲线1yx和2yx在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是_.三、解答题11.已知3211( )(1)(1)32f xxaxax a.求( )f x的单调区间.12.设
16、kR,函数2( )(2)xf xxxk e的图象在0 x 处的切线过点(1,4).（1）求函数( )f x的解析式；（2）求函数( )f x的单调区间.13.设函数321( )2()3f xxxax aR在其图象上一点(2,)Am处切线的斜率为1.（1）求函数( )f x的解析式；（2）求函数( )f x在区间(1, )bb内的极值.14.设函数2( )lnf xaxbx,其中0ab .证明： 当0ab 时,函数( )f x没有极值点； 当0ab时,函数( )f x有且只有一个极值点,并求出极值.数学选修 1-1 综合检测题一、选择题1.有且只有一个公共点是直线和抛物线相切的（）（A）充要条件
17、（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件2.已知两条不同的直线,m n,两个不同的平面, .给出下面四个命题：,mn mn；,mnmn；,mn mn；,mn mn.其中正确命题的序号是（）（A）（B）（C）（D）3.若双曲线221xy右支上一点( , )P a b到直线xy的距离是2,则ab的值等于（）（A）12（B）12（C）2（D）24.已知点P是以12,F F为焦点的椭圆22221(0)xyabab上一点,若120PF PF ,121tan2PFF,则椭圆的离心率为（）（A）12（B）23（C）13（D）535.二次函数( )yf x的图象过原点,且它的导函数(
18、 )yfx的图象是过第一、二、三象限的一条直线,则函数( )yf x的图象的顶点在（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限6.若函数( )e sinxf xx,则此函数图象在点 4,4f处的切线的倾斜角为（）（A）2（B）0（C）钝角（D）锐角7.如图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（收支差额车票收入-支出费用） ,由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两条建议： 建议 （1）是不改变车票价格,减少支出费用； 建议 （2） 是不改变支出费用,提高车票价格.下面给出四个图象（图 2）.其中说法正确的是（）（A）图 1 反映了建议（2）,图 3 反映了建议（1）（
19、B）图 1 反映了建议（1）,图 3 反映了建议（2）（C）图 2 反映了建议（1）,图 4 反映了建议（2）.（D）图 4 反映了建议（1）,图 2 反映了建议（2）8.过0,3作直线l,若l与双曲线22143xy只有一个公共点,则这样的直线l共有（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条9.已知3( )691f xxx,若( )(1)2f af a,则实数a的取值范围为（）（A）1( ,)2（B）(,1)（C）(0,)（D）(0,1)10.设12,F F分别是双曲线2219yx 的左、右焦点,若点P在双曲线上,且120PF PF ,则12PFPF 等于（）（A）10（B）2 10（C）5
20、（D）2 5二、填空题11.已知:2,: (2)0p aq a a,则p是q的_条件.12.321(2)33yxbxbx在R上不是单调函数,则实数b的取值范围为_.13.已知点( 2,4)A 及焦点为F的抛物线22xy,在这条抛物线上求一点P,使得PAPF的值最小,则点P的坐标为_.14.已知椭圆22212xy,A是x轴正半轴上的一定点,若过点A,斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为4 143,则点A的坐标为_.三、解答题15.已知:p不等式222xxm恒成立,:( )(52 )xq f xm 是减函数,“若p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求实数m的取值范围.16.设双曲线2222:1(0,
21、0)xyCabab的左、右焦点分别为12,F F,且124F F ,一条渐近线的倾斜角为60.（1）求双曲线C的方程和离心率；（2）若点P在双曲线C的右支上,且12PFF的周长为16,求点P的坐标.17.设圆22(1)25xy的圆心为, (1,0)C A是圆内一定点,Q为圆周上任意一点,AQ的垂直平分线与直线CQ交于点M,求点M的轨迹方程.18.已知函数3( )3f xxx.（1）求函数( )f x的极值；（2）求正数a,使得( )f x在, a a上的值域为, a a.19.已知函数321( )( ,)3f xxxaxb a bR .（1）若3a ,试确定函数( )f x的单调区间；（2）若
22、函数( )f x在其图象上任意一点00(,()xf x处切线的斜率都小于22a,求a的取值范围.20.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,一个顶点的坐标为(0, 1)A,且其右焦点到直线2 20 xy的距离为3.（1）求椭圆方程；（2）是否存在斜率为(0)k k 的直线l,使l与已知曲线交于不同的两点M,N,且有AMAN,若存在,求出k的范围；若不存在,请说明理由.测试卷参考答案单元测试一常用逻辑用语一、选择题1.C2.D点拨：xR ,0 x 显然正确,“1”既不是合数,也不是素数,正确,是无理数,而2仍然是无理数,正确,故选 D.3.B点拨：韦恩图易知“MN ”“MN ”,且“MN ”“MN
23、 ”.4.D5.A点拨： 因 “1x ”“1x ” ,反之 “1x ”“1x 或1x ” ,不一定有 “1x ” .6.A点拨：命题p：当1a 时,440a ,即220 xxa恒成立,故函数212log (2)yxxa的 定 义 域 为R, 即 命 题p是 真 命 题 ； 命 题q： 当1a 时111xxxa 但xa11x ,即1x 是xa的充分不必要条件,故命题q也是真命题,故得命题p或q是真命题,因而选 A.二、填空题7.若0 x ,则0 xy .8.12 点拨：ba,则121,所以12 .9.0D ,0E ,0F 点拨：答案不唯一,只需一个即可.10.点拨： 原命题的逆命题是： 若：1x
24、y ,则, x y互为倒数,为真,故否命题为真；易知原命题为真,故其逆否命题为真；“素数都是奇数”的否定是有在素数不是奇数,例如2,是素数,但不是奇数,故“素数都是奇数”的否定为真,三、解答题11.解： 因为44 ,13Px axaQxx,又因为xP是xQ的必要条件,所以xQxP,即QP,所以41,5,43,1,aaaa 即15a .12.解： （1）命题p的否定：对某些实数x,有0 xa且0 xb,其中, a b是常数.（2）要使命题p的否定为真,就是要使关于x的不等式组00 xaxb的解集不为空集.通过画数轴可以看出：, a b应满足的条件是ba.13.证明：充分性：若220ab,则0ab
25、,所以( )f xx x.因为()fxxx ( )x xf x 对一切xR恒成立.所以( )f x是奇函数.必要性：若( )f x是奇函数,则对一切xR,()( )fxf x 恒成立,即xxabx xab .令0 x 得bb ,所以0b ,令xa得20a a ,所以0a ,即220ab.14.解：p：即51xa 或51xa ,所以15ax或15ax.2:2310qxx ,所以12x 或1x .令4a ,则3:5p x 或1x ,此时,pq q p.故可选取的一个实数是4a ,此时可构造命题： 若514x ,则22310 xx .由以上过程可知这一命题为真命题,但它的逆命题为假命题.单元测试二圆
26、锥曲线与方程（一）一、选择题1.C2.A3.D4.D5.C6.C二、填空题7.538.221259xy9.abc10.6 或-2三、解答题11.解：由椭圆定义,知动点P的轨迹是以,M N为焦点的椭圆,且2c ,2 2a ,所以2224bac.所以,轨迹W的方程为22184xy.这个椭圆的离心率为22ca.12.证明：直线l的方程为21 (1)yx ,即1yx,联立方程221,1,2yxyx消去y,得2230 xx,设11(,)A x y,22(,y )B x,则13x ,21x ,所以14y ,20y ,故点(3,4)A,( 1,0)B .所以AB的中点坐标为(1,2),即中点为P.13.解：
27、 （1）由抛物线定义知：抛物线C的准线方程为1x .抛物线方程为标准方程,12p,即2p ,抛物线C的标准方程是24yx.（2）直线:21 (3)AB yx ,即1yx,设11(,)A x y,22(,)B xy,解方程组24 ,1,yxyx消去y,得2610 xx ,126xx,121xx,222121212()()2()ABxxyyxx212122()48xxx x.（注：也可先求出,A B两点的坐标,再求AB.）14.解： （1）因为曲线C是椭圆,所以方程22(4)1kxk yk,可化为221114xykkkk,则10,10,411,4kkkkkkkk解得02k,或24k.（2）因为曲线
28、C是双曲线,所以,当焦点在x轴上时,有110,04kkkk因为有一条渐近线的倾斜角是60,所以214(tan60 )1kkkk由,得6k ,此时双曲线方程为2217762xy；同理,当焦点在y轴上,知无解.所以双曲线方程为2217762xy.单元测试三圆锥曲线与方程（二）一、选择题1.A点拨：因为24yax,0a ,开口向左,所以焦点坐标为( ,0)a,故选 A.2.B点拨：由题意2,4abk ck,所以42ckea,所以4122k,所以244k,解得(0,12)k .3.D点拨：双曲线221124yx的焦点为(0, 4),顶点为(0, 2 3),所以所求椭圆的4a ,2 3c ,则24b ,
29、故求椭圆方程为221416xy.4.A点拨：因为曲线221mxy是双曲线,所以0m,排除 C,D,将14m ,代入已知方程,变为2214xy ,虚轴长为4,而实轴长为2,满足题意,故选 A.5.C点拨：由抛物线定义可知直线l为抛物线的准线,所以为1y .6.A点拨：2222222424(1)2()444ybbxyyybb .因为byb ,所以当204bb,即04b时22xy有最大值244b；当24bb,即4b ,yb时22xy取得最大值2b,故选 A.二、填空题7.28yx点拨：设抛物线方程为22ypx,过(2,4)P,所以164p,所以4p ,所以方程为28yx.8.2 6点 拨 ： 依 题
30、 意 可 设 抛 物 线 方 程 为22(0)xpy p . 将 点(2, 2)代入,222( 2 )p ,所以1p ,所以22xy ,当3y 时26x ,所以6x ,水面宽为2 6m9.31点拨：连接2MF,则等边三角形12AFF中 ,11212MFFFc,212332MFFFc, 由 定 义 知122MFMFa, 即32cca,解得31ca.10.点拨：由渐近线的定义结合图形易判断四个命题全对.三、解答题11.解：依题意：设抛物线方程为22yax,将21yx代入,得242(2)10 xax ,由韦达定理,得12122(2)2,421,4aaxxxx所以弦长为22121245()45154a
31、axxx x,所以6a 或2.即所求的抛物线方程为212yx或24yx .12.解： （1）由双曲线定义知,动点P在以,M N为焦点的双曲线的右支,且2c ,2a .所以2222bca.所以轨迹W的方程为221(2)22xyx.（2）由题意PNMN,所以点P横坐标2Px ,因为P在轨迹W上,所以22122PPxy,解得2Py ,所以(2,2)P.13.解：由C与l相交于两个不同点,故知方程组2221,1xyaxy有两组不同的实根,消去y并整理得2222(1)220axa xa.所以242210,48(1)0,aaaa 解得02a,且1a .双曲线的离心率22111aeaa,因为02a且1a ,
32、所以62e ,且2e .即离心率e的取值范围为6(,2)( 2,)2.14.解： （1）由题意,得2m,椭圆方程为2214xy,4 13c ,左、右焦点坐标为(3,0),( 3,0).（2）3m,椭圆方程为2219xy,设( , )P x y,则222222891(2)(2)1()9942xPAxyxx ,其中33x ,当94x 时,min22PA；当3x 时,max5PA.（3）设动点( , )P x y,则2222222222222124(2)(2)1()5()11xmmmPAxyxxmxmmmmm ,当xm时,PA取最小值,且2210mm,2221mmm且1m,解得112m .单元测试四
33、导数（一）一、选择题1.C2.D3.A4.B5.B6.D二、填空题7.10 xy 8.21(1)x9.110.32三、解答题11.解： （1）2( )3(1)3(1)(1)fxxxx,当 3, 1)x 或3(, 2x时,( )0fx,3 3, 1),(1, 2 为函数( )f x的单调增区间；而当( 1,1)x 时,( )0fx, 1,1 为( )f x的单调减区间.又( 3)18f ,( 1)2f ,(1)2f ,39( )28f ,当3x 时,min( )18f x ；当1x 时,max( )2f x.（2）设切点为3000(,3)Q xxx,则所求切线方程为320000(3)3(1)()
34、yxxxxx,由于切线过点320000(2, 6),6(3)3(1)(2)Pxxxx ,解得00 x 或03x ,所以切线方程为3yx 或1824(3)yx,即30 xy或24540 xy.12.解：已知函数的定义域是(0,),( )ln1fxx,由( )0fx,得1,xxe变化时,( )fx的变化情况如下表：x1(0, )e1e1( ,)e( )fx0所以,( )f x在1(0, )e上单调递减,在1( ,)e上单调递增.所以,函数的最小值为1111( )lnfeeee .13.解： （1）因为( )()xxfxee,所以切线l的斜率为et,故切线l的方程为()ttyee xt.即e(1)0
35、ttxye t.（2）令0y ,得1xt ,令0 x 得(1)tyet,其中0t .211( )|1|(1)|(1)22ttS ttetet,从而211( )(1)(1)(1)22ttS te te tt,因为当(, 1)t 时,( )0S t；当( 1,0)t 时,( )0S t；所以( )S t的最大值为2( 1)Se.14.（1）解：当1a 时,32( )f xxxb ,( 1)2fbb因为( 1)2fbb,所以,函数( )f x的图象不能总在直线yb的下方.（2）解：由题意,得2( )32fxxax ,令( )0fx,解得0 x 或23xa,当0a 时,由( )0fx,解得203ax,
36、所以( )f x在2(,0)3a上是增函数,与题意不符,舍去；当0a 时,由2( )30fxx ,与题意不符,舍去；当0a 时,由( )0fx,解得203xa,所以( )f x在2(0,)3a上是增函数,又( )f x在(0,2)上是增函数,所以223a ,解得3a ,综上,a的取值范围为3,).（3）证明：因为方程32( )0f xxaxb 最多只有3个根,由题意,得在区间( 1,0)内仅有一根,所以( 1)(0)(1)0ffbab同理(0)(1)( 1)0ffbab 当0b 时,由得10ab,即1ab ,由得10ab ,即1ab ,因为11bb ,所以11ab ,即1a ;当0b 时,由得
37、10ab,即1ab ,由得10ab ,即1ab ,因为11bb ,所以1 1ab ,即1a ;当0b 时,因为(0)0f,所以( )0f x 有一根0,这与题意不符.综上,1a .注：在第（3）问中,得到后,可以在坐标平面aOb内,用线性规划方法解,单元测试五导数（二）一、选择题1.A点拨：考查斜率与导数及直线方程基本知识.因为34yx ,由4y 得1x .而1x 时1y ,故l的方程为430 xy.2.B点拨：由导数几何意义知,在(,2上( )0fx,故单调递减.3.B4.A点拨：考查利用导数确定切线方程.由( )f x为偶函数得2a ,即2( )1f xx,从而(1)2f ,切点(1,2)
38、,所以切线为2yx.5.D点拨：由( )yf x图象知有两个极值点,第一个是极大值点,第二个是极小值点,由极值意义知,选 D.6.A点拨：sinyxx在(,)2 2 处切线为yx ,所围成的三角形面积为22.二、填空题7.135点拨：1|1xy ,所以1k ,即倾斜角为135.8.-2点拨：2y |1x,所以9b ,因为(2, 1)在抛物线上,所以11c .9. 2,1)点拨：由于2( )1fxx ,易知在(, 1) 上递减,在 1,1上递增,在(1,)上递减.故函数在2( ,10)aa上存在最大值条件为21,101,(1)( ).aaff a所以21a .10.34点拨：如图,易求2,1AP
39、BPkk .所以1( ,0),(2,0)2AB,故34ABPS.三、解答题11.解：2( )(1)(1)()fxxaxaxxa.当1a 时,令( )0fx,得(,1)和( ,)a 为单调递增区间.令( )0fx,得(1, )a为单调递减区间.当1a 时,令( )0fx,得(, )a和(1,)为单调递增区间.令( )0fx,得( ,1)a为单调递减区间.12.解： （1）22( )(22)(2)(42)xxxfxxexxk exxk e,所以(0)2fk,又因为(0)fk,所以2( )(2)xf xxxk e在0 x 处的切线方程为(2)yk xk,因为点(1,4)在此切线上,代入切线方程解得1
40、k ,所以函数2( )(21)xf xxxe.（2）2( )(43)xfxxxe,令( )0fx,得3x 或1x .当x变化时,( )f x和( )fx的变化情况如下表：x(, 3) 3( 3, 1)1( 1,) ( )fx00( )f x极大值极小值所以函数( )f x的单调递增区间为(, 3) ,( 1,) ,单调递减区间为( 3, 1)13.（1）解：函数( )f x的导数2( )4fxxxa.由题意,得(2)41fa ,所以3a ,故321( )233f xxxx.（2）解：由（1）知2( )43fxxx,由2( )430fxxx,得1x ,或3x .当x变化时,( ),( )fxf
41、x的变化情况如下表：x(,1)1(1,3)3(3,)( )fx00( )f x极大值43极小值0所以,当1b 或13b 时,函数( )f x无极值；当1 1b ,且1b 时,函数( )f x,在1x 时,有极大值43,此时函数无极小值；当13b ,且3b 时,函数( )f x在3x 时,有极小值0,此时函数无极大值；当1 1b ,且3b 时,函数( )f x无极值.故当(,12,34,)b 时,函数( )f x无极值；当(1,2)b时,函数( )f x在1x 时,有极大值43,此时函数无极小值；当(3,4)b时,函数( )f x在3x 时,有极小值0,此时函数无极大值.14.证明：因为2( )
42、ln ,0f xaxbx ab,所以( )f x的定义域为(0,).22( )2baxbfxaxxx.当0ab 时,如果0,0,( )0abfx,( )f x在(0,)上单调递增；如果0,0,( )0abfx,( )f x在(0,)上单调递减,所以当0ab ,函数( )f x没有极值点,当0ab时,2 ()()22( )bba xxaafxx令( )0fx,将1(0,)2bxa （舍去）,2(0,)2bxa.当0,0ab时,( ),( )fxf x随x的变化情况如下表：x(0,)2ba2ba(,)2ba( )fx0( )f x极小值从上表可看出,函数( )f x有且只有一个极小值点,极小值为(
43、)1 ln()222bbbfaa .当0,0ab时,( )fx,( )f x随x的变化情况如下表：x(0,)2ba2ba(,)2ba( )fx0( )f x极小值从上表可看出,函数( )f x有且只有一个极大值点,极大值点为()1 ln()222bbbfaa .综上所述,当0ab 时,函数( )f x没有极值点；当0ab时,若0,0ab时,函数( )f x有且只有一个极小值点,极小值为1 ln()22bba.若0,0ab时,函数( )f x有且只有一个极大值点,极大值为1 ln()22bba.数学选修 1-1 综合检测题一、选择题1.C点拨：与抛物线只有一个交点的直线除了切线外,还有与对称轴平
44、行的宜线及对称轴.2.C点拨：对于，在两平行平面内的直线有两种位置关系：平行或异面；对于，平行线中有一条与平面平行，则另一条可能与平面平行，也可能在平面内，本题主要考查空间想象能力和逻辑推想能力。3.B点拨：点P到直线0 xy的距离22abd，所以2ab，又因为221ab，所以5,434ab 或5,43,4ab （舍）所以12ab4 D点拨： 设c为椭圆的半焦距， 因为120PF PF ， 所以12PFPF， 又121tan2PFF所以22212212212,52 ,912PFPFccPFPFaaPFPF，所以53cea.5C点拨：可设2( )f xaxbx，所以 2fxaxb由于 fx图象是
45、过第一、二、三象限的一条直线，所以20,0ab.因为22( )24bbf xa xaa，所以顶点2,24bbaa在第三象限6C点拨：444sincos2sin 404xxxxyexexe，故选 C7B点拨：斜率表示票价，直线与y轴交点的纵坐标的相反数表示支出8D点拨：两条切线和两条与渐近线平行的直线9.A点拨： 12111f af af af a 令 3169F xf xxx ， 21890Fxx， 所以 F x为奇函数且为增函数，所以 1F aFa，所以1aa ，所以12a 10B二、填空题11.充分不必要12. , 12, 132,2142,0点拨： 设00,0 ,0A xx ， 则0:
46、l yxx.设l与椭圆交于1122,P x yQ xy，由0yxx可得2200342120 xx xx,12043xxx，20122123xx x，所以221212120243623xxxxx xx，所以204 142236233x，所以204x ，因为00 x ，所以02x 三、解答题15.解：因为不等式222xxm恒成立，所以211xm 恒成立，则1m 由 52xf xm 是减函数知521m，所以2m又pq为假，pq为真，所以p，q一真一假若p真q假，可得m无解；若p假q真，可得12m综上，m的取值范围是12m.16.解：(1)设半焦距22cab，则1224FFc，由题意，得224ab，3
47、ba，解得1a ，3b .所以双曲线C的方程为2213yx 所以双曲线的离心率2cea(2)由题意，得121216PFPFFF，则1212PFPF，由双曲线定义，知1222PFPFa，所以127,5PFPF.设点P的坐标为00,xy，其中00 x ，则有2220025PFxy，又点P在双曲线C上，故220013yx 由，解得003,2 6xy或003,2 6,xy 所以点P的坐标为3,2 6或3, 2 617解：因为M是AQ的中垂线上的点，所以MQMA.所以5MCMAMCMQCQ.所以点M的轨迹是以1,0 ,1,0CA为焦点，以5为长轴长的椭圆，5,12ac，所以222214bac，所以点M的
48、轨迹方程是224412521xy18.解：(1) 233fxx令 0fx，所以1x 或1x ，令 0fx，所以11x .所以 f x在 , 1 , 1 上单调递增，在1,1上单调递减所以 12f xf极大值， 12f xf 极小值.(2)若01a，则由(1)知 f x在, a a上为减函数所以 3max3f xfaaaa ， 3min3f xf aaaa ， 解得0a 或2a 均不合题意当1a 时， ,fxf x在, a a上变化如下表xa, 1a11,111,aa fx00 f xfa极大值2极小值-2 f a所以当12a时， f x值域为2,2，此时2a 题设成立当2a 时， f x值域为
49、 ,faf a，所以 ,faaf aa ，所以0a ，2均不合题意.综上，所求正数a的值为219解： （1）因为 32133f xxxxb ，所以 223fxxx ，由 0fx，解得13x ，由 0fx，解得1x 或3x ，所以函数 f x的单调增区间为1,3，减区间为, 1 ，3,(2)因为 22fxxxa ，由题意，得 2222fxxxaa 对任意xR成立，即2222xxaa对任意xR成立，设 22g xxx ，所以 22211g xxxx ，所以当1x 时， g x有最大值1因为对任意xR，2222xxaa成立，所以221aa，解得1a 或12a ，所以，实数a的取值范围为112a aa
50、或20解： （1）设椭圆方程为222210 xyabab，所以1b ，右焦点,00F cc ，所以02 232c，所以2c ，所以2223abc，故方程为2213xy(2)假设满足条件的直线存在，且设其方程为0ykxm k由22,1.3ykxmxy消去y得2221 36330kxkmxm .因为22264 1 3330kmkm ，所以2231mk设1122,M x yN xy,MN中点00,P xy， 则1202321 3xxkmxk ,021 3myk，所以0011yxk ，所以21 32km由得2221 3312kk，所以423210kk ，所以223110kk，所以210k ，所以11k
