（新教材）人教A版（2019）高中数学必修第一册期末复习之一元二次函数、方程和不等式(学生版+教师版）.rar

必修第一册.第二章.一元二次函数、方程和不等式【重要知识点与题型快速预览重要知识点与题型快速预览】 【知识点精解精析知识点精解精析】基础知识点一：不等式的性质基础知识点一：不等式的性质 见课本见课本 P40-41P40-41基础知识点二：一元二次不等式的解集基础知识点二：一元二次不等式的解集二次函数的图象一元二次方程的根有两不同实根有两个相等的实根无实根的解集或一元二次不等式的解集的解集基础知识点三：基本不等式基础知识点三：基本不等式（1）重要不等式，当且仅当时，等号成立（2）基本不等式如果，那么，当且仅当时，等号成立其中，叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数【必知必会题型深度讲解必知必会题型深度讲解】必知必会题型一：一元二次不等式的解法必知必会题型一：一元二次不等式的解法【典型例题典型例题 1】1】解下列不等式：（1）23x2x20；（2）x(3x)x(x2)1；（3）x22x30.【典型例题典型例题 2】2】已知不等式的解集为21460a xx31xx （1）解不等式；（2）b 为何值时，的解集为 R？2220 xa xa230axbx必知必会题型二：含参数的一元二次不等式的解法必知必会题型二：含参数的一元二次不等式的解法在解含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：（1）关于不等式类型的讨论：二次项的系数；（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根（） ，无根（） ；（3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：【典型例题典型例题 3】3】求关于 x 的不等式的解集，其中 a 是常数.2(1)0 xa xa【备用巩固练习题备用巩固练习题】解下列含参数的不等式：（1）；（2）；（3）2220 xaxa2110axa x 230 xmxm必知必会题型三：不等式中恒成立问题的解法必知必会题型三：不等式中恒成立问题的解法（1）含参数的不等式的恒成立问题通过分离参数，把参数的范围问题转化为函数的最值问题在的最大值与最小值存在的条件下，恒成立；恒成立（2）一元二次不等式的恒成立问题对任意实数 均成立对任意实数 均成立若（或）在时恒成立，可利用单调性或分离参数法等求解【典型例题典型例题 4】4】已知不等式在时恒成立，求实数 a 的取值范围.2210axax xR【典型例题典型例题 5】5】当时，一元二次不等式恒成立，求实数的取值范围. 13x ，2280 xxaa必知必会题型四：利用基本不等式证明不等式必知必会题型四：利用基本不等式证明不等式利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件，一正、二正、三相等【典型例题典型例题 6】6】已知都是正实数，求证：., ,a b cabcabbcca【典型例题典型例题 7】7】（1）设，则函数的最小值为_1x 151yxx（2）若正数 x，y 满足，则的最小值为_21xy12xy必知必会题型七：基本不等式的实际应用必知必会题型七：基本不等式的实际应用【典型例题典型例题 8】8】为迎北京冬奥会，某校要设计如图所示的一张矩形宣传广告牌，该广告牌含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三个矩形栏目的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏26000cm10cm之间的中缝空白的宽度为，怎样确定广告矩形栏目长与宽的尺寸（单位：） ，使整个矩形广告牌5cmcm面积最小?【典型例题典型例题 9】9】某村计划建造一个室内面积为 800 平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留 1 米宽的通道，沿前侧内墙保留 3 米宽的空地（1）设矩形温室的一边长为米，请用表示蔬菜的种植面积，并求出的取值范围；xSx（2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少必修第一册.第二章.一元二次函数、方程和不等式参考答案【典型例题典型例题 1】1】【解析】 （1）原不等式可化为 2x23x20，所以(2x1)(x2)2230 xx1x 32x 所求不等式的解集为或； |1x x 32x （2），即为，230axbx2330 xbx若此不等式的解集为，则，解得.R24 3 30b 66b 【典型例题典型例题 3】3】【解析】依题意知方程的根为 x1=，x2=a，2(1)0 xa xa1且一元二次函数 y=x2+(1-a)x-a 的图象是开口向上的抛物线.当 a时，如图 1，原不等式的解集为(a，).11当 a=时，如图 2，原不等式的解集为.1当 a1 时，如图，原不等式的解集为(1，a).综上所述，当 a1 时，原不等式的解集为(a，1)；当 a=1 时，原不等式的解集为；当 a1 时，原不等式的解集为(1，a)【备用巩固练习题备用巩固练习题】【解析】 （1）原不等式等价于，对应方程两根为，20 xaxa212 ,xaxa 比较两根的大小情况，可得当时，不等式的解集为；0a ,2aa当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为0a 0a 2 , aa（2）当时，不等式化为解得0a 10 x 1,x当时，方程的两根为，0a 2110axa x 11x 21xa时，分情况讨论：时，；时，；时，0a 01a11,xa1a 1x1a 1,1xa时，0a 1,1,xa 综上，当时，不等式的解集为；1a 1,1a当时，不等式的解集为；1a 1图1图3图2当时，不等式的解集为；01a11,a当时，不等式的解集为；0a 1,当时，不等式的解集为0a 1,1,a（3）21212mmm m ，即或时， 0m 12m 不等式的解集为；221212,66mmm mmm，即或时，0 0m 12 m不等式的解集为；6m，即时，不等式的解集为. 120m【典型例题典型例题 4】4】【解析】设，则对成立.221yaxax0y x R当时，显然成立；0a 10y 当时，要使恒成立，需函数0a 0y 开口向上，且与 x 轴没有交点，221yaxax即解得.20,(2 )410,aaa 01a综上知，实数 a 的取值范围为. |01aa 【典型例题典型例题 5】5】【解析】对于二次函数，抛物线开口向上，当时，一元二次228yxxa 13x ，不等式恒成立，则当时函数值，且当时函数值.2280 xxa1x 0y 3x 0y 得，解得.所以的取值范围是.1 2809680aa5a a5a 【典型例题典型例题 6】6】证明：，0a 0b 0c ，当且仅当时取等号；20abab ab，当且仅当时取等号；20bcbccb，当且仅当时取等号；20cacaac上述三式相加可得，2() 2()abcabbcca即.当且仅当时，等号成立.abcabbccaabc【典型例题典型例题 7】7】（1），函数，当且仅当时取等号1x Q1115(1)6 2 (1)68111yxxxxxx2x 因此函数的最小值为 8151yxx（2）因为正数 x，y 满足，所以，21xy1244222428xyx yxyxyyxyx当且仅当，即时取等号，所以的最小值为 8，4xyyx11,42xy12xy【典型例题典型例题 8】8】【解析】设矩形栏目的长为，宽为，则，cmacmb20000ab 20000ba整个矩形广告牌的长为，宽为（其中，） ，20 cma330 cmb0a 0b 整个矩形广告牌的面积20330Sab30260600ab400003060600aa，4000030 260600120006060072600aa当且仅当，即时，取等号，此时.40000aa200a 100b 故当矩形栏目的长为，宽为时，可使整个矩形广告牌的面积最小.200cm100cm【典型例题典型例题 9】9】【详解】 （1）矩形的蔬菜温室一边长为米，则另一边长为米，x800 x因此种植蔬菜的区域面积可表示，80042Sxx由得：；4080020 xx4400 x（2）800160016004280828084Sxxxxxx，2808 160648m当且仅当，即时等号成立1600 xx404,400 x 因此，当矩形温室的两边长、宽分别为 40 米，20 米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m必修第一册.第二章.一元二次函数、方程和不等式【重要知识点与题型快速预览重要知识点与题型快速预览】 【知识点精解精析知识点精解精析】基础知识点一：不等式的性质基础知识点一：不等式的性质 见课本见课本 P40-41P40-41基础知识点二：一元二次不等式的解集基础知识点二：一元二次不等式的解集二次函数的图象一元二次方程的根有两不同实根有两个相等的实根无实根的解集或一元二次不等式的解集的解集基础知识点三：基本不等式基础知识点三：基本不等式（1）重要不等式，当且仅当时，等号成立（2）基本不等式如果，那么，当且仅当时，等号成立其中，叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数【必知必会题型深度讲解必知必会题型深度讲解】必知必会题型一：一元二次不等式的解法必知必会题型一：一元二次不等式的解法【典型例题典型例题 1】1】解下列不等式：（1）23x2x20；（2）x(3x)x(x2)1；（3）x22x30.【答案】 （1）；（2）或；（3）R.122xx |0.5x x 1x【解析】（1）原不等式可化为 2x23x20，所以(2x1)(x2)2230 xx1x 32x 所求不等式的解集为或； |1x x 32x （2），即为，230axbx2330 xbx若此不等式的解集为，则，R24 3 30b 解得.66b 必知必会题型二：含参数的一元二次不等式的解法必知必会题型二：含参数的一元二次不等式的解法在解含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：（1）关于不等式类型的讨论：二次项的系数；（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根（） ，无根（） ；（3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：【典型例题典型例题 3】3】求关于 x 的不等式的解集，其中 a 是常数.2(1)0 xa xa【答案】当 a1 时，原不等式的解集为(1，a).【解析】解依题意知方程的根为 x1=，x2=a，且一元二次函数 y=x2+(1-a)x-a 的图象是开口向2(1)0 xa xa1上的抛物线.当 a时，如图，1一元二次函数 y=x2十(1a)xa 的图象与 x 轴从左至右有两个交点(a，0)与(，0)，所以原不等式的解集1为(a，).1当 a=时，如图，1一元二次函数 y=x2+(1a)xa 的图象与 x 轴只有一个交点(1，0).所以原不等式的解集为.当 a1 时，如图，一元二次函数 y=x2十(1a)x-a 的图象与 x 轴从左至右有两个交点(1，0)与(a，0).所以原不等式的解集为(1，a).综上所述，当 a1 时，原不等式的解集为(a，1)；当 a=1 时，原不等式的解集为；当 a1 时，原不等式的解集为(1，a)【备用巩固练习题备用巩固练习题】解下列含参数的不等式：（1）；2220 xaxa（2）；2110axa x （3）230 xmxm【答案】 （1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】（1）原不等式等价于，20 xaxa对应方程两根为，212 ,xaxa 比较两根的大小情况，可得当时，不等式的解集为；0a ,2aa当时，不等式的解集为；0a 当时，不等式的解集为0a 2 , aa（2）当时，不等式化为解得0a 10 x 1,x当时，方程的两根为，0a 2110axa x 11x 21xa时，分情况讨论：0a 时，；01a11,xa时，；1a 1x时，1a 1,1xa时，0a 1,1,xa 综上，当时，不等式的解集为；1a 1,1a当时，不等式的解集为；1a 1当时，不等式的解集为；01a11,a当时，不等式的解集为；0a 1,当时，不等式的解集为0a 1,1,a（3）21212mmm m ，即或时， 0m 12m 不等式的解集为；221212,66mmm mmm，即或时，0 0m 12 m不等式的解集为；6m，即时，不等式的解集为. 120m必知必会题型三：不等式中恒成立问题的解法必知必会题型三：不等式中恒成立问题的解法（1）含参数的不等式的恒成立问题通过分离参数，把参数的范围问题转化为函数的最值问题在的最大值与最小值存在的条件下，恒成立；恒成立（2）一元二次不等式的恒成立问题对任意实数 均成立对任意实数 均成立若（或）在时恒成立，可利用单调性或分离参数法等求解【典型例题典型例题 4】4】已知不等式在时恒成立，求实数 a 的取值范围.2210axax xR【答案】 |01aa 【解析】设，则对成立.221yaxax0y x R当时，显然成立；0a 10y 当时，要使恒成立，需函数0a 0y 开口向上，且与 x 轴没有交点，221yaxax即解得.20,(2 )410,aaa 01a综上知，实数 a 的取值范围为. |01aa 【典型例题典型例题 5】5】当时，一元二次不等式恒成立，求实数的取值范围. 13x ，2280 xxaa【答案】5a 【解析】对于二次函数，抛物线开口向上，当时，一元二次不等式228yxxa 13x ，2280 xxa恒成立，则当时函数值，且当时函数值.1x 0y 3x 0y 得，解得.1 2809680aa5a 所以的取值范围是.a5a 必知必会题型四：利用基本不等式证明不等式必知必会题型四：利用基本不等式证明不等式利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件，一正、二正、三相等【典型例题典型例题 6】6】已知都是正实数，求证：., ,a b cabcabbcca【答案】见解析【解析】证明：，0a 0b 0c ，当且仅当时取等号；20abab ab，当且仅当时取等号；20bcbccb，当且仅当时取等号；20cacaac上述三式相加可得，2() 2()abcabbcca即.当且仅当时，等号成立.abcabbccaabc【典型例题典型例题 7】7】（1）设，则函数的最小值为_1x 151yxx【详解】，函数，当且仅当时取等号1x Q1115(1)6 2 (1)68111yxxxxxx2x 因此函数的最小值为 8151yxx（2）若正数 x，y 满足，则的最小值为_21xy12xy【详解】因为正数 x，y 满足，所以，21xy1244222428xyx yxyxyyxyx当且仅当，即时取等号，所以的最小值为 8，4xyyx11,42xy12xy必知必会题型七：基本不等式的实际应用必知必会题型七：基本不等式的实际应用【典型例题典型例题 8】8】为迎北京冬奥会，某校要设计如图所示的一张矩形宣传广告牌，该广告牌含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三个矩形栏目的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏26000cm10cm之间的中缝空白的宽度为，怎样确定广告矩形栏目长与宽的尺寸（单位：） ，使整个矩形广告牌5cmcm面积最小?【答案】当矩形栏目的长为，宽为时，可使整个矩形广告牌的面积最小；200cm100cm【解析】解：设矩形栏目的长为，宽为，cmacmb则，20000ab 20000ba整个矩形广告牌的长为，宽为（其中，） ，20 cma330 cmb0a 0b 整个矩形广告牌的面积20330Sab30260600ab400003060600aa，4000030 260600120006060072600aa当且仅当，即时，取等号，此时.40000aa200a 100b 故当矩形栏目的长为，宽为时，可使整个矩形广告牌的面积最小.200cm100cm【典型例题典型例题 9】9】某村计划建造一个室内面积为 800 平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留 1 米宽的通道，沿前侧内墙保留 3 米宽的空地（1）设矩形温室的一边长为米，请用表示蔬菜的种植面积，并求出的取值范围；xSx（2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少【答案】 （1），；（2）长、宽分别为 40 米，20 米时，蔬菜的种植面80042Sxx4400 x积最大，最大种植面积为2648m【详解】解：（1）矩形的蔬菜温室一边长为米，则另一边长为米，x800 x因此种植蔬菜的区域面积可表示，80042Sxx由得：；4080020 xx4400 x（2）800160016004280828084Sxxxxxx，2808 160648m当且仅当，即时等号成立1600 xx404,400 x 因此，当矩形温室的两边长、宽分别为 40 米，20 米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m