1、1高中数学高中数学必修必修 2第六章第六章 平面向量平面向量设为ABC所在平面上一点，角, ,A B C所对边长分别为, ,a b c，则（1）O为ABC的外心222OAOBOC .（2）O为ABC的重心0OAOBOC .（3）O为ABC的垂心OA OBOB OCOC OA .（4）O为ABC的内心0aOAbOBcOC .【6.1】平面向量的概念1、向量的定义及表示（向量无特定的位置，因此向量可以作任意的平移）（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示：有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度；向量的表示：2、向量的有关概念：相等向量是平行（共线）向量，但平行（共线
2、）向量不一定是相等向量向量名称定义零向量长度为 0 的向量，记作 0单位向量长度等于 1 个单位长度的向量平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，向量 a，b 平行，记作 ab，规定：零向量与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量；向量 a，b 相等，记作 ab【6.2】平面向量的运算1、向量的加法（1）定义：求两个向量和的运算.（2）运算法则：向量求和的法则图示几何意义三角形法则使用三角形法则时要注意“首尾相接”的条件，而向量加法的平行四边法则应用的前提是共起点已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作? ?a，? ?b，则向量? ?叫做 a 与 b 的和，记作 ab，即 a
3、b? ? ? ?平行四边形法则以同一点 O 为起点的两个已知向量 a，b，以 OA，OB 为邻边作 OACB，则以 O 为起点的向量? ?（OC 是 OACB 的对角线）就是向量 a 与 b 的和（3）规定：对于零向量与任意向量 a，规定 a00aa.（4）位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型；力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.2（5）一般地我们有|ab|a|b|，当且仅当 a，b 方向相同时等号成立.（6）向量加法的运算律与实数加法的运算律相同2、向量的减法（1）相反向量（利用相反向量的定义，? ? ?就可以把减法转化为加法）定义：我们规定，与向量 a 长度相等，方
4、向相反的向量，叫做 a 的相反向量性质：对于相反向量有：a（a）0；若 a，b 互为相反向量，则 ab，ab0；零向量的相反向量仍是零向量（2）向量减法运算（向量的减法是向量加法的一种逆运算）定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法.aba（b），减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量.几何意义：ab 表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量.3、向量的数乘运算（实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算）（1）定义：规定实数与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：a，它的长度和方向规定如下：|a|a|；当0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当0 时，a 的方
5、向与 a 的方向相反.由可知，当0 时，a0；由知，（1）aa.（2）运算律：设，为任意实数，则有：（a）（）a；（）aaa；（ab）ab；特别地，有（）a（a）（a）；（ab）ab.（3）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算结果仍是向量.对于任意向量 a，b，以及任意实数，1，2，恒有（1a2b）1a2b.（4）共线向量定理：向量 a（a0）与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使 ba.也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.4、向量的数量积（1）向量的夹角：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是0，而两直线夹角的范围
6、为 ?，?（2）向量的夹角的定义：已知两个非零向量 a，b，O 是平面上的任意一点，作向量? ?a，? ?b，则aOb（0）叫做向量 a 与 b 的夹角.当0 时，a 与 b 同向；当时，a 与 b 反向.如果 a 与 b 的夹角是?，我们说 a 与 b 垂直，记作 ab.（3）向量的数量积及其几何意义：向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正可负可为 0（4）向量的数量积的定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos叫做向量 a 与 b 的数量积（或内积），记作 ab，即 ab|a|b|cos.规定：零向量与任一向量的数量积为 0.（5）投影：如图，设 a
7、，b 是两个非零向量，? ?a，? ?b，我们考虑如下变换：过? ?的起点 a 和终点 b，分别作? ?所在直线的垂线，垂足分别为 A1，B1得到?，我们称上述变换为向量 a 向向量 b 投影，?叫做向量 a 在向量 b 上的投影向量.（6）向量数量积的性质设 a，b 是非零向量，它们的夹角是，e 是与 b 方向相同的单位向量，则aeea|a|cosabab0当 a 与 b 同向时，ab|a|b|；当 a 与 b 反向时，ab|a|b|，3特别地，aa|a|2或|a| ?.在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方|ab|a|b|.（7）运算律：abba；（ab）cacbc（8）运算性
8、质：类比多项式的乘法公式【6.3】平面向量基本定理及坐标表示1、平面向量基本定理（定理中要特别注意向量 e1与向量 e2是两个不共线的向量）条件：e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论：对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数1，2，使 a1e12e2基底：不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2、平面向量的坐标表示（1）基底：在平面直角坐标系中，设与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为 i，j，取i，j作为基底.（2）坐标：对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数 x，y，使得 axiyj，则有序数对（x，y）叫做向量 a 的
9、坐标.（3）坐标表示：a（x，y）.（4）特殊向量的坐标：i（1，0），j（0，1），0（0，0）.（5）平面向量的加减法坐标运算（可类比实数的加减运算法则进行记忆）设向量 a（x1，y1），b（x2，y2），R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和ab（x1x2，y1y2）减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差ab（x1x2，y1y2）重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知 A（x1，y1），B（x2，y2） ，则? ?（x2x1，y2y1）（6）平面向量数乘运算的坐标表示设向量 a（x，y），则有a（
10、x，y），这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.（7）平面向量共线的坐标表示：设 a（x1，y1），b（x2，y2），其中 b0.向量 a，b（b0）共线的充要条件是 x1y2x2y10.（8）中点坐标公式：若 P1，P2的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），线段 P1P2的中点 P 的坐标为（x，y），则 ? =? =?.此公式为线段 P1P2的中点坐标公式.（9）两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量 a（x1，y1），b（x2，y2），a 与 b 的夹角为.数量积：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：abx1x2y1y2向量
11、垂直：abx1x2y1y20（10）与向量的模、夹角相关的三个重要公式向量的模：设 a（x，y），则|a| ? ?.两点间的距离公式：若 A（x1，y1），B（x2，y2），则|? ?| （?）?（?）?.向量的夹角公式：设两非零向量 a（x1，y1），b（x2，y2），a 与 b 的夹角为，则? =?=? ?4【6.4】平面向量的应用1、平面几何中的向量方法用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；（3）把运算结果“翻译”成几何关系.2、向量在物理中的应用举例
12、（1）向量与力：向量是既有大小，又有方向的量，它们可以有共同的起点，也可以没有共同的起点.而力是既有大小和方向，又有作用点的量.用向量知识解决力的问题时，往往把向量平移到同一作用点上.（2）向量与速度、加速度、位移：速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算.（3）向量与功、动量：力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即 WFs|F|s|cos（为 F 和 s 的夹角）.动量 m实际上是数乘向量.3、余弦定理、正弦定理（1）余弦定理的表示
13、及其推论（SAS、SSS、SSA）文字语言： 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.符号语言：2222cosabcbcA；2222cosbcacaB；2222coscababC.在ABC 中，有2222cosabcbc，推论：222cos2bcabc （2）解三角形：一般地，三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.（3）正弦定理的表示（AAS、SSA）文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径.符号语言： 在ABC 中， 角 A
14、， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 则2sinsinsinabcRC（R 为ABC的外接圆的半径）（4）正弦定理的变形形式变形形式是在三角形中实现边角互化的重要公式设三角形的三边长分别为 a，b，c，外接圆半径为 R，正弦定理有如下变形：2 sinaR，2 sinbR，2 sincRC； sin2aR ，sin2bR ，sin2cCR；: :sin:sin:sina b cC；（5）三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac （6）相关术语仰角和俯角： 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方
15、时叫俯角，如图所示.5方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角， 如 B 点的方位角为（如图 1 所示）.方位角的其他表示方向角正南方向：指从原点 O 出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依此可类推正北方向、正东方向和正西方向.东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线（如图 2 所示）.（7）解三角形应用题解题思路：基本步骤：运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型.求解：利用正
16、弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.6第七章第七章 复数复数【7.1】复数的概念1、数系的扩充和复数的概念（1）复数的定义：形如 abi（a，bR）的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，全体复数所构成的集合 Cabi|a，bR叫做复数集.（2）复数通常用字母 z 表示，代数形式为 zabi（a，bR），其中 a 与 b 分别叫做复数 z 的实部与虚部.（3）复数相等：在复数集 Cabi|a，bR中任取两个数 abi，cdi（a，b，c，dR），我们规定：abi 与 cdi 相等当且仅当 ac 且 bd.（4）复数的分类对于复数
17、abi（a，bR），当且仅当 b0 时，它是实数；当且仅当 ab0 时，它是实数 0；当 b0 时，叫做虚数；当 a0 且 b0 时，叫做纯虚数.这样，复数 zabi（a，bR）可以分类如下：复数实数（?）虚数（? ?）（当 ? 时为纯虚数），集合表示：2、复数的几何意义（1）复平面（复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部）（2）复数的几何意义复数 zabi（a，bR）一一对应? 复平面内的点 z（a，b）.复数 zabi（a，bR）一一对应? 平面向量?t? ?.（3）复平面上的两点间的距离公式：22122121|()()dzzxxyy（111zxy i，222zxy i
18、） .（4）复数的模定义：向量?t? ?的模叫做复数 zabi（a，bR）的模或绝对值.记法：复数 zabi 的模记为|z|或|abi|.公式：|z|abi| ? ?（a，bR）.如果 b0，那么 zabi 是一个实数，它的模就等于|a|（a 的绝对值）.（5）共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数 z 的共轭复数用? ?表示，即如果 zabi，那么? ?abi.7（6）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。（7）解复数方程若240bac ，在复数集C内有且仅有两个共轭复数
19、根22(4)(40)2bbac ixbaca .【7.2】复数的四则运算1、复数的加、减运算及其几何意义（1）复数的加法法则运算法则：设 z1abi，z2cdi（a，b，c，dR）是任意两个复数，那么（abi）（cdi）（ac）（bd）i，两个复数的和仍然是一个确定的复数.复数加法的几何意义：如图，复数 z1z2是以?t?，?t?为邻边的平行四边形的对角线?t? ?所对应的复数.加法运算律：对任意 z1，z2，z3c，有 z1z2z2z1，（z1z2）z3z1（z2z3）.复数加法的几何意义：两个向量?t?与?t?的和就是与复数（ac）（bd）i 对应的向量，复数的加法可以按照向量的加法来进行
20、.（2）复数的减法法则运算法则：复数的减法是加法的逆运算；设 z1abi，z2cdi 是任意两个复数，则（abi）（cdi）（ac）（bd）i，两个复数的差是一个确定的复数.复数减法的几何意义：如图，复数 z1z2是从向量?t?的终点指向向量?t?的终点的向量t?t?所对应的复数.2、复数的乘、除运算（1）复数的乘法运算复数的乘法法则：设 z1abi，z2cdi（a，b，c，dR），则 z1z2（abi）（cdi）（acbd）（adbc）i.复数乘法的运算律对任意复数 z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1乘法对加法的分配律z1（z2z3）z1z2z1z3结合律（z1z2）z3z1（z2
21、z3）（2）复数的除法运算设 z1abi，,z2cdi（cdi0），则?=?=（?）（? ?）（?）（? ?）=? ? ? ? ? ?复数的除法的实质是分母实数化.若分母为 abi 型，则分子、分母同乘 abi；若分母为 abi 型，则分子、分母同乘 abi.3、几个重要的结论2222121212|2(| )zzzzzz22|zzzz若z为虚数，则22| zz4、运算律mnm nzzz()mnmnzz1212()( ,)nnnzzzzm nR85、关于虚数单位 i 的一些固定结论：21i 3ii 41i 2340nnnniiii【7.3】复数的三角表示1、复数的三角表示式（1）复数的三角形式：
22、一般地，任何一个复数 zabi 都可以表示成 r(cosisin)的形式，其中，r 是复数 z 的模；是以 x 轴的非负半轴为始边，向量?t? ?所在射线(射线 OZ)为终边的角，叫做复数 zabi 的辐角，r(cosisin)叫做复数 zabi 的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，abi 叫做复数的代数表示式，简称代数形式.（2）辐角主值：规定在 0有且只有一个平面，使 A、B、C。基本事实 1 作用：确定一个平面的依据。（2）基本事实基本事实 2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。符号表示为
23、：Al，Bl，A，B=l基本事实 2 作用：判断直线是否在平面内（3）基本事实基本事实 3：如果两个不重合的平面有一个公共点如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P=l，且 PlDCBA12基本事实 3 作用：判定两个平面是否相交的依据4、基本事实 1 和基本事实 2 的三个推论（1）经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面符号表示为：A l=存在唯一的，使 A，l（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面经过两条相交直线，有且只有一个平面符号表示为：lm=A=存
24、在唯一的，使 l，m（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面经过两条平行直线，有且只有一个平面符号表示为：lm=存在唯一的，使 l，m5、空间中直线与直线之间的位置关系空间的两条直线有如下三种关系：共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点6、空间中直线与平面的位置关系直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内有无数个公共点（2）直线与平面相交有且只有一个公共点（3）直线在平面平行没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a 来表示aa=Aa7、空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面有
25、三种位置关系：（1）两个平面平行没有公共点（2）两个平面相交无数个公共点（在同一直线上）/=a【8.5】空间直线、平面的平行1、直线与直线平行（1）基本事实 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：ab，cb=ac强调：基本事实 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。基本事实 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。（2）空间四边形：顺次连接不共面的四点 A、B、C、D 所构成的图形。ABCD13（3）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补符
26、号表示为：OAOA，OBOB且同向=AOB=AOB等角定理作用：判定与证明两个角相等。2、直线与平面平行（1）直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a，b，ab=a（2）直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a，a，=b=ab作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。3、平面
27、与平面平行（1）两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行则这两个平面平行。简记为：线面平行则面面平行。符号表示：a，b，ab=P，a，b=证明方法：反证法（2）两个平面平行的判定定理的推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。两条直线，那么这两个平面平行。符号表示：a，b，ab=P，a，b，ab=P，a，b=（3）平面与平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。如果两个平面同时与第三个
28、平面相交，那么它们的交线平行。简记为：面面平行则线线平行。符号表示：，=a，=b=ab（4）两平面平行的相关性质若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线都和另一个平面平行（，a=a）夹在两个平行平面间的两条平行线段相等平行平面具有传递性及平行于同一平面的两个平面平行（，=）两条直线被三个平行平面所截截得的对应线段成比例4、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。【8.6】空间直线、平面垂直1、异面直线所成的角两条异面直线所成的角（0，?）；当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ab；两条直线互相垂直，有共
29、面垂直与异面垂直两种情形；计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2、直线与平面垂直（1）定义：如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面互相垂直，记作 l，直线 l 叫做平面的垂线，平面叫做直线 l 的垂面。如图，直线与平面垂直时，它们唯一公共点 P 叫做垂足。符号表示：任意 a，都有 la=l（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。符号表示：a，b，ab=P，la，lb=Pl143、直线与平面所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射
30、影所成的锐角。当直线与平面垂直时，规定这条直线与该平面成直角。当直线与平面平行或在平面内时，规定这条直线与该平面成 0角。（2）范围：斜线与平面所成的角的范围是 090（3）求法：作出斜线在平面上的射影；（4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。4、直线与平面垂直的性质定理：（1）直线与平面垂直的性质定理 1：垂直于平面的直线与平面内任意一条直线垂直。垂直于平面的直线与平面内任意一条直线垂直。简记为：线面垂直则线线垂直。符号表示：l，b=lb（2）直线与平面垂直的性质定理 2：垂直于同一个平面的两条直线平行。垂直于同一个平面的两条直线平行。简记为：线面垂直则线线平行
31、。作用：作平行线。符号表示：a，b=a/b5、点面距、线面距、面面距（1）点面距：过一点做垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离点面距 AO 范围：AO0（2）线面距：一条直线与一个平面平行直线条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离当直线 l 与平面相交或 l时，直线 l 到平面的距离为 O（3）面面距：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等我们把它叫做这两个平行平面间的距离当平面与平面相交时，平面到平面的距离为 O6、平面与平面垂直（1）二面角的概念：表示从空间一直线出
32、发的两个半平面所组成的图形二面角的记法：二面角l或AB或 PlQ 或 PABQ.（2）平面与平面垂直：两个平面相交两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂就说这两个平面互相垂直。直。符号表示：（3）两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。简记为：线面垂直则面面垂直。符号表示：AB，AB=（4）平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，则这条直线与另一个平面垂直。
33、线，则这条直线与另一个平面垂直。简记为：面面垂直则线面垂直。作用：作平面的垂线。符号表示：，=l，a，al=15第九章第九章 统计统计【9.1】随机抽样1、在统计学里，我们把所要考察对象的全体叫做总体，把总体中个体的总数叫做总体容量总体中的每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本其中个体的个数称为样本容量2、简单随机抽样：也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。3、简单随机抽样常用的方法：在简单随机抽样的样本容量设计中， 主要考虑： 总体变异情况； 允许误差范围； 概率保证程度。（1）抽签法的一般步骤：将总体的个体编号；连续抽
34、签获取样本号码适用于：总体中个体数相对较少特点：每个样本单位被抽中的可能性相同（等可能性）；总体中个体数有限（有限性）；从主体中逐个抽取（逐一性）（2）随机数表法的步骤：将总体的个体编号；在随机数表中选择开始数字；读数获取样本号码适用于：总体中个体数相对较多4、总体平均数与样本平均数（1）总体平均数（总体均值）：一般地，总体中有 N 个个体，它们的变量值分别为 Y1，Y2，YN，则称?=?=?=?（2）加权平均数：如果总体的 N 个变量值中，不同的值共有 k（kN）个，不妨记为 Y1，Y2，Yk，其中 Yi出现的频数 fi（i=1，2，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式?=?=?（3）
35、样本平均数（样本均值）：如果从总体中抽取一个容量为 n 的样本，他们的变量值分别为 y1，y2，yn，则称? ? =?=?=?5、分层抽样（1）分层抽样（类型抽样）：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。抽样比样本量总样本量（2）分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。分层标准： 调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突
36、出总体内在结构的变量有明显分层区分的变量（3）分层的比例问题：按比例分层抽样不按比例分层抽样（4）在分层随机抽样中，如果层数分为 2 层，第 1 层和第 2 层包含的个体数分别为 M 和 N，抽取的样本量分别为 m 和 n.我们用 X1，X2，XM表示第 1 层各个个体的变量值，用 X1，X2，Xm表示第 1 层样本的各个个体的变量值； 用 Y1， Y2， ， YN表示第 2 层各个个体的变量值， 用 y1， y2， ，yn表示第 2 层样本的各个个体的变量值，则：第 1 层的总体平均数和样本平均数分别为?=?=?=? ? =?=?=?第 2 层的总体平均数和样本平均数分别为?=?=?=? ?
37、 =?=?=?总体平均数和样本平均数分别为? ?=?=? ? =?=?16在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数? ?估计总体平均数? ?，即? ?=? ? ? ? =? ? ? ? = ? ?6、获取数据的基本途径获取数据的基本途径适用类型注意问题通过调查获取数据对于有限总体问题， 一般通过抽样调查或普查的方法获取数据要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效地避免抽样过程中的人为错误通过试验获取数据没有现存的数据可以查询严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量通过观察获取数据自然现象借助专业测量设备通过长久的持续观察获取数据通过查询获得数据众多专家研
38、究过， 其收集的数据有所存储必须根据问题背景知识“清洗”数据去伪存真【9.2】用样本估计总体1、画频率分布直方图的步骤（画频率分布直方图时，纵坐标表示频率与组距的比值，而不是频率）（1）求极差：极差是一组数据中最大值与最小值的差.（2）决定组距与组数：当样本容量不超过 100 时，常分成 512 组，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”.（3）将数据分组.（4）列频率分布表：一般分四列，即分组、频数累计、频数、频率.其中频数合计应是样本容量，频率合计是 1.（5）画频率分布直方图：横轴表示样本数据，纵轴表示频率组距.小长方形的面积组距频率组距频率.各小长方形的面积和等于 1.）2、其他统计图
39、表扇形图直观描述各类数据占总数的比例条形图和直方图直观描述不同类别或分组数据的频数和频率折线图描述数据随时间的变化趋势3、第 p 百分位数（1）定义：（第 50 百分位数就是中位数，中位数是百分位数的特例，百分位数是中位数的推广）一般地，一组数据的第 p 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100p）%的数据大于或等于这个值.（2）计算一组 n 个数据的第 p 百分位数的步骤第 1 步，按从小到大排列原始数据第 2 步，计算 inp%第 3 步，若 i 不是整数，而大于 i 的比邻整数为 j，则第 p 百分位数为第 j 项数据；若 i 是整数，则
40、第p 百分位数为第 i 项与第（i1）项数据的平均数（3）四分位数：25%，50%，75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数， 其中第 25 百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第 75 百分位数也称为第三四分位数或上四分位数174、总体集中趋势的估计（1）众数、中位数和平均数的定义众数：一组数据中出现次数最多的数中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数.如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数（2）众数、中位数和平均数的比较名称优点缺点众数体现了样本数据的最大集中点众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对
41、极端值不敏感中位数不受少数几个极端数据 （即排序靠前或靠后的数据）的影响对极端值不敏感平均数与中位数相比， 平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，数据越“离群”，对平均数的影响越大5、总体离散程度的估计（1）一组数据 x1，x2，xn的方差和标准差若数据 x1，x2，xn的平均数为? ?，则数据 x1，x2，xn的方差为?=?（? ? ?）?标准差为?=?（? ? ?）?（2）总体方差和标准差如果总体中所有个体的变量值分别为 Y1， Y2， ， YN， 总体的平均数为?， 则称?=?（? ?）?为总体方差，S ?为总体标准差如果总体中
42、所有个体的变量值分别为 y1，y2，yn，总体的平均数为? ?，则称?=?（? ? ?）?为总体方差，s h?为总体标准差（3）加权方差：如果总体的 N 个变量值中，不同的值共有 k（kN）个，不妨记为 Y1，Y2，Yk，其中 Yi出现的频数为 fi（i1，2，k），则总体方差为?=?（? ?）?18第十章第十章 概率概率【10.1】随机事件与概率1、有限样本空间与随机概率（1）随机试验对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母 E 表示研究具有以下特点的随机试验：试验可以在相同条件下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些可能结果中的
43、一个，但事先不能确定出现哪一个结果（2）样本空间把随机试验 E 的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验 E 的样本空间，一般地，用表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有 n 个可能结果1，2，n，则称样本空间1，2，n为有限样本空间（3）随机事件、必然事件、不可能事件一般地，随机试验中每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，把样本空间的子集称为随机事件， 简称事件， 并把只包含一个样本点的事件称为样本点， 随机事件一般用大写字母 A，B，C，表示，当且仅当 A 中某个样本点出现时，称为事件 A 发生作为自身的子集，包含了所有样本点，在每次试验中总有一个样本
44、点发生，所以总会发生，称为必然事件空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，称为不可能事件2、事件的关系和运算（1）事件的关系（对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件）定义表示法图示包 含关系若事件 A 发生， 事件 B 一定发生， 称事件 B 包含事件 A（或事件 A 包含于事件 B）BA（或 AB）互 斥事件如果事件 A 与事件 B 不能同时发生，称事件 A与事件 B 互斥（或互不相容）若 AB ，则 A 与 B 互斥对 立事件如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件 A 与事件 B 互为对立，事件 A 的对立事件记为?若 AB ， 且 AB， 则A 与
45、B 对立（2）事件的运算定义表示法图示并事件事件 A 发生事件 B 不发生；事件 A不发生事件 B 发生；事件 A 和事件B 同时发生事件 A 与事件 B 至少有一个发生，称这个事件为事件 A 与事件 B 的并事件（或和事件）AB（或 AB）交事件事件 A 与事件 B 同时发生，称这样一个事件为事件 A 与事件 B 的交事件（或积事件）AB（或 AB）19（3）事件关系或运算的含义事件关系或运算含义符号表示包含A 发生导致 B 发生AB并事件（和事件）A 与 B 至少一个发生AB 或 AB交事件（积事件）A 与 B 同时发生AB 或 AB互斥（互不相容）A 与 B 不能同时发生AB互为对立A
46、与 B 有且仅有一个发生AB ，AB3、古典概型（1）概率：对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率.事件 A 的概率用 P（A）表示（2）古典概型：（有限性与等可能性是判断古典概型的两个重要依据）定义：一般地，若试验 E 有如下特征：有限性：样本空间的样本点只有有限个可能性：每个样本点发生的可能性相等.我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型（3）计算公式应用公式的关键是分清样本空间中样本点的个数及事件 A 中包含的样本点的个数一般地，设试验 E 是古典概型，样本空间包含 n 个样本点，事件 A 包含其中的 k 个样本点，则定义事件
47、A 的概率 ?=（?）（?），其中 n（A）和 n（）分别表示事件 A 和样本空间包含的样本点的个数4、概率的基本性质性质 1：对任意的事件 A，都有 P（A）0性质 2：必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，即 P（）1，P（ ）0性质 3：如果事件 A 与事件 B 互斥，那么 P（AB）P（A）P（B）性质 4：如果事件 A 与事件 B 互为对立事件，那么 P（B）1P（A），P（A）1P（B）性质 5：如果 AB，那么 P（A）P（B）性质 6：设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，我们有 P（AB）P（A）P（B）P（AB）【10.2】事件的相互独立性1、相互独立事件：对任意
48、两个事件 A 与 B，如果 P（AB）P（A）P（B）成立，则称事件 A 与事件B 相互独立，简称为独立.2、相互独立事件的性质：如果事件 A 与 B 相互独立，那么?与 B，A 与?，?与?也相互独立.【10.3】频率与概率1、频率的稳定性（频率是概率的估计值，概率是频率的稳定值）大量的试验证明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件 A 发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数 n 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件 A 发生的频率 fn（A）会逐渐稳定于事件 A 发生的概率 P（A），我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此我们可以用频率 fn（A）估计概率 P（A）.2、随机
49、模拟（1）随机数的产生应用计算器或计算机产生随机数时要特别注意遵照随机数产生的方法进行， 切不可随意改变其步骤顺序和操作程序，否则会出现错误.20标号：把 n 个大小、形状相同的小球分别标上 1，2，3，n搅拌：放入一个袋中，把它们充分搅拌摸取：从中摸出一个.这个球上的数就称为从 1n 之间的随机整数，简称随机数.（2）伪随机数的产生规则：依照确定的算法.特点：具有周期性（周期很长）性质：它们具有类似随机数的性质.计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数，我们称为伪随机数.（3）产生随机数的常用方法：用计算器产生；用计算机产生；抽签法.（4）随机模拟方法（蒙特卡洛方法）：利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概率， 这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法
