1、福清龙西中学福清龙西中学 2018-20192018-2019 学年度高一下学期期中考试试卷数学学年度高一下学期期中考试试卷数学一、选择题（共一、选择题（共 1212 小题，每题小题，每题 5 5 分共分共 6060 分，只有一个选项正确，分，只有一个选项正确，请把答案写在答题卷上请把答案写在答题卷上）1.在ABC中，sinsinAB等于（）A.baB.abC.ABD.coscosAB【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理变形后易得结论【详解】由正弦定理得sinsinabAB，所以sin sinAaBb故选 B【点睛】本题考查正弦定理的变形，解题时由正弦定理可直接得到结论，属于简单题2.若0a
2、 ，01b，那么()A.2aababB.2ababaC.2abaabD.2ababa【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质比较判断即可求解.【详解】因为01b，所以21bb，又0a ，所以2aabab，故选：B【点睛】本题主要考查了不等式的性质，考查了推理分析能力，属于容易题.3.下列命题中正确的是()A. 若正数, ,a b c是等差数列，则2 ,2 ,2abc是等比数列B. 若正数是, ,a b c等比数列，则2 ,2 ,2abc是等差数列C. 若正数是, ,a b c等差数列，则222log,log,logabc是等比数列D. 若正数是, ,a b c等比数列，则是222log,lo
3、g,logabc等差数列【答案】D【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的性质，结合对数的运算性质，逐一判断真假，可得答案.【详解】若正数a, b,c是等差数列，则2a, 2b, 2c是等差数列，但不一定是等比数列，例如，1,2,3 是等差数列，2,4,6 是等差数列，但不是等比数列，故 A 错误;若正数a，b，c是等比数列，则2a，2b, 2c是等比数列，但不一定是等差数列，例如，1，2，4 成等比数列，2,4,8 成等比数列，不是等差数列，故 B 错误;若正数a, b,c是等差数列，但222log,log,logabc中可能有 0，不能做为等比数列的项,故 C 错误;若正数a, b, c是
4、等比数列，则2222222logloglogloglog,bbacac故222log,log,logabc成等差数列，故 D 正确.故选：D【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了等差数列和等比数列的定义，熟练掌握等差，等比数列的定义及性质是解答的关键，属于中档题.4.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为（）A.90B.120C.135D.150【答案】B【解析】【详解】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为 8 与 5，设长为 7 的边所对的角为，则最大角与最小角的和是 180-，有余弦定理可得，cos=25644912 5 82 ，易得=60，则最大角与最小
5、角的和是 180-=120，故选 B5.不等式20(0)axbxca的解集为，那么()A.0,0a B.0,0a C.0,0a D.0,0a 【答案】C【解析】【分析】由二次不等式解集为，结合二次函数图象及二次方程可知满足的条件.【详解】因为不等式20(0)axbxca的解集为，所以对应的二次函数2yaxbxc开口向上，与x轴无交点或只有一个交点即可，所以需满足0,0a .故选：C【点睛】本题主要考查了二次不等式与二次函数、二次方程的关系，由不等式的解求参数满足的范围，属于容易题.6.设, x y为正数， 则14xyxy的最小值为 ( )A. 6B. 9C. 12D. 15【答案】B【解析】【
6、分析】整理后可用基本不等式求最小值.【详解】1444552549xyx yxyxyyxyx，当且仅当2yx时等号成立，故最小值为 9，选 B.【点睛】本题考查不等式的应用，属于容易题.7.已知等差数列 na中，26a ，515a ，若2nnba，则数列 nb的前 5 项和等于（ ）A. 30B. 45C. 90D. 186【答案】C【解析】由21151634153aadaaadd，33(1)3nann，26nnban，所以56305902S8.在ABC中，若22tantanAaBb，则ABC的形状是A. 等腰或直角三角形B. 直角三角形C. 不能确定D. 等腰三角形【答案】A【解析】【分析】题
7、设中的边角关系可以转化为sin2sin2AB，故可判断三角形的形状.【详解】有正弦定理有2222tan4sintan4sinARABRB，因sin0A ，故化简可得sincossincosAABB即sin2sin2AB，所以222ABk或者222ABk，kZ.因,0,0,A BAB，故AB或者2AB，所以ABC的形状是等腰三角形或直角三角形.故选 A.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.9.设等差数列 na前n项和为nS，若19a ，356aa ，则当nS取最小值时，n等于()A. 5B. 6C.
8、7D. 8【答案】A【解析】【分析】由等差数列 na中19a ，356aa ，可求出公差，写出等差数列的求和公式，利用二次函数求最值即可.【详解】因为等差数列 na中19a ，356aa ，所以11246adad ，即612d ，解得2d ，所以2(1)92102nn nSnnn ，故当5n 时，2min()510 525nS ，故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的计算，求和公式，二次函数求最值，属于中档题.10.ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c成等比数列，且2ca，则cosB等于（）A.14B.34C.23D.24【答案】B【解析】【分析】, ,a b c
9、成等比数列，可得2bac，又2ca，可得222ba，利用余弦定理即可得出【详解】解：, ,a b c成等比数列，2bac，又2ca，222ba，则222222423cos2224acbaaaBacaa故选 B【点睛】本题考查了等比数列的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11.ABC中三个角的对边分别记为a、b、c，其面积记为S，有以下命题：21sinsin2sinBCSaA；若2cossinsinBAC，则ABC是等腰直角三角形；222sinsinsin2sinsincosCABABC；2222(+)sin()()sin()abABabAB， 则ABC是等腰或直角三角形.其中
10、正确的命题是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角函数恒等变换对各个命题进行判断【详解】由sinsinabAB得sinsinaBbA代入in12sSabC得21sinsin2sinBCSaA，正确；若2cossinsinBACsin()sincoscossinABABAB，cossincossin0BAAB，in0()sAB，,A B是三角形内角，0AB，即AB，ABC为等腰三角形，错；由余弦定理2222coscababC，又sinsinsinabcABC，222sinsinsin2sinsincosCABABC，正确；2222(+)
11、sin()()sin()abABabAB，则2222sin()sincoscossinsin()sincoscossinabABABABabABABAB，22sincoscossinaABbAB，由正弦定理得22sincossinsincossinABAABB，三角形中sin0,sin0AB，则sincossincosAABB，sin2sin2AB，22AB或22AB，AB或2AB，正确故选：D【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查三角形形状的判断，由正弦定理进行边角转化在其中起到了重要的作用，解题时注意体会边角转换12.将等差数列 1， 4， 7， 按一定的规则排成了如图所
12、示的三角形数阵.根据这个排列规则，数阵中第 20 行从左至右的第 3 个数是_【答案】577【解析】【分析】由等差数列的特征得到等差数列的通项公式32nan,再根据三角形数阵的特点找出第 20行 3 列的数代入公式计算即可.【详解】由题意可得等差数列的通项公式为32nan，由三角形数阵的特点可知第 20 行 3列的数为：1 234193193 ,过数阵中第 20 行 3 列的数是数列的第 193 项，中1933 1932577a .【点睛】本题考查学生的观察能力以及数列的简单知识.本题解题的关键是找到三角形数阵中数排列的规律.二、填空题（共二、填空题（共 4 4 小题，每小题小题，每小题 4
13、4 分，共分，共 1616 分，分，请把答案写在答题卷上请把答案写在答题卷上）13.若nS是数列 na的前n项和，且2nSn，则345aaa_.【答案】21【解析】【分析】直接由nS的定义计算【详解】22345525221aaaSS故答案为：21【点睛】本题考查数列的前n项的概念，属于基础题14.在ABC中，sin:sin:sin2:5:6ABC ，则cosC的值为_.【答案】720【解析】【分析】由正弦定理化角为边，再由余弦定理计算【 详 解 】sin:sin:sin2:5:6ABC ， 由 正 弦 定 理 得: :2:5:6a b c ， 设2 ,5 ,6ak bk ck，则2222224
14、25367cos22 2520abckkkCabkk 故答案为：720【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，属于基础题15.ABC中，5a ，3b ，cosC是方程25760 xx的根，则ABCS_.【答案】6【解析】【分析】解方程求出cosC，再利用同角三角函数的基本关系：22cossin1CC求出sinC，利用三角形的面积公式1sin2ABCSabC即可求解.【详解】257605320 xxxx，解得135x ，12x ，因为1cos1C ，所以3cos5C ，因为C为三角形的内角，所以24sin1 cos5CC，由5a ，3b ，所以114sin5 36225ABCSabC ，故答案为：6
15、【点睛】本题考查了三角形的面积公式、同角三角函数的基本关系，熟记公式是解题的关键，属于基础题.16.已知x、y都为正数，且4xy，若不等式14mxy恒成立，则实数m的取值范围是_.【答案】9,4【解析】【分析】利用基本不等式求出14xy的最小值，即可得出实数m的取值范围.【 详 解 】x、y都 为 正 数 ， 且4xy， 由 基 本 不 等 式 得14144xyxyxy445259yxyxxyxy，即1494xy，当且仅当2yx时，等号成立，所以，14xy的最小值为94，94m.因此，实数m的取值范围是9,4.故答案为：9,4.【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题，利用基本不等式求出最值是解答
16、的关键，考查计算能力，属于中等题.三、解答题（三、解答题（6 6 题，共题，共 7474 分，要求写出解答过程或者推理步骤）分，要求写出解答过程或者推理步骤）17.若不等式2520axx的解集是1|22xx（1）求a的值；（2）求不等式151axax【答案】 （1）2a （2） | 21xx 【解析】【分析】（1）根据方程与不等式关系，可知2520axx的两个根分别为12和 2，结合韦达定理即可求得a的值；（2）代入a的值，可得1231xx通过移项，通分、合并同类项，即可解不等式【详解】 （1）依题意知，0a 且2520axx的两个实数根为12和 2由韦达定理可得1522a ，解得2a （2）
17、将2a 代入不等式得1231xx即12301xx，整理得(2)01xx即(1)(2)0 xx，解得21x ，故不等式的解集为 | 21xx 【点睛】本题考查了一元二次方程与二次不等式的关系，分式不等式的解法，特别注意解分式不等式不能够去分母，属于基础题18.如图，货轮在海上 B 处，以 50 海里/时的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为 155o的方向航行，为了确定船位，在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为 125o半小时后，货轮到达 C 点处，观测到灯塔 A 的方位角为 80o求此时货轮与灯塔之间的距离（答案保留最简根号） 【答案】25 22海里【解析】【详解】 应该
18、解ABC,根据条件可求出BCA180o155o80o105o， BAC180o30o105o45o, BC150252,所以应用正弦定理解之即可在ABC 中，ABC155o125o30oBCA180o155o80o105o，BAC180o30o105o45o，BC150252，由正弦定理，得00sin30sin45ACBCAC00sin30sin45BC=25 22（海里）答：船与灯塔间的距离为25 22海里.19.（1）已知数列na的前n项和222nSnn，求通项公式na；（2）已知等比数列na中，332a ，392S ，求通项公式na.【答案】 （1）1,123,2nnann； （2）32
19、na 或1162nna .【解析】【分析】（1）由题意结合数列na与nS的关系，按照1n 、2n 分类讨论即可得解；（2）由题意结合等比数列的通项公式可得21219(1)232aqqa q，解出方程后，再利用等比数列的通项公式即可得解.【详解】 （1）当1n 时，111aS；当2n 时，22122121223nnnaSSnnnnn，当1n 时，1123a ；故有1,123,2nnann；（2）由题意可得2312312319(1)232Saaaaqqaa q，化简得2210qq ，解得1q 或12q ，所以1321aq或1612aq ，由11nnaa q可得32na 或1162nna .【点睛】
20、本题考查了利用数列na与nS的关系求数列的通项公式，考查了等比数列通项公式的基本量运算，属于基础题.20.在ABC中,内角ABC的所对的边是abc,若1coscossinsin2BCBC（1）求A；（2）若2 3,4abc,求ABC的面积.【答案】 （1）23.（2）3【解析】【分析】(1)根据余弦的差角公式化简,并利用三角形内角和为利用诱导公式求解即可.(2)利用余弦定理可得4bc ,再代入面积公式求解即可.【详解】(1)1coscossinsincos()cos()cos2BCBCBCAA 1cos2A ,又(0, )A,23A.(2)由余弦定理有：22222()21cos222bcabc
21、abcAbcbc ,又因为2 3,4abc,16 122211422bcbcbcbc 23,sin32AA,113sin43222ABCSbcA 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换在解三角形中运用,同时也考查了解三角形中余弦定理与面积公式的运用,属于基础题.21.某工厂用 7 万元钱购买了一台新机器，运输安装费用 2 千元，每年投保、动力消耗的费用也为 2 千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为 2 千元，第二年为 3 千元，第三年为 4 千元，依此类推，即每年增加 1 千元.（1）求使用n年后，保养、维修、更换易损零件的累计费用S（千元）关于n的表达式；（2）问这台
22、机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用（单位：千元）的最小值.（最佳使用年限是指使年平均费用最小的时间，年平均费用=（购入机器费用+运输安装费用+每年投保、动力消耗的费用+保养、维修、更换易损零件的累计费用）机器使用的年数）【答案】 （1）(3)2nnS； （2）最佳年限是 12 年，平均费用为 15.5 千元.【解析】【分析】(1)根据已知可得保养、维修、更换易损零件的费用成等差数列，根据首项公式，可得累计费用的表达式;(2) 由(1)得到平均费用的表达式，结合基本不等式可得年平均费用的最小值.【详解】 （1）因为第一年为 2 千元，第二年为 3 千元，第三年为 4 千元，每年增加 1
23、千元，故每年的费用构成一个以 2 为首项，以 1 为公差的等差数列，所以前 n 年的总费用(3)23(1)2nnSn （2）设使用n年的年平均费用为y，则7022(3)/ 2ynn nn7277312 362222nn当且仅当12n 时，取等号，取最小值故最佳年限是 12 年，平均费用为 15.5 千元.【点睛】本题主要考查了等差数列求和，基本不等式，分析题意,提炼出数学模型是解答的关键，属于中档题.22.已知等差数列 na满足：， na的前 n 项和为nS（）求通项公式na及前 n 项和nS；（）令=211na(nN*)，求数列 nb的前 n 项和nT【答案】 （）21nan；nS=2n +
24、2n； （）nT=n4(n+1)【解析】试题分析： （1）结合已知中的等差数列的项的关系式，联立方程组得到其通项公式和前 n 项和（2）在第一问的基础上，得到 bn 的通项公式，进而分析运用裂项法得到解： （）设等差数列 na的公差为 d，由已知可得112721026adad，解得13,2ad，2 分，所以321)=2n+1nan（；4 分nS=n(n-1)3n+22=2n +2n6 分（）由（）知2n+1na ，所以=211na=21=2n+1)1（114 n(n+1)=111(-)4n n+19 分所以nT=111111(1-+-)4223n n+1=11(1-)=4n+1n4(n+1)即数列 nb的前 n 项和nT=n4(n+1)12 分考点：本试题主要考查了等差数列的通项公式以及前 n 项和的求解运用点评：解决该试题的关键是能得到等差数列的通项公式，然后求解新数列的通项公式，利用裂项的思想来得到求和易错点就是裂项的准确表示
