1、数学数学第第卷（选择题共卷（选择题共 5050 分）分）一一. .选择题选择题（本大题共本大题共 1010 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 5050 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一项是符合题目要求的）项是符合题目要求的）1.sin59 cos89cos59 sin89的值为（）A.12B.12C.32D.3【答案】A【解析】【分析】由两角差的正弦公式化简计算【详解】sin59 cos89cos59 sin891sin(5989 )sin( 30 )2 故选：A【点睛】本题考查两角差的正弦公式，属于基础题2.在ABC中，16,10,sin3abA
2、，则sinB （）A.15B.59C.53D. 1【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理求得sinB的值.【详解】由正弦定理得sinsinabAB，所以6101sin3B，解得5sin9B .故选：B【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题.3.已知1cos4，则sin(2 )2（）A.18B.18C.78D.78【答案】D【解析】【分析】由题由诱导公式结合二倍角公式即可得解.【详解】由题得sin22=22172 =2cos12148cos .故选 D【点睛】本题主要考查二倍角余弦公式和三角函数求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.若4sincos3，且(0
3、,)4，则sincos的值是（）A.23B.32C.32D.23【答案】A【解析】【分析】对4sincos3两边平方，可得72sincos=9，进而可得22sincos=9，再根据(0,)4，可知sincos，由此即可求出结果.【详解】因为4sincos3，所以216sincos1+2sincos=9，所以72sincos=9，所以22sincos=1 2sincos=9，又(0,)4，所以sincos所以sinco2s=3.故选：A.【点睛】本题主要考查了同角的基本关系，属于基础题.5.ABC中，已知5,60 ,5 3ABCbAS，则c等于（）A. 4B. 16C. 21D.21【答案】A【
4、解析】【分析】根据面积公式1sin2ABCSbcA可求得边c【详解】解：5,60 ,5 3ABCbAS，1sin2ABCSbcA15sin605 32c 解得4c 故选：A【点睛】本题主要考查了三角形面积公式的运用考查了学生对基础公式的熟练应用，属于基础题6. 边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是 （ ）A.75B.90C.135D.120【答案】D【解析】试题分析：设中间角为,那么，即,那么最大角和最小角的和为，故选 D.考点：余弦定理7.已知nS为公差不为 0 的等差数列 na的前n项和，9182mSa，则m（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】由91
5、8S 得1=24ad，再化简2ma 即得解.【详解】由题得193618ad，所以1=24ad.由题得24(1)2,d0,5dmdm.故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的通项和前 n 项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.首项为 2,公比为 3 的等比数列na的前n项和为nS,则（）A.322nnaSB.322nnaSC.22nnaSD.34nnaS【答案】B【解析】【分析】计算12 3nna,31nnS ,对比选项得到答案.【详解】根据题意知：12 3nna,1 32311 3nnnS,故322nnaS.故选：B.【点睛】本题考查了等比数列通项公式,前n项和,意在考查学生的计
6、算能力.属于基础题.9.在ABC中，已知sin2sincosABC，则该三角形的形状是（）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理的角化边公式以及余弦定理的角化边公式，求解即可.【详解】sin2sincosABC，22222abcabab，整理得bc即该三角形为等腰三角形故选：C【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状，属于中档题.10.已知等差数列 na满足12332,40aaa，则na前 12 项之和为（）A.144B. 80C. 144D. 304【答案】D【解析】【分析】根据条件，求出等差数列通项公式
7、，写出408 ,5408840,6nn nannn，利用等差数列求和公式求前 5 项与后 7 项的和，相加即可.【 详 解 】 为23123643408aaaddd ， 所 以408nan. 所 以408 ,5408840,6nn nannn，所以前12项之和为5 (320)7 (856)8022430422.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和求和公式，属于中档题.处理含绝对值的数列问题时，可考虑去绝对值号写成分段函数的形式.第第卷（非选择题共卷（非选择题共 7070 分）分）二二. .填空题（本大题共填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020
8、分）分）11.若2cos()sin()0 xx，则tan()4x_.【答案】3【解析】【分析】由条件通过诱导公式和同角三角函数基本关系求出tan x，进而利用两角和的正切公式可求出tan()4x【详解】解：由已知得2cossin0 xx，所以tan2x ，所以tantan124tan341 21tantan4xxx ，故答案为：3【点睛】本题考查三角公式的应用，是基础题12.中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里， 九日走1260里，第一日，第四日，第七日所走之和为390里，则该男子的第三日走的里数为_【答案】120【解析】【分析】将题目转化成数学语言，得到等差数列关
9、系，求出首项和公差，再求第三日走的里数，即数列的第三项.【详解】 因为男子善走， 日增等里， 可知每天走的里数符合等差数列， 设这个等差数列为 na，其公差为d，前n项和为nS.根据题意可知，91471260,390Saaa，法一：19955991260,1402aaSaa147443390,130aaaaa，5410daa，34120aad.法二：91471260390Saaa，11119 891260236390adaadad解得110010ad所以312120aad【点睛】本题考查文字描述转化数学语言的能力，等差数列求和和通项以及基本性质，属于简单题.13.在ABC中，角A，B，C的对边
10、分别为a，b，c，则满足10a ，18b ，30A的三角形解的个数是_.【答案】2【解析】【分析】直接利用正弦定理得到答案.【详解】根据正弦定理得到：sinsinabAB，故9sin10B ，91sinsin10BA.故满足条件的三角形共有2个.故答案为：2.【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形的个数问题，意在考查学生的应用能力.14.已知数列na的通项公式1(1)nan n，则前 2019 项和2019S_.【答案】20192020.【解析】【分析】首先由通项形式可裂项为11111nan nnn，再根据裂项相消法求和.【详解】11111nan nnn201911111111.223342
11、0192020S12019120202020 .故答案为：20192020【点睛】本题考查裂项相消法求和，重点考查基本方法，属于基础题型.三三. .解答题（本大题共解答题（本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 1010 分，共分，共 5050 分）分）15.已知5sin25，.（1）求sin()4的值；（2）求5cos(2 )6的值.【答案】 （1）1010； （2）3 3410【解析】试题分析：(1)要求sin()4的值，根据两角和的正弦公式，可知还要求得cos，由于已知(, )2，所以cos0，利用同角关系可得； （2）要求5cos(2 )6，由两角差的余弦公式我们知要先求得sin2
12、 ,cos2，而这由二倍角公式结合（1）可很容易得到.本题应该是三角函数最基本的题型，只要应用公式，不需要作三角函数问题中常见的“角”的变换，“函数名称”的变换等技巧，可以算得上是容易题，当然要正确地解题，也必须牢记公式，及计算正确.试题解析： （1）由题意，所以22 52510sin()sincoscossin()444252510 （2）由（1）得4sin22sincos5 ，23cos22cos15 ，所以55533143 34cos(2 )coscos2sinsin2()666252510 【考点】三角函数的基本关系式，二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦公式16.已知na为等差数列，且
13、36a ，60a .（1）求na的通项公式；（2）若等比数列 nb满足13b ，245baa，求 nb的前n项和公式【答案】 （1）212nan ； （2）3(21)nnS 【解析】【分析】（1）将已知条件转化为1,a d的形式列方程组，解方程组求得1,a d，进而求得数列na的通项公式.（2）将已知条件转化为1,b q的形式列方程组，解方程组求得1,b q，进而求得数列 nb的前n项和公式.【详解】 （1）设等差数列na的公差为d.因为366,0aa，所以112650adad，解得110,2ad .所以10(1) ( 2)212nann .（2）设等比数列 nb的公比为q.因为24516,3
14、baab，所以36q ，即2q =.所以 nb的前n项和公式为1(1)3(21)1nnnbqSq.【点睛】 本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算， 考查等比数列通项和前n项和的基本量计算，属于基础题.17.已知函数f(x)32sin2x+cos2x.（1）求函数f(x)的最小正周期和最大值；（2）求函数f(x)的单调递增区间.【答案】 （1）T=，最大值32（2）,36kkkZ【解析】【分析】利用降次公式和辅助角公式化简 fx表达式，（1）根据 fx表达式求得 fx的最小正周期和最大值.（2）根据三角函数单调区间的求法，求得 fx的单调递增区间.【详解】2331cos2( )sin2co
15、ssin2222xf xxxx3111sin2cos2sin 222262xxx（1）所以 fx的最小正周期22T，最大值为13122.（2）令222262kxk，解得,36kxkkZ，所以 fx的单调递增区间为,36kkkZ.【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式、辅助角公式，考查三角函数最小正周期、最值和单调区间的求法，属于基础题.18.在ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边， 且222sinsinsinsinsinABCAB （1）求角C的大小；（2）若7c ，8ab，求ABC的面积.【答案】 （1）23； （2）15 34【解析】【分析】(1)根据正弦定理将角转换为边,再利用
16、余弦定理求解即可.(2)根据余弦定理可求得15ab ,再根据面积公式求解即可.【详解】解： （1）222sinsinsinsinsinABCAB ,由正弦定理可得,222abcab ,由余弦定理有,2221cos22abcCab 0C,23C（2）由（1）可得,222abcab ,即22()abcab,又7c ,8ab,15ab ABC的面积11315 3sin152224SabC【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式解三角形的问题,属于中等题型.19.公差不为 0 的等差数列 na，2a为1a4a的等比中项，且36S .（1）求数列 na的通项公式；（2）设2nnnba，求数列 nb
17、的前n项和nT.【答案】 （1）nan； （2）2nnbn，12 212nnn nT.【解析】【分析】(1)根据等比中项的性质与等差数列的基本量法求解即可.(2)利用分组求和与等差等比数列的求和公式求解即可.【详解】(1)设等差数列 na的公差为d则因为2a为1a,4a的等比中项,故222141113aa aadaad,化简得1ad.又36S 故113362adad.故11ad,11naandn.即nan.(2)22nnnnban,故12121 222.21 2 .22.2nnnTnn 12 212 1212122nnn nn n.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解与分组求和、等差等比数列的公式求和等.属于基础题.
