1、高考数学中双变量极值与比值代换高考数学中双变量极值与比值代换 例例 5.5.已知函数已知函数 1 2lnf xxax x 有两个不同的极值点有两个不同的极值点 1 x、 、 212 xxx . . （1 1）求实数）求实数a的取值范围；的取值范围； （2 2）若）若3a ，求证：，求证： 1 1x ，且，且 12 12 4 2ln2 3 f xf x xx . . 解解： （1 1） 1 2lnf xxax x ，定义域为，定义域为0,， 2 22 121 2 axax fx xxx . . 由题意可知，方程由题意可知，方程 2 210 xax 在在 0, 上有两个不等的实根上有两个不等的实根
2、 1 x、 、 2 x， ， 则则 2 12 12 80 1 0 2 0 2 a x x a xx ，解得，解得2 2a . . 因此，实数因此，实数a的取值范围是的取值范围是 2 2,； ； （2 2）由题意可知，）由题意可知， 1 x、 、 2 x为方程 为方程 2 210 xax 的两个实根，的两个实根， 由于由于 12 xx ，则，则 2 1 8 4 aa x ， 当当3a 时，时， 2 81a ， 2 1 8 1 4 aa x ， 由（由（1 1）可知）可知 12 12 2 1 2 a xx x x ， 1 12 1212 212112 12121221212 11 2ln 2 2l
3、n x xxa f xf xxxxxxxxx xxxxxxxx xxx 1 122 11 1 1222 2 41 4 2ln2ln 1 x xxxxx x xxxx x ， 2 1 1 2 22 x x x ，令，令 1 2 2 x t x ，设，设 41 2ln 1 t h tt t ，2t . . 2 22 2182 0 11 t h t t tt t ，所以，函数，所以，函数 yh t 在在 2,上单调递减， 上单调递减， 所以，所以， 4 22ln2 3 h th，因此，因此， 12 12 4 2ln2 3 f xf x xx . . 除了用比值代换外，双变量极值问题亦可用对数均值不等
4、式予以证明，即除了用比值代换外，双变量极值问题亦可用对数均值不等式予以证明，即 对数均值不等式：若对数均值不等式：若), 0(,yx，则，则 2lnln yx xy xy xy . . 例例 6.6.（20182018 全国全国 1 1 卷）已知函数卷）已知函数xax x xfln 1 )(. . （1 1）讨论）讨论)(xf的单调性；的单调性； （2 2）若）若)(xf存在两个极值点存在两个极值点 21,x x，证明：，证明：2 )()( 21 21 a xx xfxf . . （1 1）略）略. . （2 2）证明：由（）证明：由（1 1）可得，当）可得，当2a时，时，)(xf存在两个极值点存在两个极值点 21,x x. . 且且 21,x x是是 导函数导函数 2 2 1 )( x axx xf 的两零点，故的两零点，故1 21 xx. . 由于由于1 )ln(ln1 1 )ln(ln 11 )()( 21 21 2121 21 21 21 21 21 xx xxa xxxx xxa xx xx xx xfxf ，由对，由对 数均值不等式可知数均值不等式可知1 1 1 )ln(ln1 21 21 21 21 21 xx xxa xx xxa xx ，代入，代入1 21 xx可可 得：得： 2 )()( 21 21 a xx xfxf ，证毕，证毕. .
