1、高考数学中双变量放缩高考数学中双变量放缩. . 双变量放缩主要指切割线放缩，此时题干所给函数具有明显的凸凹性，我们双变量放缩主要指切割线放缩，此时题干所给函数具有明显的凸凹性，我们 可以借助切线不等式的原理将某些变量进行合理的放缩得到结果可以借助切线不等式的原理将某些变量进行合理的放缩得到结果. . 4.4.已知函数已知函数 2 1 x x f x e ( (e为自然对数的底数为自然对数的底数).). (1)(1)求函数求函数 f x的零点的零点 0 x，以及曲线，以及曲线 yf x在在 0 xx处的切线方程；处的切线方程； (2)(2)设方程设方程 f xm( (0m ) )有两个实数根有两
2、个实数根 1 x， 2 x，求证：，求证： 12 1 21 2 xxm e . . 解解： （1 1）曲线曲线 yf x在在1x 处的切线方程为处的切线方程为21ye x. .曲线曲线 yf x在在1x 处处 的切线方程为的切线方程为 2 1yx e . . （2 2） 分别求出分别求出曲线曲线 yf x在在1x 处的切线方程为处的切线方程为21ye x. .以及在以及在0 x处的切线处的切线 方程方程1xy. .再分别求出上述两条切线与再分别求出上述两条切线与my 的交点横坐标的交点横坐标. . 1 2 ) 1(2 1 e m x my xey , ,以及以及mx my xy 1 1 2 .
3、 . 如上图可知如上图可知) 2 1 1 (2) 1 2 (1| 2 121 e m e m mxxxx. .证毕证毕. . 点评点评： 如图如图， 我们用两条切线与我们用两条切线与my 的交点横坐标来估计出的交点横坐标来估计出mxfy)(的两零的两零 点差值的范围点差值的范围. .同时要注意，倘若我们选择同时要注意，倘若我们选择 yf x在在1x 处的切线方程为处的切线方程为 2 1yx e 来放缩零点的话会得不到想要的结果，因为这条切线并没有将来放缩零点的话会得不到想要的结果，因为这条切线并没有将 yf x包在其下方包在其下方. . 1 1. .已知函数已知函数 2 1 x x f x e
4、 ( (e为自然对数的底数为自然对数的底数).). (1)(1)求函数求函数 f x的零点的零点 0 x，以及曲线，以及曲线 yf x在在 0 xx处的切线方程；处的切线方程； (2)(2)设方程设方程 f xm( (0m ) )有两个实数根有两个实数根 1 x， 2 x，求证：，求证： 12 1 21 2 xxm e . . 2 2已知函数已知函数 0 x f xxbeab在点在点1,1f处的切线方程为处的切线方程为 110exeye . . （1 1）求）求； （2 2） 设曲线设曲线 yf x与与x轴负半轴的交点为点轴负半轴的交点为点P， 曲线在点曲线在点P处的切线方程为处的切线方程为 yh x， 求证：对于任意的实数求证：对于任意的实数x，都有，都有 f xh x； （3 3）若关于）若关于x的方程的方程 f xm有两个实数根有两个实数根 1 x， 2 x，且，且 12 xx，证明：，证明： 21 1 2 1 1 me xx e . .
