1、高考数学中极值点偏移高考数学中极值点偏移 3.1.3.1.极值点偏移现象极值点偏移现象 （1 1） . .已知函数已知函数)(xf的图象的极值点的图象的极值点为为 0 x， 若若cxf)(的两根的中点刚好满足的两根的中点刚好满足 12 0 2 xx x 即极值点在两根的正中间即极值点在两根的正中间，此时此时极值点没有偏移极值点没有偏移，函数函数)(xf在在 0 xx 两侧，函数值变化快慢相同，如图两侧，函数值变化快慢相同，如图(1)(1) （2 2） 若若 12 0 2 xx x ，则极值点偏移则极值点偏移，此时函数此时函数)(xf在在 0 xx 两侧两侧的的函数值变函数值变 化快慢不同，如图
2、化快慢不同，如图(2)(3)(2)(3) 3.2.3.2.证明方法：构造偏移函数解决极值点偏移证明方法：构造偏移函数解决极值点偏移. . （1 1）极值点偏移题目特征：）极值点偏移题目特征： . .函数函数 f x的的极值点极值点为为 0 x； . .函数函数 12 f xf x，然后证明：，然后证明： 120 2xxx或或 120 2xxx. . （2 2）极值点偏移的的纯偏移型解法步骤：极值点偏移的的纯偏移型解法步骤： . .构造一元差函数构造一元差函数 0 2F xf xfxx或是或是 00 F xf xxf xx； . .对差函数对差函数 F x求导，判断单调性；求导，判断单调性； .
3、 .结合结合 00F，判断，判断 F x的符号，从而确定的符号，从而确定 f x与与 0 2fxx的大小关系的大小关系； . .由由 1200200202 _2f xf xfxxxfxxxfxx 的大的大 小关系，得到小关系，得到 102 _2f xfxx， （横线上为不等号（横线上为不等号） ； . .结合结合 f x单调性得到单调性得到 102 _2xxx，进而得到，进而得到 12 0 _ 2 xx x . . 2.3.2.3.应用实例应用实例. . 例例 4.4.（20212021 新高考新高考 1 1 卷）卷）已知函数已知函数 1 lnf xxx. . （1 1）讨论）讨论 fx的单调
4、性； 的单调性； （2 2）设）设a，b为两个不相等的正数，且为两个不相等的正数，且lnlnbaabab，证明：，证明： 11 2e ab . . 证明证明： （1 1）函数的定义域为）函数的定义域为 0, ，又，又 1 ln1lnfxxx ， 当当 0,1x 时，时， 0fx ，当，当 1,+x时， 时， 0fx ， 故故 fx的递增区间为 的递增区间为 0,1，递减区间为 ，递减区间为 1,+. . （2 2）因为）因为lnlnbaabab，故，故 ln1ln +1baab ，即，即 ln1ln +1ab ab ， 故故 11 ff ab ，设，设 12 11 ,xx ab ，由（，由（1
5、 1）可知不妨设）可知不妨设 12 01,1xx . . 因为因为 0,1x 时，时， 1 ln0f xxx ， ,xe时， 时， 1 ln0f xxx ， 故故 2 1xe . .先证：先证： 12 2xx ，若，若 2 2x ， 12 2xx 必成立必成立. . 若若 2 2x ， 要证：要证： 12 2xx ，即证，即证 12 2xx ，而，而 2 021x ， 故即证故即证 12 2f xfx ，即证：，即证： 22 2f xfx ，其中，其中 2 12x . . 设设 2,12g xf xfxx ， （构造偏移函数构造偏移函数） 则则 2lnln 2gxfxfxxx ln2xx ，
6、， 因为因为12x，故，故 021xx，故 ，故 ln20 xx ， 所以所以 0gx ，故，故 g x在 在 1,2为增函数，所以 为增函数，所以 10g xg ， 故故 2f xfx ，即，即 22 2f xfx 成立，所以成立，所以 12 2xx 成立，成立， 综上，综上， 12 2xx 成立成立. . 视角视角 4.4.双变量极值与比值代换双变量极值与比值代换 例例 5.5.已知函数已知函数 1 2lnf xxax x 有两个不同的极值点有两个不同的极值点 1 x、 、 212 xxx . . （1 1）求实数）求实数a的取值范围；的取值范围； （2 2）若）若3a ，求证：，求证：
7、1 1x ，且，且 12 12 4 2ln2 3 f xf x xx . . 解解： （1 1） 1 2lnf xxax x ，定义域为，定义域为0,， 2 22 121 2 axax fx xxx . . 由题意可知，方程由题意可知，方程 2 210 xax 在在 0, 上有两个不等的实根上有两个不等的实根 1 x、 、 2 x， ， 则则 2 12 12 80 1 0 2 0 2 a x x a xx ，解得，解得2 2a . . 因此，实数因此，实数a的取值范围是的取值范围是 2 2,； ； （2 2）由题意可知，）由题意可知， 1 x、 、 2 x为方程 为方程 2 210 xax 的
8、两个实根，的两个实根， 由于由于 12 xx ，则，则 2 1 8 4 aa x ， 当当3a 时，时， 2 81a ， 2 1 8 1 4 aa x ， 由（由（1 1）可知）可知 12 12 2 1 2 a xx x x ， 1 12 1212 212112 12121221212 11 2ln 2 2ln x xxa f xf xxxxxxxxx xxxxxxxx xxx 1 122 11 1 1222 2 41 4 2ln2ln 1 x xxxxx x xxxx x ， 2 1 1 2 22 x x x ，令，令 1 2 2 x t x ，设，设 41 2ln 1 t h tt t ，
9、2t . . 2 22 2182 0 11 t h t t tt t ，所以，函数，所以，函数 yh t 在在 2,上单调递减， 上单调递减， 所以，所以， 4 22ln2 3 h th，因此，因此， 12 12 4 2ln2 3 f xf x xx . . 除了用比值代换外，双变量极值问题亦可用对数均值不等式予以证明，即除了用比值代换外，双变量极值问题亦可用对数均值不等式予以证明，即 对数均值不等式：若对数均值不等式：若), 0(,yx，则，则 2lnln yx xy xy xy . . 例例 6.6.（20182018 全国全国 1 1 卷）已知函数卷）已知函数xax x xfln 1 )
10、(. . （1 1）讨论）讨论)(xf的单调性；的单调性； （2 2）若）若)(xf存在两个极值点存在两个极值点 21,x x，证明：，证明：2 )()( 21 21 a xx xfxf . . （1 1）略）略. . （2 2）证明：由（）证明：由（1 1）可得，当）可得，当2a时，时，)(xf存在两个极值点存在两个极值点 21,x x. . 且且 21,x x是是 导函数导函数 2 2 1 )( x axx xf 的两零点，故的两零点，故1 21 xx. . 由于由于1 )ln(ln1 1 )ln(ln 11 )()( 21 21 2121 21 21 21 21 21 xx xxa xxxx xxa xx xx xx xfxf ，由对，由对 数均值不等式可知数均值不等式可知1 1 1 )ln(ln1 21 21 21 21 21 xx xxa xx xxa xx ，代入，代入1 21 xx可可 得：得： 2 )()( 21 21 a xx xfxf ，证毕，证毕. .
