1、绝密绝密启用前启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2 选择题必须使用 2B 铅笔填涂； 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整、 笔迹清楚。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小
2、题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合= |1Ax x ， |2Bx x，则 AB=A(1，+)B(，2)C(1，2)D2设 z=i(2+i)，则z=A1+2iB1+2iC12iD12i3已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|ab|=A2B2C52D504生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为A23B35C25D155在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲：我的成绩比乙高乙：丙的成绩比我和甲的都高丙：我的成绩比乙高成绩公布后
3、，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A甲、乙、丙B乙、甲、丙C丙、乙、甲D甲、丙、乙6设 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)=e1x，则当 x0)两个相邻的极值点，则=A2B32C1D129若抛物线 y2=2px（p0）的焦点是椭圆2213xypp的一个焦点，则 p=A2B3C4D810曲线 y=2sinx+cosx 在点(，1)处的切线方程为A10 xy B2210 xy C2210 xy D10 xy 11已知 a（0，2），2sin2=cos2+1，则 sin=A15B55C33D2 5512设F 为双曲线 C：22221xyab（a0，b0）的
4、右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2+y2=a2交于 P、Q 两点若|PQ|=|OF|，则 C 的离心率为A2B3C2D5二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13若变量 x，y 满足约束条件23603020 xyxyy，则 z=3xy 的最大值是_.14我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_.15ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bsinA+acosB
5、=0，则 B=_.16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体” （图 1） .半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1则该半正多面体共有_个面，其棱长为_（本题第一空 2 分，第二空 3 分）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：
6、共 60 分。17（12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BEEC1.（1）证明：BE平面 EB1C1；（2）若 AE=A1E，AB=3，求四棱锥11EBBC C的体积18（12 分）已知na是各项均为正数的等比数列，1322,216aaa.（1）求na的通项公式；（2）设2lognnba，求数列nb的前 n 项和.19（12 分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表.y的分组0.20,0)0,0.20)0.20,0.40)0.
7、40,0.60)0.60,0.80)企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2） 求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值 （同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） .（精确到 0.01）附：748.602.20（12 分）已知12,F F是椭圆2222:1(0)xyCabab的两个焦点，P 为 C 上一点，O 为坐标原点（1）若2POF为等边三角形，求 C 的离心率；（2)如果存在点 P，使得12PFPF，且12FPF的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围.21.（12 分）已知函数( )(1)ln1f xxx
8、x.证明：（1）( )f x存在唯一的极值点；（2）( )=0f x有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在极坐标系中， O 为极点， 点000(,)(0)M 在曲线:4sinC上， 直线 l 过点(4,0)A且与OM垂直，垂足为 P.（1）当0=3时，求0及 l 的极坐标方程；（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程.23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知( ) |2|().f xxa xxxa（1）当
9、1a 时，求不等式( )0f x 的解集；（2）若(,1)x 时，( )0f x ，求a的取值范围.2019 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案1C2D3A4B5A6D7B8A9D10C11B12A139140.981534162117解： （1）由已知得 B1C1平面 ABB1A1，BE平面 ABB1A1，故11BCBE.又1BEEC，所以 BE平面11EBC.（2） 由 （1） 知BEB1=90.由题设知 RtABERtA1B1E， 所以1145AEBAEB ， 故 AE=AB=3，126AAAE.作1EFBB，垂足为 F，则 EF平面11BBC C，且3EFAB.所以，四棱锥11
10、EBBC C的体积13 6 3183V .18解： （1）设 na的公比为q，由题设得22416qq，即2280qq.解得2q （舍去）或q=4.因此 na的通项公式为1212 42nnna.（2）由（1）得2(21)log 221nbnn，因此数列 nb的前n项和为1 321nn .19.解： （1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为1470.21100.产值负增长的企业频率为20.02100.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%， 产值负增长的企业比例为2%.（2）1( 0.10 20.10 240
11、.30 530.50 140.70 7)0.30100y ，52211100iiisnyy222221( 0.40)2( 0.20)240530.20140.407100 =0.0296，0.02960.02740.17s ，所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%.20.解： （1）连结1PF，由2POF为等边三角形可知在12FPF中，1290FPF，2PFc，13PFc，于是122( 31)aPFPFc，故C的离心率是31cea.（2） 由题意可知， 满足条件的点( , )P x y存在当且仅当1| 2162yc，1yyxc xc ，22221xyab，即| |
12、16cy ，222xyc，22221xyab，由及222abc得422byc，又由知22216yc，故4b .由得22222axcbc，所以22cb，从而2222232,abcb故4 2a .当4b ，4 2a 时，存在满足条件的点P.所以4b ，a的取值范围为4 2,).21.解：（1）( )f x的定义域为（0，+）.11( )ln1lnxfxxxxx .因为lnyx单调递增，1yx单调递减，所以( )fx单调递增，又(1)10f ，1ln4 1(2)ln2022f，故存在唯一0(1,2)x ，使得00fx.又当0 xx时，( )0fx，( )f x单调递减；当0 xx时，( )0fx，(
13、 )f x单调递增.因此，( )f x存在唯一的极值点.（2）由（1）知0(1)2f xf ，又22ee30f，所以( )0f x 在0,x 内存在唯一根x.由01x得011x .又1111( )1 ln10ff ，故1是( )0f x 在00,x的唯一根.综上，( )0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.22解：（1）因为00,M 在C上，当03时，04sin2 33.由已知得| |cos23OPOA.设( , )Q 为l上除P的任意一点.在RtOPQ中cos| 23OP，经检验，点(2,)3P在曲线cos23上.所以，l的极坐标方程为cos23.（2）设( , )P ，在RtOAP中，| |cos4cos ,OPOA即 4cos.因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是,4 2 .所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos ,4 2.23解： （1）当 a=1 时，( )=|1| +|2|(1)f xxxxx.当1x 时，2( )2(1)0f xx ；当1x 时，( )0f x .所以，不等式( )0f x 的解集为(,1).（2）因为( )=0f a，所以1a .当1a ，(,1)x 时，( )=() +(2)()=2()(1)0f xax xx xaax x.所以，a的取值范围是1,).
