1、 2013 年珠海市中考试题 数 学 （满分（满分 120 分，考试时间分，考试时间 100 分钟）分钟） 第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 30 分）分） 一、选择题（本大题 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分）在每小题列出的四个选项中，只有 一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选项涂黑. 1. (2013 年广东珠海，1，3)实数 4 的算术平方根是 A.2 B.2 C. 2 D. 4 【答案】B 2. (2013 年广东珠海，2，3)如图，两平行直线 a、b 被直线 l 所截，且1=60 ，则2 的 度数为 A.30 B.45 C.60 D.120 第 2 题图 【答案】C
2、3. (2013 年广东珠海，3，3)点(3，2)关于 x 轴的对称点为 A. (3，2) B. (3，2) C. (3，2) D. (2，3) 【答案】A 4. (2013 年广东珠海，4，3)已知一元二次方程：x2+2x+3=0x22x3=0，下列说法 正确的是 A.都有实数解 B.无实数解，有实数解 C.有实数解，无实数解 D.都无实数解 5. (2013 年广东珠海，5，3)如图，ABCD 的顶点 A、B、D 在O 上，顶点 C 在O 的直 径 BE 上，ADC=54 ，连接 BE，则AEB 的度数为 A.36 B.46 C.27 D.63 第 5 题图 【答案】A 二、填空题(本大题
3、 5 小题，每小题 4 分，共 20 分)请将下列各题的正确答案填在答题卡相 应的位置上. 6. (2013 年广东珠海，6，4)使式子12 x有意义的 x 的取值范围是 . 【答案】x 2 1 7. (2013 年广东珠海，7，4)已知函数 y=3x 的图象经过点 A(1，y1)、点 B(2，y2)，则 y1 y2(填“”或“”或“=”). 【答案】 8. (2013 年广东珠海，8，4)若圆锥的母线长为 5cm，底面圆的半径为 3cm，则它的侧面展 开图的面积为 cm2(结果保留 ). 【答案】15 9. (2013 年广东珠海，8，4)已知实数 a、b 满足 a+b=3，ab=2，则 a
4、2+b2= . 【答案】5 10. (2013 年广东珠海，9，4)如图，正方形 ABCD 的边长为 1，顺次连接正方形 ABCD 四 边的中点得到第一个正方形 A1B1C1D1，又顺次连接正方形 A1B1C1D1四边中点得到第 二个正方形 A2B2C2D2，以此类推，则第六个正方形 A6B6C6D6周长是 . 【答案】 2 1 第 10 题图 三、解答题(一)(本大题 5 小题，每小题 6 分，共 30 分) 11. (2013 年广东珠海，11，6)计算： 3 2 2 1 ) 13( 3 1 0 1 . 【答案】【答案】解：原式=31+ 3 2 2 1 = 6 13 . 12. (2013
5、 年广东珠海，12，6)解方程： 2x x 4 1 2 x =1. 【答案】【答案】解：方程两边乘(x+2)(x2)，得 x(x+2)1=(x+2)(x2). 解得 x= 2 3 . 检验：x= 2 3 时(x+2)(x2)0，x= 2 3 是原分式方程的解. 13. (2013 年广东珠海，13，6)某初中学校对全校学生进行一次“勤洗手”问卷调查，学校 七、八、九三个年级学生分别为 600、700、600 人.经过数据整理，将全校的“勤洗手” 调查数据绘制成统计图： (1)根据统计图，计算八年级“勤洗手”学生人数，并补全下面的两幅统计图； (2)通过计算说明哪个年级“勤洗手”学生人数占本年级
6、学生人数的比例最大？ 第 13 题图 【答案】【答案】解：(1)300 25%=1200(人)，1200 35%=420(人). 所以八年级“勤洗手”学生人数为 420 人. 九年级占得百分比为 125%35%=40%.补全两幅统计图如下： (2) 七年级“勤洗手”学生人数占本年级学生人数的比例为300 600=50%， 八年级“勤洗手” 学生人数占本年级学生人数的比例为 420 700=60%，九年级“勤洗手”学生人数占本年级学 生人数的比例为 480 600=80%，所以九年级“勤洗手”学生人数占本年级学生人数的比例最 大. 14. (2013 年广东珠海，14，6)如图，已知，EC=AC
7、，BCE=DCA，A=E，求证： BC=DC. 第 14 题图 【答案】【答案】证明：BCE=DCA， BCE+ACE=DCA+ACE， 即BCA=DCE. AC=EC，A=E， BCADCE(ASA). BC=DC. 15. (2013 年广东珠海，15，6)某渔船出海捕鱼，2010 年平均每次捕鱼量为 10 吨，2012 年平均每次捕鱼量为 8.1 吨， 求 20102012 年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率. 【答案】【答案】解：设 20102012 年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率为 x，根据题意， 得 10(1x)2=8.1. x1=0.1，x2=1.9(不符合题意，舍去). 答
8、：20102012 年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率为 10%. 四、解答题(二)(本大题 4 小题，每小题 7 分，共 28 分) 16. (2013 年广东珠海，16，7)一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度 AC. 如图所示，他先在点 B 测得山顶点 A 的仰角是 30 ，然后然后沿正东方向前行 62 米 到达 D 点，在点 D 测得山顶 A 点的仰角为 60 (B、C、D 三点在同一水平面上，且测 量仪的高度忽略不计).求小岛的高度 AC.(结果精确到 1 米，参考数据：21.4， 31.7) 第 16 题图 【答案】【答案】解：由题意知，ADC=60 ，ABC=30 ，设
9、 AC=x 米. 在 RtACD 中，tan60 = CD AC ， CD= 60tan AC = 3 x = 3 3x . 在 RtACB 中，tan30 = BC AC ， 即 3 3 = 3 3 62 x x . 解得 x=31353. 所以小岛的高度 AC 为 53 米. 17. (2013 年广东珠海，17，7)如图，O 经过菱形的的三个顶点 A、B、C，且与 AB 相 切于点 A. (1)求证：BC 为O 的切线； (2)求B 的度数. 第 17 题 【答案】【答案】(1)证明：如下图，连接 AO、CO. AB 是O 的切线，OAAB. BAO=90 . 四边形 ABCD 是菱形，
10、 AB=BC. AO=CO，BO=BO， BAOBCO(SSS). BCO=BAO=90 . 即 OCBC. BC 为O 的切线. (2)连接 BD，由菱形、圆的对称性，BD 过圆心，即 B、O、D 三点共线. 四边形 ABCD 是菱形， AB=AD，ABO=ADO. OA=OD，OAD=ODA. AOB=2ADO=2ABO. ABO+AOB=90 ，ABO+2ABO=90 . ABO=30 . ABC=2ABO=2 30 =60 . 18. (2013 年广东珠海，18，)把分别标有数字 2、3、4、5 的四个小球放入 A 袋内，把分别 标有数字 3 1 、 3 1 、 4 1 、 5 1
11、、 6 1 的五个小球放入 B袋内，所有小球的形状、大小、质地 完全相同，A、B 两个袋子不透明. (1)小明分别从 A、 B 两个袋子中各摸出一个小球， 求这两个球上的数字互为倒数的概率； (2)当 B 袋中标有 6 1 的小球上的数字变为 时(填写所有结果)， (1)中的概率为 4 1 . 【答案】【答案】解：(1)列表如下： B A 3 1 3 1 4 1 5 1 6 1 2 (2， 3 1 ) (2， 3 1 ) (2， 4 1 ) (2， 5 1 ) (2， 6 1 ) 3 (3， 3 1 ) (3， 3 1 ) (3， 4 1 ) (3， 5 1 ) (3， 6 1 ) 4 (4，
12、 3 1 ) (4， 3 1 ) (4， 4 1 ) (4， 5 1 ) (4， 6 1 ) 5 (5， 3 1 ) (5， 3 1 ) (5， 4 1 ) (5， 5 1 ) (5， 6 1 ) 有表可知，所有可能出现的结果共有 20 种，它们出现的可性相同，其中两个球上的数 字互为倒数的有 4 种，所有 P(两个球上的数字互为倒数)= 20 4 = 5 1 . (2) 2 1 或 3 1 或 4 1 或 5 1 . 19. (2013 年广东珠海，19，7)已知，在平面直角坐标系 xoy 中，点 A 在 x 轴负半轴上， 点 B 在 y 轴正半轴上，OA=OB，函数 y= x 8 的图象与
13、线段 AB 交于 M 点，且 AM=BM. (1)求点 M 的坐标； (2)求直线 AB 的解析式. 第 19 题图 【答案】【答案】解：(1)过点 M 分别作 MCOA 于 C，MDOB 于 D. AM=BM， MC= 2 1 OB，MD= 2 1 OA. OA=OB，MC=MD. 设点 M 的坐标为(a，a)， 点 M 在函数 y= x 8 的图象上， a= a 8 . 解得 a=22. 点 M 的坐标为(22，22). (2)点 M 的坐标为(22，22)， MC=MD=22， OA=OB=42. 点 A 的坐标为(42，0)， 点 B 的坐标为(0，42). 设直线 AB 的解析式为
14、y=kx+b，则有 . 24 024 b bk， 解得 . 24 1 b k， 直线 AB 的解析式为 y=x+42. 五、解答题(三)(本大题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分) 20. (2013 年广东珠海，20，9)阅读下面材料，并解答问题. 材料：将分式 1 3 2 24 x xx 拆成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式. 解：由于分母为x2+1，可设x4x2+3=(x2+1)(x2+a)+b. 则x4x2+3=(x2+1)(x2+a)+b=x4ax2+x2+a+b=x4(a1)x2+(a+b). 对于任意 x，上述等式均成立， . 3 11 ba a， a=2，b=1
15、. 1 3 2 24 x xx = 1 1)2)(1( 2 22 x xx = 1 )2)(1( 2 22 x xx + 1 1 2 x = x2+2+ 1 1 2 x . 这样，分式 1 3 2 24 x xx 被拆成了一个整式 x2+2 与一个分式 1 1 2 x . 解答： (1)将分式 1 86 2 24 x xx 拆成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式. (2)试说明 1 86 2 24 x xx 的最小值为 8. 【答案】【答案】解：(1) 解：由于分母为x2+1，可设x46x2+8=(x2+1)(x2+a)+b. 则x46x2+8=(x2+1)(x2+a)+b=x4ax2
16、+x2+a+b=x4(a1)x2+(a+b). 对于任意 x，上述等式均成立， . 8 61 ba a， a=7，b=1. 1 86 2 24 x xx = 1 1)7)(1( 2 22 x xx = 1 )7)(1( 2 22 x xx + 1 1 2 x = x2+7+ 1 1 2 x . 这样，分式 1 86 2 24 x xx 被拆成了一个整式 x2+7 与一个分式 1 1 2 x . (2)x2+1 的最大值为 1， 1 1 2 x 的最小值为 1. 又x2+7 的最小值为 7， 又 1 86 2 24 x xx = x2+7+ 1 1 2 x ， 1 86 2 24 x xx 的最
17、小值为 7+1=8. 21. (2013 年广东珠海，21，9)如图，在 RtABC 中，C=90 ，点 P 为 AC 边上的一点， 将线段 AP 绕点 A 顺时针方向旋转(点 P 对应点 P),当 AP 旋转至 APAB 时，点 B、 P、P恰好在同一直线上，此时作 PEAC 于点 E. (1)求证：CBP=ABP； (2)求证：AE=CP； (3)当 PE CP = 2 3 ，BP=55时，求线段 AB 的长. 第 21 题图 【答案】【答案】(1)证明：由旋转的性质可得 AP=AP，APP=APP. BPC=APP，BPC=APP. APAB，ABP+APP=90 . C=90 ，CBP
18、+BPC=90 . CBP=ABP. (2)证明：如下图，作 PFAB 于 F. CBP=ABP，PCBC， PF=CP. APAB，PFAB，AFP=PEA=90 . APF+PAF=90 ，PAF+PAE=90 . APF=PAE. AP=AP， AFPPEA(AAS). PF=AE. PF=CP， AE=CP. (3)C=PEP，BPC=PPE， BCPPPE. PE CP = PP BP ，即 2 3 = PP PP 55 . PP=25. PE CP = 2 3 ，AE=CP，AP=AP， 设 CP=3x，则 PE=2x，AE=3x，AP= AP=5x， PE =4x. 在 RtPE
19、P中，(2x)2+(4x)2=(25)2， x=1. AP=5x=5. 在 RtBAP中，AB= 22 PAPB= 22 5)55(=10. 22. (2013 年广东珠海， 22， 9)如图， 在平面直角坐标系 xoy 中， 矩形 OABC 的边 OA、 OC 分别在 y 轴和 x 轴的正半轴上，且长分别为 m、4m(m0)，D 为边 AB 的中 点，一抛物线 l 经过点 A、D 及点 M(1，1m). (1)求抛物线 l 的解析式(用含 m 的式子表示)； (2)把OAD 沿直线 OD 折叠后点 A 落在点 A处，连接 OA并延长与线段 BC 的 延长线交于点 E，若抛物线 l 与线段 C
20、E 相交，求实数 m 的取值范围； (3)在满足 2的条件下，求抛物线 l 顶点 P 到达最高位置时的坐标. 【答案】【答案】(1)解：OA=m，AB=4m，D 为边 AB 的中点， 点 A(0，m)，点 D(2m，m). 设抛物线 l 的解析式为 y=ax2+bx+c. 把点 A(0，m)，点 D(2m，m)，M(1，1m)代入 y=ax2+bx+c，得 .1 24 2 mcba mcmbam mc ， ， 解得 . 2 1 mc mb a ， ， 抛物线 l 的解析式为 y=x2+2mx+m. 由折叠可知，OA=OA=m，AD=AD=2m，ADO=ODA. ABOC，DOF=ADO，DOF
21、=ODA，OF=OD. 设 OF=x，则 OD=x，AF=2mx. m2+(2mx)2=x2. x= 4 5 m. OF= 4 5 m，AF= 4 3 m. 过点 A作 AHOF 于 H. AOF=AOF，AHO=O AF=90 ， O AHOFA. OF AO OA OH FA HA ，即 m m m OH m HA 4 5 4 3 . AH= 5 3 m，OH= 4 5 m. 点 A( 4 5 m， 5 3 m). 直线 OA的解析式为 y= 4 3 x. 直线 CE 的解析式为 x=4m， 点 E(4m，3m). 把点 E(4m，3m)代入 y=x2+2mx+m，得 m=2. 把点 C(4m，0) 代入 y=x2+2mx+m，得 m= 8 1 . 实数 m 的取值范围为 8 1 m2. (3) y=x2+2mx+m =(xm)2+m2+m. 显然当 m=2 时，抛物线 l 顶点 P 到达最高位置， 抛物线 l 顶点 P 到达最高位置时的坐标为(2，6).
