1、 湖南长沙 2013 年初中毕业学业水平测试数学卷 一、选择题： 1.（2013 湖南长沙 第 1 题 3 分）下列实数是无理数的是（ ） A.-1 B.0 C. 2 1 D.3 【答案】D. 2.（2013 湖南长沙 第 2 题 3 分）小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦” ， 能搜索到与之相关的结果的条数约为 61700000，这个数用科学记数法表示为（ ） A.61710 5 B.6.17106 C.6.17107 D.0.617108 【答案】C。 3.（2013 湖南长沙 第 3 题 3 分）如果一个三角形的两边长分别是 2 和 4，则第三边可能是 （ ） A.2 B.
2、4 C.6 D.8 【答案】B. 4.（2013 湖南长沙 第 4 题 3 分）已知O1的半径为 1cm，O2的半径为 3cm，两圆的圆心 距 O1O2为 4cm，则两圆的位置关系是（ ） A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 【答案】B. 5.（2013 湖南长沙 第 5 题 3 分）下列计算正确的是（ ） A.a 6a3=a3 B.(a2)3=a8 C.(a-b)2=a2-b2 D.a2+a2=a4 【答案】A. 6.（2013 湖南长沙 第 6 题 3 分）某校篮球队 12 名同学的身高如下表： 身高（cm) 180 186 188 192 195 人数 1 2 5 3 1 则该校篮球
3、队 12 名同学的身高的众数是（单位：cm) A.192 B.188 C.186 D.180 【答案】B. 7.（2013 湖南长沙 第 7 题 3 分）下列个图中，1 大于2 的是（ ） 【答案】D 8.（2013 湖南长沙 第 8 题 3 分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ） A B C A 1 2 (AB=AC) 1 2 a b B 1 2 a b c C A B C D 2 1 D A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形 【答案】A. 9.（2013 湖南长沙 第 9 题 3 分）在下列某品牌 T 恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运 用旋转或轴对称知识的是（ ） 【
4、答案】C. 10.（2013 湖南长沙 第 10 题 3 分）二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，则下列关系式 错误 的是（ ） A.a0 B.c0 C.b 2-4ac0 D.a+b+c0 【答案】D. 二、填空题： 11.（2013 湖南长沙 第 11 题 3 分）计算：28 = 【答】28 =22-2=（2-1）2=2.填2。 12.（2013 湖南长沙 第 12 题 3 分）因式分解：x 2+2x+1= 【答】根据完全平方公式得，x 2+2x+1=（x+1)2，故填（x+1)2 13.（2013 湖南长沙 第 13 题 3 分）已知A=67 0，则A 的余角等于 度 【答】
5、23 0 14.（2013 湖南长沙 第 14 题 3 分）方程 xx 1 1 2 的解为 x= 【答案】x=1 15.（2013 湖南长沙 第 15 题 3 分）如图，BD 是ABC 的平分线，P 是 BD 上的一点，PE BA 于点 E,PE=4cm,则点 P 到边 BC 的距离为 cm 【答案】4. 16.（2013 湖南长沙 第 16 题 3 分）如图，在ABC 中，点 D,E 分别是边 AB,AC 的中点，则 ADE 与ABC 的周长之比等于 【答案】1:2（或 2 1 ） 17.（2013 湖南长沙 第 17 题 3 分） 在一个不透明的盒子中装有 n 个小球， 它们只有颜色上 的
6、区别，其中有 2 个红球，每次摸球前先将盒子中的求摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再 放回盒中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定于 0.2，那么可以推算出 n 大约是 【答案】10 18.（2013 湖南长沙 第 18 题 3 分）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC,B=50 0 ,C=80 0,AE CD 交 BC 于点 E,若 AD=2，BC=5，则边 CD 的长是 【答案】3 19.（2013 湖南长沙 第 19 题 6 分）计算：3+（-2）2-（5+1）0 【解】原式=3+4-1=6。 20.（2013 湖南长沙 第 20 题 6 分）解不等式组 xx xx 34 3)
7、 1(2 并将其解集在数轴上 表示出来 【解】解不等式 2(x+1)x+3,得 x1;解不等式 x-43x,得 x-2,把解集在数轴上表示出 来，所以原不等式组的解集是-2x1。 21.（2013 湖南长沙 第 21 题 8 分） “宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量备受人们关 注。我市某空气质量监测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了 2013 年 1 月份至 4 月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图。请根据图中信息，解答 下列问题： （1）统计图共统计了 天的空气质量情况。 （2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数。 （3）从小源
8、所在班级的 40 名同学中， 随机选取一名同学去该空气质量监测点参观， 则恰好 选到小源的概率是多少？ 【解】 （1）100； （2）优的天数是 20 天，图略，空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数是 720； （3） 40 1 。 22.（2013 湖南长沙 第 22 题 8 分）如图，ABC 中，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 D, DBC=BAC. （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若O 的半径为 2，BAC=300,求图中阴影部分的面积。 【解】 （1）AB 是O 的直径，ADB=900,ABD+BAC=900,DBC=BAC， ABD+DBC=900,BC 是O 的切线；
9、(2)连接 OD,BAC=300,BOD=600, OB=OD, OBD是 等 边三 角形 ， S 阴影=S扇形 OBD-S OBD= 3 3 2 32 2 1 360 260 2 . 23.（2013 湖南长沙 第 23 题 9 分）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在 修建贯穿星城南北、东西的地铁 1、2 号线。已知修建地铁 1 号线 24 千米和 2 号线 22 千米 共需投资 265 亿元；若 1 号线每千米的平均造价比 2 号线每千米的平均造价多 0.5 亿元。 （1）求 1 号线、2 号线每千米的平均造价分别是多少亿元？ （2）除 1、2 号线外，长沙市政府规划到 20
10、18 年还要再建 91.8 千米的地铁线网。据预算， 这 91.8 千米地铁线网每千米的平均造价是 1 号线每千米的平均造价的 1.2 倍， 则还需投资多 少亿元？ 【解】 （1）设 1 号线每千米的平均总价是 x 亿元，则 2 号线每千米的平均总价是（x-0.5） 亿元，根据题意，得 24x+22(x-0.5)=265,解得 x=6.所以 x-0.5=5.5(亿元） 。答：1 号线、2 号线 每千米的平均造价分别是 6 亿元、5.5 亿元。 （2）91.81.26=660.96（亿元） 。 24.（2013 湖南长沙 第 24 题 9 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，M,N 分别是 A
11、D,BC 的 中点，AND=900,连接 CM 交 DN 于点 O. （1）求证：ABNCDM； （2）过点 C 作 CEMN 于点 E，交 DN 于点 P，若 PE=1，1=2，求 AN 的长。 【解】 （1）平行四边形 ABCD，ABN=CDM,AB=CD,BC=AD,M,N 分别是 AD,BC 的中点，BN= 2 1 BC,DM= 2 1 AD,BN=DM,ABNCDM；(2)由（1）易证四边形 CDMN 是平行四边形， AND=900,AM=DM,MN= 2 1 AD=DM,四边形 CDMN 是菱形， 1=MND=CND=2， PN=PC,NEP=CEN,NEPCEN,EN2=EP E
12、C, 设 PN=x=PC，则 NE2=1(x+1),CEMN，x2=12+(x+1),解得 x=2 或 x=-1（舍去） ，由勾 股定理求的 NE=3,PE=1= 2 1 PN,1=MND=CND=2=300，CMN 是等边三 角形，CM=CN=23,由（1）得ABNCDM，AN=CM=23. 25.（2013 湖南长沙 第 25 题 10 分）设 a,b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式 a xb 的实数 x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为a,b.对于一个函数，如果它的自变 量 x 与函数值 y 满足：当 mxn 时，有 myn,我们就称此函数是闭区间m.n上的“闭 函数”. （
13、1）反比例函数 y= x 2013 是闭区间1,2013上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； （2）若一次函数 y=kx+b(k0)是闭区间m,n上的“闭函数” ，求此函数的解析式； （3）若二次函数 y= 5 1 x2- 5 4 x- 5 7 是闭区间a,b上的“闭函数” ，求实数 a,b 的值。 【解】 （1） 是。 理由： 根据 “闭区间” 和 “闭函数” 的规定， 当 1x2013 时，1 1 2013 1 x ， 2013 2013 1 x ，即 1y2013，所以反比例函数 y= x 2013 是闭区间1,2013上的“闭函 数” ； （2）因为一次函数 y=kx+b(k0)是闭区
14、间m,n上的“闭函数” ，所以 k0，由 mx n， 得 km+bkx+bkn+b， 根据 “闭函数” 的规定有 nbkn mbkm ， 方程相减得 k(m-n)=m-n， 由于 mn,所以 k=1,把 k=1 代入任一方程，b=0，此函数解析式是 y=x;（3）y= 5 1 (x-2)2- 5 11 , 对称轴是 x=2,顶点是（2，- 5 11 ） 。分三种情况：当 ab2 时，y 随 x 增大而减小，当 a xb 时，5 1 b2- 5 4 b- 5 7 y 5 1 a2- 5 4 a- 5 7 ， 由规定可得 abb baa 5 7 5 4 5 1 5 7 5 4 5 1 2 2 ，
15、方程相减得 5 1 （a+b)(a-b)- 5 4 (a-b)=-(a-b),由于 ab,得 a+b=-1，a=-b-1，代入第二个方程得 b2+b-2=0,解得 b=-2 或 b=1,由于 ab,b=1，此时 a=-2.故 1 2 b a .当 a2b 时，函数的最小值为- 5 11 ， 根据闭函数的意义有当 axb 时，- 5 11 y 5 1 a2- 5 4 a- 5 7 或- 5 11 y 5 1 b2- 5 4 b- 5 7 ,于是 baa a 5 7 5 4 5 1 5 11 2 或 bbb a 5 7 5 4 5 1 5 11 2 ， 解 得 5 26 5 11 b a 或 2
16、1099 5 11 b a （ 其 中 2 1099 5 11 b a 舍去） ；当 2ab 时，y 随 x 增大而增大，当 axb 时，5 1 a2- 5 4 a- 5 7 y 5 1 b2- 5 4 b- 5 7 ,根据规定有，5 1 a2- 5 4 a- 5 7 =a, 5 1 b2- 5 4 b- 5 7 =b,即 a、 b 是 5 1 s2- 5 9 s- 5 7 =0 的两个 根，s= 2 1099 ，不合题意，应舍去. 综上所述：a、b 的值为 1 2 b a 或 5 26 5 11 b a 或 2 1099 5 11 b a . 26.（2013 湖南长沙 第 26 题 10
17、分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=-x+2 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，点 B，动点 P（a,b)在第一象限，由点 P 向 x 轴，y 轴所作的垂线 PM,PN （垂足为 M,N）分别与直线 AB相较于点 E,点 F，当点 P（a,b)运动时，矩形 PMON 的面积 为定值 2. （1）求OAB的度数； （2）求证AOFBEO； （3）当点 E,F 都在线段 AB上时， 由三条线段 AE,EF,BF 组成一个三角形， 记此三角形的外 接圆面积为 S1,OEF 的面积为 S2.试探究：S1+S2是否存在最小值？若存在，请求出该最小 值；若不存在，请说明理由. 【解】 （1）当 x=0
18、 时，y=2，当 y=0 时，x=2，所以点 a 坐标为（2,0） ，点 B坐标为（0,2） ， OA=OB,所以OAB=450；（2） 方法一： 因为矩形 OMNPN 的面积是 2， 所以点P 坐标为 （a, a 2 ） ， 点 E 坐 标 为（ a,-a+2), 点 F 坐 标为 （ a a22 ， a 2 ） ， AF=2 2 a ， BE=2a， aaBE OA2 2 2 , a a OB AF2 2 22 ， OB AF BE OA ,OAF=EBO=450,AOF BEO ； 方 法 二 ： 先 求 各 点 坐 标， A(2 ， 0),B(0 ， 2),E(a,2-a),F(2-b
19、,b), OA OB=4 ， AFBE=4222abab，OAOB=AFBE， OB AF BE OA ,OAF=EBO=450, AOF BEO ；（ 3 ） AE=2(2-a),BF=2(2-b),EF=2(a+b-2), AE2+BF2=2(2-a)2+2(2-b)2=2a2+2b2-8a-8b+16,EF2=2(a+b-2)2=2(a+b-2)2=2a2+2b2-8 a-8b+16, AE2+BF2=EF2, 所 构成 的 三角 形 是直 角 三角 形 ， EF 是 斜 边， S1= 【 2 )2(2ba 2= 2 (a+b-2)2, 过 点 O 作 EF边 上 的 高 ， 易 求 得 高 为2， S2=)2(22 2 1 ba=a+b-2;S1+S2= 2 (a+b-2)2+（a+b-2）= 2 (a+b-2)+ 1 2- 2 1 ,对 称轴是 x=- 1 ,抛物线的开口向上。由基本不等式知 a+b2ab=22,a+b-222-2 - 1 ，根据二次函数的性质，当 a+b-2=22-2 时，S1+S2的值最小，最小值为 2 （22-2） 2+2 2-2。
