1、 2013 年四川省内江市中考数学试卷年四川省内江市中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分） （2013内江）下列四个实数中，绝对值最小的数是（ ） A 5 B C 1 D 4 考点： 实数大小比较 分析： 计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可 解答： 解：|5|=5；|=，|1|=1，|4|=4， 绝对值最小的是 1 故选 C 点评： 本题考查了实数的大小比较，属于基础题，注意先运算出各项的绝对值 2 （3 分） （2013内江）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ） A B C
2、D 考点： 由三视图判断几何体 分析： 由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，即可得出 答案 解答： 解：由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图为三角形可得此几何体为三 棱柱； 故选 C 点评： 本题考查了由三视图判断几何体，考查学生的空间想象能力，是一道基础题，难度不 大 3 （3 分） （2013内江）某公司开发一个新的项目，总投入约 11500000000 元，11500000000 元用科学记数法表示为（ ） A 1.151010 B 0.1151011 C 1.151011 D 1.15109 考点： 科学记数法表示较大的数 分析： 科学记数法的表
3、示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要 看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原 数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解答： 解：将 11500000000 用科学记数法表示为：1.151010 故选 A 点评： 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4 （3 分） （2013内江） 把不等式组的解集表示在数轴上， 下列选项正确的是 （ ） A B C D 考点： 在数轴上表示不等式
4、的解集 分析： 求得不等式组的解集为1x1，所以 B是正确的 解答： 解：由第一个不等式得：x1； 由 x+23 得：x1 不等式组的解集为1x1 故选 B 点评： 不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（， 向右画；，向左画） ，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示 解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几 个在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示 5 （3 分） （2013内江）今年我市有近 4 万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩， 从中抽取 1000 名考生的数学成绩进行统计分
5、析，以下说法正确的是（ ） A 这 1000 名考生是总体的一个样本 B 近 4 万名考生是总体 C 每位考生的数学成绩是个体 D 1000 名学生是样本容量 考点： 总体、个体、样本、样本容量 分析： 根据总体、个体、样本、样本容量的定义对各选项判断即可 解答： 解：A、1000 名考生的数学成绩是样本，故本选项错误； B、4 万名考生的数学成绩是总体，故本选项错误； C、每位考生的数学成绩是个体，故本选项正确； D、1000 是样本容量，故本选项错误； 故选 C 点评： 本题考查了总体、个体、样本和样本容量的知识，关键是明确考查的对象总体、个 体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大
6、小样本容量是样本中包含的个 体的数目，不能带单位 6（3 分）（2013内江） 把一块直尺与一块三角板如图放置， 若1=40， 则2 的度数为 （ ） A 125 B 120 C 140 D 130 考点： 平行线的性质；直角三角形的性质 分析： 根据矩形性质得出 EFGH，推出FCD=2，代入FCD=1+A 求出即可 解答： 解： EFGH， FCD=2， FCD=1+A，1=40，A=90， 2=FCD=130， 故选 D 点评： 本题考查了平行线性质，矩形性质，三角形外角性质的应用，关键是求出2=FCD 和得出FCD=1+A 7 （3 分） （2013内江）成渝路内江至成都段全长 170
7、 千米，一辆小汽车和一辆客车同时从 内江、成都两地相向开出，经过 1 小时 10 分钟相遇，小汽车比客车多行驶 20 千米设小汽 车和客车的平均速度为 x 千米/小时和 y 千米/小时，则下列方程组正确的是（ ） A B C D 考点： 由实际问题抽象出二元一次方程组 分析： 根据等量关系：相遇时两车走的路程之和为 170 千米，小汽车比客车多行驶 20 千米， 可得出方程组 解答： 解：设小汽车和客车的平均速度为 x 千米/小时和 y 千米/小时 由题意得， 故选 D 点评： 本题考查了由实际问题抽象二元一次方程组的知识，解答本题的关键是仔细审题得到 等量关系，根据等量关系建立方程 8 （3
8、 分） （2013内江）如图，在ABCD 中，E 为 CD 上一点，连接 AE、BD，且 AE、BD 交于点 F，S DEF：S ABF=4：25，则 DE：EC=（ ） A 2：5 B 2：3 C 3：5 D 3：2 考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 分析： 先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出 DEFBAF，再根据 S DEF：S ABF=4：10：25 即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE： EC 的值，由 AB=CD 即可得出结论 解答： 解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， EAB=DEF，AFB=DFE， DEFBAF， S D
9、EF：S ABF=4：25， DE：AB=2：5， AB=CD， DE：EC=2：3 故选 B 点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的 比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键 9 （3 分） （2013内江）若抛物线 y=x22x+c 与 y 轴的交点为（0，3） ，则下列说法不正 确的是（ ） A 抛物线开口向上 B 抛物线的对称轴是 x=1 C 当 x=1 时，y 的最大值为4 D 抛物线与 x 轴的交点为（1，0） ， （3，0） 考点： 二次函数的性质 分析： A 根据二次函数二次项的系数的正负确定抛物线的开口方向 B利用 x
10、=可以求出抛物线的对称轴 C 利用顶点坐标和抛物线的开口方向确定抛物线的最大值或最小值 D 当 y=0 时求出抛物线与 x 轴的交点坐标 解答： 解：抛物线过点（0，3） ， 抛物线的解析式为：y=x22x3 A、抛物线的二次项系数为 10，抛物线的开口向上，正确 B、根据抛物线的对称轴 x=1，正确 C、由 A 知抛物线的开口向上，二次函数有最小值，当 x=1 时，y 的最小值为4，而 不是最大值故本选项错误 D、当 y=0 时， 有 x22x3=0，解得：x1=1，x2=3，抛物线与 x 轴的交点坐标为（ 1，0） ， （3，0） 正确 故选 C 点评： 本题考查的是二次函数的性质，根据
11、a 的正负确定抛物线的开口方向，利用顶点坐标 公式求出抛物线的对称轴和顶点坐标，确定抛物线的最大值或最小值，当 y=0 时求出 抛物线与 x 轴的交点坐标 10 （3 分） （2013内江）同时抛掷 A、B两个均匀的小立方体（每个面上分别标有数字 1，2， 3，4，5，6） ，设两立方体朝上的数字分别为 x、y，并以此确定点 P（x，y） ，那么点 P 落在 抛物线 y=x2+3x 上的概率为（ ） A B C D 考点： 列表法与树状图法；二次函数图象上点的坐标特征 专题： 阅读型 分析： 画出树状图，再求出在抛物线上的点的坐标的个数，然后根据概率公式列式计算即可 得解 解答： 解：根据题意
12、，画出树状图如下： 一共有 36 种情况， 当 x=1 时，y=x2+3x=12+31=2， 当 x=2 时，y=x2+3x=22+32=2， 当 x=3 时，y=x2+3x=32+33=0， 当 x=4 时，y=x2+3x=42+34=4， 当 x=5 时，y=x2+3x=52+35=10， 当 x=6 时，y=x2+3x=62+36=18， 所以，点在抛物线上的情况有 2 种， P（点在抛物线上）= 故选 A 点评： 本题考查了列表法与树状图法，二次函数图象上点的坐标特征，用到的知识点为：概 率=所求情况数与总情况数之比 11 （3 分） （2013内江）如图，反比例函数（x0）的图象经过
13、矩形 OABC 对角线的交 点 M，分别于 AB、BC 交于点 D、E，若四边形 ODBE 的面积为 9，则 k 的值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 考点： 反比例函数系数 k 的几何意义 专题： 数形结合 分析： 本题可从反比例函数图象上的点 E、 M、 D 入手， 分别找出 OCE、 OAD、 矩形 OABC 的面积与|k|的关系，列出等式求出 k 值 解答： 解：由题意得：E、M、D 位于反比例函数图象上，则 S OCE=，S OAD=， 过点 M 作 MGy 轴于点 G，作 MNx 轴于点 N，则 SONMG=|k|， 又M 为矩形 ABCO 对角线的交点， S矩形ABCO=
14、4SONMG=4|k|， 由于函数图象在第一象限，k0，则+9=4k， 解得：k=3 故选 C 点评： 本题考查反比例函数系数 k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作 垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高 度关注 12 （3 分） （2013内江）如图，半圆 O 的直径 AB=10cm，弦 AC=6cm，AD 平分BAC， 则 AD 的长为（ ） A cm B cm C cm D 4cm 考点： 圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定与性质；勾股定理 分析： 连接OD， OC， 作DEAB于 E， OFAC于F， 运用圆周角定理， 可证
15、得DOB=OAC， 即证 AOFOED，所以 OE=AF=3cm，根据勾股定理，得 DE=4cm，在直角三角形 ADE 中，根据勾股定理，可求 AD 的长 解答： 解：连接 OD，OC，作 DEAB于 E，OFAC 于 F， CAD=BAD（角平分线的性质） ， =， DOB=OAC=2BAD， AOFOED， OE=AF=AC=3cm， 在 Rt DOE 中，DE=4cm， 在 Rt ADE 中，AD=4cm 故选 A 点评： 本题考查了翻折变换及圆的有关计算，涉及圆的题目作弦的弦心距是常见的辅助线之 一，注意熟练运用垂径定理、圆周角定理和勾股定理 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共
16、4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分） （2011枣庄）若 m2n2=6，且 mn=2，则 m+n= 3 考点： 因式分解-运用公式法 分析： 将 m2n2按平方差公式展开，再将 mn 的值整体代入，即可求出 m+n 的值 解答： 解：m2n2=（m+n） （mn）=（m+n）2=6， 故 m+n=3 故答案为：3 点评： 本题考查了平方差公式，比较简单，关键是要熟悉平方差公式（a+b） （ab）=a2b2 14 （5 分） （2013内江）函数 y=中自变量 x 的取值范围是 x且 x1 考点： 函数自变量的取值范围 分析： 根据被开方数大于等于 0
17、，分母不等于 0 列式求解即可 解答： 解：根据题意得，2x+10 且 x10， 解得 x且 x1 故答案为：x且 x1 点评： 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 15（5 分）（2013内江） 一组数据 3， 4， 6， 8， x 的中位数是 x， 且 x 是满足不等式组 的整数，则这组数据的平均数是 5 考点： 算术平均数；一元一次不等式组的整数解；中位数 分析： 先求出不等式组的整数解，再根据中位数是 x，求出 x 的值，
18、最后根据平均数的计算 公式即可求出答案 解答： 解：解不等式组得：3x5， x 是整数， x=3 或 4， 当 x=3 时， 3，4，6，8，x 的中位数是 4（不合题意舍去） ， 当 x=4 时， 3，4，6，8，x 的中位数是 4，符合题意， 则这组数据的平均数可能是（3+4+6+8+4）5=5； 故答案为：5 点评： 此题考查了算术平均数、一元一次不等式组的整数解、中位数，关键是根据不等式组 的整数解和中位数求出 x 的值 16 （5 分） （2013内江）已知菱形 ABCD 的两条对角线分别为 6 和 8，M、N 分别是边 BC、 CD 的中点，P 是对角线 BD 上一点，则 PM+P
19、N 的最小值= 5 考点： 轴对称-最短路线问题；菱形的性质 分析： 作 M 关于 BD 的对称点 Q，连接 NQ，交 BD 于 P，连接 MP，此时 MP+NP 的值最小， 连接 AC，求出 OC、OB，根据勾股定理求出 BC 长，证出 MP+NP=QN=BC，即可得 出答案 解答： 解： 作 M 关于 BD 的对称点 Q，连接 NQ，交 BD 于 P，连接 MP，此时 MP+NP 的值最小， 连接 AC， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，QBP=MBP， 即 Q 在 AB上， MQBD， ACMQ， M 为 BC 中点， Q 为 AB中点， N 为 CD 中点，四边形 ABCD 是菱
20、形， BQCD，BQ=CN， 四边形 BQNC 是平行四边形， NQ=BC， 四边形 ABCD 是菱形， CO=AC=3，BO=BD=4， 在 Rt BOC 中，由勾股定理得：BC=5， 即 NQ=5， MP+NP=QP+NP=QN=5， 故答案为：5 点评： 本题考查了轴对称最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定 理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出 P 的位置 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 44 分）分） 17 （8 分） （2013内江）计算： 考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 专题： 计算题 分析：
21、分别进行绝对值、零指数幂、负整数指数幂的运算，然后代入特殊角的三角函数值， 继而合并可得出答案 解答： 解：原式=+51+= 点评： 本题考查了实数的运算，涉及了绝对值、零指数幂、负整数指数幂，掌握各部分的运 算法则是关键 18 （8 分） （2013内江）已知，如图， ABC 和 ECD 都是等腰直角三角形， ACD=DCE=90，D 为 AB边上一点求证：BD=AE 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 专题： 证明题 分析： 根据等腰直角三角形的性质可得 AC=BC，CD=CE，再根据同角的余角相等求出 ACE=BCD，然后利用“边角边”证明 ACE 和 BCD 全等，然后根据
22、全等三角形 对应边相等即可证明 解答： 证明：ABC 和 ECD 都是等腰直角三角形， AC=BC，CD=CE， ACD=DCE=90， ACE+ACD=BCD+ACD， ACE=BCD， 在 ACE 和 BCD 中， ACEBCD（SAS） ， BD=AE 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及等角的余角相等 的性质，熟记各性质是解题的关键 19 （8 分） （2013内江）随着车辆的增加，交通违规的现象越来越严重，交警对某雷达测速 区检测到的一组汽车的时速数据进行整理，得到其频数及频率如表（未完成） ： 数据段 频数 频率 3040 10 0.05 4050
23、36 0.18 5060 78 0.39 6070 56 0.28 7080 20 0.10 总计 200 1 （1）请你把表中的数据填写完整； （2）补全频数分布直方图； （3）如果汽车时速不低于 60 千米即为违章，则违章车辆共有多少辆？ 考点： 频数（率）分布直方图；频数（率）分布表 分析： （1）根据频数总数=频率进行计算即可； （2）结合（1）中的数据补全图形即可； （3）根据频数分布直方图可看出汽车时速不低于 60 千米的车的数量 解答： 解： （1）36200=0.18， 2000.39=78， 20010367820=56， 56200=0.28； （2）如图所示： （3）违章
24、车辆数：56+20=76（辆） 答：违章车辆有 76 辆 点评： 此题主要考查了读频数分布直方图的能力和看频数分布表的能力；利用频数分布表获 取信息时，必须认真仔细，才能作出正确的判断和解决问题 20 （10 分） （2013内江）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树 DE 的 高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上 A 点处测得树顶端 D 的仰角为 30，朝着 这棵树的方向走到台阶下的点 C 处，测得树顶端 D 的仰角为 60已知 A 点的高度 AB为 3 米，台阶 AC 的坡度为 1：（即 AB：BC=1：） ，且 B、C、E 三点在同一条直线上请 根据以上条件求出树
25、DE 的高度（侧倾器的高度忽略不计） 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 分析： 过点 A 作 AFDE 于 F， 可得四边形 ABEF 为矩形， 设 DE=x， 在 Rt DCE 和 Rt ABC 中分别表示出 CE，BC 的长度，求出 DF 的长度，然后在 Rt ADF 中表示出 AF 的长 度，根据 AF=BE，代入解方程求出 x 的值即可 解答： 解：如图，过点 A 作 AFDE 于 F， 则四边形 ABEF 为矩形， AF=BE，EF=AB=3， 设 DE=x， 在 Rt CDE 中，CE=x， 在 Rt ABC 中， =，AB=3， BC=3， 在 Rt AFD 中，DF=D
26、EEF=x3， AF=（x3） ， AF=BE=BC+CE， （x3）=3+x， 解得 x=9 答：树高为 9 米 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的 边角关系解直角三角形，难度一般 21 （10 分） （2013内江）某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长为 6 千米 的公路如果平均每天的修建费 y（万元）与修建天数 x（天）之间在 30x120，具有一次 函数的关系，如下表所示 X 50 60 90 120 y 40 38 32 26 （1）求 y 关于 x 的函数解析式； （2）后来在修建的过程中计划发生改变，政府决定多修 2 千
27、米，因此在没有增减建设力量的 情况下，修完这条路比计划晚了 15 天，求原计划每天的修建费 考点： 一次函数的应用 分析： （1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b，运用待定系数法就可以求出 y 与 x 之间 的函数关系式； （2）设原计划要 m 天完成，则增加 2km 后用了（m+15）天，根据每天修建的工作量 不变建立方程求出其解，就可以求出计划的时间，然后代入（1）的解析式就可以求出 结论 解答： 解： （1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b，由题意，得 ， 解得：， y 与 x 之间的函数关系式为：y=x+50（30x120） ； （2）设原计划要 m 天
28、完成，则增加 2km 后用了（m+15）天，由题意，得 ， 解得：m=45 原计划每天的修建费为：45+50=41（万元） 点评： 本题考查了运用待定系数法求函数的解析式的运用，列分式方程解实际问题的运用， 设间接未知数在解答运用题的运用， 解答时建立分式方程求出计划修建的时间是关键 四、填空题（本大题共四、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 24 分）分） 22 （6 分） （2013内江）在 ABC 中，已知C=90，sinA+sinB=，则 sinAsinB= 考点： 互余两角三角函数的关系 分析： 根据互余两角的三角函数关系，将 sinA+sinB平方，把
29、 sin2A+cos2A=1，sinB=cosA 代 入求出 2sinAcosA 的值，代入即可求解 解答： 解： （sinA+sinB）2=（）2， sinB=cosA， sin2A+cos2A+2sinAcosA=， 2sinAcosA=1=， 则（sinAsinB）2=sin2A+cos2A2sinAcosA=1=， sinAsinB= 故答案为： 点评： 本题考查了互余两角的三角函数关系，属于基础题，掌握互余两角三角函数的关系是 解答本题的关键 23 （6 分） （2013内江）如图，正六边形硬纸片 ABCDEF 在桌面上由图 1 的起始位置沿直 线 l 不滑行地翻滚一周后到图 2 位
30、置，若正六边形的边长为 2cm，则正六边形的中心 O 运动 的路程为 4 cm 考点： 正多边形和圆；弧长的计算；旋转的性质 分析： 每次滚动正六边形的中心就以正六边形的半径为半径旋转 60，然后计算出弧长，最后 乘以六即可得到答案 解答： 解：根据题意得：每次滚动正六边形的中心就以正六边形的半径为半径旋转 60， 正六边形的中心 O 运动的路程正六边形的边长为 2cm， 运动的路径为：=； 从图 1 运动到图 2 共重复进行了六次上述的移动， 正六边形的中心 O 运动的路程 6=4cm 故答案为 4 点评： 本题考查了正多边形和圆的、弧长的计算及旋转的性质，解题的关键是弄清正六边形 的中心运
31、动的路径 24 （6 分） （2013内江）如图，已知直线 l：y=x，过点 M（2，0）作 x 轴的垂线交直线 l 于点 N，过点 N 作直线 l 的垂线交 x 轴于点 M1；过点 M1作 x 轴的垂线交直线 l 于 N1，过 点 N1作直线 l 的垂线交 x 轴于点 M2， ； 按此作法继续下去， 则点 M10的坐标为 （884736， 0） 考点： 一次函数综合题 分析： 本题需先求出 OA1和 OA2的长，再根据题意得出 OAn=4n，求出 OA4的长等于 44，即 可求出 A4的坐标 解答： 解：直线 l 的解析式是 y=x， NOM=60 点 M 的坐标是（2，0） ，NMx 轴，
32、点 N 在直线 y=x 上， NM=2， ON=2OM=4 又NM1l，即ONM1=90 OM1=2ON=41OM=8 同理，OM2=4OM1=42OM， OM3=4OM2=442OM=43OM， OM10=410OM=884736 点 M10的坐标是（884736，0） 故答案是： （884736，0） 点评： 本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据 线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用 25 （6 分） （2013内江）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点 A（13，0） ， 直线 y=kx3k+4 与O 交于 B、
33、C 两点，则弦 BC 的长的最小值为 24 考点： 一次函数综合题 分析： 根据直线 y=kx3k+4 必过点 D（3，4） ，求出最短的弦 CD 是过点 D 且与该圆直径垂 直的弦，再求出 OD 的长，再根据以原点 O 为圆心的圆过点 A（13，0） ，求出 OB的 长，再利用勾股定理求出 BD，即可得出答案 解答： 解：直线 y=kx3k+4 必过点 D（3，4） ， 最短的弦 CD 是过点 D 且与该圆直径垂直的弦， 点 D 的坐标是（3，4） ， OD=5， 以原点 O 为圆心的圆过点 A（13，0） ， 圆的半径为 13， OB=13， BD=12， BC 的长的最小值为 24； 故
34、答案为：24 点评： 此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质， 关键是求出 BC 最短时的位置 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 12 分，共分，共 36 分）分） 26 （12 分） （2013内江）如图，AB是半圆 O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 切O 于点 C，BDPD，垂足为 D，连接 BC （1）求证：BC 平分PDB； （2）求证：BC2=ABBD； （3）若 PA=6，PC=6，求 BD 的长 考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质 专题： 计算题 分析： （1）连接 OC，由 PD 为圆
35、 O 的切线，利用切线的性质得到 OC 垂直于 PD，由 BD 垂 直于 PD，得到 OC 与 BD 平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由 OC=OB， 利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证； （2）连接 AC，由 AB为圆 O 的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到 ABC 为直 角三角形，根据一对直角相等，以及第一问的结论得到一对角相等，确定出 ABC 与 BCD 相似，由相似得比例，变形即可得证； （3）由切割线定理列出关系式，将 PA，PC 的长代入求出 PB的长，由 PBPA 求出 AB的长，确定出圆的半径，由 OC 与 BD 平行得到 PCO 与 DPB相似，由相
36、似得 比例，将 OC，OP，以及 PB的长代入即可求出 BD 的长 解答： （1）证明：连接 OC， PD 为圆 O 的切线， OCPD， BDPD， OCBD， OCB=CBD， OC=OB， OCB=OBC， CBD=OBC， 则 BC 平分PBD； （2）证明：连接 AC， AB为圆 O 的直径， ACB=90， ACB=CDB=90，ABC=CBD， ABCCBD， =，即 BC2=ABBD； （3）解：PC 为圆 O 的切线，PAB为割线， PC2=PAPB，即 72=6PB， 解得：PB=12， AB=PBPA=126=6， OC=3，PO=PA+AO=9， OCPBDP， =，即
37、=， 则 BD=4 点评： 此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的 关键 27 （12 分） （2013内江）如图，在等边 ABC 中，AB=3，D、E 分别是 AB、AC 上的点， 且 DEBC，将 ADE 沿 DE 翻折，与梯形 BCED 重叠的部分记作图形 L （1）求 ABC 的面积； （2）设 AD=x，图形 L 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式； （3）已知图形 L 的顶点均在O 上，当图形 L 的面积最大时，求O 的面积 考点： 相似形综合题 分析： （1）作 AHBC 于 H，根据勾股定理就可以求出 AH，由三角形的面积公式就可以
38、求 出其值； （2）如图 1，当 0x1.5 时，由三角形的面积公式就可以表示出 y 与 x 之间的函数关 系式，如图 2，当 1.5x3 时，重叠部分的面积为梯形 DMNE 的面积，由梯形的面 积公式就可以求出其关系式； （3） 如图 4， 根据 （2） 的结论可以求出 y 的最大值从而求出 x 的值， 作 FODE 于 O， 连接 MO，ME，求得DME=90，就可以求出O 的直径，由圆的面积公式就可以求 出其值 解答： 解： （1）如图 3，作 AHBC 于 H， AHB=90 ABC 是等边三角形， AB=BC=AC=3 AHB=90， BH=BC= 在 Rt ABC 中，由勾股定理，
39、得 AH= S ABC=； （2）如图 1，当 0x1.5 时，y=S ADE 作 AGDE 于 G， AGD=90，DAG=30， DG=x，AG=x， y=x2， a=0，开口向上，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大， x=1.5 时，y最大=， 如图 2，当 1.5x3 时，作 MGDE 于 G， AD=x， BD=DM=3x， DG=（3x） ，MF=MN=2x3， MG=（3x） ， y=， =； （3） ，如图 4，y=； y=（x24x）， y=（x2）2+， a=0，开口向下， x=2 时，y最大=， ， y 最大时，x=2， DE=2，BD=DM=1作 FODE 于 O
40、，连接 MO，ME DO=OE=1， DM=DO MDO=60， MDO 是等边三角形， DMO=DOM=60，MO=DO=1 MO=OE，MOE=120， OME=30， DME=90， DE 是直径， SO=12= 点评： 本题考查了等边三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，勾股定理的运用， 圆周角定理的运用，圆的面积公式的运用，等边三角形的性质的运用，二次函数的性 质的运用，解答时灵活运用等边三角形的性质是关键 28 （12 分） （2013内江）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A（x1，0） 、 B（x2，0） （x1x2）两点，与 y 轴交于点
41、 C，x1，x2是方程 x2+4x5=0 的两根 （1）若抛物线的顶点为 D，求 S ABC：S ACD的值； （2）若ADC=90，求二次函数的解析式 考点： 二次函数综合题 分析： （1）首先解一元二次方程，求出点 A、点 B的坐标，得到含有字母 a 的抛物线的交点 式；然后分别用含字母 a 的代数式表示出 ABC 与 ACD 的面积，最后得出结论； （2）在 Rt ACD 中，利用勾股定理，列出一元二次方程，求出未知系数 a，得出抛 物线的解析式 解答： 解： （1）解方程 x2+4x5=0，得 x=5 或 x=1， 由于 x1x2，则有 x1=5，x2=1，A（5，0） ，B（1，0）
42、 抛物线的解析式为：y=a（x+5） （x1） （a0） ， 对称轴为直线 x=2，顶点 D 的坐标为（2，9a） ， 令 x=0，得 y=5a， C 点的坐标为（0，5a） 依题意画出图形，如右图所示，则 OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a， 过点 D 作 DEy 轴于点 E，则 DE=2，OE=9a，CE=OEOC=4a S ACD=S梯形ADEOS CDES AOC =（DE+OA）OEDECEOAOC =（2+5）9a24a55a =15a， 而 S ABC=ABOC=65a=15a， S ABC：S ACD=15a：15a=1； （2）如解答图所示， 在 Rt DCE 中，由勾
43、股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2， 在 Rt AOC 中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2， 设对称轴 x=2 与 x 轴交于点 F，则 AF=3， 在 Rt ADF 中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2 ADC=90，ACD 为直角三角形， 由勾股定理得：AD2+CD2=AC2， 即（9+81a2）+（4+16a2）=25+25a2，化简得：a2=， a0， a=， 抛物线的解析式为：y=（x+5） （x1）=x2+x 点评： 本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的解法、直角三角形与勾股定理、 几何图形面积的计算等知识点，难度不是很大，但涉及的计算较多，需要仔细认真， 避免出错注意第（1）问中求 ACD 面积的方法
