1、 1 2017 届高三暑假自主学习测试试卷届高三暑假自主学习测试试卷 数 学 2016.9 参考公式：参考公式： 样本数据 x1，x2，xn的方差 22 1 1 () n i i sxx n ，其中 1 1 n i i xx n 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分请把答案填写在分请把答案填写在答题卡相应位答题卡相应位 置上置上 1设集合1 , 0 , 1M，0 2 xxxN，则NM 2命题“1x，使得2 2 x”的否定是 3已知i是虚数单位，复数 z 的共轭复数为z ，若 2z =z 2 3i，则 z 4现有 4 名学生 A
2、，B，C，D 平均分乘两辆车，则“A，B 两人恰好乘坐在同一辆车”的 概率为 5曲线 x ey 在0x处的切线方程是 6. 如图是一个输出一列数的算法流程图，则这列数的第三项是 第 6 题图 7. 定义在 R 上的奇函数 f x， 当0x 时， 2 2xf xx， 则( 0 )1ff 8. 已知等差数列 n a的公差为 d，若 12345 ,a a a a a的方差为 8, 则 d 的值为 9. 如图，在长方体 1111 ABCDABC D中，3ABADcm， 1 2AAcm，则三棱锥 11 AB D D的体积为 3 cm 第 9 题图 2 10. 已知 (0,) 2 ， (,) 2 ， 1
3、cos 3 ， 5 3 )sin(，则cos= 11已知函数 3 1 1, ( ) 11, , x f xx x x 若关于x的方程( )(1)f xk x有两个不同的实数根， 则实数k的取值范围是 12圆心在抛物线 2 1 2 yx上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为 13已知点P是ABC内一点（不包括边界），且ACnABmAP,nm,R，则 22 (2)(2)mn的取值范围是 14 已知2,0abb，当 1| 2| a ab 取最小值时，实数a的值是 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，
4、解答时应写出文内作答，解答时应写出文 字说明字说明、证明、证明 过程或演算步骤过程或演算步骤 15（本小题满分 14 分） 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知coscos2 cosbCcBaA （1）求 A 的大小； （2）若= 3AB AC，求ABC 的面积 3 16（本题满分 14 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD 底面ABCD，且 2 2 PAPDAD，若E、F分别为PC、BD的中点. （1）求证：EF平面PAD；（2）求证：EF 平面PDC. 17（本小题满分 14 分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1: 2 2 2 2
5、 b y a x C)0(ba的左、右焦点分别 为 21,F F，点P) 1 , 3(在椭圆上， 21F PF的面积为22。 （1） 求椭圆C的标准方程； 若 12 FQF 3 ，求 21 QFQF 的值. （2）直线kxy与椭圆C相交于 A，B 两点，若以 AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数 k的值. 第 17 题图 4 18（本小题满分 16 分） 如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，20AB 米，广场的一角是半径为16米的扇 形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排 休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN（宽度不计），点M在线段AD上，
6、并且与曲线CE相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN（宽度不计）摆放已知双人靠背直 排椅的造价每米为2a元，单人弧形椅的造价每米为a元，记锐角NBE，总造价为W 元 （1）试将W表示为的函数( )W，并写出cos的取值范围； （2）如何选取点M的位置，能使总造价W最小 第 18 题 图 5 19（本小题满分 16 分） 在数列 n a中，已知 1 2a ， 1=3 21 nn aan （1）求证：数列+ n an为等比数列； （2）记(1) nn ban，且数列 n b的前n项和为 n T,若 3 T为数列 n T中的最小 项，求的取值范围 6 20（本小题满分 16 分） 已知函数 2 ( )l
7、n , ( )f xxx g xxax （1）求函数( )f x在区间,1 (0)t tt上的最小值( )m t； （2） 令 1122 ( )( )( ) , ( , ( ) ) , ( , ( ) )hxg xf x Ax hxBx hx 12 ()xx是函数( )h x图象上任意 两点，且满足 12 12 ( )() 1, h xh x xx 求实数a的取值范围； （3）若(0,1x ，使 ( ) ( ) ag x f x x 成立，求实数a的最大值 7 2017 届高三暑假自主学习测试试卷届高三暑假自主学习测试试卷 数 学 2016. 9 附加题 21【选做题】在【选做题】在 A、B、
8、C、D 四四小题中小题中只能选做两题只能选做两题 ，每小题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分请在分请在 答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 41：几何证明选讲 如图，ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，A为切点，PB交AC于点E， 交圆O于点D，若PEPA，60ABC，且19PDPB，求EC B选修 42：矩阵与变换 已知 2 1 为矩阵 1 14 a A属于的一个特征向量，求实数a，的值及 2 A C选修 44：坐标系与参数方程 自极点 O 任意作一条射线与直线cos3相交于点
9、 M，在射线 OM 上取点 P，使得 12OM OP，求动点 P 的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程 D选修 45：不等式选讲 已知：2ax ，R求证：|1|xaxa 3 （第 21-A 题） 8 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解内作答，解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22（本小题满分 10 分） 在公园游园活动中有这样一个游戏项目： 甲箱子里装有 3 个白球和 2 个黑球， 乙箱子里 装有 1 个白球和 2 个黑球， 这些
10、球除颜色外完全相同； 每次游戏都从这两个箱子里各随机地 摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱） （1）求在一次游戏中摸出 3 个白球的概率； （2）在两次游戏中，记获奖次数为X，求X的数学期望 23（本小题满分 10 分） 已知抛物线 C 的方程为 2 2(0)ypx p，点(1,2)R在抛物线 C 上 （1）求抛物线 C 的方程； （2）过点 Q（1,1）作直线交抛物线 C 于不同于 R 的两点 A，B若直线 AR,BR 分别交 直线:22l yx于 M,N 两点，求线段 MN 最小时直线 AB 的方程 x y A O M N RB Q 9 2017
11、 届高三暑假自主学习测试试卷届高三暑假自主学习测试试卷 数学参考答案及评分标准 2016.9 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分 1. 0 , 1 2. 1x，使得2 2 x 3. i2 4. 3 1 5. 1 xy 630 7. 1 8. 2 9. 3 10. 15 264 11. 1 (0, ) 2 12. 1) 2 1 () 1( 22 yx 13. ）（8 , 2 9 14. 2 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出文字说明、
12、证明过程或演算步骤 15. 解：（1） 法一：在ABC 中，由正弦定理，及coscos2 cosbCcBaA， 得sincossincos2sincosBCCBAA， 3 分 即sin2sincosAAA， 因为(0)A，所以sin0A，所以 1 cos 2 A，6 分 所以 3 A . 8 分 解法二：在ABC 中，由余弦定理，及coscos2 cosbCcBaA， 得 222222222 2 222 abcacbbca bca abacbc ，3 分 所以 222 abcbc， 所以 222 1 cos 22 bca A bc ， 6 分 因为(0)A，所以 3 A .8 分 （2）由=c
13、os = 3AB AC cbA，得2 3bc ，11 分 所以ABC 的面积为 113 =sin2 3sin60 222 SbcA. 14 分 16证明：（1）连结 AC，因为正方形 ABCD 中 F 是 BD 的中点，则F是AC的中点，又 E 是P C的 中 点 ， 在 CPA中 ， E F P A 3分 且 PA平面 PAD，EF平面 PAD，EF平面 PAD6 分 （2）因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD=AD，CD平面 ABCD，又 CDAD， 所以 CD平面 PAD， 8 分 10 G FE AB DC N M 又 PA平面 PAD，CDPA ，因为 EF/P
14、A， CDEF10 分 又 PA=PD= 2 2 AD，所以PAD 是等腰直角三角形，且 2 APD ，即 PAPD 又 EF/PA， PDEF 13 分 而 CDPD=D， PA平面 PDC，又 EFPA，所以 EF平面 PDC14 分 17解：（1） 由条件，可设椭圆的标准方程为1 2 2 2 2 b y a x ， 可知1 19 22 ba ，22c 2 分 又 222 cba， 所以4,12 22 ba， 所以椭圆的标准方程为1 412 22 yx 4 分 当 3 时，有 32)2( , 342 2 21 2 2 2 1 21 cQFQFQFQF aQFQF 6 分 所以 3 16 2
15、1 QFQF 8 分 （2）设),(),( 2211 yxByxA，由 kxy yx 1 412 22 ，得012364 22 kkxx 10 分 4 12 , 4 123 , 2 3 2 21 2 2121 k yy k xx k xx， 12 分 因为以 AB 为直径的圆经过坐标原点，则06 2 2121 kyyxxOBOA， 解得6k，此时0120，满足条件 因此6k 14 分 18 解：（1）过N作AB的垂线，垂足为F；过M作NF的垂线，垂足为G 在RT BNF中，16cosBF，则20 16cosMG 在RT MNG中， 20 16cos sin MN ， 4 分 由题意易得16()
16、 2 CN 6 分 11 因此， 20 16cos ( )216 (), sin2 Waa 7 分 ) 5 4 , 0(cos 9 分 （2） 22 45cos(2cos1)(cos2) ( )168=8 sinsin Waaa ， 令( )=0W ， ， 1 cos 2 ，因为 1 ( ,) 2 ，所以 3 ， 12 分 设锐角 1 满足 1 4 cos 5 ， ），（ 3 0 1 当 1 ( ,) 3 时，( )0W ， ，( )W单调递增 14 分 所以当 3 ， 总造价W最小， 最小值为 8 (16 3) 3 a ， 此时8 3MN ，4 3NG ， 8 3NF ，因此当4 3AM 米
17、时，能使总造价最 小 16 分 19解（1） 1=3 21 nn aan ,)( 31 1 nana nn 又 1 2a ，0, 0naa nn ,故3 1 1 na na n n ， n an是以3为首项，公比为3的等比数列 4 分 （2）由（1）知道+3n n an ，3n n bn. 6 分 12 3(1) 333(1 23)(31) 22 nn n n n Tn LL. 8 分 若 3 T为数列 n T中的最小项， 则对 * n N有 3(1) (31)396 22 n n n 恒成 立 即 12 381(12) n nn 对 * n N恒成立 10 分 1当1n 时，有 13 36
18、5 TT； 2当2n 时,有 23 9TT； 12 分 3当4n时， 2 12(4)(3)0nnnn恒成立, 1 2 381 12 n nn 对4n 恒成立. 12 令 1 2 381 ( ) 12 n f n nn ， 则0 )12)(103( ) 1(162)262(3 )() 1( 22 21 nnnn nn nfnf n 对 4n 恒成立, 1 2 381 ( ) 12 n f n nn 在4n时为单调递增数列. (4)f，即 81 4 . 15 分 综上， 81 9 4 . 16 分 20解（1） 1 ( )1fx x ，令( )0fx，则1x ， 当1t 时，( )f x在,1t
19、t 上单调递增， ( )f x的最小值为( )lnf ttt ； 1 分 当01t 时，( )f x在区间,1t上为减函数，在区间1,1t 上为增函数， ( )f x的最小值为(1)1f. 综上，当01t 时，( )1m t ；当1t 时，( )lnm ttt . 3 分 （2） 2 ( )(1)lnh xxaxx,对于任意的 12 ,(0,)x x ，不妨取 12 xx，则 12 0xx, 则由 12 12 ( )() 1, h xh x xx 可得 1212 ( )()h xh xxx， 变形得 1122 ( )()h xxh xx恒成立， 5 分 令 2 ( )( )(2)lnF xh
20、xxxaxx， 则 2 ( )(2)lnF xxaxx在(0,)上单调递增， 故 1 ( )2(2)0F xxa x 在(0,)恒成立， 7 分 1 2(2)xa x 在(0,)恒成立. 1 22 2x x ，当且仅当 2 2 x 时取“， 2 22a . 10 分 13 （3） ( ) ( ) ag x f x x ， 2 (1)2l na xxxx. (0,1x，1(1,2x ，(0,1x 使得 2 2ln 1 xxx a x 成立. 令 2 2ln ( ) 1 xxx t x x ，则 2 2 23ln1 ( ) (1) xxx t x x ， 12 分 令 2 23ln1yxxx，则由
21、 (1)(41) 0 xx y x 可得 1 4 x 或1x （舍） 当 1 (0, ) 4 x时0y，则 2 23ln1yxxx在 1 (0, ) 4 上单调递减； 当 1 ( ,) 4 x时0y，则 2 23ln1yxxx在 1 ( ,) 4 上单调递增. 1 ln40 8 y ( )0t x在(0,1x上恒成立. ( )t x在(0,1上单调递增. (1)at ，即1a . 15 分 实数a的最大值为1. 16 分 附加题附加题 21. .【选做题】在【选做题】在 A、B、C、D 四四小题中小题中只能选做两题只能选做两题 ，每小题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分分 A选修 41
22、：几何证明选讲 解：弦切角60PAEABC，又PAPE， 所以PAE为等边三角形，由切割线定理有 2 9PAPD PB， 5 分 所以3AEEPPA，2EDEPPD，6EBPBPE， 由相交弦定理有：12EC EAEB ED，1234EC 10 分 B选修 42：矩阵与变换 解：由条件可知 122 1411 a ， 22 24 a ，解得2a 5 分 因此 12 14 A ，所以 2 12121 10 14145 14 A 10 分 14 C选修 44：坐标系与参数方程 解：设( , )P ，M (, ) ， 12OM OP，12 cos3， 12 cos3 则动点 P 的极坐标方程为4cos
23、 5 分 极点在此曲线上，方程两边可同时乘， 得 2 4 cos 22 40xyx 10 分 D选修 45：不等式选讲 解：证明：因为|m|+|n|mn|， 所以|1|1()21|xaxaxaxaa |=| 6 分 又a2，故21|a|3 所以|1|3xaxa 10 分 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分 22. 解：（1）记“在一次游戏中摸出 3 个白球”为事件A 21 32 22 53 1 ( ) 5 C C P A C C 3 分 故在一次游戏中摸出 3 个白球的概率 1 5 4 分 （2）X的所有可能取值为 0，1，
24、2 1 2 33973217749 (0), (1), (2) 10101001010501010100 P XP XCP X X的分布列为 X 0 1 2 P 9 100 21 50 49 100 8 分 故X的数学期望 921497 ()012 100501005 E X 10 分 （或：) 10 7 , 2( BX， 77 ()2 105 E X ，同样给分） 15 23解： （1）将(1,2)R代入抛物线中，可得2p ，所以抛物线方程为 2 4yx 3 分 （2）设AB所在直线方程为(1) 1(0)xm ym， 1122 (,), (,)A xyB xy 与抛物线联立 2 4 1 yx xmym 得： 2 44(1)0ymym，所以 1212 4 ,4(1)yym y ym 5 分 设AR： 1( 1)2yk x， 由 1( 1)2 22 yk x yx 得 1 1 2 M k x k ，而 11 12 111 224 12 1 4 yy k yxy 可得 1 2 M x y ，同理 2 2 N x y 所以 2 1 |5 | 2 5 |1| MN mm MNxx m 8 分 令1(0)mt t ，则1mt 所以 2 113 |5 | 2 5 ()15 24 MN MNxx t 此时 1m ，AB所在直线方程为：20xy 10 分
