1、因动点产生的等腰三角形问题因动点产生的等腰三角形问题例 12017 年重庆市中考第 25 题如图 1，在ABC 中，ACB90，BAC60，点 E 是BAC 的平分线上一点，过点 E 作 AE 的垂线，过点 A 作 AB 的垂线，两垂线交于点 D，连接 DB，点 F 是 BD 的中点，DHAC，垂足为 H，连接 EF，HF（1）如图 1，若点 H 是 AC 的中点，AC2 3，求 AB、BD 的长；（2）如图 1，求证：HFEF（3）如图 2，连接 CF、CE，猜想：CEF 是否是等边三角形若是，请证明；若不是，请说明理由图 1图 2例例 22017 年长沙市中考第年长沙市中考第 26 题题如
2、图 1，抛物线 yax2bxc（a、b、c 是常数，a0）的对称轴为 y 轴，且经过(0,0)和1(,)16a两点，点 P 在该抛物线上运动，以点 P 为圆心的P 总经过定点 A(0, 2)（1）求 a、b、c 的值；（2）求证：在点 P 运动的过程中，P 始终与 x 轴相交；（3）设P 与 x 轴相交于 M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当AMN 为等腰三角形时，求圆心 P的纵坐标图 1例例 32018 年上海市虹口区中考模拟第年上海市虹口区中考模拟第 25 题题如图 1，在 RtABC 中，A90，AB6，AC8，点 D 为边 BC 的中点，DEBC交边 AC 于点 E，点 P 为射
3、线 AB 上的一动点，点 Q 为边 AC 上的一动点，且PDQ90（1）求 ED、EC 的长；（2）若 BP2，求 CQ 的长；（3）记线段 PQ 与线段 DE 的交点为 F，若PDF 为等腰三角形，求 BP 的长图 1备用图例例 42017 年扬州市中考第年扬州市中考第 27 题题如图 1，抛物线 yax2bxc 经过 A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标；（3）在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件
4、的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由图 1例例 52017 年年临沂临沂市中考第市中考第 26 题题如图 1，点 A 在 x 轴上，OA4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由图 1例例 62017 年盐城市中考第年盐城市中考第 28 题题如图 1，已知一次函数 yx7 与正比例函数43yx的图象交于点 A，且与 x 轴交于点 B（1）求点 A 和点 B 的坐标；（2
5、）过点 A 作 ACy 轴于点 C，过点 B 作直线 l/y 轴动点 P 从点O 出发，以每秒 1 个单位长的速度，沿 OCA 的路线向点 A 运动；同时直线 l 从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线 l 交x 轴于点 R，交线段 BA 或线段 AO 于点 Q当点 P 到达点 A 时，点 P和直线 l 都停止运动在运动过程中，设动点 P 运动的时间为 t 秒当 t 为何值时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形若存在，求 t的值；若不存在，请说明理由图 1因动点产生的等腰三角形问题答案因动点产生的等腰三角形问题答案例 1
6、2017 年重庆市中考第 25 题如图 1，在ABC 中，ACB90，BAC60，点 E 是BAC 的平分线上一点，过点 E 作 AE 的垂线，过点 A 作 AB 的垂线，两垂线交于点 D，连接 DB，点 F 是 BD 的中点，DHAC，垂足为 H，连接 EF，HF（1）如图 1，若点 H 是 AC 的中点，AC2 3，求 AB、BD 的长；（2）如图 1，求证：HFEF（3）如图 2，连接 CF、CE，猜想：CEF 是否是等边三角形若是，请证明；若不是，请说明理由图 1图 2动感体验请打开几何画板文件名“15 重庆 25” ，拖动点 E 运动，可以体验到，FAE 与FDH保持全等，CMF 与
7、CAE 保持全等，CEF 保持等边三角形的形状思路点拨1把图形中所有 30的角都标注出来，便于寻找等角和等边2中点 F 有哪些用处呢联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了满分解答（1）如图 3，在 RtABC 中，BAC60，AC2 3，所以 AB4 3在 RtADH 中，DAH30，AH3，所以 DH1，AD2在 RtADB 中，AD2，AB4 3，由勾股定理，得 BD2 13（2）如图 4，由DAB90，BAC60，AE 平分BAC，得DAE60，DAH30在 RtADE 中，AE12AD在 RtADH 中，DH12AD所以 AEDH因为点 F 是 RtABD 的斜边上的中线，所以
8、 FAFD，FADFDA所以FAEFDH所以FAEFDH所以 EFHF图 3图 4图 5（3）如图 5，作 FMAB 于 M，联结 CM由 FM/DA，F 是 DB 的中点，得 M 是 AB 的中点因此 FM12AD，ACM 是等边三角形又因为 AE12AD，所以 FMEA又因为 CMCA，CMFCAE30，所以CMFCAE所以MCFACE，CFCE所以ECFACM60所以CEF 是等边三角形考点伸展我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉如图 6，如图 7，当点 F 落在 BC 边上时，点 H 与点 C 重合图 6图 7如图 8，图 9，点 E 落在 BC 边上如图 10，图 1
9、1，等腰梯形 ABEC图 8图 9图 10图 11例例 22017 年长沙市中考第年长沙市中考第 26 题题如图 1，抛物线 yax2bxc（a、b、c 是常数，a0）的对称轴为 y 轴，且经过(0,0)和1(,)16a两点，点 P 在该抛物线上运动，以点 P 为圆心的P 总经过定点 A(0, 2)（1）求 a、b、c 的值；（2）求证：在点 P 运动的过程中，P 始终与 x 轴相交；（3）设P 与 x 轴相交于 M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当AMN 为等腰三角形时，求圆心 P的纵坐标图 1动感体验动感体验请打开几何画板文件名“14 长沙 26” ，拖动圆心 P 在抛物线上运动，可
10、以体验到，圆与 x 轴总是相交的，等腰三角形 AMN 存在三种情况思路点拨思路点拨1不算不知道，一算真奇妙，原来P 在 x 轴上截得的弦长 MN4 是定值2等腰三角形 AMN 存在三种情况，其中 MAMN 和 NANM 两种情况时，点 P 的纵坐标是相等的满分解答满分解答（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以 yax2所以 b0，c0将1(,)16a代入 yax2，得2116a解得14a （舍去了负值） （2）抛物线的解析式为214yx，设点 P 的坐标为21( ,)4xx已知 A(0, 2)，所以222411(2)4416PAxxx214x而圆心 P 到 x 轴的距离为214x，所以半径
11、PA圆心 P 到 x 轴的距离所以在点 P 运动的过程中，P 始终与 x 轴相交（3）如图 2，设 MN 的中点为 H，那么 PH 垂直平分 MN在 RtPMH 中，2241416PMPAx，22411()416PHxx，所以 MH24所以 MH2因此 MN4，为定值等腰AMN 存在三种情况：如图 3，当 AMAN 时，点 P 为原点 O 重合，此时点 P 的纵坐标为 0图 2图 3如图 4，当 MAMN 时，在 RtAOM 中，OA2，AM4，所以 OM23此时 xOH232所以点 P 的纵坐标为22211(2 32)( 31)42 344x 如图 5，当 NANM 时，点 P 的纵坐标为也
12、为42 3图 4图 5考点伸展考点伸展如果点 P 在抛物线214yx上运动，以点 P 为圆心的P 总经过定点 B(0, 1)，那么在点P 运动的过程中，P 始终与直线 y1 相切这是因为：设点 P 的坐标为21( ,)4xx已知 B(0, 1)，所以222222111(1)(1)1444PBxxxx而圆心 P 到直线 y1 的距离也为2114x ， 所以半径 PB圆心 P 到直线 y1 的距离所以在点 P 运动的过程中，P 始终与直线 y1 相切例例 32018 年上海市虹口区中考模拟第年上海市虹口区中考模拟第 25 题题如图 1，在 RtABC 中，A90，AB6，AC8，点 D 为边 BC
13、 的中点，DEBC交边 AC 于点 E，点 P 为射线 AB 上的一动点，点 Q 为边 AC 上的一动点，且PDQ90（1）求 ED、EC 的长；（2）若 BP2，求 CQ 的长；（3）记线段 PQ 与线段 DE 的交点为 F，若PDF 为等腰三角形，求 BP 的长图 1备用图动感体验动感体验请打开几何画板文件名 “13 虹口 25” ， 拖动点 P 在射线 AB 上运动， 可以体验到， PDM与QDN 保持相似观察PDF，可以看到，P、F 可以落在对边的垂直平分线上，不存在DFDP 的情况请打开超级画板文件名 “13 虹口 25” ， 拖动点 P 在射线 AB 上运动， 可以体验到， PDM
14、与QDN 保持相似观察PDF，可以看到，P、F 可以落在对边的垂直平分线上，不存在DFDP 的情况思路点拨思路点拨1第（2）题 BP2 分两种情况2解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系3第（3）题探求等腰三角形 PDF 时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形 CDQ满分解答满分解答（1）在 RtABC 中， AB6，AC8，所以 BC10在 RtCDE 中，CD5，所以315tan544EDCDC ，254EC （2）如图 2，过点 D 作 DMAB，DNAC，垂足分别为 M、N，那么 DM、DN 是ABC 的两条中位线，DM4，DN3由PDQ90，M
15、DN90，可得PDMQDN因此PDMQDN所以43PMDMQNDN所以34QNPM，43PMQN图 2图 3图 4如图 3，当 BP2，P 在 BM 上时，PM1此时3344QNPM所以319444CQCNQN如图 4，当 BP2，P 在 MB 的延长线上时，PM5此时31544QNPM所以1531444CQCNQN（3）如图 5，如图 2，在 RtPDQ 中，3tan4QDDNQPDPDDM在 RtABC 中，3tan4BACCA所以QPDC由PDQ90，CDE90，可得PDFCDQ因此PDFCDQ当PDF 是等腰三角形时，CDQ 也是等腰三角形如图 5，当 CQCD5 时，QNCQCN54
16、1（如图 3 所示） 此时4433PMQN所以45333BPBMPM如图 6，当 QCQD 时，由cosCHCCQ，可得5425258CQ 所以 QNCNCQ257488（如图 2 所示） 此时4736PMQN所以725366BPBMPM不存在 DPDF 的情况这是因为DFPDQPDPQ（如图 5，图 6 所示） 图 5图 6考点伸展考点伸展如图 6，当CDQ 是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到BDP 也是等腰三角形，PBPD在BDP 中可以直接求解256BP 例例 42017 年扬州市中考第年扬州市中考第 27 题题如图 1，抛物线 yax2bxc 经过 A(1,0)、B(3, 0
17、)、C(0 ,3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标；（3）在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由图 1动感体验动感体验请打开几何画板文件名“12 扬州 27” ，拖动点 P 在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点 P 落在线段 BC 上时，PAPC 最小，PAC 的周长最小拖动点 M 在抛物线的对称轴上运动，观察MAC 的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点 M 有1 次机会落在 AC 的
18、垂直平分线上；点 A 有 2 次机会落在 MC 的垂直平分线上；点 C 有 2 次机会落在 MA 的垂直平分线上，但是有 1 次 M、A、C 三点共线思路点拨思路点拨1第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点 P 在线段 BC 上时PAC 的周长最小2第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性满分解答满分解答（1）因为抛物线与 x 轴交于 A(1,0)、B(3, 0)两点，设 ya(x1)(x3)，代入点 C(0 ,3)，得3a3解得 a1所以抛物线的函数关系式是 y(x1)(x3)x22x3（2）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x1当点 P 落在线段 BC 上时，PAPC 最小，PAC 的
19、周长最小设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 H由BHPHBOCO，BOCO，得 PHBH2所以点 P 的坐标为(1, 2)图 2（3）点 M 的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6)或(1,0)考点伸展考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点 M 的坐标为(1,m)在MAC 中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如图 3，当 MAMC 时，MA2MC2解方程 4m21(m3)2，得 m1此时点 M 的坐标为(1, 1)如图 4，当 AMAC 时，AM2AC2解方程 4m210，得6m 此时点 M 的坐标为(1,6)或(1,6)如图 5，当 CMCA 时，CM2CA2解方程 1(
20、m3)210，得 m0 或 6当 M(1, 6)时，M、A、C 三点共线，所以此时符合条件的点 M 的坐标为(1,0)图 3图 4图 5例例 52017 年年临沂临沂市中考第市中考第 26 题题如图 1，点 A 在 x 轴上，OA4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由图 1动感体验动感体验请打开几何画板文件名“12 临沂 26” ，拖动点 P 在抛物线的对称轴上运动，
21、可以体验到，O 和B 以及 OB 的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点 P 运动到O 与对称轴的另一个交点时，B、O、P 三点共线请打开超级画板文件名“12 临沂 26” ，拖动点 P，发现存在点 P，使得以点 P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形思路点拨思路点拨1用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验2本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点 P 重合在一起满分解答满分解答（1）如图 2，过点 B 作 BCy 轴，垂足为 C在 RtOBC 中，BOC30，OB4，所以 BC2，2 3OC 所以点 B 的坐标为(
22、2, 2 3)（2）因为抛物线与 x 轴交于 O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为 yax(x4)，代入点 B( 2, 2 3)，2 32( 6)a 解得36a 所以抛物线的解析式为2332 3(4)663yx xxx （3）抛物线的对称轴是直线 x2，设点 P 的坐标为(2, y)当 OPOB4 时，OP216所以 4+y216解得2 3y 当 P 在(2,2 3)时，B、O、P 三点共线（如图 2） 当 BPBO4 时，BP216所以224(2 3)16y解得122 3yy 当 PBPO 时，PB2PO2所以22224(2 3)2yy解得2 3y 综合、，点 P 的坐标为(2, 2 3)
23、，如图 2 所示图 2图 3考点伸展考点伸展如图 3，在本题中，设抛物线的顶点为 D，那么DOA 与OAB 是两个相似的等腰三角形由2332 3(4)(2)663yx xx ，得抛物线的顶点为2 3(2,)3D因此2 3tan3DOA所以DOA30，ODA120例例 62017 年盐城市中考第年盐城市中考第 28 题题如图 1，已知一次函数 yx7 与正比例函数43yx的图象交于点 A，且与 x 轴交于点 B（1）求点 A 和点 B 的坐标；（2）过点 A 作 ACy 轴于点 C，过点 B 作直线 l/y 轴动点 P 从点O 出发，以每秒 1 个单位长的速度，沿 OCA 的路线向点 A 运动；
24、同时直线 l 从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线 l 交x 轴于点 R，交线段 BA 或线段 AO 于点 Q当点 P 到达点 A 时，点 P和直线 l 都停止运动在运动过程中，设动点 P 运动的时间为 t 秒当 t 为何值时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形若存在，求 t的值；若不存在，请说明理由图 1动感体验动感体验请打开几何画板文件名“11 盐城 28” ，拖动点 R 由 B 向 O 运动，从图象中可以看到，APR 的面积有一个时刻等于 8观察APQ，可以体验到，P 在 OC 上时，只存在 APAQ 的情况；P
25、 在 CA 上时，有三个时刻，APQ 是等腰三角形思路点拨思路点拨1把图 1 复制若干个，在每一个图形中解决一个问题2求APR 的面积等于 8，按照点 P 的位置分两种情况讨论事实上，P 在 CA 上运动时，高是定值 4，最大面积为 6，因此不存在面积为 8 的可能3讨论等腰三角形 APQ，按照点 P 的位置分两种情况讨论，点 P 的每一种位置又要讨论三种情况满分解答满分解答（1）解方程组7,4,3yxyx 得3,4.xy所以点 A 的坐标是(3，4)令70yx ，得7x 所以点 B 的坐标是(7，0)（2）如图 2，当 P 在 OC 上运动时，0t4由8APRACPPORCORASSSS梯形
26、，得1113+7) 44 (4)(7)8222tttt （整理，得28120tt解得 t2 或 t6（舍去） 如图 3，当 P 在 CA 上运动时，APR 的最大面积为 6因此，当 t2 时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8图 2图 3图 4我们先讨论 P 在 OC 上运动时的情形，0t4如图 1， 在AOB 中， B45， AOB45， OB7，4 2AB ， 所以 OBAB 因此OABAOBB如图 4，点 P 由 O 向 C 运动的过程中，OPBRRQ，所以 PQ/x 轴因此AQP45保持不变，PAQ 越来越大，所以只存在APQAQP 的情况此时点 A 在 PQ 的垂直平分线上，
27、OR2CA6所以 BR1，t1我们再来讨论 P 在 CA 上运动时的情形，4t7在APQ 中，3cos5A为定值，7APt，5520333AQOAOQOAORt如图 5，当 APAQ 时，解方程520733tt ，得418t 如图 6，当 QPQA 时，点 Q 在 PA 的垂直平分线上，AP2(OROP)解方程72(7)(4)ttt ，得5t 如 7 ， 当 PA PQ 时 ， 那 么12cosAQAAP 因 此2cosAQAPA 解 方 程52032(7)335tt，得22643t 综上所述，t1 或418或 5 或22643时，APQ 是等腰三角形图 5图 6图 7考点伸展考点伸展当 P 在 CA 上，QPQA 时，也可以用2cosAPAQA来求解
