1、第 1页（共 5 页）哈师大附中哈师大附中 2022 届届高高三三上学期期上学期期末末考试考试数学试数学试题题（理科）（理科）第第 I 卷卷 (选择题选择题 共共 60 分分)一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的)1.已知集合 |0Ax x， |24Bxx，则()=RAC B?A. ? ? ?B. ? ? ? R o 或 ? ? ?C. ?o ? ? ? ?D. ? R ? ? o 或 ? ? ?2 已知向量 ?与 ?的夹角
2、为o?，? ?o，则 ?在 ?方向上的投影为 ?A.?oB.ooC.?oD. ?oo3. 已知 ?为等差数列 ?的前 ? 项和，且 ? ?，? ?，则 ?的值为 ?A. ?B. ?C. ?D. ?4. 已知，则A.B.C.D.5 已知圆 ?：?o? ?o? o? ? ?（? ? ?）截直线 ? ? ? ? ? 所得线段的长度是 o o，则圆 ? 与圆?： ? ? ?o? ? ? ?o? ? 的位置关系是 ?A内切B相交C外切D相离6.将函数 ? ? sin o?的图象向右平移?个单位长度，所得图象对应的函数 ?A在区间?上单调递增B在区间? 上单调递减C在区间?o上单调递增D在区间?o?o 上
3、单调递减7.如图，在直三棱柱中，为的中点，则异面直线与所成的角为A.B.C.D.8.某班共有 ? 个小组，每个小组有 o 人报名参加志愿者活动现从这 ? 人中随机选出 ? 人作为正式志愿者，则选出的 ? 人中至少有 o 人来自同一小组的概率为()A.3527B.3513C.359D.3569.中国航天工业迅速发展,取得了辉煌的成就,使我国跻身世界航天大国的行列. 中国的目标是到2030 年成为主要的太空大国。它通过访问月球，发射火星探测器以及建造自己的空间站，扩大了太空计划.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 ? 个程序，其中程序 A 只能出现在第一步或最后一步，程序 B 和 C实施时必
4、须相邻，请问实验顺序的编排方法共有 ?A o? 种B ? 种C ? 种D ? 种10.已知抛物线 ?o? o? ? ? 的焦点 ?，过其准线与 ? 轴的交点 ? 作直线 ?，若直线 ? 与抛物线相切于点 ?，则 ? ?（）A.12B.6C.4D.311.已知椭圆22:1169xyC的左、右焦点分别是12, FF，左、右顶点分别是12 , A A，点 P是椭圆 C上异于12 , A A的任意一点，则下列说法正确的个数是（）（1）12 4PFPF；（2）存在点 P满足1290FPF（3）直线1 PA与直线2PA的斜率之积为9 16（4）若12FPF的面积为2 7，则点 P的横坐标为453A.1B.
5、 2C.3D.412.已知函数kxxkxexfxln2)(2，若 ? ? o 是函数 ? ? 的唯一极值点，则实数 ? 的取值范围是 ?A ?oB o? ? ?C.2,(eD.4,(2e第第卷卷 (非选择题非选择题 共共 90 分分)二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，请把正确答案填在题中横线上分，请把正确答案填在题中横线上)13.若2022202222102022)21 (xaxaxaax，则20222022221222aaa的值.14.已知圆的半径为，在圆内随机取一点，则过点的所有弦的长度都大于的概率为.15.直三棱柱111
6、ABCABC的各顶点都在球O的球面上，且1ABAC，3BC ，若这个三棱柱的体积为3，则 球O的表面积为.第 2页（共 5 页）16.已知椭圆1C：2222111xyab（110ab）与双曲线2C：2222221xyab（220ab）有相同的焦点1F、2F，椭圆1C的离心率为1e，双曲线2C的离心率为2e，点P为椭圆1C与双曲线2C的第一象限的交点，且123F PF，则1211ee取最大值时12ee的值为.三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题
7、10 分）在极坐标系中，曲线 ? 的极坐标方程为：?o?sino?，以极点为原点，极轴为 ? 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线 ? 的参数方程为? ? ? ? ?（ 为参数，）? ? （1）求曲线 ? 的直角坐标方程和直线 ? 的普通方程；（2）若 ? 为曲线 ? 上的动点，点 ? 到直线 ? 的距离的最大值为? ?，求 的值18.（本小题 12 分） 某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从篇古诗词中随机抽篇让学生背诵，规定至少要背出其中篇才能过关，某同学只能背诵其中的篇，试求：（1）抽到他能背诵的古诗词的数量的概率分布及数学期望；（2）他能过关的概率19.（本小题 12 分） 已知数列
8、 ?是等差数列， ?是递增的等比数列，且 ? ?，? o，?o? o?o，? ? ?（1）求数列 ?和 ?的通项公式；（2）若 ?o?，求数列 ?的前 ? 项和 ?20.（本小题 12 分） 如图，? 且 ? ? o?，? ? ?，? 且 ? ? ?，? 且? ? o?，? ? 平面 ?，? ? ? ? ? ? o（1）若 ? 为 ? 的中点，? 为 ? 的中点，求证：?平面 ?（2）求二面角 ? ? ? ? ? 的正弦值；（3）若点 ? 在线段 ? 上，且直线 ? 与平面 ? 所成的角为 ?，求线段 ? 的长21. （本小题 12 分）已知函数 ? ? ?oo? ? ? ? ? ? ? ?
9、? ln?，? ? o（1）求函数 ? ? 的单调区间；（2）若 ? ? ? ? 且 ，? ? 证明：? ? ? ? ? ? ， ln? ? ? ? ?.22.（本小题 12 分）如图，已知椭圆 ?：?o?o?o?o? ? ? ? ? ? ? 的长轴长为 ?，焦距为 o o，矩形 ? 的顶点 ?，? 在 ? 轴上，?，? 在椭圆 ? 上，点 ? 在第一象限，? 的延长线交椭圆 ?于点 ?，直线 ? 与椭圆 ?，? 轴分别交于点 ?，直线 ? 交椭圆于点 ?，连接 ?（1）求椭圆 ? 的方程；（2）设直线 ?，? 的斜率分别为 ?，?o，求证：?o为定值；（3）求直线 ? 的斜率 ? 的最小值第
10、 3页（共 5 页）数学试题（理科）参考答案数学试题（理科）参考答案1.B 2.D 3.C 4.A 5.B 6.A 7.C 8.A 9.C 10.C 11.B 12.D 13.-1 14.15.2016.4 3317. （1） 由 ?o?sino?得 ?o? ? ?sin?o? ?，因为 ?o? ?o? ?o，?sin? ? ?，所以曲线 ? 的直角坐标方程为：?o? ?o? ?由? ? ? ? ?消去参数 ，得直线 ? 的普通方程为：? ? o ? ? ? ? （2） 由（?）可得曲线 ? 的参数方程为? ? ocos? ? sin?（? 为参数）由点到直线的距离公式，得点 ? 到直线 ?
11、的距离 ? ?ocos?o ?sin?sin ?因为 ?max? ?，所以 ?sin ? ? max? ?，又 ?sin ? ? ， ? ? ? ? 所以当 ? ? 时，? ? ，? ? 得 ? o；当 ? ? 时，? ? ，? ? 得 ? o所以 ? o18. （1） 记抽到他会背诵的古诗词的数量为，则的所有可能取值为， ， ， ，且，的分布列为数学期望13119( )01233010265E x （2） 他能过关的概率为19.（1） 设数列 ?是公差为 ? 的等差数列， ?是公比为 ? ? ? ? 的等比数列，由 ? ?，? o，?o? o?o，? ? ?，可得 o? ? o ? ? ?
12、，o?o? ? ? ? o? ? ?，解得 ? ? ?，? ? ?（舍）或 ? ? ?，? ? o，则 ? ? ? ? ? ? ? ?，? o ? o? o?（2） ?o?o?o?o?o?o?，则? ?oo?oo?o?o?o? ? ?o?o? ?o?.20. （1） 依题意，以 ? 为坐标原点，分别以 ? ?，? ?，? ?的方向为 ? 轴，? 轴，? 轴的正方向建立空间直角坐标系可得 ? ? ，? o? ，? ?o? ，? ?o? ，? o?o ，? ?o ， ?o ，? ?o? ，? ?o ，设 ? ? ? ? 为平面 ? 的法向量，则? ? ? ? ? o? ? ? ? ? ? ? o?
13、 o? ? ?不妨令 ? ? ?，可得 ? ? ? ? ? ；又 ? ? ?o? ，可得 ? ? ? ? ?，又因为直线 ? ? 平面 ?，所以 ?平面 ?；（2） 依题意，可得 ? ? ? ? ，? ? ? ? o?o ，? ? ? ? ?o 设 ? ?为平面 ? 的法向量，则? ? ? ? ? ? ? ? o? o? ?不妨令 ? ?，可得 ? ? ；设 ? ? ?o?o?o为平面 ? 的法向量，则? ? ? ? ?o? ? ? ? ? ?o? o?o? ?不妨令 ?o? ?，可得 ? ? ?o? 因此有 cos? ? ? ? ? ?，于是 sin? ? ?所以二面角 ? ? ? ? ?
14、的正弦值为?；（3） 设线段 ? 的长为 ?，（? ? ?o ），则点 ? 的坐标为 ? ，可得 ? ? ? ? ?o? ，而 ? ? ?o? 为平面 ? 的一个法向量，故 ?cos? ? ? ? ? ? ? ?o?o?，由题意，可得o?o? sin?o，解得 ? ? ?o 所以线段 ? 的长为?21.（1） ? ? ? ? ? ? ?，? ? ?，因为 ? ? o，所以 ? ? ? ? ?，所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 或 ? R ? R ?，? ? R ? ? ? R ? R ? ? ?，所以 ? ? 的单调递增区间为 ? ， ? ? ? ? ? ，单调递减区间为 ? ?
15、（2） 令 ? ? ? ln? ? ? ? ?，则 ? ? ?，? ? ? ? ? ? R ? R ?，故 ? ? 在 ? 单调递增，在 ? ? ? 上单调递减，故 ? ? ? ? ? ? ?，即 ln? ? ? ? ?，第 4页（共 5 页）欲证：? ? ? ? ? ? ， ln? ? ? ? ?，即证：? ? ? ? ? ?， ?ln?，令 ? ? ?ln?，? R ? R ，则 ? ? ?ln?ln?o，因为 ln? ? ? ? ?，故 ln? ? ? ? ?，所以 ? ? ? ?，? ? 在 ? 上单调递增，所以 ? ? R ? ? ?ln，故欲证 ? ? ? ? ? ?， ?ln?，
16、只需证 ? ? ? ?ln，因为 ? ， ? ? ? 所以oo? ? ? ? ? ? ? ? ln? ?o，即?oo? ? ? ? ? ? ? ln， 因为 ln R ，? ? 故 ? ? ? ln，? ? 故等价于证明：ln ? o?，令 ? ? ? ln? ?o ?，? ? ?，则 ? ? ?o? ?o? ?，? ? 在 ? ? ? 上单调递增，故 ? ? ? ? ? ? ?，即 ln? ?o ?，从而结论得证22. （1） 因为椭圆的长轴长为 ?，焦距为 o o，所以 o? ? ?，o? ? o o，解得 ? ? o，? ?o，所以 ?o? ?o? ?o? o，所以椭圆的方程为?o?oo
17、? ?（2） 设 ? ? ，? ? ? ，? ? ?，? ?，? ? ? ?，所以 ? ?o?，直线 ? 的方程为 ? ?o? ?o，令 ? ? ?，得 ?o，?o? ? ?o?o?，所以?o?o?o?，故?o为定值 ?（3） 由（o）知直线 ? 的方程为 ? ?o? ?o，将直线 ? 与椭圆联立，得 ? ?oo?o?o?o? ?o?o? ? ? ?，所以 ? ? ?o?oo?o，得 ?o?o?o?o?o?o，所以 ?o?o?o?o?o?o? ?o?o?o?o?o，同理，将直线 ? 的方程与椭圆的方程联立，可得? ?oo?o?o?o? ?o?o? ? ? ?，所以 ? ? ?o?oo?o，解得 ?o?o?o?o?o?o，所以 ?o?o?o?o?o?o?o?o?o，所以?o?o?o?o?o?oo?o?oo?o?o?o?o?o?o?o?oo?o?o?o?o?o?o?o ?o?o?o?o?当且仅当 o?o? ?o时，取等号，所以 ?min?o第 5页（共 5 页）
