1、1函数对称性知识加油站一、一般的轴对称：一、一般的轴对称： 函数( )yf x的图象关于直线xa对称( )(2)f xfax()()f axf ax； 若函数( )yf x满足()()f axf bx，则( )yf x的图象关于直线2abx成轴对称二、二、一般的中心对称：一般的中心对称： 函数( )yf x的图象关于点()ab，对称2f axf axb 2( )(2)bf xfax 若函数( )yf x满足()()f axf bxc，则( )yf x的图象关于点22abc，成中心对称三、含绝对值的函数：三、含绝对值的函数：( )f xxa的图象关于直线xa对称，且函数的最小值为0；( )f x
2、xaxb的图象关于直线2abx对称，且函数的最小值为ba；( )f xxaxb的图象关于点02ab，对称，且函数的值域为abab，方法一：可以由函数图象的对称性获得( )f xxa( )f xxaxb（ab）( )f xxaxb（ab）四、函数的周期性四、函数的周期性 f x定义域为D，T R，且0T ，满足对于任意的xD，均有 f xTf x只要确定T为一个周期，那么在每个长为T的区间中，函数图象会被不停重复，此区间中的每个性质都会被不停重复下去，所以不可能存在一个周期函数只有一个零点，周期性是一种重复的表达若T为周期，那么T的任何整数倍也都是它的周期周期性的描述：自变量的差为常数T时，函数
3、值保持不变如：23xxTxTxT， ，差都为T；而1112xxTxT ，差也一定，也都为T周期性的常见表达：f xaf xb，函数( )f x的周期Tab；2半周期表示：若( )f x满足后面两式中的任意一个 mf xaf xf xamf x( )f x有周期2Ta1对于函数 f x，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 f xTf x，那么函数 f x就叫做周期函数非零常数T叫做这个函数的一个周期2如果周期函数 f x的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 f x的最小正周期3 若函数( )yf x满足：()()f xaf xb，则函数( )f x是
4、周期为|Tba的函数； 若函数( )yf x满足：()()f xaf xbc，则函数( )f x是周期为2|Tba的函数 若函数( )yf x满足：()()f xaf xbc，则函数( )f x是周期为2|Tba的函数（其中abc， ，为常数，且ab）五、五、双对称性函数具有周期性双对称性函数具有周期性1. 若函数( )f x的图象关于点0a，及点0b，对称，则函数( )f x是周期为2|Tba的函数证明：( )(2)( )(2)(2)(2)2f xfaxf xfbxfaxfbxTba ， 若函数( )f x的图象关于直线xa及xb对称，则函数( )f x是周期为2|Tba的周期函数证明：( )(2)( )(2)(2)(2)2f xfaxf xfbxfaxfbxTba， 若函数( )f x图象关于直线xa对称， 且关于点0b，对称， 则函数( )f x是周期为4|Tba的周期函数证明： ( )(2)( )(2)(2)(2)44f xfaxf xfbxfaxfbxf xfbax ，2注意区别如下四个关系式反映的函数性质：()()f axf bx：( )f x有对称轴2abx；()()f axf bx ：( )f x有对称中心02ab，；()()f xaf xb：( )f x有周期ba；()()f xaf xb ：( )f x有周期2 ba
