1、数学参考答案第 1 页（共 6 页）北京市东城区 20212022 学年度第一学期期末统一检测高三数学参考答案2022.1一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）（1）A（2）C（3）B（4）D（5）A（6）D（7）C（8）A（9）B（10）B二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）（ 11 ）12i （12）1；2（13）若/ /ml，m，则l（答案不唯一）（14）2，313（15）三、解答题（共 6 小题，共 85 分）（16） （共 13 分）解： （）在ABC中，105ba，10cos10A，设5am，10bm，其中0m.根据余弦定理2222cosab
2、cbcA，得22210251021010mmccm.整理，得222150cmcm，因为0c ，解得5cm，所以ac.所以ABC为等腰三角形.7 分数学参考答案第 2 页（共 6 页）（）若选择条件：在ABC中，由10cos10A ，得3 10sin10A .所以2113 101515sin105221022ABCbcAmmmS.解得1m，即10b .13 分若选择条件：在ABC中，由AB边上的高为 3，得sin3bA .由10cos10A ，得3 10sin10A .解得10b .13 分（17） （共 14 分）解： （）如图，连结 BD，交 AC 于点 O，连结 MO.因为直线/ /PB平
3、面ACM，又平面PBD平面ACMMO，PB 平面PBD，所以/ /PBMO因为正方形ABCD，所以O为BD的中点所以M为PD的中点5 分（）因为底面ABCD为正方形，PA平面ABCD，所以 AB，AD，AP 两两垂直.如图建立空间直角坐标系.设1AB ，可得(0,0,0)A，(1,0,0)B，(1,1,0)C，(0,1,0)D，(0,0,1)P则(1,1,0)AC 设(01)PMPD ，数学参考答案第 3 页（共 6 页）则(0, ,1).AMAPPMAPPD 设( , , )x y zn为平面MAC的法向量，则00ACAM ，nn即0(1)0.xyyz，令1y ，z ，则1x，可得(1,1,
4、)n又BDAC，BDPA，所以( 1,1,0)BD 为平面PAC的法向量，22(1)3cos32342BDBDBD nnn，解得23，所以2PMMD.14 分（18） （共 13 分）解： （）依题意，参与调查的学生有 200 人，其中清楚垃圾分类后处理方式的学生有128242468人.在样本中，学生清楚垃圾分类后的处理方式的频率为681720050.用样本的频率估计总体的频率，可估计从该校学生中随机抽取一人，该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率为1750.3 分（）X 的所有可能取值为 0，1，2.记事件A为“从样本初中部学生中随机抽取 1 名学生，该学生清楚垃圾分类后处理方式” ，事件B为“
5、从样本高中部学生中随机抽取 1 名学生，该学生清楚垃圾分类后处理方式” ，则24242( )242438345P A，1281( )12828324P B.由题设知，事件A，B相互独立，所以219(0)()= 115420P XP A B；数学参考答案第 4 页（共 6 页）21219(1)= ()= 11545420P XP ABA B；211(2)()5410P XP AB.所以 X 的分布列为X012P92092011099113()012=20201020E X .11 分（）DD. 2 分（19） （共 15 分）解： （）由题可知3,1ac，则2222bac.故椭圆C的方程为221
6、32xy. 5 分（）设00(,)P x y0(3)x ，则2200132xy，即2200236xy.由M为AP的中点，得003(,)22xyM，所以003OMykx.因为直线AP的斜率003ykx，且/ /OQAP，所以直线OQ的方程为003yyxx.令3x ，得0033yyx，则003(3,)3yQx .因为(1,0)F，所以0032(3)FQykx.所以200020003312(3)3 2(3)OMFQyyykkxxx .所以直线OM与FQ斜率的乘积是为定值-1. 15 分（20） （共 15 分）解： （）设函数( )lnf xx，( )f x的定义域为0 +，.数学参考答案第 5 页
7、（共 6 页）因为1( )fxx，所以1(e)ef.当et 时，ln1t ，即(e,1)A.所以切线l的方程为11(e)eyx ，即1eyx.5 分（）由（）知，曲线lnyx在点( ,ln )A tt处的切线方程为1ln()ytxtt，即1ln1yxtt.令0y ，得lnxttt ，所以(ln0)M ttt，.11( )lnln =(ln )ln22S ttttttttt.( )S t的定义域为(0,1)(1, e)(e,).设( )(ln )ln (0)ttttt t，则2( )lnln1ttt.令( )0t，解得15ln2t ，或15ln2t .即1520et ，或152et .当01t
8、，或et 时，1( )( )2S tt，1( )( )2S tt.( )0S t ，得1520et ，或et .当1et 时，1( )( )2S tt ，1( )( )2S tt .( )0S t ，得1+ 521et .所以函数( )S t的单调增区间为152(0,e) ，1+ 52(1,e)，(e,).15 分数学参考答案第 6 页（共 6 页）（21） （共 15 分）解： （）依题意121aa，且2(1 2)nnaa n，所以数列 na的前 10 项和为 5.4 分（）由于数列 na具有性质4(4)P和( )tP t，其中t为大于零的奇数，令21tk，*k N，则有+2+2+2 -1+
9、2 -14nnkknknaaaa，所以+1+1+2 -12nnknknaaaa.综上 na为常数列.又因为 na具有性质4(4)P，所以1234+4aaaa.所以1na .9 分（）要证1NN kaaakm，只需证12NNNkaaaakm，即只需证12()()()0NNNkaaaaaammm，令数列nnabam，由于数列 na具有性质( )mP a，则数列 nb具有性质(0)mP.令12*()iiSbibbN，设12mSSS， ， ，的最小值为(1)NSNm，对*k N，令Nkpmr，,prN,0rm，由于 nb具有性质(0)mP，所以0pmS.所以+1212pm rpmpmpmpm rrrNSSbbbbbbSS.所以11+NNNkaaaakm成立.15分
