1、第3章 傅里叶变换 由数学分析课程已知，按照傅里叶级数的定义，周期由数学分析课程已知，按照傅里叶级数的定义，周期函数可由三角函数的线性组合来表示，若函数函数可由三角函数的线性组合来表示，若函数f(t)f(t)的周期的周期为为T T1 1 ，角频率，角频率 ，频率，频率 ，在满，在满足足狄氏条件狄氏条件时，可展成傅里叶级数展开表达式为时，可展成傅里叶级数展开表达式为3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 sincos111nnn0tnbtnaaf(t)11T2 T1f1tnbtnatbtatbtaatfnn11121211110sincos2sin2cossincos)(（3-
2、13-1）一三角函数形式的傅里叶级数第3章 傅里叶变换为方便起见为方便起见, ,常将积分区间常将积分区间t t0 0 t t0 0+T+T1 1取为取为0 0T T1 1或或 。直流分量直流分量11Ttt000f(t)dtT1a余弦分量的幅度余弦分量的幅度正弦分量的幅度正弦分量的幅度100)cos(211Tttndttnf(t)Ta1)(1Ttt1n00dttnf(t)sinT2b式中式中n n为正整数为正整数, ,各次谐波成分的幅度值按以下各式计算各次谐波成分的幅度值按以下各式计算2T2T11（3-2）（3-3）（3-4）第3章 傅里叶变换狄利克雷（狄利克雷（Dirichlet）条件：）条件
3、：（被展开的周期函数需要满足的（被展开的周期函数需要满足的充分条件充分条件）（1）在一周期内，如果有间）在一周期内，如果有间断点断点存在，则间断点存在，则间断点的数目应是的数目应是有限个有限个；（2）在一周期内，）在一周期内，极大值极大值和和极小值极小值的数目应是的数目应是有有限个限个；（3）在一周期内，信号满足）在一周期内，信号满足绝对可积绝对可积。即。即100Tttdt) t (f等于等于有限值有限值（T1为周期）。为周期）。第3章 傅里叶变换知识回顾知识回顾实际上，在电子、通信、控制等工程技术中的周期实际上，在电子、通信、控制等工程技术中的周期信号一般都能满足这一条件，故以后一般不再特别
4、注明信号一般都能满足这一条件，故以后一般不再特别注明此条件。此条件。 若将式（若将式（3-1）中的同频率项加以合并，又可以写成三）中的同频率项加以合并，又可以写成三角函数形式的傅里叶级数的另外一种形式：角函数形式的傅里叶级数的另外一种形式：110)cos()(nnntncctf（3-5）110)(sindd)(nnntntf（3-6）第3章 傅里叶变换比较比较(3-1)和和(3-5)、(3-6)，可得傅里叶级数中各量之间的关系：，可得傅里叶级数中各量之间的关系：000dac2n2nnnbadcnnnnnsindcoscannnnncosdsincbnnnabtannnnbatan nbnnan
5、cndn图图3-1 三角级数系三角级数系数关系的矢量图数关系的矢量图（3-73-7）第3章 傅里叶变换式式(3-1)(3-1)表明：任何周期信号只要满足狄利克雷条件就表明：任何周期信号只要满足狄利克雷条件就可以分解成可以分解成直流分量直流分量以及许多以及许多正弦、余弦分量正弦、余弦分量。这些正弦、余弦分量的频率必定是这些正弦、余弦分量的频率必定是基频基频f f1 1的整数倍的整数倍。通常把频率为通常把频率为f f1 1的分量称为的分量称为基波基波，频率为，频率为2f2f1 1、3f3f1 1，等等分量分别称为分量分别称为二次谐波、三次谐波二次谐波、三次谐波等。等。显然，直流分量的大小以及基波与
6、各次谐波的幅度、显然，直流分量的大小以及基波与各次谐波的幅度、相位取决于周期信号的波形。相位取决于周期信号的波形。第3章 傅里叶变换从从(3-3)(3-3)到到(3-7)(3-7)可已看出，各分量的幅度可已看出，各分量的幅度a an n、b bn n、c cn n及相位及相位都是都是nn1 1的函数。如果把的函数。如果把C Cn n对对 nn1 1的关系绘成图如图的关系绘成图如图(3-2)(3-2)那样的线图，便可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小。那样的线图，便可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小。这种图称为信号的这种图称为信号的幅度频谱幅度频谱或简称或简称幅度谱幅度谱。图中每条线代表图
7、中每条线代表某一频率分量的幅度某一频率分量的幅度，称为，称为谱线谱线。连接各个谱线的顶点的曲。连接各个谱线的顶点的曲线成为线成为包络线包络线，它反映了各分量的幅度的变化情况。，它反映了各分量的幅度的变化情况。类似地，还可以画出各分量的相位对频率的线图，这类似地，还可以画出各分量的相位对频率的线图，这种图称为种图称为相位频谱相位频谱，或简称，或简称相位谱相位谱。幅度频率特性和相位频率特性n第3章 傅里叶变换1 13 nc0c1c3cO1 13 n O幅度频谱幅度频谱曲线曲线或或 nnFc相位频谱相位频谱曲线曲线 n谱线包络线图图3- 幅频、相频特性幅频、相频特性第3章 傅里叶变换周期信号频谱的特
8、点周期信号频谱的特点（1）频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正）频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，即频谱具有弦分量，即频谱具有离散性离散性。（2）频谱的每条谱线都只能出现在基波频率）频谱的每条谱线都只能出现在基波频率1的整数的整数倍的频率上，即频谱具有倍的频率上，即频谱具有谐波性谐波性。（3）频谱的各条谱线的高度，即各次谐波的振幅总是随）频谱的各条谱线的高度，即各次谐波的振幅总是随着谐波次数的增大而逐渐减小；当谐波次数无限增大时，着谐波次数的增大而逐渐减小；当谐波次数无限增大时，谐波分量的振幅也就无限趋小，即频谱具有谐波分量的振幅也就无限趋小，即频谱具有收敛性收敛性。
9、第3章 傅里叶变换二指数函数形式的傅里叶级数 sincos111nnn0tnbtnaaf(t)周期信号的傅里叶级数可以展开成指数形式。由周期信号的傅里叶级数可以展开成指数形式。由(3-1)已知已知由欧拉公式有由欧拉公式有t-jntjn111ee21t)cos(ntjn-tjn111ee2j1t)n(sin（3-7）第3章 傅里叶变换把上式代入把上式代入(3-1)，得，得11jn-jnnnnn0 1jbjb( )()22ttaaf taee（3-）令令)jb(a21)F(nnn11,2,.)(n （3-）考虑到考虑到an是是n的偶函数，的偶函数，bn是是n的奇函数，由的奇函数，由(3-9)可知可
10、知)jb(a21)nF(nn1将上述结果代入将上述结果代入(3-8)，得，得e)nF(e)F(naf(t)tjn-11ntjn1011第3章 傅里叶变换 tjnen)F(nf(t)11nT0tjn11F dtef(t)T1)F(n11令令F(0)=a0，考虑到，考虑到11nntjn1tjn111)eF(n)enF(n取负值，通过引入负频率把二者统一得到得到指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数为为将将(3-3)、(3-4)代入代入(3-9)即即 的表达式中得的表达式中得简记作Fn（3-103-10）（3-113-11）1F(n )第3章 傅里叶变换njb21njb21nFn-F2annanc
11、nn图图3-3 复指数级数系数的矢量关系复指数级数系数的矢量关系nn2n2n2n2nnnnnnnnnn2n2nnnnnnnnjnnnnnjnn0000FF4badc)Fj(FbFFacFFba21d21c21FF)jb(a21eFF)jb(a21eFFadcF1,2,.)(n （3-123-12）虚部实部第3章 傅里叶变换图图3- 复频谱复频谱同样可以画出指数形同样可以画出指数形式表示的信号的频谱。因式表示的信号的频谱。因为为Fn一般是复函数，所以一般是复函数，所以称这种频谱为称这种频谱为复数频谱复数频谱。如图如图3-4所示。所示。当当Fn为实数时，可以用为实数时，可以用Fn的正负表示的正负表
12、示n 的，的，因，因此，常把幅度谱和相位谱此，常把幅度谱和相位谱和在一张图上画。和在一张图上画。第3章 傅里叶变换由于式由于式(3-10)中既包含正频率也包含负频率，因中既包含正频率也包含负频率，因此，频谱相对于纵轴是此，频谱相对于纵轴是左右对称的左右对称的。两种谱线不同两种谱线不同之处仅在于图之处仅在于图(3-2)中每条谱线代中每条谱线代表一个分量的幅度，而表一个分量的幅度，而(3-4)中每个分量的幅度一分中每个分量的幅度一分为二，在正负频率相对应的位置上各一半，所以，为二，在正负频率相对应的位置上各一半，所以，只有把正负频率上对应的这两条谱线矢量相加起来只有把正负频率上对应的这两条谱线矢量
13、相加起来才代表一个分量的幅度。才代表一个分量的幅度。第3章 傅里叶变换 的实函数的性质不变。，才能保证和数，必须有共轭对是实函数，分解成虚指为什么引入负频率？)(11jjtfeetfnn所以，负频率的出现完全是数学运算的结果，所以，负频率的出现完全是数学运算的结果，并没有任何物理意义，只有把负频率与相应的正频并没有任何物理意义，只有把负频率与相应的正频率成对地合并起来，才是实际的频谱函数。率成对地合并起来，才是实际的频谱函数。第3章 傅里叶变换三周期信号的功率nnnnnTFbacttfTP21222002d)(1 这就是这就是帕塞瓦尔定理（帕塞瓦尔定理（ParsevalParseval) )在
14、傅里叶级在傅里叶级数情况下的具体体现数情况下的具体体现; ; 表明：表明：周期信号平均功率周期信号平均功率= =直流、基波及各次直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和；谐波分量有效值的平方和；也就是说，也就是说，时域和频域的能量是守恒时域和频域的能量是守恒的的. . 绘成的线状图形，表示绘成的线状图形，表示 各次谐波的平各次谐波的平均功率随频率分布的情况，称为均功率随频率分布的情况，称为功率谱系数功率谱系数。 2nFF2n(3-13)第3章 傅里叶变换四函数的对称性与傅里叶级数的关系四函数的对称性与傅里叶级数的关系1偶函数信号波形相对于纵轴是对称的信号波形相对于纵轴是对称的)()(tftf )
15、(tfOtTET 0 nb 2010dcos)(4TnttntfTa nnnnajbanFF2121)(1 0 n 为实函数。为实函数。项。项。项，只含直流项和余弦项，只含直流项和余弦傅里叶级数中不含正弦傅里叶级数中不含正弦)(1 nF第3章 傅里叶变换2奇函数)()(tftf 对称的：对称的：波形相对于纵坐标是反波形相对于纵坐标是反 0= d)(1 220 TTttfTa0dcos)(2221 TTnttntfTa 201010dsin)(4dsin)(2TTnttntfTttntfTb nnnnjbjbanFF2121)(1 为虚函数。量，傅里叶级数中无余弦分)(1nF)(tfOtTT 1
16、1 第3章 傅里叶变换3奇谐函数半波对称函数若波形沿时间轴平移半个周若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化：此时波形并不发生变化： 2)(Ttftf)(tfOtTT 2Tf(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即的傅氏级数偶次谐波为零，即00 an=2,4,6,时时, n=1,3,5,时时, 0 nnba 201dcos)(4TnttntfTa 201dsin)(4TnttntfTb 第3章 傅里叶变换4偶谐函数称为偶谐函数。称为偶谐函数。与原波形重合，与原波形重合，波形移动波形移动21T 21Ttftf112T )(tfOt1T1T 21T21T
17、 f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量n=1,3,5,时时, n=2,4,6,时时,0 nnba 20111dcos)(4TnttntfTa 20111dsin)(4TnttntfTb 第3章 傅里叶变换第3章 傅里叶变换五傅里叶有限级数与最小方均误差 1110sincosnnntnbtnaatf )()12(tfN项来逼近项来逼近取前取前 NnnnNtnbtnaaS1110sincos 误差函数误差函数 NNStft )( 第3章 傅里叶变换方均误差方均误差 100d)(1)(212TttNNNttTtE NnnnNNbaatftE122202221)( 当选取傅里叶级数的项数愈多，当选取傅里叶级数的项数愈多，在所合成的波形三在所合成的波形三S中出现的蜂起愈靠中出现的蜂起愈靠近近f(t)的不连续点。当选取的的不连续点。当选取的N很大时，很大时，该峰起值趋于一个常数，它大约等于总该峰起值趋于一个常数，它大约等于总跳变的，并从不连续点开始以起伏跳变的，并从不连续点开始以起伏震荡的形式逐渐衰减下去。震荡的形式逐渐衰减下去。(3-14)吉布斯吉布斯(Gibbs)现象现象
