1、第四节 弧微分与曲率一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径四、小结第四章设 f (x)Ca, b, L为y = f (x)所表示的曲线.规定:(1)x增大增大的的方向为方向为L的正方向的正方向.ydyPMMM0Oyxsx0 xx+xL000000M MM MsM MM Ms （2 2）当当弧弧段段的的方方向向与与曲曲线线正正向向一一致致时时，的的弧弧长长，弧弧段段的的方方向向与与曲曲线线正正向向相相反反时时，的的弧弧长长在L上取点M0, 弧 M0M 的长度为|M0M |, 规定了弧长s的值为)s =|M0M |, M0M 的方向与L正向相同.) |M0M |, M0M 的方向与L正
2、向相反.)一、 弧微分)(xfy 设在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,弧长)(xsAMsxsMMMMxMMMMMMxyx22)()( 221()01()0MMyxMMxMMyxMMx xsxsx0lim)(2)(1yxAB)(xfy abxoyxMxxMy0lim1xMMMM 0lim1xMMMM 则弧长微分公式为 22d( )( )dsx ty tt)(xs2)(1yxysd)(1d2或22)(d)(ddyxsxxdxdxoyxMydT几何意义几何意义:sdTM若曲线由参数方程表示:)()(tyytxx弧长的微分等于自变量x的增量相对应的切线段的长度.二、曲率及其计算公式二、曲
3、率及其计算公式曲率是描述曲线弯曲程度（局部性质）的量。曲率是描述曲线弯曲程度（局部性质）的量。1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN ) 弧段弯曲程度越大弧段弯曲程度越大切线转过的角度即转角越大切线转过的角度即转角越大转角相同弧段越短弯曲程度越大转角相同弧段越短弯曲程度越大1.曲率的定义曲率的定义1 ) S S) .M .MC0Myxo.sKMM 的平均曲率为的平均曲率为弧段弧段（设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，0.M将将作作为为基基点点, sMM （. 切切线线转转角角为为MM定义定义sKs 0lim曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率,lim0存在的条件下存在的条件下在在d
4、sdss .dsdK 如图所示 ,RssKs0limR1可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .sRMM注意注意: (1) 直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且且半径越小曲率越大半径越小曲率越大(弯曲越厉害弯曲越厉害).2.曲率的计算公式曲率的计算公式,)(二阶可导二阶可导设设xfy ,tany ,12dxyyd 322.(1)ydKdsy ,arctany 有有.12dxyds ( ),( )xtyt 若若曲曲线线由由参参数数方方程程给给出出，且且二二阶阶可
5、可导导3222( )( )( )( ).( )( )ttttKtt ,)()(ttdxdy .)()()()()(322tttttdxyd 例例1 1?2上哪一点的曲率最大上哪一点的曲率最大抛物线抛物线cbxaxy 解解,2baxy ,2ay 3222.1(2) aKaxb显然显然,2时时当当abx .K最最大大,)44,2(2为抛物线的顶点为抛物线的顶点又又aacbab .最大最大抛物线在顶点处的曲率抛物线在顶点处的曲率322(1)yKy 三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径定义定义D)(xfy M1RK ( )( , )(0).,1.,(),.yf xM x yK KMDDMRDRKM
6、 设设曲曲线线在在点点处处的的曲曲率率为为在在点点处处的的曲曲线线的的法法线线上上在在凹凹的的一一侧侧取取一一点点使使以以为为圆圆心心为为半半径径作作圆圆 如如图图 称称此此圆圆为为曲曲线线在在点点处处的的曲曲率率圆圆,曲曲率率中中心心 D.R 曲曲率率半半径径xyo1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.11,.RKKR即即注意注意: :2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越曲线在该点处的曲率越小小(曲线越平坦曲线越平坦);曲率半径越小曲率半径越小,曲率越大曲率越大(曲线越弯曲曲线越弯曲
7、).3.曲率圆与曲线在点曲率圆与曲线在点M处相切（即有公共切线，导数相同）处相切（即有公共切线，导数相同）且具有相同的凹向（二阶导数相同）且具有相同的凹向（二阶导数相同） ，相同的曲率，因，相同的曲率，因此曲率圆与曲线在此曲率圆与曲线在M点密切相切，所以曲率圆也称为密切点密切相切，所以曲率圆也称为密切圆圆.从而可用曲线上一点处的曲率圆弧近似代替该点附近从而可用曲线上一点处的曲率圆弧近似代替该点附近曲线弧曲线弧(称为曲线在该点附近的称为曲线在该点附近的二次近似二次近似).例例2 2xyoQP.,.70,/400,)(40002压力压力飞行员对座椅的飞行员对座椅的到原点时到原点时求俯冲求俯冲千克千
8、克飞行员体重飞行员体重秒秒米米处速度为处速度为点点在原在原俯冲飞行俯冲飞行单位为米单位为米飞机沿抛物线飞机沿抛物线 vOxy解解如图如图,受力分析受力分析,PQF 视飞行员在点视飞行员在点o作匀速圆周运动作匀速圆周运动,2.mvFRO点处抛物线轨道的曲率半径点处抛物线轨道的曲率半径002000 xxxy, 0 .200010 xy得曲率为得曲率为01.2000 xxK 曲率半径为曲率半径为2000.R 米米2000400702 F5600() 70 9.85600Q 6280()即即:飞行员对座椅的压力为飞行员对座椅的压力为6280N.内容小结1. 弧长微分xysd1d2或22)(d)(ddyxs2. 曲率公式sKdd23)1 (2yy 3. 曲率圆曲率半径KR1yy 23)1 (2解：解：232)(1|yyk 2322)cos9sin4(6tt 232)cos54(6t 要使要使 最大，最大，k232)cos54(t 必有必有 最小，最小，23,2 t此时此时 最大，最大，k思考题思考题 椭圆椭圆 上哪上哪些点处曲率最大？些点处曲率最大？,cos2tx tysin3
