1、一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()( 称为可分离变量的微分方程称为可分离变量的微分方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法设设函函数数)(yg和和)(xf是是连连续续的的, dxxfdyyg)()(设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数,CxFyG )()(分离变量法分离变量法CxFyG )()(dxxfdyyg)()( yxxy23ddxxyyd3d2xxyyd3d213lnCxyCxylnln313eCxy31eexC3exCy 1eCC令解解,dtdM衰变速度衰变速度由题设条
2、件由题设条件)0(衰变系数衰变系数 MdtdMdtMdM , dtMdM00MMt 代代入入,lnlnctM ,tceM 即即00ceM 得得,C teMM 0衰变规律衰变规律例例 3. 英国人口学家马尔萨斯英国人口学家马尔萨斯(Malthas,1766-1834)根据百余年根据百余年的统计资料，于的统计资料，于1798年提出了闻名于世的所谓马尔萨斯人口年提出了闻名于世的所谓马尔萨斯人口模型，若时刻模型，若时刻 t 时的人口人数为时的人口人数为N(t)，初始时刻，初始时刻(t=0)的人口的人口为为 ，假设人口增长率为常数，假设人口增长率为常数r（即单位时间内人口的增长量（即单位时间内人口的增长
3、量与当时的人口量成正比）。根据马尔萨斯理论，从时刻与当时的人口量成正比）。根据马尔萨斯理论，从时刻t到时到时刻刻t+t的人口增长量是的人口增长量是()( )=( )N ttN trN tt()( )=( )N ttN trN tt从而0N0t 令就得到人口数所应满足的微分方程，0(0)dNrNdtNN即0()( )lim( ),tN ttN trN tt 求解该微分方程得到：显然，如果r0，人口将按指数规律随时间无限增长增长，出现人口爆炸,这个模型虽然与19世纪以前欧洲一些地区的人口数据十分吻合，但它与自那以后的人口资料相比出现较大的偏差，后来，为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，
4、必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这一假设，注意到自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大，人们将马尔萨斯模型修正为下述阻滞增长模型（Logistic模型）：0=rtN N e0(0)dNrNdtNN00(1)=( )1 (1)mmmrtmdNNrNNNdtNNNN tNeN，（0）其中，表示自然资源和环境条件所容许的最大人口数量，这是一个更为合理的人口模型。求解该模型得到：( )()()(), ,0,=0()0,mmmrN tr Nr NNr NrsN r srNrr NrsNsN将增长率 表示为人口的函数，是 的减函数，并设这里 相当于时
5、的增长率，称为固有增长率(由得)。dNrNdt分离变量法步骤分离变量法步骤:1.分离变量分离变量;2.两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.二、小结二、小结思考题思考题求解微分方程求解微分方程.2cos2cosyxyxdxdy 思考题解答思考题解答, 02cos2cos yxyxdxdy, 02sin2sin2 yxdxdy,2sin2sin2 dxxydy2cot2csclnyy ,2cos2Cx 为所求解为所求解.edd的通解求方程yxxyxyxydedeCxyee01e)e(yxC, yxu令yu1则uue1Cxuue1dCxuu)e1 (lnCyyx)e1(ln一、求下列微分方程的通解一
6、、求下列微分方程的通解: : 1 1、0tansectansec22 xdyyydxx； 2 2、0)()( dyeedxeeyyxxyx； 3 3、0)1(32 xdxdyy. .二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、xdxyydyxsincossincos , ,40 xy； 2 2、0sin)1(cos ydyeydxx, ,40 xy. .练练 习习 题题三、质量三、质量克克为为1的质点受外力作用作直线运动的质点受外力作用作直线运动, ,这外力这外力和时间成正比和时间成正比, ,和质点运动的速度成反比和质点运动的速度成反比.
7、.在在10 t秒时秒时, ,速度等于速度等于秒秒厘米厘米/50, ,外力为外力为2/4秒秒厘厘米米克克 , ,问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? ?四、 小船从河边四、 小船从河边处处点点 0出发驶向对岸出发驶向对岸( (两岸为平行直线两岸为平行直线).).设设a船速为船速为, ,船行方向始终与河岸垂直船行方向始终与河岸垂直, ,设河宽设河宽h为为, ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比的乘积成正比( (比例比例k系数为系数为).).求小船的航行路求小船的航行路线线 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、Cyx tantan； 2 2、Ceeyx )1)(1(； 3 3、Cxy 433)1(4. .二、二、1 1、xycoscos2 ； 2 2、yexcos221 . .三、三、3 .269 v厘米厘米/ /秒秒. .四、取四、取 0 0 为原点为原点, ,河岸朝顺水方向为河岸朝顺水方向为轴轴x, ,轴轴y指向对指向对 岸岸, ,则所求航线为则所求航线为)312(32yyhakx . .
