1、目录 上页 下页 返回 结束 第九章 第七节第七节一、方向导数一、方向导数 二、梯度二、梯度 方向导数与梯度方向导数与梯度目录 上页 下页 返回 结束 l),(zyxP一、方向导数一、方向导数定义定义: 若函数),(zyxff0lim则称lflf,)()()(222zyx,cosx,cosycosz为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数方向导数.),(),(lim0zyxfzzyyxxf在点 ),(zyxP处沿方向 l (方向角为, ) 存在下列极限: P记作记作 目录 上页 下页 返回 结束 ,),(),(处可微在点若函数zyxPzyxf),(zyxPl定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任
2、意方向 l 的方向导数存在 ,flf0limcoscoscoszfyfxflf.,的方向角为其中l证明证明: 由函数),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf且有)(o在点 P 可微 , 得P故coscoscoszfyfxf目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数, ),(yxf为, ) 的方向导数为方处沿方向在点(),(lyxP),(),(lim0yxfyyxxflfcos),(cos),(yxfyxfyx,)()(22yx)cos.,cosyxxflf特别特别: : 当 l 与 x 轴同向有时,2,0 当 l 与 x 轴反向有时,2,xflf向角PlxyOl
3、目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量zyxu2, 1,2(l3) 的方向导数 .,142cosPlu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx解解: 向量 l 的方向余弦为目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线223yyxz12 xy朝 x 增大方向的方向导数.解解: 将已知曲线用参数方程表示为2)2, 1 (xxPlz它在点 P 的切向量为,171cos1760 xOy2P1 2xyxx1716xy174)23(2yx)4, 1 (174cos1)3,2(目录 上
4、页 下页 返回 结束 例例3. 设是曲面n在点 P(1, 1, 1 )处指向外侧的法向量,解解: 方向余弦为,142cos,143cos141cos而Pxu,148Pyu14PzuPnu同理得) 1,3,2(2632222zyx方向的方向导数.Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在点P 处沿求函数nn目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度二、梯度 方向导数公式coscoscoszfyfxflf令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模 : f 的最大变化率之值方向导数取最大值：zfyfxfG,)cos,cos,(cosl)1(llGlf,方向
5、一致时与当Gl:GGlfmax),cos(lGG目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义定义),(Pfadrg即)()(PfPfadrg同样可定义二元函数),(yxf),(yxP),(, ),(),(yxfyxfyxffyxgrad称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度)(, )(, )(PfPfPfzyx记作(gradient),在点处的梯度 G说明说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:向量),(Pf或其中zyx,称为向量微分算子向量微分算子或 Nabla算子算子.leflfgradgrad( 为方向l 上的单位向量)lezfyfxfG,目录 上页 下页 返回 结束 2. 梯度的几
6、何意义梯度的几何意义Oyx1cf 2cf )(321ccc设P面上的投影在曲线xOyczyxfz),(cyxfL),(:*称为函数 f 的等值线等值线或等高线等高线 . ,不同时为零设yxff则L*上点P 处的法向量为 Pyxff),(Pfgradgrad3cf , ),(yxfz 对函数举例函数在一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数增大的方向.同样, ),(zyxfu 的等值面(等量面). czyxf),(当其各偏导数不同其上点 P 处的法向量为Pfgradgrad称为时为零时, Pf.Pf等高线图举例等高线图举例-2-1012-2-101200.511.52-2-1012-2-1012-2
7、-101222122)2(yxeyxz-2-1012-2-1012这是利用数学软件Mathematica 绘制的曲面及其等高线图, 带阴影的等高线图中, 亮度越大对应曲面上点的位置越高等高线图带阴影的等高线图目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设函数解解: (1) 点P处切平面的法向量为0) 1(0) 1() 1(2zyx032 yx在点 P(1,1,1) 处的切平面方程.故所求切平面方程为即zyxzyxf2),(2) 求函数 f 在点 P (1,1,1) 沿增加最快方向的方向导数.(1)求等值面 2),(zyxf)0, 1, 2(2) 函数 f 在点P处增加最快的方向为沿此方向的方向导数
8、为5)(PfnfPPzzyyyzxPfn)ln,2()(1)0, 1, 2()(Pfn思考思考: f 在点P处沿什么方向变化率为0 ?注意注意: 对三元函数, 与垂直的方向有无穷多)(Pf目录 上页 下页 返回 结束 1. 沿梯度方向的方向导数最大，其最大值为梯度的模。注：注：2. 沿梯度反方向的方向导数最小，其最小值为梯度的模的负值。3. 沿与梯度垂直方向的方向导数为零。目录 上页 下页 返回 结束 3. 梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式ucucgradgrad)(2)vuvugradgradgrad )(3)uvvuvugradgradgrad)(4)uufufgradgrad)()(
9、)6(00) 1 (cc或grad为常数）c (ucuc)(或vuvu)(或uvvuvu)(或uufuf)()(或2)()5(vvuuvvugradgradgrad2)(vvuuvvu或目录 上页 下页 返回 结束 例例5.,)(可导设rf),(222zyxPzyxr为点其中证证:xrf)()(rf yrf)()(rf gradrzrfzrf)()(xrrf)(222zyxxPxOzy,)(ryrf 试证rxrf)( .)()(rerfrfradg处矢径 r 的模 ,rixrf)(jyrf)(kzrf)()(1)(kzjyixrrfrrrf1)( rerf)( 目录 上页 下页 返回 结束 内
10、容小结内容小结1. 方向导数方向导数 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l (方向角),为的方向导数为coscoscoszfyfxflf 二元函数 ),(yxf在点),(yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向 l (方向角为yfxfcossin目录 上页 下页 返回 结束 2. 梯度梯度 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP处的梯度为zfyfxfff,gradgrad 二元函数 ),(yxf在点),(yxP处的梯度为),(, ),(yxfyxfffyxgradgrad3. 关系关系方向导数存在偏导数存在 可微leflfgradgrad梯度在方向 l 上的投影
11、. 方向: f 变化率最大的方向模: f 的最大变化率之值 梯度的特点目录 上页 下页 返回 结束 指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点Axd d1.函数)ln(22zyxu提示提示:31,32,32其单位向量为)cos,cos,(cosAxu) 1ln( x1x,21yd dAyu) 11ln(2y0y,0, ) 1 ,2,2(AB2121Azucoscoscoszuyuxulu21ABABl 练习练习目录 上页 下页 返回 结束 2.求函数222222221 ()22=1xyabzabxyab 在点（,）处沿曲线在这点的内法线方向的方向
12、导数。解2222=122abxyab在点（,）处:曲线的法向量为(,)22(,)xyabnF F22(,)2222(,)abxyab22(,),abne 22122(,)22()()abab2222(,)baabab目录 上页 下页 返回 结束 0,.xnFe 由题意，所以应取-(,)22abzx又2(,)222abxa(,)22abzy2(,)222abyb2a2b(,)22()abnze 所以()ngradze 2212().abab目录 上页 下页 返回 结束 思考题思考题目录 上页 下页 返回 结束 xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同理：同理：)0,0(yz yyy |lim0故两个偏导数均不存在故两个偏导数均不存在.思考题解答思考题解答目录 上页 下页 返回 结束 沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向导导数数, )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向导导数数均均存存在在且且相相等等.
