1、一、立体体积一、立体体积 二、物体的重心二、物体的重心 三、物体的转动惯量三、物体的转动惯量 四、物体的引力四、物体的引力 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分的应用 所求量是所求量是 对区域具有可加性对区域具有可加性 从定积分定义出发从定积分定义出发 建立积分式建立积分式 用微元分析法用微元分析法 (元素法元素法) 分布在有界闭域上的整体量分布在有界闭域上的整体量 3. 解题解题要点要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的用重积分解决问题的方法方法 机动 目录 上页 下页 返
2、回 结束 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面的顶为连续曲面),(yxfz 则其体积为则其体积为( , )d dDVf x yx y,),(Dyx 占有占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为的立体的体积为d d dVx y z机动 目录 上页 下页 返回 结束 xoyza2内接锥面所围成的立体的体积内接锥面所围成的立体的体积.解解: 在球坐标系下空间立体所占区域为在球坐标系下空间立体所占区域为: 则立体体积为则立体体积为d d dVx y z cos202darr dsincos316033 a)cos1(3443 a cos20ar 0 20 0dsin 20drrvdddsind2 rM机动
3、目录 上页 下页 返回 结束 a设空间有设空间有n个质点个质点, ),(kkkzyx其质量分别其质量分别, ),2,1(nkmk 由力学知由力学知, 该质点系的重心坐标该质点系的重心坐标,11 nkknkkkmmxx,11 nkknkkkmmyy nkknkkkmmzz11设物体占有空间域设物体占有空间域 ,),(zyx 有连续密度函数有连续密度函数则则 公式公式 ,分别位于分别位于为为为为即即:采用采用 “分割分割, 近似代替近似代替, 求和求和, 取极限取极限” 可导出其重心可导出其重心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 将将 分成分成 n 小块小块, ),(kkk 将第将第 k 块看作
4、质量集中于点块看作质量集中于点),(kkk 例如例如, nkkkkknkkkkkkvvx11),(),( 令各小区域的最大直径令各小区域的最大直径,0 ( , , )d dd( , , )d ddxx y zxyzxx y zxyz系的重心坐标就近似该物体的重心坐标系的重心坐标就近似该物体的重心坐标.的质点的质点,即得即得此质点此质点在第在第 k 块上任取一点块上任取一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( , , )d dd( , , )d ddyx y zxyzyx y zxyz( , , )d dd( , , )d ddzx y zxyzzx y zxyz机动 目录 上页 下页 返回
5、结束 ,),(常数时常数时当当 zyx d dd,x xyzxVd dd,y xyzyVd ddz xyzzVd ddVxyz为 的体积则得则得形心坐标形心坐标：当薄片是均匀的，重心称为当薄片是均匀的，重心称为形心形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 对比对比d d dzx y zzV的方程为的方程为, 30,)3(922 zzzx内储有高为内储有高为 h 的均质钢液的均质钢液,解解: 利用对称性可知重心在利用对称性可知重心在 z 轴上，轴上，,0 yx炉壁面方程为炉壁面方程为2229()(3) ,
6、xyzzd d dVx y z hzzz02d)3(9 0dd dzhDzxy因此因此故故自重自重, 求它的重心求它的重心.oxzh若炉若炉不计炉体的不计炉体的其坐标为其坐标为机动 目录 上页 下页 返回 结束 hzzz022d)3(9 0dd dzhDz zxyd dzdx y z)51233(923hhh 225409043060hhhhhz oxzh)41229(923hhhV 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设物体占有空间区域设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数有连续分布的密度函数. ),(zyx 该物体位于该物体位于(x , y , z) 处的处的微元微元 vzyxyxd
7、),()(22 因此物体因此物体 对对 z 轴轴 的转动惯量的转动惯量:22()( , , )d d dzIxyx y zx y z zIdxyoz对对 z 轴的转动惯量为轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故故 连续体的转动惯量可用积分计算连续体的转动惯量可用积分计算. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 22()( , , )d d dxIyzx y zx y z对对 x 轴的转动惯量轴的转动惯量对对 y 轴的转动惯量轴的转动惯量对原点的转动惯量对原点的转动惯量机动 目录 上页 下页 返回 结束 22()( , , )d
8、d dyIxzx y zx y z222()( , , )d d doIxyzx y zx y z,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 22() ( , ).oDIxyx y d对比对比 )sinsincossin(222222 rr解解: 取球心为原点取球心为原点, z 轴为轴为 l 轴轴,:2222azyx 则则 zI22()d d dxyx y z 552a Ma252 dddsin2rr olzxy1322 20d球体的质量球体的质量 334aM dsin03 rrad04 设球 所占域为所占域为(用球坐标用球坐标) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 l222zyx
9、r G 为引力常数为引力常数设物体占有空间区域设物体占有空间区域 ,，连续连续),(zyx 物体对位于原点的单位质量质点的引力物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法利用元素法,vrxzyxGFxd),(d3 vryzyxGFyd),(d3 vrzzyxGFzd),(d3 在在 上上积分即得各引力分量积分即得各引力分量:其密度函数其密度函数rzxvdyFd引力元素在三坐标轴上的投影分别为引力元素在三坐标轴上的投影分别为),(zyxFFFF 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3( , , )dxx y z xFGvr3( , , )dyx y z yFGvr3( , , )dzx y z
10、zFGvr对对 xoy 面上的平面薄片面上的平面薄片D ,它对原点处的单位质量质点它对原点处的单位质量质点的引力分量为的引力分量为3( , )d,xDx y xFGr3( , )dyDx y yFGr22()rxyRxyzo2222Rzyx 对位于对位于)(), 0 , 0(0RaaM 的单位质量质点的引力的单位质量质点的引力.解解: 利用对称性知引力分量利用对称性知引力分量0 yxFF zF()dRRGzazvazyxazGd)(23222 ()dRRGzaz222300222dd() Rzr rrza点点 zDazyxyx23222)(dd0MazD机动 目录 上页 下页 返回 结束 22
11、11()d2RRzazazRaza zF G2 222300222dd() Rzr rrza()dRRGzaz G21()RRzaa222daazR 2aMG R2343RM 为球的质量为球的质量机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(th( t 为时间为时间) 的雪堆在融化过程中的雪堆在融化过程中,其其侧面满足方程侧面满足方程,)()(2)(22thyxthz 设长度单位为厘米设长度单位为厘米, 时间单位为小时时间单位为小时, 设有一高度为设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数比例系数 0.9 ), 问高度为问高度为130 cm 的雪堆全部融化
12、需要的雪堆全部融化需要 多少小时多少小时? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxzo记雪堆体积为记雪堆体积为 V, 侧面积为侧面积为 S ,则则)(:221220thyxD 22212:( )( ) zDxyh th t z Vd dzDxy )(0dthz )(0221d)()(thzzthth S0Dyxzzyxdd)()(122 0D)()(162221thyx )(2th rrrthd16)(22 02)(th)(12132th )(43th yxdd(用极坐标用极坐标) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(12132thS , )(43thV 由题意知由题意知StV9 . 0dd 1013dd th130)0( h1301013)( tth令,0)(th得得100 t(小时小时)因此高度为因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为的雪堆全部融化所需的时间为100小时小时.机动 目录 上页 下页 返回 结束
