1、 一、二重积分的换元法一、二重积分的换元法 .sin,cosryrx间的关系为间的关系为坐标与极坐标之坐标与极坐标之平面上同一个点，直角平面上同一个点，直角roxoy上式可看成是从极坐标平面到直角坐标平面的一种变换，换是一对一的换是一对一的，且这种变，且这种变平面上的一点平面上的一点成成，通过上式变换，变，通过上式变换，变面上的一点面上的一点平平即对于即对于),(),(yxMxoyrMro ( , ):( , ),( , )(1)( , ), ( , )( , )(2)( , )0;( , )(3):( , ) ( , ), ( , )( , ).DDf x yxoyDTxx u vyy u
2、vuovDxoyDx u vy u vDx yDJ u vu vTDDf x y dxdyf x u vy u vJ u v dudv 定理设在平面上的闭区域上连续，变换将平面上的闭区域变为平面上的，且满足在上具有一阶连续偏导数；在上雅可比式变换是一对一的，则有cos ,sin,cossin( , ).sincos( , )( , )cos , sin).DDxryrrx yrrrf x y dxdyf rrrdrd特别当所以（注注：如果如果Jacobi行列式行列式J(u,v)只在只在 内个别点上或一条曲线上内个别点上或一条曲线上为零，而在其他点上不为零，则上述换元公式仍然成立。为零，而在其他
3、点上不为零，则上述换元公式仍然成立。D例例1 1解解所围成的闭区域所围成的闭区域线线轴和直轴和直轴、轴、由由其中其中计算计算2, yxyxDdxdyeDxyxy,xyvxyu 令令.2,2uvyuvx 则则,DD Dxyo2 yxD uvovu vu 2 v0;0;22.xuvyuvxyv 即),(),(vuyxJ ,2121212121 DvuDxyxydudvedxdye21故故 vvvuduedv2021 201)(21vdvee.1 eeuvOybx 2yax 2DOyxxqy 2xpy 2,22yxvxyu例例2. 2. 计算由计算由,22xqyxpyybxyax22,)0,0(ba
4、qp所围成的闭区域所围成的闭区域D D 的面积的面积S S . .解解: : 令令Dpqab则则bvaqupD :D),(),(vuyxJ),(),(1yxvu31d dDSxybaqpvudd31d dDJu v)(31abpq例例3 3解解所围成的闭区域所围成的闭区域椭圆椭圆为为其中其中计算计算1,122222222 byaxDdxdybyaxD.20, 0, 0, 0 rba其中其中 ,sin,cosbryarx作广义极坐标变换作广义极坐标变换,20,10),( rrDD在在这这变变换换下下.),(),(abrryxJ 故换元公式仍成立，故换元公式仍成立，处为零，处为零，内仅当内仅当在在
5、0 rDJ drdabrrdxdybyaxDD 2222211.32ab 二、小结二、小结的形式的形式同时也兼顾被积函数同时也兼顾被积函数的形状，的形状，于积分区域于积分区域作什么变换主要取决作什么变换主要取决),(1yxfD基本要求基本要求: :变换后定限简便，求积容易变换后定限简便，求积容易.),(),(1),(),(. 2yxvuvuyxJ 计算计算 deyxyyxD2)( ，其中，其中 D：1 yx，0 x和和0 y所围成所围成.思考题思考题令令 yvyxu, vyvux雅可比行列式雅可比行列式1),(),( vuyxJ,变变换换后后区区域域为为思考题解答思考题解答oxy1 yxDouvvu D deyxyyxD2)( DdudvJvuf| ),(2100uuvdue dvu2102uue du).1(41 eD ：1 yx1 u0 x0 vu0 y0 v练练 习习 题题练习题答案练习题答案2222,axbybxayuvxyxy三、（提示）作变换
