1、一、数学期望的概念一、数学期望的概念二、数学期望的性质二、数学期望的性质三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望四、小结四、小结第一节 数学期望 在前面的课程中，我们讨论了随机变量在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分的概率分布，那么布，那么X的全部概率特征也就知道了的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的是较难确定的. 而在一些实际应用中，人而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数
2、字特征就够了只要知道它的某些数字特征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的某些数字特征是重要的 .这一讲，我们先介绍随机变量的数学期望这一讲，我们先介绍随机变量的数学期望.在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是期望期望和和方差方差一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望 1、概念的引入：、概念的引入： 某车间对工人的生产情况某车间对工人的生产情况进行考察进行考察. 车工小张每天生产车工小张每天生产的废品数的废品数X是一个随机变量是一个随机变量. 如如何定义何定义X的平均值呢？的平均值呢？ 某电话交换台每天
3、某电话交换台每天8:00-9:00收到的呼叫数收到的呼叫数X是一个随机变量是一个随机变量. 如何定义如何定义X的平均值即该的平均值即该交换台每天交换台每天8:00-9:00收到的平均呼叫数呢？收到的平均呼叫数呢？我们来看第一个问题我们来看第一个问题.若统计若统计100天天, 例例1 某车间对工人的生产情况进行考察某车间对工人的生产情况进行考察. 车工车工小张每天生产的废品数小张每天生产的废品数X是一个随机变量是一个随机变量. 如如何定义何定义X的平均值呢？的平均值呢？32天没有出废品天没有出废品;30天每天出一件废品天每天出一件废品;17天每天出两件废品天每天出两件废品;21天每天出三件废品天
4、每天出三件废品;27. 1100213100172100301100320可以得到这可以得到这100天中天中 每天的平均废品数为每天的平均废品数为这个数能否作为这个数能否作为X的平均值呢？的平均值呢？可以想象，若另外统计可以想象，若另外统计100天，车工小张不天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的前面的100天一般不会完全相同，这另外天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是天每天的平均废品数也不一定是1.27.n0天没有出废品天没有出废品;n1天每天出一件废品天每天出一件废品;n2天每天出两件废品天每天出两件废品;n
5、3天每天出三件废品天每天出三件废品.nnnnnnnn32103210可以得到可以得到n天中每天的平均废品数为天中每天的平均废品数为(假定小张每天至多出假定小张每天至多出三件废品三件废品) 一般来说一般来说,若统计若统计n天天,这是这是以频率为权的加权平均以频率为权的加权平均nnnnnnnn32103210由频率和概率的关系由频率和概率的关系 不难想到，在求废品数不难想到，在求废品数X的平均值时，用的平均值时，用概率代替概率代替频率频率，得平均值为，得平均值为32103210pppp这是这是以概率为权的加权平均以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为我们
6、就用这个数作为随机变量随机变量X的平均值的平均值 .则对则对X作一系列观察作一系列观察(试验试验)，所得，所得X的试验值的试验值的平均值也是随机的的平均值也是随机的.由此引入离散型由此引入离散型r.vX的数学期望的定义如下的数学期望的定义如下: 1kkkpx 对于一个随机变量，若它可能取的值是对于一个随机变量，若它可能取的值是X1,X2, , 相应的概率为相应的概率为 p1,p2, , 但是，如果试验次数很大，出现但是，如果试验次数很大，出现Xk的频率会的频率会接近于接近于pk，于是可期望试验值的平均值接近，于是可期望试验值的平均值接近定义定义1 设设X是离散型随机变量，它的分布律是离散型随机
7、变量，它的分布律: P(X=Xk)=pk , k=1,2,也就是说也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和对收敛的级数的和.1)(kkkpxXE1|kkkpx如果如果收敛收敛,定义定义X的数学期望的数学期望例例1 某人的一串钥匙上有某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门匙中的某一把去开门. 若每把钥匙试开一次后若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望除去，求打开门时试开次数的数学期望.解解: 设试开次数为设试开次数为X,
8、P(X=k)= 1/n , k=1,2,nE(X) nknk112)1 (1nnn21n于是于是二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在数轴上取很密的分点在数轴上取很密的分点x0 x1x2 ,则则X落落在小区间在小区间xi, xi+1)的概率是的概率是1)(iixxdxxfiixxf)(小区间小区间xi, xi+1)阴影面积阴影面积近似为近似为iixxf)()(1iiixxxf小区间小区间Xi, Xi+1) 由于由于xi与与xi+1很接近很接近, 所以区间所以区间xi, xi+1)中中的值可以用的
9、值可以用xi来近似代替来近似代替.iiiixxfx)(这正是这正是dxxfx)(的渐近和式的渐近和式.阴影面积阴影面积近似为近似为iixxf)(近似近似,iixxf )(因此因此X与以概率与以概率取值取值xi的离散型的离散型r.v 该离散型该离散型r.v 的数的数学期望学期望是是由此启发我们引进如下定义由此启发我们引进如下定义.定义定义2 设设X是连续型随机变量，其概率密度是连续型随机变量，其概率密度 为为 f (x),如果如果dxxfx)(|收敛收敛,定义定义X的数学期望为的数学期望为dxxfxXE)()(也就是说也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝连续型随机变量的数学期望是一个绝对收
10、敛的积分对收敛的积分. 2)(baXE若若XU(a,b),即即X服从服从( a,b)上的均匀分布上的均匀分布,则则)(XE若若X服从服从则),(2 N)(XE若若X服从参数为服从参数为的泊松分布，则 由随机变量数学期望的定义，不难计算得：由随机变量数学期望的定义，不难计算得： 这意味着，若从该地区抽查很多个成这意味着，若从该地区抽查很多个成年男子，分别测量他们的身高，那么，这年男子，分别测量他们的身高，那么，这些身高的平均值近似是些身高的平均值近似是1.68.68. 1)( XE 已知某地区成年男子身高已知某地区成年男子身高X),.(2681 N三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学
11、期望 1. 问题的提出：问题的提出： 设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计的分布，我们需要计算的不是算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某个函数的期的某个函数的期望，比如说望，比如说g(X)的期望的期望. 那么应该如何计算那么应该如何计算呢？呢？如何计算随机变量函数的数学期望如何计算随机变量函数的数学期望? 一种方法是，因为一种方法是，因为g(X)也是随机变量，也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来的分布求出来. 一旦我们知道了一旦我们知道了g(X)的分布，的分布，就可以按照期望的定义把就可以按照期望的定义把Eg(X)
12、计算出来计算出来. 使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的的分布，一般是比较复杂的 . 那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只的分布而只根据根据X的分布求得的分布求得Eg(X)呢？呢？下面的基本公式指出，答案是肯定的下面的基本公式指出，答案是肯定的. 类似引入上述类似引入上述E(X)的推理，可得如下的的推理，可得如下的基本公式基本公式: 设设X是一个随机变量，是一个随机变量，Y=g(X)，则，则 连续型离散型XdxxfxgXpxgXgEYEkkk,)()(,)()()(1 当当X为离散型时为离散型时,P(X= xk)
13、=pk ; 当当X为连续型时为连续型时,X的概率密度为的概率密度为f(x). 连续型离散型XdxxfxgXpxgXgEYEkkk,)()(,)()()(1 该公式的重要性在于该公式的重要性在于: 当我们求当我们求Eg(X)时时, 不必知道不必知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的的分布就可以了分布就可以了. 这给求随机变量函数的期这给求随机变量函数的期望带来很大方便望带来很大方便.将将g(X)特殊化，可得到各种数字特征特殊化，可得到各种数字特征:)(kXEk阶原点矩)(kXEXEk阶中心矩)|(|kXEk阶绝对原点矩)| )(|kXEXEk阶绝对中心矩其中其中 k 是正整数是正整
14、数.二维随机变量函数的数学期望二维随机变量函数的数学期望.),(),(,),(,)1( iijjjipyxgYXgEyxgYX则则数数为二元函为二元函为离散型随机变量为离散型随机变量设设.),(ijpYX的联合概率分布为的联合概率分布为其中其中.dd),(),(),(yxyxfyxgYXgE 则则数数为二元函为二元函为连续型随机变量为连续型随机变量设设,),(,)2(yxgYX).,(),(yxfYX的联合概率密度为的联合概率密度为其中其中?),(, 0. 0, 0, 0,e1)()(,.,.,均为已知均为已知产品产品应生产多少件应生产多少件期望最大期望最大问若要获得利润的数学问若要获得利润的
15、数学度为度为服从指数分布其概率密服从指数分布其概率密件件们预测销售量们预测销售量他他再者再者元的损失元的损失而积压一件产品导致而积压一件产品导致元元利利可获可获他们估计出售一件产品他们估计出售一件产品确定该产品的产量确定该产品的产量并试图并试图产品市场产品市场某公司计划开发一种新某公司计划开发一种新nmyyyfYnmyY 例例1 解解,件件设生产设生产 x:的函数的函数是是则获利则获利xQ .,),()(xYmxxYYxnmYxQQ若若若若yyQfQEYd)()(0 ymxyyxnmyyxyxde1de1)(0 ,e)()(nxnmnmx , 0e )()(dd nnmQExx令令).ln(n
16、mnx 得得, 0e)()(dd22 xnmQEx又又.)(,)ln(,取得最大值取得最大值时时当当因此因此QEnmnx 四、数学期望的性质四、数学期望的性质 1. 设设C是常数，则是常数，则E(C)=C; 4. 设设X、Y独立，则独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若若k是常数，则是常数，则E(kX)=kE(X); 3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);niiniiXEXE11)(:推广niiniiXEXE11)(:推广（诸（诸Xi独立时）独立时）注意注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y独立独立五、数学期望性质的应用五、数学期望性质的
17、应用例例1 求二项分布的数学期望求二项分布的数学期望若若 XB(n,p)，则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功” 次数次数.现在我们来求现在我们来求X的数学期望的数学期望 . 可见，服从参数为可见，服从参数为n和和p的二项分布的的二项分布的随机变量随机变量X的数学期望是的数学期望是np. XB(n,p), 若设若设则则 X= X1+X2+Xn= np次试验失败如第次试验成功如第iiXi01i=1,2，n因为因为 P(Xi =1)= p,P(Xi =0)= 1-pniiXE1)(所以所以 E(X)=则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功” 次数次数.E(
18、Xi)= )1 (01pp= p例例2 把数字把数字1,2,n任意地排成一列，如果数任意地排成一列，如果数字字k恰好出现在第恰好出现在第k个位置上，则称为一个巧个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数的数学期望合，求巧合个数的数学期望.由于由于 E(Xk)=P(Xk =1) 解解: 设巧合个数为设巧合个数为X,否则，个位置上恰好出现在第数字0, 1kkXk k=1,2, ,nnkkXX1则则!)!1(nnn1nkkXEXE1)()(故故11nn引入引入 这一讲，我们介绍了随机变量的数学这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征是随机变量的一个重要的数字特征. 接下来的一讲中，我们将向大家介绍接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：随机变量另一个重要的数字特征：方差方差
