1、第四节 微分与微分技术一、微分的定义三、对数求导法二、隐函数的微分法第三章四、参数方程所表示的函数的微分法一、微分的定义00()xxdydf x 或或定义定义 在很多问题中，常常需要了解函数在某一点当自变量取得一个微小的改变量时，函数取得的相应改变量的大小.若函数)(xfy 在点 的增量可表示为0 x)()(00 xfxxfy( A 为不依赖于x 的常数)( xoxA则称函数)(xfy 而 称为xA在)(xf在点0 x可微可微,的微分微分,0 x点记作0 xxdyAx 即即).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函
2、数定理定理证证(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数(2) 充分性充分性0()yfxxx 故故 00()lim0 xyfxx 从从而而其其中中,)(0可可导导在在点点函函数数xxf),(lim00 xfxyx 00()()lim0 xxfxxoxx 00( ),().f xxfxA 函函数数在在点点可可微微且且000( )().xxyf xxdyfxx 在在可可微微且且0( )yf xx即即在在可可导导说明:(2)();ydyoxx
3、 是是比比高高阶阶的的无无穷穷小小0)(0 xf时 ,00()xxdyfxx )()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x时yyd很小时, 有近似公式xyyd与是等价无穷小,(3)当故当;)1(的线性函数的线性函数是自变量的改变量是自变量的改变量xdy .的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分ydy ( (微分的实质微分的实质) ).,xdxdxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量( )dyfx dx ( )dyfxdx .dydx即即函函数数的的微微分分与与自自变变量
4、量的的微微分分之之商商等等于于该该函函数数的的导导数数 因因此此导导数数也也叫叫 微微商商( ),( ),( ).yf xxdydf xdyfx dx 函函数数在在任任意意点点 的的微微分分 称称为为函函数数的的微微分分 记记作作或或即即00()xxdyfx dx 0( )yf xx 于于是是函函数数在在点点的的微微分分可可写写成成00()()df xfx dx 或或)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 几何意义几何意义:(:(如图如图) ) 0Myfxxyfx 函函数数在在处处的的微微分分在在几几何何上上表表示示曲曲线线在在对对应应点点处处切切线线的的纵纵坐坐标标改改变变量
5、量. .xx0 P .,MNMPMx可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段的附近的附近在点在点很小时很小时当当 xtan00()xxdyfxx dxxfdy)( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 微分计算：微分计算：dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadx
6、aadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud arc;)(,)1(dxxfdyx 是是自自变变量量时时若若(2),( ),xxtxt 若若 是是中中间间变变量量时时 即即 为为另另一一变变量量的的可可微微函函数数则则( )( ),yf xfx 设设函函数数可可导导，其其导导数数为为dttxfdy)()( ,)(dxdtt .)(dxxfdy 结论结论：的微分形
7、式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx 微分形式的不变性微分形式的不变性dxxfdy)( 3. 复合函数的微分法则复合函数的微分法则-微分形式不变性微分形式不变性例例1 1解解.),ln(2dyexyx求求设设 ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 例例2 2解解.,cos31dyxeyx求求设设 )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 例例4 4解解.,sindybxey
8、ax求求设设 )(sin)(cosaxdebxbxbxdedyaxax dxaebxbdxbxeaxax)(sincos .)sincos(dxbxabxbeax 例例3 3解解.),12sin(dyxy求求设设 . 12,sin xuuyududycos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx 例例5 5解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdtd ,cos)(sin)1(tdttd )(sin1costdtdt 1(sin)cos.d
9、ttdCtC （ 为为任任意意常常数数）);sin1(td dxxdxxxxdxd21cos2)()(sin)2(22 ,cos42xxx ).()cos4()(sin22xdxxxxd 31xy二、隐函数的微分法若由方程0),(yxF可确定 y 是 x 的函数 ,如果隐函数存在，且能化为显函数，称为隐函数的显化隐函数的显化. .( ).yf x 由由表表示示的的数数，称称为为显显函函数数函函例如013 yx可确定显函数03275xxyy可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数 .则称此( )( , )0( , )( ,( )0( ,( )( )( , )yf xF x
10、 yF x yF x f xF x f xyf xF x y ：设设是是由由方方程程所所确确定定的的隐隐函函数数, ,则则把把看看成成是是将将带带入入到到所所得得到到的的复复合合函函数数，再再由由复复合合函函数数求求导导法法直直接接对对隐隐函函数数等等式式求求导导方方法法两两边边求求导导(含导数 的方程)y例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解,求导求导方程两边对方程两边对x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知0001xxxyydyeydxxe 例例2 2
11、.,)23,23(,333线通过原点线通过原点在该点的法在该点的法并证明曲线并证明曲线的切线方程的切线方程点点上上求过求过的方程为的方程为设曲线设曲线CCxyyxC 解解,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点显然通过原点.例例3 3.)1 , 0(, 144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 解解求导得求导得方程两边对方程两边对x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 y
12、xy求导得求导得两边再对两边再对将方程将方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代入代入.16110 yxy观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的情形数多个函数相乘和幂指函xvxu三、对数求导法例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1l
13、n(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 1) 对幂指函数( )( )v xyu x 可用对数求导法求导 :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1一般的:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:2) 有些显函数用对数求导法
14、求导很方便有些显函数用对数求导法求导很方便 .例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数yln两边对 x 求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb.,)0, 0()(22dxydyxxyxfyyx求求所确定所确定由方程由方程设函数设函数 例例6 6解解两边取对数两边取对数,ln1ln1xyyx ,lnlnxxyy 即即, 1ln)ln1( xyy,ln11lnyxy 2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy 322)1(ln)1(ln)1(ln yxyxxyy四、参数方程所表示的函数的微分法( )( ),
15、.xtyxyt 由由参参数数方方程程所所确确定定的的 与与 间间的的函函数数关关系系 称称为为由由参参数数方方程程所所确确定定的的函函数数例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t若参数方程)()(tytx可确定一个 y 与 x 之间的函数)(, )(tt可导, 且,0 )( )(22tt则0)( t时, 有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t时, 有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成 x 是 y 的函数 )关系,若上述参数
16、方程中若上述参数方程中)(, )(tt二阶可导,22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt )()(tt )(t)()()()()(3ttttt )dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且,0)( t则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数 .利用新的参数方程,可得)()(dd22ttxy,)()(ttxydd?例例6. 设设)(tfx, 且,0)( tf求.dd22xy ddxy)(tft )(tf , t dd22xy1)(tf 已知解解:)()(tftfty注意注意 :例例7 7解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12s
17、in2 tdxdy. 1 .方方程程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin( ttayttax.),12(,2ayaxt 时时当当)12( axay)22( axy即即 所求切线方程为所求切线方程为例例8 8解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 五、小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数
18、的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:( )( ).f xf x可可导导可可微微导数与微分的区别导数与微分的区别:000001.( )(),()(),.f xxfxdyfxxxxxx 函函数数在在点点处处的的导导数数是是一一个个定定数数而而微微分分是是 的的线线性性函函数数 且且它它是是的的无无穷穷小小0000limlim()()0 xxxxdyfxxx 0000000
19、02.()( )(,()()()( )(,().fxyf xxf xdyfxxxyf xxf xx 从从几几何何意意义义上上来来看看，是是曲曲线线在在点点处处切切线线的的斜斜率率，而而微微分分是是曲曲线线在在点点处处的的切切线线方方程程在在点点的的纵纵坐坐标标增增量量隐函数求导法则隐函数求导法则: : 直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法: :参数方程求导参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导说法不对说法不对.
20、 从概念上讲，微分是从求函数增量引从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念的极限，它们是完全不同的概念. 思考题2. 设函数)(xfy 的图形如下, 试在图中标出点0 x处的yy ,d及,dyy 并说明其正负 .yd0 xx00 xxyoy00yyd, 求01sin232ytettxy.dd0txy解解： txddyetydd0ddtxy3. 设设ddyt 方程组两边同时对 t 求导, 得26 ttsinteycosteteyysin1costxtydddd0)26)(sin1 (costyyttete2e0td0dyt
