1、理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院1理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院2 运动学研运动学研 建立机械运动的描述方法建立机械运动的描述方法 究的对象究的对象 建立运动量之间的关系建立运动量之间的关系运动学学习目的：为后续课打基础及直接运用于工程实际运动学学习目的：为后续课打基础及直接运用于工程实际。t )(12)(ttt 瞬时、瞬时、时间间隔：时间间隔：运动学的一些基本概念运动学的一些基本概念运动学：是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的运动学：是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的 科学科学。 (包括包括:轨迹轨迹，速度速度，加速度等，加速度
2、等) )不考虑运动的原因。不考虑运动的原因。运动是相对的：参考体运动是相对的：参考体( (物物););参考系参考系; ;静系静系; ;动系。动系。运动分类：运动分类：1)1)点的运动点的运动 2)2)刚体的运动刚体的运动引引 言言 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院3理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院4二、点的速度二、点的速度( )rOMr t0dlimdrrvrttt220ddlimddvvrartttt一、一、运动方程、轨迹运动方程、轨迹三、加速度三、加速度6-1 6-1 矢量法矢量法AMBOr(t)r(t+t)Mvv*r理论力学理论力学中南大学
3、土木建筑学院中南大学土木建筑学院5一、运动方程、轨迹一、运动方程、轨迹rijkxyzddddddddrvijkxyzttttvijkxyzvvv222xyzvvvvcos()vixvv、cos()vjyvv、cos()vkzvv、二、点的速度二、点的速度 6-2 6-2 直角坐标法直角坐标法MrOkijyyxxzz理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院6三、加速度三、加速度 222222ddddddddddddddvaijkijkijkyxzxyzvvvttttxyzaaattt222xyzaaaacos() xaaia、注注 这里的这里的 x,y,z 都是时间的连续函数都是
4、时间的连续函数。 123( )( )( )xftyftzft当消去参数当消去参数 t 后后,可得到可得到 F(x,y,z)=0 形式的轨迹方程形式的轨迹方程。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院7解：取解：取M点的直线轨迹为点的直线轨迹为 x 轴，曲柄的轴，曲柄的转动中心转动中心O为坐标圆点。为坐标圆点。M点的坐标为：点的坐标为：例例 下图为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构。设曲柄下图为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构。设曲柄 OA 长为长为r ，自水，自水平位置开始以匀角速度平位置开始以匀角速度w w 转动，即转动，即j j =w wt，滑槽，滑槽K-K与导杆与导杆B-B制成一体
5、。制成一体。曲柄端点曲柄端点A通过滑块在滑槽通过滑块在滑槽K-K中滑动，因而曲柄带动导杆中滑动，因而曲柄带动导杆B-B作上下作上下直线运动。试求导杆的运动方程，速度和加速度。直线运动。试求导杆的运动方程，速度和加速度。sinsinxOMOArjj 将将j j =w w t 带入上式，得带入上式，得M点的运动方程：点的运动方程：sinxrtw将上式对时间求一阶导数和二阶导数得：将上式对时间求一阶导数和二阶导数得：dcosdxvrttww222ddsinddvxartttww BABOKMKwxjx理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院8 例例 曲柄连杆机构是由曲柄、连杆及滑块组
6、成的机构。当曲曲柄连杆机构是由曲柄、连杆及滑块组成的机构。当曲柄柄OA绕绕O轴转动时，由于连杆轴转动时，由于连杆AB带动，滑块沿直线作往复运带动，滑块沿直线作往复运动。设曲柄动。设曲柄OA长为长为r，以角速度，以角速度w w 绕绕O轴转动，即轴转动，即j jw wt，连杆连杆AB长为长为l。试求滑块。试求滑块B的运动方程、速度和加速度。的运动方程、速度和加速度。解：取滑块解：取滑块B的直线轨迹为的直线轨迹为x轴，曲柄的转动中心轴，曲柄的转动中心O为坐标为坐标原点。在经过原点。在经过 t 秒后，此时秒后，此时B点的坐标为：点的坐标为：coscosxOBOCCBrljABOClxwxj整理可得整理
7、可得B的运动方程：的运动方程：22cos1 ( ) sinrxrtltlww理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院9由此可得滑块由此可得滑块B的速度和加速度：的速度和加速度：d1sin( )sin2d2xrvrtttlwww 2dcos( )cos2 dvrarttlwww 将右边最后一项展开：将右边最后一项展开：2111( ) cos( )cos244rrxlrttllww222244111 ( ) sin1( ) sin( ) sin28rrrtttlllwww 22cos1 ( ) sinrxrtltlww理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院10 例
8、例杆杆AB绕绕A点转动时，带动套在半径为点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环的固定大圆环上的小护环上的小护环M 运动，已知运动，已知j jw wt (w w为常数为常数)。求小环。求小环M的的运动方程、速度和加速度。运动方程、速度和加速度。解：建立如图所示的直角坐标系。则解：建立如图所示的直角坐标系。则即为小环即为小环M 的运动方程。的运动方程。jj2cos2sinRyRxtRytRxww2cos2sintRxvxww2cos2 tRyvyww2sin2 ABMOjxyj2理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院11故故M点的速度大小为点的速度大小为wRvvvyx222其方向
9、余弦为其方向余弦为cos( , )cos2xvvjv icos( , )sin2yvvj v jxtRvaxx2242sin4www ytRvayy2242cos4www 故故M点的加速度大小为点的加速度大小为2224wRaaayx且有且有2222444()4xyxywwww aijijrABMOjxyj2vxvyva理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院12例例已知如图，求已知如图，求 时正好射到时正好射到A点且用力最小。点且用力最小。?,0 v 分析：只有在分析：只有在A点，点，vy0且为最大高度时，用力才最小。且为最大高度时，用力才最小。0dsingdyyvvtt解解：
10、由由020cos1sing2xvtyvtt(1)(2)由于在由于在A点时，点时，vy=0，所以上升到最大高度，所以上升到最大高度 A点时所用点时所用时间为：时间为：gvtsin0理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院13将上式代入将上式代入(1)和和(2)，得：，得：22200sin2sin,2g2gAAvvxy(3)22020sin22 gsin 22 g1 .5sin1tg5sin 22vAvAyx31 ,6.055.12tg将将31 代入代入(3)，得，得202g29.85111sin 2sin 62Axvm/s5.100v理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土
11、木建筑学院14MMjRoj例例 半径为半径为R 的轮子沿直线轨道纯滚动的轮子沿直线轨道纯滚动(无滑动地滚动无滑动地滚动)。设轮子保持在同一竖直平面内运动，设轮子保持在同一竖直平面内运动， ，试分析轮，试分析轮子边缘一点子边缘一点M的运动。的运动。twj理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院15解：取坐标系解：取坐标系Axy如图所示，如图所示，并设并设M 点所在的一个最低点所在的一个最低位置为原点位置为原点A，则当轮子，则当轮子转过一个角度后，转过一个角度后，M M点坐标为点坐标为)sin(sinjjjROMACx)cos1 (cosjjROMOCy这是旋轮线的参数方程。这是旋
12、轮线的参数方程。jORCAxyM理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院16M点的速度和加速度分别为：点的速度和加速度分别为：(1cos )(sin )ijijvxyRRjjjj当当M点与地面接触，即点与地面接触，即 时，时，M点速度等于零。点速度等于零。2kj22sincosaijijxyrtrtwwwwjORCAxyM理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院17 以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点的位以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点的位置的方法叫置的方法叫自然法自然法。 一、弧坐标一、弧坐标, ,自然轴系自然轴系1、弧坐标、弧坐标6-3
13、 6-3 自然法自然法 设动点设动点M的轨迹为如图所示的曲线，则动点的轨迹为如图所示的曲线，则动点M在轨迹在轨迹上的位置可以这样确定：在轨迹上任选一点上的位置可以这样确定：在轨迹上任选一点O为参考点，为参考点，并设点并设点O的某一侧为正向，动点的某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置由弧在轨迹上的位置由弧长长s确定，视弧长确定，视弧长s为代数量，称它为动点为代数量，称它为动点M在轨迹上的在轨迹上的弧坐标弧坐标。当动点。当动点M运动时，运动时，s随着时间变化，它是时间的随着时间变化，它是时间的单值连续函数，即单值连续函数，即 S=f (t) 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院1
14、82、自然轴系、自然轴系 即以点即以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系，这三个的自然坐标系，这三个轴称为轴称为自然轴系自然轴系。且三个单位矢量满足右手法则，即。且三个单位矢量满足右手法则，即bn理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院19 1 1 M1在点的运动轨迹曲线上在点的运动轨迹曲线上取极为接近的两点取极为接近的两点M和和M1，这两点，这两点切线切线的单位的单位矢量分别为矢量分别为 和和 1，其指，其指向与弧坐标正向一致。向与弧坐标正向一致。将将 1平移到点
15、平移到点M，则，则 和和 1决定一平面。令决定一平面。令M无无限趋近点限趋近点M1，则此平面，则此平面趋近于某一极限位置，趋近于某一极限位置，此极限平面称为曲线在此极限平面称为曲线在点点M的的密切密切面面。过点过点M并与切线垂直的平面称为并与切线垂直的平面称为法平面法平面，法平面与密切面的，法平面与密切面的交线称交线称主法线主法线。令主法线的单位矢量为。令主法线的单位矢量为n，指向曲线内凹一，指向曲线内凹一侧。过点侧。过点M且垂直于切线及主法线的直线称且垂直于切线及主法线的直线称副法副法线线，其单位，其单位矢量为矢量为b，指向与，指向与 、 n构成右手系。构成右手系。理论力学理论力学中南大学土
16、木建筑学院中南大学土木建筑学院20曲线切线的转角对弧长一阶导曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值称为曲线在数的绝对值称为曲线在M点的曲率。点的曲率。曲率的倒数称为曲率的倒数称为M点的曲率半径。点的曲率半径。3 3、曲率、曲率01dlimdsSSjj OMM js2sin2jj00d1limlimdnnsssssj 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院21二、点的速度二、点的速度0000limlim()ddlimlimddddrrvrrttttStStSStStSSvt 三、点的加速度三、点的加速度22dddddd()ddddddvavSvvvtttttt 式中式中v 称为速
17、度矢量在切线上的投影。称为速度矢量在切线上的投影。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院222t2ddddavStt切向加速度切向加速度 -表示速度大小的变化表示速度大小的变化ta2nddddddansvvvtst法向加速度法向加速度 -表示速度方向的变化表示速度方向的变化na2tnddaaanvvt22ttnn|, arctgaaaaa理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院23200t12ssv ta tttddacva t 了解上述关系后，容易得到曲线运动的运动规律。了解上述关系后，容易得到曲线运动的运动规律。例如所谓曲线匀速运动，即动点速度的代数值保持
18、不变。例如所谓曲线匀速运动，即动点速度的代数值保持不变。0ssvt 如果动点的切向加速度的代数值保持不变，则动点的如果动点的切向加速度的代数值保持不变，则动点的运动称为运动称为匀变速曲线运动匀变速曲线运动。现在来求它的运动规律。现在来求它的运动规律。 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院24与与 有何不同有何不同?就直线和曲线分别说明就直线和曲线分别说明。ddvtddvt ( (直线直线. .曲线都一样曲线都一样), ), 为速度的为速度的大小变化率大小变化率, ,在曲线中应为切向加速度在曲线中应为切向加速度 。ddvatddvatddvat理论力学理论力学中南大学土木建筑
19、学院中南大学土木建筑学院25点点M沿着螺线自外向内运动，它走过的弧长与时间的一次方沿着螺线自外向内运动，它走过的弧长与时间的一次方成成正比，问点的加速度是越来越大，还是越来越小？点是越正比，问点的加速度是越来越大，还是越来越小？点是越跑越快，还是越跑越慢？跑越快，还是越跑越慢？ 证明证明 是沿着主法线方向是沿着主法线方向,即即 。dd t ddt d()dddd 1 0 0 20 ddddd ttttt 证明证明: dd SbtaSvbt222tnnd0, , d vvbbaaaat 由于点由外向内运动由于点由外向内运动,曲率半径曲率半径 越来越小越来越小,所以加速度所以加速度越来越大越来越大
20、。而速度。而速度 v = =常数常数, ,故点运动快慢不变。故点运动快慢不变。解：解：理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院26例例列车在列车在R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长长l=200m，当列车开始走上曲线时的速度，当列车开始走上曲线时的速度v0=30km/h，而，而将要离开曲线轨道时的速度是将要离开曲线轨道时的速度是v148km/h。求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院27解：由于是匀变速运动，则常量。解：由于是匀变速运动
21、，则常量。由公式而由已知由公式而由已知a220t2vva s,m200ls22210t0116006250.27m/s2922003010002548100040m/s, m/s3600336003vvasvv列车走上曲线时，列车走上曲线时，全加速度全加速度列车将要离开曲线时，列车将要离开曲线时，全加速度全加速度22220tn0(25/3)0.27m/s ,0.23m/s300vaaR2221t0tn00n00.356m/s , tg49 29aaaaa22221tn1(40/3)0.27m/s , 0.593m/s300vaaR2221t1tn11n10.652m/s , tg24 34aa
22、aaa理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院28 例例 下图为料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕水平轴下图为料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕水平轴O转动的卷筒提升。已知：卷筒的半径为转动的卷筒提升。已知：卷筒的半径为R16cm，料斗沿，料斗沿铅垂提升的运动方程为铅垂提升的运动方程为y2t2，y以以cm记，记，t 以以s计。求卷筒计。求卷筒边缘一点边缘一点M在在t4s时的速度和加速度。时的速度和加速度。解：解：此时此时M点的切向加速度为：点的切向加速度为：2td4 cm/sdvatv4416 cm/s当当t=4 s时速度为：时速度为：d4dSvttM0OMRMA0Ay理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院29M点的法向加速度为：点的法向加速度为：22n16 cm /svaRM点的全加速度为：点的全加速度为：222tn16.5cm/saaatntan|0.25arctan 0.2514 2 aa理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院30
