1、如果积分区域为：如果积分区域为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy ( , )( , )( , )0Df x y dDzf x yf x y的值等于以为底，以曲面为曲顶的曲顶柱体的体积（）应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法,zyx)(0 xA),( yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 得
2、得abx.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D X型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 DD
3、DD则必须分割则必须分割.解解两两曲曲线线的的交交点点),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 注：注：积分区域既是积分区域既是X-型也是型也是Y-型，也可表示成先对型，也可表示成先对x后对后对y次序的二次积分。次序的二次积分。 dyey2无法用初等函数表示无法用初等函数表示解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 解解 dxexy不不能能用
4、用初初等等函函数数表表示示先先改改变变积积分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy xy 222xxy 原原式式 102112),(yydxyxfdy.解解积分区域如图积分区域如图axy2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a例例6. 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积的直交圆柱面所围的体积.解解: 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性利用对
5、称性, 考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为228DVRx dxdy220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxDxyzRROxyo11提示：虽然积分区域为全平面，但只有当01,01xyx时，被积函数才不为零，因此只需要在满足此不等式的区域内积分即可二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）二、小结二、小结.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf
6、.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型型X型型思考题思考题思考题解答思考题解答1D2Dxyo1120011( )( ).22f x dxf y dyA1110( ) ( )( ) ( )xDIdxf x f y dyf x f y dxdy又1( ) ( )2Df x f y dxdy1D2Dxyo121( ) ( )( ) ( )2DDIf x f y dxdyf x f y dxdy故练练 习习 题题 4 4、将二重积分、将二重积分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由直线是由直线 2, xxy及双曲线及双曲线)0(1 xxy所围成的闭区所围成的闭区 域域,
7、,化为先对化为先对x后对后对y的二次积分的二次积分, ,应为应为 _. _. 5 5、将将二二次次积积分分 22221),(xxxdyyxfdx改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、将将二二次次积积分分 xxdyyxfdxsin2sin0),( 改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 7 7、将将二二次次积积分分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1(2112)
8、,(ydxyxfdy改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二、画出积分区域二、画出积分区域, ,并计算下列二重积分并计算下列二重积分: : 1 1、 Dyxde , ,其中其中D是由是由1 yx所确定的闭区域所确定的闭区域. . 2 2、 Ddxyx )(22其中其中D是由直线是由直线 xyxyy2, 2 及及所围成的闭区域所围成的闭区域. . 3 3、 xDdyyxxydxdyxf020)(2(cos),( 。4 4、,2 Ddxdyxy其中其中D: : 20 , 11 yx.
9、.三、设平面薄片所占的闭区域三、设平面薄片所占的闭区域D由直线由直线, 2 yxxy 和和x轴所围成轴所围成, ,它的面密度它的面密度22),(yxyx , ,求该求该薄片的质量薄片的质量 . .四、四、 求由曲面求由曲面222yxz 及及2226yxz , ,所围成的所围成的立体的体积立体的体积 . .一、一、1 1、1 1； 2 2、23 ；3 3、 220),(xrrrdyyxfdx；4 4、 22121121),(),(yydxyxfdydxyxfdy；5 5、 211210),(yydxyxfdy；6 6、 yyydxyxfdydxyxfdyarcsinarcsin10arcsin201),(),( ； 7 7、 21120),(xexdyyxfdx. .练习题答案练习题答案二、二、1 1、1 ee； 2 2、613； 3 3、 ； 4 4、235 . .三、三、34. .四、四、 6. .
