1、一、三重积分的定义一、三重积分的定义即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .叫做体积元素叫做体积元素其中其中dv, 的平面来划分的平面来划分用平行于坐标面用平行于坐标面在直角坐标系中，如果在直角坐标系中，如果.lkjizyxv 则则三三重重积积记记为为 dxdydzzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .积元素积元素叫做直角坐标系中的体叫做直角坐标系中的体其中其中dxdydz直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分1.先单后重（先一后二）先单后重（先一后二）二、三重积分的计算二、三重积分的计算xyzo D1z2z2S1S),(1yx
2、zz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如图，如图，,Dxoy面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域在在闭区域闭区域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直线作直线过点过点Dyx 穿出穿出穿入，从穿入，从从从21zz函数，则函数，则的的只看作只看作看作定值，将看作定值，将先将先将zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上上的的二二重重积积分分在在闭闭区区间间计计算算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得得 dvzyxf),
3、(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx注意注意于两点情形于两点情形相交不多相交不多的边界曲面的边界曲面直线与闭区域直线与闭区域内部的内部的轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域这是平行于这是平行于Sz 其中其中 为三个坐标为三个坐标例例1. 1. 计算三重积分计算三重积分d d dx x y z12zyx所围成的闭区域所围成的闭区域 . .120d ddxyDxxyzxdz dxdy )1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxx )1(021dxy10d xx481面及平面面及平面解解:(:(先单后重先单后重) )1x
4、yz121OD1xy121(1)2yx x( , )x y解解由由 22222xzyxz, 得得交交线线投投影影区区域域, 122 yx.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI21( , )( , )( , , ).zx yzx yDf x y z dz d ( , , )f x y z dv22222( , , ).xxyDf x y z dz dxdy 22:1,Dxy其中D x 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如图，如图，xyz解解1D 10100),(2dyzyxfdzdxx原式原式 1101222)
5、,(xzxxdyzyxfdzdx.2Dz直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分2.先重后单（截面法或称先二后一）先重后单（截面法或称先二后一）解解（一）（一） zdxdydz,10 zDdxdyzdz1| ),(zyxyxDz )1)(1(21zzdxdyzD 原式原式 102)1(21dzzz241 .xozy111z zD zdxdydz解解（二）（二） zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21dzzz241 .xozy111 10yzy zDzdx dydz ( , )y zyzD: ,| ),(czczyx 122
6、2222czbyax 原式原式,2 zDccdxdydzzxyzozD解解z)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),(yxDz 1222222czbyax 原式原式解解如图如图,22:1xozxzxzxz将 投影到平面得D先对y积分再求D 上的二重积分dzzxxdxxx21221111222 dxzzxxxx221132112| )3(1 1142)21(31dxxx.4528 221211xzxzDyx dy dxdz 原式三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体
7、积元素dxdydzdv （计算时将三重积分化为三次积分）计算时将三重积分化为三次积分）三、小结三、小结思考题思考题选择题选择题:;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;),()(202212 xxdzzyxfdydxB;),()(201222 xxdzzyxfdydxC.),()(202212 xxdzzyxfdydxD一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若 由曲面由曲面22yxz 及平面及平面1 z所围成所围成, , 则三重积分则三重积分 dxdydzzyxf),(化为三次积分是化为三次积分是 _. .2 2、 若若 是由曲面是由曲面0( cxycz),),12222 by
8、ax, ,0 z所所围成的在第一卦限内的闭区域围成的在第一卦限内的闭区域, ,则三重积分则三重积分 dxdydzzyxf),(可化为三次积分为可化为三次积分为_._.3 3、 若若10 , 10 , 10: zyx, ,则则 dxdydzzyx)(可化为三次积分可化为三次积分_,_,其值为其值为_._.练练 习习 题题 4 4、若、若 : :是由是由),0(, 0, 0 hhzzx )0(2222 aayxayx及及所围成所围成, ,则三重积则三重积 分分 dvzyxf),(可化为：可化为：(1)(1) 次序为次序为xyz的三次积分的三次积分_._.(2)(2)次序为次序为zxy的三次积分的三
9、次积分_._. (3) (3)次序为次序为yzx的三次积分的三次积分_._.二、计算二、计算 dxdydzzxy32, ,其中其中 是由曲面是由曲面xyz , ,与平与平 面面01, zxxy和和所围成的闭区域所围成的闭区域 . .三、计算三、计算 xzdxdydz, ,其中其中 是曲面是曲面1, 0 yyzz, ,以及抛物柱面以及抛物柱面2xy 所围成的闭区域所围成的闭区域. .四、计算四、计算 dvyx221, ,其中其中 是由六个顶点是由六个顶点 ),0 , 0 , 2(),2 . 1 . 1(),0 , 1 , 1(),0 , 0 , 1(DCBA )4 , 2 , 2(),0 , 2 , 2(FE组成的三棱锥台组成的三棱锥台. .一、一、1 1、 111112222),(yxxxdzzyxfdydx； 2 2、 cxyaxbadzzyxfdydx0100),(22； 3 3、 101010)(dzzyxdydx，23； 4 4、 hxaxaadzzyxfdydx020),(22， 22200),(xaxaahdyzyxfdxdz； 22220022020),(),(yahaayayahadxzyxfdzdydxzyxfdzdy练习题答案练习题答案二二、 3641. .三三、 0 0. .四四、 2ln. .
