1、15-1 15-1 德布罗意波德布罗意波实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性一、德布罗意波一、德布罗意波德布罗意提出了德布罗意提出了物质波的假设物质波的假设： 一切实物粒子一切实物粒子(如电子、质子、中子如电子、质子、中子)都与光子一都与光子一样样,具有波粒二象性。具有波粒二象性。 运动的实物粒子的能量运动的实物粒子的能量E、动量、动量p与它相关联的与它相关联的波的频率波的频率 和波长和波长 之间满足如下关系：之间满足如下关系： hmcE 2 hmp 德布罗意公式德布罗意公式(或或假设假设)与实物粒子相联系的波称为与实物粒子相联系的波称为德布罗意波德布罗意波(或或物质波物质波)电子的德布罗
2、意波长为电子的德布罗意波长为eUmh02 )A(3 .120U VU150 0A1 例如例如：电子经加速电势差：电子经加速电势差 U加速后加速后eUm 2021 2201cmhmhph 0,mhc 则则如如果果02meU 例：一质量例：一质量m0=0.05=0.05Kg的子弹，的子弹，v=300=300m/s，求，求 其物质波的波长。其物质波的波长。解：解：)(104 . 430005. 01063. 635340mvmh 即即4.4 10-25Cv 二、二、德布罗意波德布罗意波的实验证明的实验证明(电子衍射实验电子衍射实验) 1927年戴维孙和革末用加速后的电子投射到晶体年戴维孙和革末用加速
3、后的电子投射到晶体上进行电子衍射实验。上进行电子衍射实验。GK狭缝狭缝电电流流计计镍镍集集电电器器U电子束电子束单单晶晶 衍射最大值：衍射最大值：3, 2, 1sin2 kkd meUh2 电子的波长：电子的波长：meUhksind22 5102015250IU一切微观粒子都具有波粒二象性。一切微观粒子都具有波粒二象性。实验表明电流极大值实验表明电流极大值正好满足此式正好满足此式电流出现峰值电流出现峰值戴维孙戴维孙革末实验中革末实验中063 A0328000.kU.d 1927 年汤姆逊（年汤姆逊（GPThomson）以）以600伏慢电子伏慢电子（ =0.5）射向铝箔，也得到了像）射向铝箔，也
4、得到了像X射线衍射一射线衍射一样的衍射，再次发现了电子的波动性。样的衍射，再次发现了电子的波动性。1937年戴维逊与年戴维逊与GP汤姆逊共获当年诺贝尔奖汤姆逊共获当年诺贝尔奖（GPThomson为电子发现人为电子发现人JJThmson的儿子）的儿子）尔后又发现了质子、中子的衍射尔后又发现了质子、中子的衍射L.V.L.V.德布罗意德布罗意 电子波动性的理论电子波动性的理论研究研究1929诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖 C.J.戴维孙戴维孙 通过实验发现晶体通过实验发现晶体对电子的衍射作用对电子的衍射作用1937诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖三、三、德布罗意波德布罗意波的统计解释的统计解释 1926年
5、，德国物理学家玻恩年，德国物理学家玻恩 (Born , 1882-1972) 提出了提出了概率波概率波，认为，认为个别微观粒子个别微观粒子在何处出在何处出现有一定的现有一定的偶然性偶然性，但是，但是大量粒子大量粒子在空间何处出现在空间何处出现的空间分布却服从的空间分布却服从一定的统计规律一定的统计规律。Y M. .玻恩玻恩 Y对量子力学的基础研究，对量子力学的基础研究，特别是量子力学中波函数特别是量子力学中波函数的统计解释的统计解释 微观粒子的空间位置要由概率波来描述，概率微观粒子的空间位置要由概率波来描述，概率波只能给出粒子在各处出现的概率。任意时刻不具波只能给出粒子在各处出现的概率。任意时
6、刻不具有确定的位置和确定的动量。有确定的位置和确定的动量。15-2 不确定不确定关系关系Uncertainty Relation 电子具有波粒二象性，也可产生类似波的单电子具有波粒二象性，也可产生类似波的单缝衍射的图样，若电子波长为缝衍射的图样，若电子波长为 ，则让电子进行，则让电子进行单缝衍射则应满足：单缝衍射则应满足：3 .2 .1 k明纹明纹暗纹暗纹2)12(sin ka ka sin1、位置的不确定程度、位置的不确定程度用单缝来确定电子在穿过单缝用单缝来确定电子在穿过单缝时的位置时的位置电子在单电子在单缝的何处缝的何处通过是不通过是不确定的确定的!只知是在只知是在宽为宽为a的的的缝中通
7、的缝中通过过.结论结论:电子在单缝处的位置不确定量为电子在单缝处的位置不确定量为ax 电子在单缝处位置的不确定程度电子在单缝处位置的不确定程度U2 2、单缝处电子的动量的不确定程度、单缝处电子的动量的不确定程度先强调一点：先强调一点：电子衍射是电子自身的波粒二象性结果电子衍射是电子自身的波粒二象性结果，不能归于外部的原因，即不是外界作用的结果。不能归于外部的原因，即不是外界作用的结果。 如有人认为衍射是电子与单缝的作用，即电子与如有人认为衍射是电子与单缝的作用，即电子与单缝材料中的原子碰撞的结果，碰撞后电子的动量大单缝材料中的原子碰撞的结果，碰撞后电子的动量大小与方向均发生改变，但实验告诉我们
8、衍射的花样与小与方向均发生改变，但实验告诉我们衍射的花样与单缝材料无关，单缝材料无关，只决定于电子的波长与缝宽只决定于电子的波长与缝宽a，可见，可见不能归结于外部作用。不能归结于外部作用。 显然，电子通过单缝不与单缝材料作用，因此通过显然，电子通过单缝不与单缝材料作用，因此通过单缝后，其单缝后，其动量大小动量大小P不变不变。但不同的电子要到达屏。但不同的电子要到达屏上不同的点。故各电子的动量方向有不同。上不同的点。故各电子的动量方向有不同。xpypp 电子束电子束x缝缝a 2ax X方向电子的位置方向电子的位置不确定量不确定量为：为：ax 电子大部分都到达中央明纹处电子大部分都到达中央明纹处.
9、研究研究正负一级暗纹间正负一级暗纹间的电子。这部分电子在单缝处的的电子。这部分电子在单缝处的动量在动量在X轴上的分量值为：轴上的分量值为： sin0PPx 为一级暗纹的衍射角为一级暗纹的衍射角 sina sinppx ap ph Pxpx hphp xpypp 电子束电子束x缝缝a 2ax X方向电子的位置方向电子的位置不确定量不确定量为：为：ax 由单缝暗纹条件：由单缝暗纹条件： 为一级暗纹的衍射角为一级暗纹的衍射角到达正负一级暗纹间的电子在单缝处的动量在到达正负一级暗纹间的电子在单缝处的动量在X轴上轴上的分量的的分量的不确定量不确定量为为xp 考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，考虑到
10、在两个一级极小值之外还有电子出现，所以：所以：经严格证明此式应为：经严格证明此式应为：hxpx 2 xpx这就是著名的这就是著名的海森伯不确定关系式海森伯不确定关系式hxpx 2 ypy 2 zpz 不能不能将微观粒子同一方将微观粒子同一方向上的坐标及动量向上的坐标及动量同时同时测准。测准。物理意义：物理意义：设有一个动量为设有一个动量为P，质量为，质量为m的粒子，能量的粒子，能量考虑到考虑到E的增量：的增量：EPmvccPcmPPcE 222420222Pv Ptx 2/ pxtE2 tE能量与时间不确定关系式能量与时间不确定关系式即：即：3、能量与时间不确定关系、能量与时间不确定关系224
11、20cPcmE 这说明原子光谱有一定宽度，实验已经证实。这说明原子光谱有一定宽度，实验已经证实。原子处于激发态的平均寿命一般为原子处于激发态的平均寿命一般为st810 JtE26102 于是激发态能级的宽度为：于是激发态能级的宽度为： 对于微观粒子的能量对于微观粒子的能量 E 及它在能态上停留的平及它在能态上停留的平均时间均时间t 之间满足关系：之间满足关系：2 tE 不确定关系式的理解不确定关系式的理解(1)(1) 用经典物理学量用经典物理学量动量、坐标来描写微观粒子动量、坐标来描写微观粒子行为时将会受到一定的限制行为时将会受到一定的限制 。微观粒子的位置和动量微观粒子的位置和动量不可能同时
12、确定，不可能同时确定，位置越确定位置越确定 ( (x 越小），其动量越小），其动量就越不确定就越不确定 （Px 越大），反之亦然。越大），反之亦然。若某时刻粒若某时刻粒子位置完全确定子位置完全确定 ( (x 0), 0), 则其动量完全不确定则其动量完全不确定 ( (Px ) )，这意味着下一时刻粒子以什么速率朝什，这意味着下一时刻粒子以什么速率朝什么方向运动是无法预知的。么方向运动是无法预知的。可见，对微观粒子而言不可见，对微观粒子而言不存在轨道概念。这是玻尔理论的缺陷之一。存在轨道概念。这是玻尔理论的缺陷之一。(2)(2) 可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经可以用来判别对于实物粒子
13、其行为究竟应该用经典力学来描写还是用量子力学来描写。典力学来描写还是用量子力学来描写。 普朗克常数在量子物理中扮演了一个非常重要的角色。普朗克常数在量子物理中扮演了一个非常重要的角色。 x px h所以坐标及动量可以同时确定所以坐标及动量可以同时确定1. 宏观粒子的动量及坐标能否同时确定？宏观粒子的动量及坐标能否同时确定？，若，若的乒乓球的乒乓球 , 其直径其直径, 可以认为其位可以认为其位置是完全确定的。其动量是否完全确定呢？置是完全确定的。其动量是否完全确定呢？例例kgm210 cmd5 1200 smvxmx610 xvmx 2 6341010 12810 smkgxvm12 smkg问
14、题？问题？电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。01Adx 例例 一电子以速度一电子以速度的速度穿过晶体。的速度穿过晶体。161001 sm.vxxmvx 2 1103134101010 sm1710 sm1610 smvx2. 微观粒子的动量及坐标是否永远不能同时确定？微观粒子的动量及坐标是否永远不能同时确定？例例 估算氢原子中估算氢原子中电电子速度的不确定量。子速度的不确定量。 解解 电子被束缚在原子球内电子被束缚在原子球内, , 坐标的不确定量是坐标的不确定量是 x=10-10m( (原子的大小原子的大小), ), 按不确定关系按不确定关
15、系: : x px h, ,则电则电子速度的不确定量为子速度的不确定量为xmhx )/(103 . 7101011. 91063. 66103134sm 电电子速度的不确定量是如此之大！子速度的不确定量是如此之大！ 可见可见, ,微观粒子微观粒子的的速度速度和和坐标坐标不能不能同时同时准确测定准确测定。 这也表明，不确定关系施加的限制不允许我们用这也表明，不确定关系施加的限制不允许我们用经典理论来研究氢原子的问题，像氢原子这样的经典理论来研究氢原子的问题，像氢原子这样的微观微观粒子粒子只能用只能用量子力学量子力学理论来处理。理论来处理。 例例 子弹质量子弹质量m=0.1kg , 速度测量的不确
16、定量是速度测量的不确定量是x=10-6 m/s 。 ( (应当说这个测量够精确的了！应当说这个测量够精确的了！) )，求求子弹坐标的不确定量。子弹坐标的不确定量。 解解 按不确定关系按不确定关系: x px h,则子弹坐标的不确则子弹坐标的不确定量为定量为xmhx )(1063. 6101 . 01063. 627634m 可见可见, , 子弹的速度和坐标能同时准确测定。子弹的速度和坐标能同时准确测定。 这表示，不确定关系施加的限制可以忽略，像子这表示，不确定关系施加的限制可以忽略，像子弹这样的弹这样的宏观物体宏观物体可以用可以用经典理论经典理论来研究它的运动。来研究它的运动。vmx 2/2/
17、 xPx 例例 电子射线管中的电子束中的电子速度一般为电子射线管中的电子束中的电子速度一般为105m/s，设测得速度的精度为，设测得速度的精度为1/10000，即，即 v =10m/s，求电子位置的不确定量。求电子位置的不确定量。解：解：m63134103 .610101 .94/1063.6 可以用位置、动量描述可以用位置、动量描述X 例例 电视信号所包含的脉冲全宽度为电视信号所包含的脉冲全宽度为 ，试讨论为什么不能用调幅广播频带发射电视信号。试讨论为什么不能用调幅广播频带发射电视信号。st610 解：由不确定关系解：由不确定关系2 thtE 41 t于是电视信号中的频率范围是于是电视信号中
18、的频率范围是Hzt51041 整个调幅广播频带范围是整个调幅广播频带范围是 HzHz66106 . 1105 . 0 所以不能用调幅广播频带发射电视信号。电视所以不能用调幅广播频带发射电视信号。电视发射频宽一般要用到发射频宽一般要用到 ，这样可以容纳几十个，这样可以容纳几十个电视频道。电视频道。Hz810 例例 波长波长 =5000的光沿的光沿x轴正方向传播，波长轴正方向传播，波长的不确定量为的不确定量为=10-3，求光求光子坐标的不确定量子坐标的不确定量。 解解 光光子的动量子的动量 按不确定关系按不确定关系: x px h, 则光子坐标的不确定则光子坐标的不确定量为量为 hpx 2hpxm
19、phxx5 . 22 结论结论：能否用：能否用经典方法经典方法来描述某一问题，来描述某一问题，关键关键在在 于于由不确定关系所加限制能否被忽略由不确定关系所加限制能否被忽略。)(2cos),( xtAtxy )(2),( xtiAetxy 单色平面简谐波波动方程单色平面简谐波波动方程1 1 、波函数、波函数定义定义：描述微观粒子的运动状态的概率波的数学式子：描述微观粒子的运动状态的概率波的数学式子)(20),( xtietx 0 )t ,x( 区别于经典波动区别于经典波动hEph )(0),(pxEtietx 2h 其其中中15-315-3 薛定谔方程薛定谔方程一、波函数一、波函数 概率密度概
20、率密度只只取取实实部部一维自由粒子的波函数一维自由粒子的波函数自由粒子的物质波波函数自由粒子的物质波波函数)(0),(PxEtietx )(0),(rpEtietr 2 、概率密度概率密度三维空间三维空间 19261926年年, ,玻恩玻恩(M.Born)首先提出了首先提出了波函数的统计解释波函数的统计解释： 波函数模的平方波函数模的平方 (x,y,z,t) 2 表示粒子在表示粒子在t t 时时刻刻在在(x,y,z)处处的单位体积中出现的概率，即的单位体积中出现的概率，即概率密度概率密度。 而而(x,y,z,t) 2 2 dxdydz 表示粒子在表示粒子在t t 时时刻刻在在(x,y,z)处的
21、体积元处的体积元dxdydz中出现的概率中出现的概率。波函数的统计铨释（波恩波函数的统计铨释（波恩BornBorn） 代表什么？看电子的单缝衍射：代表什么？看电子的单缝衍射：1）大量电子的一次行为：）大量电子的一次行为：U极大值极大值极小值极小值中间值中间值较多电子到达较多电子到达较少电子到达较少电子到达介于二者之间介于二者之间波强度大，波强度大，220 或大大220 或小小波强度小，波强度小，波强介于二者之间波强介于二者之间粒子的观点粒子的观点波动的观点波动的观点统一地看：粒子出现的几率正比于统一地看：粒子出现的几率正比于220 或2）一个粒子多次的重复行为）一个粒子多次的重复行为较长时间以
22、后较长时间以后极大值极大值极小值极小值中间值中间值电子较多次到达电子较多次到达电子较少次到达电子较少次到达介于二者之间介于二者之间波强度大，波强度大，220 或大大220 或小小波强度小，波强度小，波强介于二者之间波强介于二者之间粒子的观点粒子的观点波动的观点波动的观点U统一地看：粒子出现的几率正比于统一地看：粒子出现的几率正比于220 或则波函数则波函数模的平方模的平方表征了表征了t 时刻，在空间时刻，在空间(x,y,z)处处出现粒子的出现粒子的概率密度概率密度结论：结论： 某时刻空间某体元某时刻空间某体元d dv中出现粒子的几率中出现粒子的几率 正比于该地点波函数模的平方和体积元正比于该地
23、点波函数模的平方和体积元 体积：体积：dVdW ,2通常比例系数取通常比例系数取1:dVdW2 dV )(共轭复数共轭复数为为 2dVdWw物质波与经典波的本质区别物质波与经典波的本质区别经典波的波函数是实数，具有物理意义，可测量。经典波的波函数是实数，具有物理意义，可测量。可测量，具有物理意义可测量，具有物理意义1)物质波是复函数，本身无具体的物理意义，物质波是复函数，本身无具体的物理意义， 一般是不可测量的。一般是不可测量的。 22)物质波是概率波。有意义的是相对取值。物质波是概率波。有意义的是相对取值。 C 等价等价对于经典波对于经典波CAA 振振幅幅ECE2 能量能量对于物质波对于物质
24、波).( tr1 VdVW3 、波函数的标准化条件波函数的标准化条件与归一化条件与归一化条件1）波函数具有）波函数具有有限有限性性在空间是有限函数在空间是有限函数2）波函数是）波函数是连续连续的的只差一微量只差一微量几率密度几率密度处处与与处的几率密度处的几率密度即在即在)()(rdrwrdrrwr 3）波函数是）波函数是单值单值的的粒子在空间出现的几率只可能是一个值粒子在空间出现的几率只可能是一个值4）满足归一化条件）满足归一化条件1 dVW（归一化条件）（归一化条件）因为粒子在全空间出现是必然事件因为粒子在全空间出现是必然事件（Narmulisation）波函数的标波函数的标准条件：准条件
25、：单单值值、有限有限和和连续连续 应当指出，物质波与经典物理中的波动是不同。应当指出，物质波与经典物理中的波动是不同。对机械波对机械波, y 表示位移表示位移;对电磁波对电磁波, y 表示电场表示电场E或磁或磁场场B，波强与振幅波强与振幅A的平方成正比的平方成正比。 在量子力学中在量子力学中,物质波不代表任何实在的物理量物质波不代表任何实在的物理量的波动的波动, 波的振幅的平方波的振幅的平方 (x,y,z,t) 2表示粒子在表示粒子在t 时刻在时刻在(x,y,z)处处的单位体积中出现的概率。的单位体积中出现的概率。 在量子力学中微观粒子的运动状态是用在量子力学中微观粒子的运动状态是用波函数波函
26、数 (x,y,z,t)来描述的来描述的。 但描述微观粒子运动状态的波函数但描述微观粒子运动状态的波函数 (x,y,z,t)又又到那里去寻找呢？到那里去寻找呢？ 答案是：答案是：求解薛定谔方程求解薛定谔方程。 微观粒子遵循的是微观粒子遵循的是统计规律统计规律，而不是经典的，而不是经典的 决定性规律决定性规律。牛顿说牛顿说：只要给出了初始条件，下一时刻粒：只要给出了初始条件，下一时刻粒 子的轨迹是已知的，子的轨迹是已知的，决定性决定性的。的。量子力学说量子力学说：波函数不给出粒子在什么时刻：波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只给出到达各点的一定到达某点，只给出到达各点的统计分布统计分布；即只
27、知道即只知道| | | |2 2大大的地方粒子的地方粒子出现的可能性大出现的可能性大，| | | |2 2小的地方几率小小的地方几率小。一个粒子下一时刻出。一个粒子下一时刻出现在什么地方，走什么路径是不知道的。现在什么地方，走什么路径是不知道的。（非决定性非决定性的）的）解：利用归一化条件解：利用归一化条件 dx)x(2 例：求波函数归一化常数和概率密度。例：求波函数归一化常数和概率密度。 )0( )0( 0axxasinAeax,xxEti adxaxsinA022 122 aAaA2 2 w )0( sin2),0( 02axaxaaxx Y M. .玻恩玻恩 Y对量子力学的基础对量子力学
28、的基础研究，特别是量子研究，特别是量子力学中波函数的统力学中波函数的统计解释计解释1954诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖 W. .海森堡海森堡 创立量子力学，创立量子力学，并导致氢的同素并导致氢的同素异形的发现异形的发现1932诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖 2222px Eit 二、薛定谔方程二、薛定谔方程自由粒子：自由粒子：未受力作用的粒子，其动量、能量不变，故其未受力作用的粒子，其动量、能量不变，故其物质波的频率、波长不变，传播方向不变。物质波的频率、波长不变，传播方向不变。 描述粒子运动的波函数和粒子所处条件的关系式称为薛定谔薛定谔方程方程。该方程是量子力学的基本方程，揭示了微观物理世界物
29、质运动的基本规律。它的重要性犹如牛顿方程对于经典力学，麦克斯韦方程组对于电磁学。描述概率波的波函数是薛定谔方程的解i两边乘以22m两边乘以)pxEt(ie)t ,x( 0 一维一维自由粒子自由粒子的波函数的波函数1、薛定谔方程、薛定谔方程对于非相对论粒子对于非相对论粒子mpE22 tixm 2222这就是这就是一维自由粒子（含时间）薛定谔方程一维自由粒子（含时间）薛定谔方程在外力场中粒子的总能量为：在外力场中粒子的总能量为： Vxmti 2222),(212txVpmE 一维薛定谔方程一维薛定谔方程 2222px Eit三维薛定谔方程三维薛定谔方程 Vmti 2222222222zyx 拉普拉
30、斯算符拉普拉斯算符 哈密顿量算符哈密顿量算符),(222tzyxVmH 薛定谔方程薛定谔方程 Hti 22( , , , )2V x y z timt )(),(),(tfzyxtzyx 如如势能函数不是时间的函数势能函数不是时间的函数代入薛定谔方程得：代入薛定谔方程得：tffiVm 12122 用分离变量法将波函数写为：用分离变量法将波函数写为：),(222zyxVmH 只是空间坐标的函数只是空间坐标的函数只是时间的函数只是时间的函数2 2、定态薛定谔方程定态薛定谔方程E tffiVm 12122 E Etffi 1Etike)t (f 定态薛定谔方程定态薛定谔方程粒子在空间出现的粒子在空间
31、出现的几率密度几率密度222Etie)z ,y,x()t , z ,y,x( 几率密度与时间无关，波函数描述的是几率密度与时间无关，波函数描述的是定态定态2)z ,y,x( 定定态态波波函函数数 02222 )x()VE(m)x(dxd 粒子在粒子在一维一维势场中势场中 EVm 222E. .薛定谔薛定谔 量子力学的量子力学的广泛发展广泛发展1933诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖三、一维无限深势阱三、一维无限深势阱金属中的自由电子可看作在一维无限深势阱中运动金属中的自由电子可看作在一维无限深势阱中运动势能函数为：势能函数为： ),0()0(0)(axxaxxV Va Vx00 V 边界条件边界条
32、件: : 0,00 a 模型模型: :自由粒子在金属中运动自由粒子在金属中运动, ,要逸出须克服电子引要逸出须克服电子引力力, ,相当于势能突然增大。相当于势能突然增大。当当 x a 时，时， 0 )x( )()(2)(222xEVmdxxd V对对区：区：xxeBeA)x( 通解为通解为波函数标准条件：连续、单值、波函数标准条件：连续、单值、有限有限 VOa Vx0 V 时时，当当 ax时时当当0 x EVm 222）（令令EVm 222 )()(222xdxxd ，则，则V0 BAx）（ BAx0）（ 0 ）（x 0 ）（x 0)(2)(222 xmEdxxd 0 VmEk2 令令0)()
33、(222 xkdxxd 方程的通解为：方程的通解为：ikxikxBeAex )( 对对区区：kxBkxAxsincos)( 或或 Va Vx00 V 利用边界条件定利用边界条件定A，B 0, 0 xax 时时 00sin0cos0 kBkA 0sincos kaBkaAa , 2 , 1 nanknkan 可得：可得：0, 0sin, 0 BkaBA且且0sin ka xanBx sin 12 xdx 又：又： 1sin0222 xdxanBxdxa 得：得：aB2 一维无限深势阱的波函数为：一维无限深势阱的波函数为： xanax sin2 1.1.能量是量子化的。能量是量子化的。,222mE
34、k ank (n=1,2,)于是于是)2(2222manEn (n=1,2,)22212maE 是粒子的基态能级。注意是粒子的基态能级。注意, ,这与经典理论所得结果是这与经典理论所得结果是不同的。因为根据经典理论不同的。因为根据经典理论, , 粒子的最低能量应该粒子的最低能量应该为零。为零。E1又称为零点能又称为零点能。 可见，粒子的能量只能取不连续的值，这叫做可见，粒子的能量只能取不连续的值，这叫做能能量量子化量量子化。整数。整数 叫做量子数。叫做量子数。 当当n n =1=1n讨讨论论2.2.粒子在势阱内的概率分布粒子在势阱内的概率分布 xanax 22sin2 极大：极大： , 2 ,
35、 1 , 02121sin2 kkxanxan 1, 2 , 1 , 0212 nkankx2,10axn 时时 舍去舍去时时axaxaxn45,43,4,2210 所以，粒子出现的几率与所以，粒子出现的几率与 有关，有极大和极小有关，有极大和极小xaxaxaxn65,63,6,3210 时时axaxaxaxn87,85,83,8,43210 时时极小极小: :, 2 , 10sin2 kkxanxan 1, 2 , 1 nkankx2,21axn 时时axaxn32,3,321 时时一一维维无无限限深深势势阱阱中中的的粒粒子子)x( 2)x( axx1 n2 n3 n4 n1E2E3E4E0
36、a0 例例 设质量设质量m的微观粒子在宽度为的微观粒子在宽度为a的一维无限的一维无限深方势阱中运动，其波函数为深方势阱中运动，其波函数为xaax 3sin2)( 求：求：(1)(1)粒子的能量和动量；粒子的能量和动量；(2)(2)概率密度最大的概率密度最大的位置。位置。粒子在粒子在0 0 间找到的几率间找到的几率。解解 (1)(1)2(2222manEn 量子数量子数n=3,=3,粒子的能量粒子的能量: :)2(322223maE ,2)2(3222223mpmaE 又又ap 3 3a(2)(2)概率密度最大的位置。概率密度最大的位置。)3(sin2)(223xaax 粒子出现在势阱内各点的概
37、率密度为粒子出现在势阱内各点的概率密度为有极大值的充要条件是有极大值的充要条件是23)(x 0)3(sin2(2 xaadxd 解得解得65,2,6aaax 2)(xn E1E2E3ox图20-4a0)3(sin2(222 xaadxd 粒子在粒子在0 0到到 间被找到的几率为间被找到的几率为3a dxxaadxxaa 3sin223023033032sin4132132axaxaaa 31 1. 设一维势场分布为：设一维势场分布为：0 x能量能量E0V则能量为则能量为E的粒子在该势场中运动时，其薛定谔方程为：的粒子在该势场中运动时，其薛定谔方程为： 00)(20022022222xVEmdx
38、dxmEdxd 四、势垒贯穿、隧道效应四、势垒贯穿、隧道效应 )0()0(0)(0 xVxxV2022221)(2,2VEmkmEk 令：令：Etiextx ）（），（ 而一维定态问题的波函数为：而一维定态问题的波函数为：方程的通解为：方程的通解为：)0()()0()(221121 xDeCexxBeAexxikxikxikxik xikxikCeAe21，代表沿代表沿x正方向传播的正方向传播的入射波入射波;xikxikDeBe21，代表沿代表沿x正方向传播的正方向传播的反射波。反射波。,0区域不存在反射波区域不存在反射波而而 x0 D故故0 x能量能量E0V 按经典理论粒子按经典理论粒子将完
39、全跨越势垒到达将完全跨越势垒到达 x 0 的区域，的区域，而量子力学表明粒而量子力学表明粒子在此处发生反射和透射，子在此处发生反射和透射，粒子在势垒内外皆有一定的粒子在势垒内外皆有一定的出现概率出现概率。0,EV上式表明粒子能量小于势垒高度时，粒子仍能透入上式表明粒子能量小于势垒高度时，粒子仍能透入势垒达一定深度，在经典物理中这是不可能的。势垒达一定深度，在经典物理中这是不可能的。20202)(2)(2EVmVEmk i,)(,1不变不变时时x 0VE )(2exp)(022EVmxCCexxik 玻璃玻璃全反射时，光波能透全反射时，光波能透过界面进入空气达数过界面进入空气达数个波长的深度（渗
40、透个波长的深度（渗透深度）。深度）。玻璃玻璃电子的隧道结：在两层金属导体之间夹一薄绝缘层。电子的隧道结：在两层金属导体之间夹一薄绝缘层。电子的隧道效应：电子可以通过隧道结。电子的隧道效应：电子可以通过隧道结。EE0V0V0VV x1x2xO垒垒高高度度金金属属中中电电子子能能量量低低于于势势0VE 22101 00 0)(xxxxxVxxxV2EE0V0V0VV x1x2xO区区薛定谔方程为：薛定谔方程为：0121212 kx2212mEk xikxikBeAe111 0222222 kx2022)(2EVmk 区区薛定谔方程为：薛定谔方程为：xkxkeBeA22222 0323232 kx2
41、232mEk 区区薛定谔方程为：薛定谔方程为：xikeA333 EVm 222区粒子进入区粒子进入区的概率为区的概率为)(222222212301212EVmaxxxxeP 势垒越宽透过的概率越小，势垒越宽透过的概率越小，(V0-E)越大透过的概率越小。越大透过的概率越小。为为势势垒垒的的宽宽度度12xxa)(22ln0EVmaP xkxkeBeA22222 EE0V0V0VV x1x2xO 按经典理论按经典理论 Ex2 区域，区域，而量子力学的计算却表明，在而量子力学的计算却表明，在 x x2 的区域内的波函的区域内的波函数不为零，即粒子可在数不为零，即粒子可在 x x2 的空间出现，这种现
42、象的空间出现，这种现象好象是在势垒中挖了一条隧道，故称好象是在势垒中挖了一条隧道，故称隧道效应隧道效应。扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜STM (Scanning tunneling microscopy)原理原理： 电子穿过金属表面的势垒形成隧道电流电子穿过金属表面的势垒形成隧道电流aAbeUI 隧道电流隧道电流I与样品和与样品和针尖间距离针尖间距离a的关系的关系样品表面样品表面隧道电流隧道电流扫描探针扫描探针计算机计算机放大器放大器样品样品探针探针运动控制运动控制系统系统显示器显示器扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜（Scanning Tunneling Microscope）示意图示意图原理：原理
43、：根据根据量子力学量子力学原理，原理，由于电子的由于电子的隧道效应隧道效应，金属金属中中的电子并不完全局限于金属表的电子并不完全局限于金属表面之内，电子云密度并不是在面之内，电子云密度并不是在表面边界处突变为零。在金属表面边界处突变为零。在金属表面以外，表面以外，电子云密度电子云密度呈指数呈指数衰减，衰减长度约为衰减，衰减长度约为1nm。用一个极细的、只有原子线度的金属针尖作为探针，将它与被用一个极细的、只有原子线度的金属针尖作为探针，将它与被研究物质研究物质(称为样品称为样品)的表面作为两个电极，当样品表面与针尖非的表面作为两个电极，当样品表面与针尖非常靠近常靠近(距离距离1nm)时，时，两
44、者的电子云略有重叠两者的电子云略有重叠，在两极间加上，在两极间加上电压电压，在，在电场电场作用下，电子就会穿过两个电极之间的势垒，通作用下，电子就会穿过两个电极之间的势垒，通过电子云的狭窄通道流动，从一极流向另一极，产生隧道电流。过电子云的狭窄通道流动，从一极流向另一极，产生隧道电流。通过探测固体针尖与表面原子产生的隧道电流可以分辨固体表通过探测固体针尖与表面原子产生的隧道电流可以分辨固体表面形貌面形貌。 当针尖在样品表面上方扫描时，即使其当针尖在样品表面上方扫描时，即使其表面只有原子尺度表面只有原子尺度的起伏的起伏，也将通过其隧道电流显示出来。借助于电子仪器和计，也将通过其隧道电流显示出来。
45、借助于电子仪器和计算机，在屏幕上即算机，在屏幕上即显示出样品的表面形貌显示出样品的表面形貌。 STMSTM有两种工作方式。一种称为恒电流模式有两种工作方式。一种称为恒电流模式 ，另一种工作，另一种工作模式是恒高度工作。模式是恒高度工作。 局限性局限性只能测量导体，不能测量非导体，如果要测量非导体，可用只能测量导体，不能测量非导体，如果要测量非导体，可用原原子力显微镜子力显微镜（A Atomic tomic F Force orce M Microscopeicroscope） 纳米科学技术纳米科学技术(简称简称Nano ST)是是1990年才正式诞生的一门具年才正式诞生的一门具有广阔前景的新技
46、术，是在有广阔前景的新技术，是在1100nm尺度空间内研究电子、原尺度空间内研究电子、原子、分子特性和技术应用的高科技学科。它的最终目标是子、分子特性和技术应用的高科技学科。它的最终目标是人类人类按自己的意志直接操纵单个原子或分子按自己的意志直接操纵单个原子或分子，制造具有特定功能的，制造具有特定功能的产品。产品。 纳米科学技术起源于纳米科学技术起源于1981年美国年美国IBM公司、瑞士苏黎世研公司、瑞士苏黎世研究实验室的宾尼格究实验室的宾尼格(GBinnig)和罗赫尔和罗赫尔(HRohrer)发明的发明的扫扫描隧道显微镜描隧道显微镜(简称简称STM)，在技术上实现了对单个原子的控制在技术上实
47、现了对单个原子的控制与操作与操作。为此，他们与显微镜发明人鲁斯卡分享了。为此，他们与显微镜发明人鲁斯卡分享了1986年诺贝年诺贝尔物理学奖。尔物理学奖。 由于由于STM所具有的原子级高分辨率等显著优点，以及结所具有的原子级高分辨率等显著优点，以及结构小巧、操作方便等特点，而产生了深远的影响。构小巧、操作方便等特点，而产生了深远的影响。STM引发引发了一系列新的科学技术，纳米电子学、纳米材料学、纳米显微了一系列新的科学技术，纳米电子学、纳米材料学、纳米显微学、表面科学、纳米生物学、纳米机械学学、表面科学、纳米生物学、纳米机械学等等, STM已成为纳已成为纳米科学技术的主要工具。米科学技术的主要工
48、具。 用扫描隧道显微镜的针尖在铜表面上搬运和操纵用扫描隧道显微镜的针尖在铜表面上搬运和操纵4848个个原子使它们排成圆形。圆形上原子的某些电子向外传原子使它们排成圆形。圆形上原子的某些电子向外传播逐渐减小同时向圆内传播的电子相互干涉形成干涉播逐渐减小同时向圆内传播的电子相互干涉形成干涉波。波。 用扫描隧道显微镜的用扫描隧道显微镜的针尖将铁原子一个个针尖将铁原子一个个地操纵按照实验者的地操纵按照实验者的意愿排列成汉字。汉意愿排列成汉字。汉字的大小只有几个纳字的大小只有几个纳米。米。 1994年初，中国科学院真空物理实验室年初，中国科学院真空物理实验室的研究人员成功地利用一种新的表面原的研究人员成
49、功地利用一种新的表面原子操纵方法，通过子操纵方法，通过STM在硅单晶表面在硅单晶表面上直接提走硅原子，形成平均宽度为上直接提走硅原子，形成平均宽度为2纳米纳米(3至至4个原子个原子)的线条。从的线条。从STM获得获得的照片上可以清晰地看到由这些线条形的照片上可以清晰地看到由这些线条形成的成的100字样和硅原子晶格整齐排列字样和硅原子晶格整齐排列的背景的背景(图图11)。 图图12是中国科是中国科学院化学研究学院化学研究所的科技人员所的科技人员利用自制的扫利用自制的扫描隧道显微镜，描隧道显微镜，在石墨表面上在石墨表面上刻蚀出来的图刻蚀出来的图象。图上象。图上中国中国字样，中国科字样，中国科学院的
50、英文缩学院的英文缩写字写字CAS和和中国地图以及中国地图以及奥运会五环旗奥运会五环旗图案都十分清图案都十分清晰逼真。图形晰逼真。图形的线宽实际上的线宽实际上只有只有10nm。五、五、一维谐振子一维谐振子粒子的势能函数粒子的势能函数2222121xmkxV 薛定谔方程薛定谔方程0)21(222222 xmEmdxd,2 , 1 ,0)21( nhnE Ox2 1n2 n3 n0n221kx算符的本征值方程算符的本征值方程1 1、算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数15-4 力学量的算符表示力学量的算符表示2 2、对应原理对应原理)()(xPxxixxPxP xippxx 则则对对x求导并
