1、23:201MEASUREMENTINFORMATION SIGNAL ANALYSIS IN MECHANICAL ENGINEERING 机械工程测试机械工程测试信息信息信号分析信号分析 机械科学与工程学院机械科学与工程学院 机械电子信息工程系机械电子信息工程系李锡文李锡文 轩建平轩建平 23:202课件资料下载：邮箱地址： “机械工程测试机械工程测试”每个字拼音的第一个字母每个字拼音的第一个字母 密码：111111注意下载时不要删除原始文件 23:203信号的频域分析按能否用明确的数学关系式描述分类时域分析时域分析信号信号确定性信号确定性信号非确定性信号非确定性信号周期信号周期信号非周期
2、信号非周期信号简单周期信号简单周期信号复杂周期信号复杂周期信号准周期信号准周期信号瞬态非周期信号瞬态非周期信号平稳随机信号平稳随机信号非平稳随机信号非平稳随机信号各态历经信号各态历经信号非各态历经信号非各态历经信号FS?FT?功率谱功率谱非高斯信号非高斯信号高阶谱分析高阶谱分析专题专题时频分析时频分析小波分析小波分析独立变量独立变量Hilbert-Huang变换变换23:204ZndtetxTCTTtjnn22,)(10设周期函数设周期函数x(tx(t) )的周期为的周期为T T，周期信号FS/FT, 2 , 1 , 0)(0neCtxntjnn000 ( ). 2()jntjntnnnnnn
3、F x tFC eC F eCn FT幅值谱密度与幅值谱的区别在于，各谐频率点均为脉冲函数幅值谱密度与幅值谱的区别在于，各谐频率点均为脉冲函数)0( ,212122nAbaCCnnnnnFSCn系数计算，系数计算，n0是离散变量是离散变量23:205周期矩形脉冲信号的FS、FT f0 (t) F0() E E -/2 0 /2 t 0 2/ Fn E/ T1 f (t) 0 2/ F() E /1 -T1 -/2 0 /2 T1 t 0 2/ FT FS FT 周期信号的FT/FS00101( )sin ()2sin ()2jntnnnAx tceTnACcT 001()2sin () ()2
4、nnAXcnT FTFS23:206周期信号傅里叶频谱特点q周期信号的傅里叶频谱特点：周期信号的傅里叶频谱特点： 谐波性：谐波性：仅在一些离散频率点，基频及其谐波仅在一些离散频率点，基频及其谐波(nf1)上有上有值，各次谐波频率比为有理数。具有非周期性的离散频谱。值，各次谐波频率比为有理数。具有非周期性的离散频谱。 离散性：离散性：各次谐波在频率轴上取离散值，离散间隔为：各次谐波在频率轴上取离散值，离散间隔为： 0=2 /T 收敛性：收敛性：各次谐波分量随频率增加而衰减。各次谐波分量随频率增加而衰减。 Cn是双边谱是双边谱，正负频率的频谱幅度相加才是实际幅度。，正负频率的频谱幅度相加才是实际幅
5、度。23:207FS的基本性质q 1、线性性质，合成信号有共同的周期，符合线性叠加性质、线性性质，合成信号有共同的周期，符合线性叠加性质23:208FS的基本性质q 2、时移性质、时移性质 若若 则则 可证明：周期信号在时域右移可证明：周期信号在时域右移t0，幅度频谱保持与移位前一样，幅度频谱保持与移位前一样，相位频谱变化相位频谱变化 -n 0t0 同理，同理，周期信号在时域左移周期信号在时域左移t0，幅度频谱保持与移位前一样，幅度频谱保持与移位前一样，相位频谱变化相位频谱变化 +n 0t023:209FS的基本性质q3、对称性质、对称性质 包括频谱的对称性以及波形的对称性对频谱的影响包括频谱
6、的对称性以及波形的对称性对频谱的影响q(1)信号为实函数信号为实函数 已知已知 当周期信号为实函数，起相应的幅度频谱对当周期信号为实函数，起相应的幅度频谱对n 0是偶对称，是偶对称，相位频谱对相位频谱对n 0是奇对称，只需计算单边频谱是奇对称，只需计算单边频谱23:2010FS的基本性质q(2)信号为实偶函数信号为实偶函数(偶对称偶对称)，信号绕纵轴翻转后与原，信号绕纵轴翻转后与原波形一样波形一样 当周期信号为实偶函数，其当周期信号为实偶函数，其FS展开式只含有直流分量展开式只含有直流分量与余弦项，不存在正弦项与余弦项，不存在正弦项23:2011FS的基本性质q(3)信号为实奇函数信号为实奇函
7、数(奇对称奇对称)，信号绕纵轴翻转后再绕，信号绕纵轴翻转后再绕横轴翻转与原始波形一样横轴翻转与原始波形一样q 当周期信号为实奇函数，其当周期信号为实奇函数，其FS展开式只含有正弦项，不存在展开式只含有正弦项，不存在直流分量与余弦项。直流分量与余弦项。23:2012FS的基本性质q(4)半周期对称半周期对称 1)半周期偶对称半周期偶对称(半周期重叠半周期重叠)，将信号沿时间轴前后平移，将信号沿时间轴前后平移半周期等于原信号半周期等于原信号 其其FS展开式除直流分量外，只含有偶次谐波，而且是余弦分量。展开式除直流分量外，只含有偶次谐波，而且是余弦分量。 2)半周期奇对称半周期奇对称(半周期镜像半周
8、期镜像)，将信号沿时间轴前后平移，将信号沿时间轴前后平移半周期等于原信号的镜像半周期等于原信号的镜像 其其FS展开式只含有奇次谐波。展开式只含有奇次谐波。 3)双重对称双重对称 若信号除了具有半周期镜像对称外，同时还是时间的偶函若信号除了具有半周期镜像对称外，同时还是时间的偶函数或奇函数，则数或奇函数，则FS展开式前者只有余弦奇次谐波，后者只展开式前者只有余弦奇次谐波，后者只有正弦奇次谐波有正弦奇次谐波23:2013非周期信号可以看成是周期T 趋于无限大的周期信号非周期信号的谱线间隔趋于无限小，变成了连续频谱；谱线的长非周期信号的谱线间隔趋于无限小，变成了连续频谱；谱线的长度趋于零。度趋于零。
9、22)(lim)(lim)(0TTdtetxTnCCtjnTTdtetxCtjn)()(解决方法FT变换非周期信号-FT22)()(0TTdtetxTnCtjn上式为连续时间信号的傅里叶变换(CTFT)。C()频谱密度函数23:2014频谱离散函数与频谱密度函数dtetxXnTXnXtjTT)()()(lim)(2lim00频谱离散函数与频谱密度函数的关系频谱离散函数与频谱密度函数的关系周期信号的周期信号的FS展开式为展开式为, 2 , 1 , 0,)(21lim)()(000neXenXtxntjnTntjn当当T，则则n 0 ， d ，求和变成积分：，求和变成积分：deXtxtj)(21)
10、(23:2015FT的性质（1）线性性：）线性性：齐次性和叠加性齐次性和叠加性（2）尺度变换特性：）尺度变换特性：时域压缩对应频域扩展，时域扩展对时域压缩对应频域扩展，时域扩展对应频域压缩应频域压缩（3）时移特性：）时移特性：与尺度变换结合与尺度变换结合（4）频移特性：）频移特性：与尺度变换结合。时域信号乘上一个复指数与尺度变换结合。时域信号乘上一个复指数信号后，频谱被搬移到复指数信号的频率处。信号后，频谱被搬移到复指数信号的频率处。（5）对称性）对称性(对偶性对偶性)：FT与与IFT的变换核函数是共轭对称。的变换核函数是共轭对称。（6）微分特性；）微分特性；（7）积分特性；）积分特性； （8
11、）反褶和共扼性：）反褶和共扼性：（9）卷积定理，时域相关性定理，帕斯瓦尔定理。）卷积定理，时域相关性定理，帕斯瓦尔定理。23:2016线性性线性性齐次性叠加性)()(tfaFtafF)()()()(2121tfFtfFtftfFnnnnnntfFatfaF)()(FT的性质-线性性线性性11( )( )4(2 )XF x tSa22( )( )2( )XF x tSa线性性线性性23:2017时间尺度变换特性时间尺度变换特性：时域压缩对应频域扩展，时域扩展时域压缩对应频域扩展，时域扩展对应频域压缩对应频域压缩FT的性质-尺度变换特性1( )( )()(),FTFTx tXx atXaaa若，则
12、为常数在时域若将信号压缩在时域若将信号压缩a倍，则在频域其频谱扩展倍，则在频域其频谱扩展a倍，同时幅度相应倍，同时幅度相应地也减为地也减为a倍；反之亦然倍；反之亦然2121( )(2 ),1( )()2( )22x txtFTXXSa23:2018时移特性时移特性00()( )( )oj tj tF x ttXeF f te不影响幅度谱，只在相位谱上叠加一个线性相位0/01(),(0)j taF x attXeaaaFT的性质-时移特性求下图所示信号的频谱密度求下图所示信号的频谱密度23:2019FT的性质-时移特性-例已知已知23:2020频移特性频移特性00( )()jtF x t eX
13、0/01,(0)jt atFxeX aaaa时域信号乘上一个复指数信号后，频谱被搬移到复指数信号的频率处。利用欧拉公式，通过乘以正弦或余弦信号，可以达到频谱搬移的目的。信号调制FT的性质-频移特性频移特性FT频移特性频移特性23:2021FT的性质-频移特性频移特性-例已知已知其中其中 R(t)表示一个矩形窗函数，是一个宽度为表示一个矩形窗函数，是一个宽度为 的矩形脉冲的矩形脉冲频移特性频移特性无限长的正弦信号无限长的正弦信号截断，在截断，在 0附近出附近出现功率泄露现功率泄露23:2022对称性（对偶性）对称性（对偶性）FTFT与与IFTIFT的变换核函数是共轭对称的的变换核函数是共轭对称的
14、tjtjee*tjtjee*FT的性质-对称性（对偶性）对称性（对偶性）若若则有则有变量置换变量置换23:2023FT的性质-对偶性对偶性-例例变量置换变量置换23:2024FT的性质-对偶性对偶性-例例变量置换变量置换FTFT23:2025FT的性质-微分性质微分性质FT的微分性质，说明在时域对信号进行微分，的微分性质，说明在时域对信号进行微分，相应地在频域增强了高频成分相应地在频域增强了高频成分若若则有则有23:2026FT的性质-微分性质微分性质-例例例：三角形脉冲信号的时域波形如下图所示，求其频例：三角形脉冲信号的时域波形如下图所示，求其频谱；已知信号的频谱密度函数为三角形，求其相应的
15、谱；已知信号的频谱密度函数为三角形，求其相应的时间函数表示式时间函数表示式解：解：从左图从左图(a)中求出中求出x (t)的的波形，而后利用微分性质求三波形，而后利用微分性质求三角形信号的频谱，角形信号的频谱， x (t)是两个是两个矩形脉冲的叠加，得矩形脉冲的叠加，得微分性质微分性质23:2027FT的性质-微分性质微分性质-例例例：三角形脉冲信号的时域波形如下图所示，求其频例：三角形脉冲信号的时域波形如下图所示，求其频谱；已知信号的频谱密度函数为三角形，求其相应的谱；已知信号的频谱密度函数为三角形，求其相应的时间函数表示式时间函数表示式23:2028FT的性质-积分性质积分性质若若则有则有
16、FT的积分性质，说明在时域对信号进行积分，相应地在频的积分性质，说明在时域对信号进行积分，相应地在频谱的低频成分增加，高频成分减少，对信号起着平滑作用谱的低频成分增加，高频成分减少，对信号起着平滑作用域增强了高频成分域增强了高频成分例：已知矩形脉冲信号例：已知矩形脉冲信号x1(t)的积分波形如下右图，求该积的积分波形如下右图，求该积分信号分信号x2(t)的频谱密度的频谱密度已知已知23:2029反褶和共扼性反褶和共扼性时域频域原信号f(t)F()反褶f(-t)F(-)共扼f *(t)F *(-)反褶+共扼f *(-t)F *()FT的性质-反褶和共扼性反褶和共扼性23:2030时域卷积定理-定
17、义、例1q如果如果 则则 两个时间函数卷积的两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱等于各个时间函数频谱的乘积频谱的乘积)()(HthFT)()(XtxFT)()()(*)(XHtxth)()()(*)(fXfHtxthq例例 三角脉冲频谱计算三角脉冲频谱计算23:2031频域卷积定理如果：如果：则：则：q两时间函数的频谱的两时间函数的频谱的卷积等效于时域两函卷积等效于时域两函数的乘积数的乘积的的FT)()()()(XtxFHthF；)(*)(21)()(XHtxthF)(*)()()(fXfHtxthF23:2032典型信号的FT直流信号直流信号阶跃信号阶跃信号正弦信号正弦信号余弦信号余弦
18、信号单位冲激信号单位冲激信号复指数信号复指数信号23:2033卷积运算-定义与物理意义q卷积定义：卷积定义：q 物理意义：描述线性时不变系统的输入与输出关系，即系统物理意义：描述线性时不变系统的输入与输出关系，即系统的输出的输出y(t)是任意输入是任意输入x(t)与系统脉冲响应函数与系统脉冲响应函数h(t)的卷积。的卷积。q 运算过程：运算过程： x(t)为多个宽度为为多个宽度为t的窄条面积之和；的窄条面积之和； 线性系统齐次性与时不变性；线性系统齐次性与时不变性； 叠加：叠加：( )( ) ()( )( )y txh tdx th t)()(lim0tntthtnxt00)()(lim)(n
19、ttntthtnxty23:20346.5、求解卷积的方法求解求解卷积的方法卷积的方法可归纳为：可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法。图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质。利用性质。比较灵活。比较灵活。三者常常结合起来使用。三者常常结合起来使用。23:2035卷积运算几何作图法卷积运算的几何作图法卷积运算的几何作图法q任意给定某个任意给定某个t0，卷积运算图解步骤为：卷积运算图解步骤为： 第
20、一步第一步 换元换元先把两个信号的自变量变为先把两个信号的自变量变为 ，即两个信号变即两个信号变为为x( )与与h( )。 第二步第二步 反折反折将将h( )以纵轴为中心轴翻转以纵轴为中心轴翻转180 , h(- )； 第三步平移第三步平移给定一个给定一个t0值，将值，将h(- )波形沿波形沿 轴平移轴平移|t0|。在。在t00时，波形往右移。这样就得到了时，波形往右移。这样就得到了h(t0 - )的波形；的波形； 第四步第四步 相乘相乘将将x( )和和h(t0- )相乘，得到卷积积分式中的被相乘，得到卷积积分式中的被积函数积函数x( )h(t0 - ) ；23:2036卷积运算几何作图法 第
21、五步第五步 叠加叠加(积分积分)计算乘积信号计算乘积信号x( )h(t0- )波形与波形与 轴之间轴之间包含的净面积，便是式包含的净面积，便是式 卷积在卷积在t0时刻的值时刻的值y(t0)。 第六步第六步 重复重复 令变量令变量t0在在(-，)范围内变化，重复第三、四、范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号五步操作，最终得到卷积信号x( ) *h( )。dthx )()(0换积分变量换积分变量 反折反折平移平移相乘相乘叠加（积分）叠加（积分）23:2037卷积运算几何作图法-例换元、换元、反折反折积分积分平移相乘平移相乘平移相乘平移相乘23:20386.1 卷积代数性质卷积代数性
22、质 作为一种数学运算，卷积运算遵守代数（乘法）运算的某些规律作为一种数学运算，卷积运算遵守代数（乘法）运算的某些规律（1）互换律互换律 设有设有f1(t)、 f2(t)两函数，则两函数，则 表明表明卷积结果与两函数的次序无关卷积结果与两函数的次序无关 tftftftf221（2）分配律：设有分配律：设有f1(t)、 f2(t) 、f3(t)三函数，则三函数，则 实际上这个结果也是线性系统实际上这个结果也是线性系统叠加特性叠加特性的体现的体现（3）结合律：设有）结合律：设有f1(t)、 f2(t) 、f3(t)三函数，则三函数，则 )()(3121321tftftftftftftf )()(32
23、1321tftftftftftf 卷积的计算类似于函数的乘法计算。它的很多性质与乘法运算性质相同，卷积的计算类似于函数的乘法计算。它的很多性质与乘法运算性质相同，但是也有一些不同。通过这些性质，可以方便卷积的计算。但是也有一些不同。通过这些性质，可以方便卷积的计算。 6、卷积的性质23:2039 卷积代数运算与乘法运算的规律相同，但卷积的卷积代数运算与乘法运算的规律相同，但卷积的微分或积分微分或积分却与函数相乘的微分或积分性质不同。却与函数相乘的微分或积分性质不同。(1) 函数相卷积后的微分函数相卷积后的微分 两个函数卷积后的导数等于其中一个函数的导数与另一个函两个函数卷积后的导数等于其中一个
24、函数的导数与另一个函数的卷积。数的卷积。其表示式为：其表示式为： )()()()()()(212121tfdttdfdttdftftftfdtd(2) 函数相卷积后的积分函数相卷积后的积分 两个函数相卷积后的积分等于其中一个函数的积分与另一个两个函数相卷积后的积分等于其中一个函数的积分与另一个函数的卷积。函数的卷积。 其表示式为：其表示式为：6.2、卷积的微分和积分性质)(*)()(*)()(*)(212121tfdfdftfdffttt(3) 在在f1() = 0或或f2(1)() = 0的前提下，的前提下， f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t)23:2040卷积的时
25、移特性卷积的时移特性两函数经延时后的卷积等于两函数卷积后延时，其延时量为两两函数经延时后的卷积等于两函数卷积后延时，其延时量为两函数分别延时量的和。函数分别延时量的和。如果如果则有则有)()()(21tftftf)()()()()()()(21212122112211tttftttftftftttfttfttf6.3、卷积的时移特性23:20416.4、脉冲函数的卷积运算q函数与单位冲激函数的卷积函数与单位冲激函数的卷积q一个函数与单位冲激函数的卷积，等价于把该函数一个函数与单位冲激函数的卷积，等价于把该函数平移到单位冲激函数的冲激点位置。亦称单位冲激平移到单位冲激函数的冲激点位置。亦称单位冲
26、激函数的函数的搬移特性搬移特性)()()(00ttxtttx23:2042)()(*)(tfttf)()(*)(00ttftttf)( )( *)(tfttf)( )( *)(00ttftttf)()(*)(0)(0)(ttftttfnntdfttf)()(*)( (t) (t) =t (t) ，e t (t) e t (t)=t e t (t) 若若f(t)=fa(t)*fb(t)，fa(t)定义在定义在(ta1，ta2)， fb(t)定义在定义在(tb1，tb2)，则则f(t)的定义范围为：的定义范围为：(ta1 +tb1， ta2 + tb2)6.4、几个特殊函数的卷积23:2043 如
27、果进行相关运算的是同一时间信号，则称相关运算所得如果进行相关运算的是同一时间信号，则称相关运算所得结果为自相关函数。它为结果为自相关函数。它为时间时间 t 的偶函数的偶函数)()()()()()(tRdxtxdtxxtRxxxx相关运算与卷积运算的关系：相关运算与卷积运算的关系：)(*)()()()()()(tytxdytxdtyxtRxy)(*)()()()()()(tytxdxtydtxytRyx卷积与相关的关系23:2044卷积与相关的关系q相关运算不要对相关运算不要对y(t)进进行反折，而卷积运算需行反折，而卷积运算需要反折。要反折。q相关定理：相关定理：两函数的互相两函数的互相关函数
28、的关函数的FT，等于一个信等于一个信号的号的FT乘以另一信号乘以另一信号FT的的共轭值共轭值)()()(tytxtRxy)().()(YXRFxy)().()(XYRFyx23:2045第二章习题例解-习题1q1、判断信号的周期、判断信号的周期 x(t)=x(t+T0)=x(t+nT0) 基本周期基本周期T, f, , n 两个周期信号相加两个周期信号相加(T1,T2) T1,T2之间是否有公倍数，即存在一个最小数之间是否有公倍数，即存在一个最小数T0，能同时被，能同时被T1,T2所所整除整除 n1T1=n2T2， n1/n2=T2/T1=有理数有理数 n1、n2均为整数均为整数 例例1： 例
29、例2： 例例3：T3=1T3=223:2046第二章习题例解-习题2q 2、求信号、求信号x(t)=1-cos t+2sin t+cos3 t 的的频域表达式及频谱频域表达式及频谱图图23:2047例：求序列的周期23:2048第二章习题例解-习题3q 3、已知信号、已知信号x(t)=1+sin 0t+2cos3 0t ,试用试用FS展开式求其复数展开式求其复数形式的幅值谱与相位谱，再用形式的幅值谱与相位谱，再用FT求其幅值谱密度与相位谱密求其幅值谱密度与相位谱密度，并绘图比较。度，并绘图比较。sincossin2cossincos2j tj tj tj tj tj teetetjtjetjt
30、eetq 解：解：根据欧拉公式根据欧拉公式000033( )122jtjtjtjtjjx teeee 求得求得x(t)的的FS展开式展开式0000330000 ( )(1)222( )2()2()2(3)2(3)22jtjtjtjtj tjjF x teeeeedtjj 对上式作对上式作FT变换变换23:2049第二章习题例解-习题3分析分析(1) 幅值谱幅值谱当当 =0时，时，C0=1;当当 = 0时，时，CnIm=j/2; 沿虚轴沿虚轴Cn=1/2；当当 =3 0时，时，CnRe=1; 沿实轴沿实轴Cn=1。(2) 相位谱相位谱当当 = 0时时, CnIm=j/2, CnRe=0, n=,
31、 n= /2(负频率负频率)或或- /2 (正频率正频率)当当 =3 0时时, CnIm=0, CnRe=1, n=0000033( )122jtjtjtjtjjx teeee 23:2050第二章习题例解-习题3(4) 相位谱密度相位谱密度0000330000 ( )(1)222( )2()2()2(3)2(3)22jtjtjtjtj tjjF x teeeeedtjj (3) 幅值谱密度幅值谱密度与幅值谱区别在于，各谐频率点均为脉冲函数与幅值谱区别在于，各谐频率点均为脉冲函数23:2051第二章习题例解-习题4)2(0)2()(ttAtx000000002sin102/2/02/2/ jn
32、tjntjnnencTAjneTAdtAeTC 当时移时移0，FS已知周期矩形脉冲信号在一个周期内表达式为已知周期矩形脉冲信号在一个周期内表达式为试求其幅值谱与相位谱，并研究在时移试求其幅值谱与相位谱，并研究在时移0情情况下的相位谱况下的相位谱23:2052第二章习题例解-习题5q 求求锯齿波的锯齿波的三角形式的表示式三角形式的表示式，进行频域分析并画出相应的，进行频域分析并画出相应的谱图谱图222)(000TtTtTEtx 12/2/0002/2/0002/2/00)1(2sin220cos220)(2000000 nTTnTTnTTnEdttntTETbdttntTETadttxTa tE
33、tEtEtx0003sin322sinsin2)( 23:2053第二章习题例解-习题5q 求求锯齿波的三角形式的表示式，进行锯齿波的三角形式的表示式，进行频域分析频域分析并并画出相应的画出相应的谱图谱图2/10)1(2)( jnnenEjbnX , 2, 1)2()1()(, 2 , 1)2()1()()(10100 nnnnnEnXnn 23:2054第二章习题例解-习题6q 求出复求出复指数信号指数信号 的离散频谱并画出相应的谱图的离散频谱并画出相应的谱图 101111)(2/2/)(02/2/0000000000nndteTdteeTnXTTtnjTTtjntj tje0 23:205
34、5第二章习题例解-习题7)()()()(2222nAneAdtetxXjtjtttAtx, 00 ,sin)(q 在对机械系统进行冲击激振试验时，常用冲击锤获得冲击力，在对机械系统进行冲击激振试验时，常用冲击锤获得冲击力，这种冲击力近似于半正弦波，延续时间为这种冲击力近似于半正弦波，延续时间为，试求其频谱。试求其频谱。23:205602t1)(1tf01t)(2tf)(tet)1()( 2)(1tttf)()(2tetft例：计算f1(t)*f2(t)举例：多种方法求卷积举例：多种方法求卷积第二章习题例解-习题823:2057dtetftftftt)( 1()( 2)()()()(021方法一
35、：0121)(1f)(2f)(1f211)(2tft0()001:( )22(1) ( )ttttf tedet 1()(1)01:( )22() (1)ttttf tedeet11t02)(1f)(2tf(1)( )2(1) ( )(1)2() (1)tttf tetteet故0:( )0tf t图解法求卷积图解法求卷积第二章习题例解-习题823:2058方法二：直接根据卷积定义式计算方法二：直接根据卷积定义式计算()120()()00()()01(1)( )( )( )2 ( )(1)()2( ) ()2(1) ()222(1) ( )21 (1)ttttttttttttf tf tf t
36、etdetdetdededetet )1()( 2)(1tttf)()(2tetft解析法计算卷积解析法计算卷积第二章习题例解-习题823:20591 01tt 由得0tt由得方法三：由卷积的性质方法三：由卷积的性质-交换律求卷积交换律求卷积21000100(1)( )( )( )( ) 2 ()(1)2()2(1)222(1) ( )21 (1)tttttttf tf tf tettdetdetde de detet 由卷积的性质由卷积的性质-交换律交换律第二章习题例解-习题8 tftftftf221交换律交换律23:2060方法四：应用卷积的微分与积分性质求解121200(1)( )( )
37、( )( )( )2 ( )(1)*2 ( )(1)*(1) ( )2(1) ( )21 (1)tttttf tf tf tftfdtte dttetetet由卷积的微积分性质由卷积的微积分性质第二章习题例解-习题8性质：在性质：在f1() = 0或或f2(1)() = 0的前提下，的前提下， f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t)23:2061例：例：求矩形脉冲求矩形脉冲f1(t)= (t-t1)- (t-t2), t2t1 和指数函数和指数函数f2(t)=e-t (t)的卷积的卷积解：解：方法方法1：图解法：图解法tt2t11g(t)112211121121()()1
38、2()()()2()()()122()()1,( )0,( )1,( ) ( )1 ()() ()1 ()1 (tt ttttt tt tttt tt tt tt tt tttg ttttg tedettg tedeeg tetttteettettett 所以2)第二章习题例解-习题923:2062方法方法2：应用卷积的微分与积分性质求解：应用卷积的微分与积分性质求解12112212()()12( )( )( )*( )*( ) ()()*(1) ( )1 ()1 ()ttt tt tdf tg tf tf tfddtttttetettett1122( )()()( )( )tf tttttf
39、 tet，第二章习题例解-习题9性质：在性质：在f1() = 0或或f2(1)() = 0的前提下，的前提下， f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t)23:2063已知已知f1(t)=t (t)- (t+1)，f2(t)= (t)- (t-1),求求f(t)=f1(t)* f2(t)f(t)=0.5(1-t2)(t+1)- (t)+0.5(1-t)2(t)- (t-1)f f2 2(t-(t-) )1-1tf f1 1( () )-11f f1 1( ()f)f2 2(t-(t-) )-11t当-1t0时梯形面积为梯形面积为0.5(-t+1)(1+t)-1+tf f1 1
40、( ()f)f2 2(t-(t-) )f f2 2(t-(t-) )1-1tf f1 1( () )-11-11当0t1时面积为面积为0.5 (1-t)2f f1 1(-(- ) )-11tf f2 2( ( ) )11tf f2 2(t-(t-) )1-1t=0第二章习题例解-习题1023:2064例：下图例：下图为矩形脉冲，用符号g(t)表示，其幅度为1，宽度为，求卷积积分g(t)*g(t)。 求矩形脉冲卷积求矩形脉冲卷积第二章习题例解-习题1123:2065由于门函数是偶函数，故其波形绕纵轴翻转由于门函数是偶函数，故其波形绕纵轴翻转180后与原波形重叠，图中用虚线表示。后与原波形重叠，图
41、中用虚线表示。注意，注意，t=0时，门函数左边沿位于时，门函数左边沿位于x=- /2位置，位置，右边沿位于右边沿位于x= /2位置，如图位置，如图(b)所示。所示。方法一：图解法方法一：图解法在任一在任一t时刻，移动门函数左边沿时刻，移动门函数左边沿位于位于x=t- /2位置，位置， 右边沿则位于右边沿则位于x=t+ /2位置，如图位置，如图(c)所示所示第二章习题例解-习题1123:2066按照图卷积过程的图解表示，可计算求得：按照图卷积过程的图解表示，可计算求得： 第二章习题例解-习题1123:206722ot1g (t)22ox1g ( x) g (x)22ox1 12t2tg (t x
42、)(t0)g (t x)(t0)(b) t 0(c) t0 , t 022to12t2ox1tg (t)g (t)*(d) t 0(e) 0 t(f )ox(a)方法一图 第二章习题例解-习题1123:2068方法二方法二 应用卷积运算的微积分和时移性质应用卷积运算的微积分和时移性质( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)( )( )( )( )( )22( )220,0220g tg tg tgtdttgtdtttgtttgtgttttt ，第二章习题例解-习题11性质：在性质：在f1() = 0或或f2(1)() = 0的前提下，的前提下， f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2
43、(1)(t)23:2069方法二图 ot1g (t)ot1g (t)22og (t)(1)t22otg (t)( 1)otottg (t)g (t)*(1)(1)o2)1(tg2)1(tg第二章习题例解-习题1123:2070第一次作业q已知信号已知信号x1(t)(图图(a)的频谱为的频谱为X1(n 0)，试写出图，试写出图(b)、(c)、(d)中信号的频谱中信号的频谱23:2071第一次作业23:2072第二次课堂作业q 求求x(t)=1-cos t+2sin t+cos3 t 的的频域表达式及频谱频域表达式及频谱图图23:2073第二次课堂作业 答案q 已知信号已知信号x(t)=1-cos t+2sin t+cos3 t 的的频域表达式及频谱频域表达式及频谱图图
