1、四、设计FIR滤波器的最优化方法1、均方误差最小准则 10Nj nj ndnnhn eh n e 10Nj nj nddnnhnh nehn e其它jjjdE eHeH e频率响应误差：实际频响理想频响均方误差：2221122jjjdeE edHeH ed当 0dhnh n01nN时22minee即 010dhnnNh nn其它相当于矩形窗矩形窗设计结果必满足最小均方误差准则 1220Nddnnhnh nhn其它2、最大误差最小化准则 （加权chebyshev等波纹逼近）当 h n为偶/奇对称，N为奇/偶数的四种情况其频响 122NjjLjH eeeH为偶对称时 h n0L N为奇数： 120
2、cosNnHa nnN为偶数： 211cos2NnHb nnN为奇数： 121sinNnHc nn利用三角恒等式将 表示成两项相乘形式 H HQP h n为奇对称时 1L 122NjjLjH eeeH 211sin2NnHd nnN为偶数：N为奇数 Q PN为偶数 1 120cosNna nncos2 120cosNnb nnN为奇数 奇对称 h nN为偶数 sin 320cosNnc nnsin2 120cosNnd nn偶对称 h n HQP其中： 11012112,3,12211222bbbNb nb nb nnNNbb 由下而上由 求 b n b n 1 0,1,.,2Na na nn
3、 11012112,3,12211222dddNd nd nd nnNNdd - 1102215112,3,221311,222cccNc nc nc nnNNc nc nn dHWQPQ加权chebyshev等波纹逼近： min maxAEE各系数 n求一组系数 使各频带上 E的最大绝对值最小 加权逼近误差函数：逼近函数 dEWHH加权函数 dWHPQ dEWHPA 各通带和阻带交错定理：若 是r个余弦函数的线性组合。即 P 10cosrnPnnA是 内的一个闭区间(包括各通带、阻带，但不包括过渡带)， 是A上的一个连续函数,0, dH则 是 的唯一地和最佳的加权chebyshev逼近的充分
4、必要条件是： P dH加权逼近误差函数 在A中至少有 个极值点，即A中至少有 个点 ，且 E1r 1r i1231rr使得11,2,iiEEir maxiAEE且 设要求滤波器频率响应： 100cjdsHe寻找一个 使其在通带和阻带内最佳地一致逼近jH ejdHe参数： ， ， ， ，N cst12若 最佳一致逼近jjdH eHe则 在通、阻带内具等波纹性jH e故又称等波纹逼近 根据交错定理：最大极值点数 的极值点数 单有极点 E H E根据 知 的极值点数为： 10cosrnHnn H cNr h n偶对称 N为奇数 N为偶数 12Nr2Nr h n奇对称 N为奇数 N为偶数 12Nr2N
5、r E0,单有的极值点是除 外的频带端点处如低通有2个，带通有4个 极值点数目最优线性相位FIR滤波器的设计步骤 6）用Remez算法，求逼近问解的解7）计算滤波器的单位抽样响应 h n2）根据类型和 h n的长度N，确定 cos的个数r 4）计算各格点频率上的 dH和 W函数值1）输入数据，滤波器性能要求，滤波器类型加权逼近误差： dEWHP将 dH， W表示成 dH W，5）用公式表示逼近问题3）在 0,频率区间，用密集的格点表示离散频率 r总格点数格点密度设误差函数值为，则10,kdkkkWHPkr 10,kdkkkHPkrWRemez算法1）按等间隔设定1r 个极值点频率的初始值0,k
6、kr其中： ， ，cl1stl0lr 10 cosrkknPnn其中： 000011110111coscos2cos10111coscos2cos111 1coscos2cos1rrrrrdddrrWrWrrWHHH 10,kdkkkHPkrW 10 cosrkknPnn其中： 1r 未知数： n和，但求解困难 可求 2）用解析法求001ridiiriiiia Ha W其中： 01coscosrikikk ia3）求 P值 1010coscoscoscosriiiiriiicP其中：101coscosrikikk i 10,1,1iiidiicPHirW 10,kdkkkHPkrW利用重心形式
7、的拉格朗日内插公式得4）求 dEWHP5）判断是否所有频率上皆有 E若是，结束计算若否，作为新的一组交错点组频率，返回步骤2）重新计算值， ， P E误差曲线每个格点频率上 E E(r+1)个极值点频率处 ，且正负交错。 P为最佳逼近，为波纹极值 E误差曲线的1r 个局部极值频率点求前后两次迭代的值相等，终止条件：即收敛于其上限、 已知N、 cst，求最佳 ，通、阻带加权误差相同若 、 已知，则可规定加权函数 12 121W当 在通带内当 在阻带内则经Remez解法迭代得 2E若 、 已知，则固定 12c，改变 st值，重复迭代使、 12满足要求加权函数及其它参数的确定：计算滤波器的单位抽样响应 10Rerj nnn e Re DTFTn由 10cosrnPnn n为实函数求 P k的L点IDFT即得 epn对 P频域抽样得P(k)，L点2MLN时不混叠）（ 01nnr而为实数，又在内不混叠，可得 02, 11epepnnnnr*( )1/2 ( )() ( )epNNNxnx nxNnRn偶对称，N为奇数时如 h n nh n由，求得 na nb nc nd n：、 na na n=由 102Nah 1121,22NNa nhnn可求得h(n)偶对称，N为偶数时如 h n nb nb nh n=
